Estatistica exercicios resolvidos

104
FMD_i.p65
Introdução ao e-learning
104
15-01-2004, 10:49
Manual de Exercícios
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO .............................................…....................................
4
1.1 Definições Gerais ........................................................................
5
1.1.1. População
5
1.1.2. Variáveis ou atributos
5
1.1.3. Processo de amostragem
5
1.2 A Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva .............…......
6
2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA .............................................…...................
8
2.1 Variáveis Qualitativas .................................................................
8
2.2 Variáveis Quantitativas Discretas .............................................
9
2.3 Variáveis Quantitativas Contínuas ............................................
10
2.4 Medidas de Localização .............................................................
11
2.4.1. Média
11
2.4.2. Mediana
12
2.4.3. Moda
13
2.5 Medidas de Ordem ......................................................................
13
2.6 Medidas de Assimetria ...............................................................
14
2.7 Medidas de Dispersão ................................................................
15
2.7.1. Dispersão Absoluta
15
2.7.2. Dispersão Relativa
16
2.8 Análise de Concentração ...........................................................
17
2.8.1. Curva de Lorenz
17
2.8.2. Índice de Gini
18
2.9 Estatística Descritiva Bidimensional ........................................
Estatística Aplicada
19
2
Manual de Exercícios
3. ESTATÍSTICA INDUTIVA .............................................…......................
45
3.1 Noções básicas de probabilidades ...........................................
45
3.2 Probabilidade condicionada ......................................................
48
3.3 Funções de Probabilidade ........................................…..............
49
3.4 Estimação por Intervalos ..........................................…..............
76
3.5 Testes de hipóteses ..................................................…..............
89
3.6 Aplicações Estatísticas: Fiabilidade .........................................
105
3.6.1. Conceito de fiabilidade
105
3.6.2. Fiabilidade de um sistema
105
3.7 Aplicações Estatísticas: Controlo Estatístico de Qualidade ..
110
3.8 Aplicações Estatísticas: Tratamento Estatístico de Inquéritos .
114
3.8.1. Teste de independência do qui-quadrado
Estatística Aplicada
114
3
Manual de Exercícios
"A estatística é a técnica de torturar os números até que eles confessem".
Autor desconhecido
1. INTRODUÇÃO
Inicialmente, a actividade estatística surgiu como um ramo da Matemática.
Limitava-se ao estudo de medições e técnicas de contagem de fenómenos
naturais e ao cálculo de probabilidades de acontecimentos que se podiam
repetir indefinidamente. Actualmente, os métodos estatísticos são utilizados em
muitos sectores de actividade, tendo como algumas aplicações estudos de
fiabilidade, pesquisas de mercado, testes de controle de qualidade, tratamento
de inquéritos, sondagens, modelos econométricos, previsões, etc.
Exemplo de uma estatística: os valores da inflação entre 1980 e 1990
constituem uma estatística. Fazer estatística sobre estes dados poderia
consistir, por exemplo, em traçar gráficos, calcular a inflação média trimestral
ou prever a inflação para 1991.
A análise de um problema estatístico desenvolve-se ao longo de várias fases
distintas:
(i) Definição do Problema
Saber exactamente aquilo que se pretende pesquisar; estabelecer o
objectivo de análise e definição da população
(ii) Amostragem e Recolha de Dados
Fase operacional. É o processo de selecção e registo sistemático de dados,
com um objectivo determinado. Os dados podem ser primários (publicados
pela própria pessoa ou organização) ou secundários (quando são
publicados por outra organização).
(iii) Tratamento e Apresentação dos Dados
Resumo dos dados através da sua contagem e agrupamento. É a
classificação de dados, recorrendo a tabelas ou gráficos.
Estatística Aplicada
4
Manual de Exercícios
(iv) Análise e Interpretação dos Dados
A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está
ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade
principal é descrever o comportamento do fenómeno em estudo (estatística
descritiva).
Na
estatística
indutiva
a
interpretação
dos
dados
se
fundamentam na teoria da probabilidade.
1.1. Definições Gerais
1.1.1. População
Fazer estatística pressupõe o estudo de um conjunto de objectos bem
delimitado com alguma característica em comum sobre os quais observamos
um certo número de atributos designados por variáveis.
Exemplo: Empresas existentes em Portugal
1.1.2. Variáveis ou atributos
As propriedades de uma população são estudadas observando um certo
número de variáveis ou atributos. As variáveis podem ser de natureza
qualitativa ou quantitativa. As variáveis quantitativas podem ainda dividir-se
entre discretas e contínuas. As variáveis discretas assumem apenas um
número finito numerável de valores. As variáveis contínuas podem assumir um
número finito não numerável ou um número infinito de valores.
Exemplo: um conjunto de empresas pode ser analisado em termos de sector
de actividade (atributo qualitativo), número de trabalhadores (atributo
quantitativo discreto), rácio de autonomia financeira (atributo quantitativo
contínuo), etc
1.1.3. Processo de amostragem
Para conhecer de forma completa a população, podem efectuar-se:
Estatística Aplicada
5
Manual de Exercícios
-
recenseamentos (indagação completa de todos os elementos da
população); este processo é, no entanto, tipicamente moroso e
dispendioso, sendo esses os motivos porque os Censos são realizados
apenas em cada 10 anos.
-
estudos por amostragem (observação de apenas um subconjunto, tido
como representativo do universo). As técnicas de recolha de amostras
garantem a sua representatividade e aleatoriedade.
1.2. A Estatística Descritiva e a Estatística Indutiva
Para além do ramo de amostragem, a estatística compreende dois grandes
ramos: a estatística descritiva e a estatística indutiva.
A estatística descritiva é o ramo da estatística que se encarrega do tratamento
e análise de dados amostrais. Assim, depois de recolhida a amostra de acordo
com técnicas que garantem a sua representatividade e aleatoriedade, fica
disponível um conjunto de dados sobre o universo “em bruto” ou não
classificados. Para que seja possível retirar qualquer tipo de conclusões, tornase necessário classificar os dados, recorrendo a tabelas de frequências e a
representações gráficas, isto é, é preciso tratar os dados. Depois de tratados,
será possível proceder à análise dos dados através de várias medidas que
descrevem o seu comportamento: localização, dispersão, simetria dos dados,
concentração, etc. São disso exemplo indicadores numéricos bem conhecidos
como a média ou a variância.
A estatística indutiva é o ramo da estatística que se ocupa em inferir das
conclusões retiradas sobre a amostra para a população. De facto, a amostra
não é mais do que um passo intermédio e exequível de obter informações
sobre o verdadeiro objecto de estudo, que é o universo. A estatística indutiva
(ou inferência estatística) garante a ligação entre amostra e universo: se algo
se concluiu acerca da amostra, até que ponto é possível afirmar algo
semelhante para o universo? É nesta fase que se procuram validar as
hipóteses formuladas numa fase prévia exploratória. Claro que o processo de
Estatística Aplicada
6
Manual de Exercícios
indução implica um certo grau de incerteza associado à tentativa de
generalização de conclusões da “parte” (amostra) para o “todo” (universo). O
conceito de probabilidade vai ter aqui, então, um papel fundamental. Isto é, não
vai ser possível afirmar com toda a certeza que o comportamento da amostra
ilustra perfeitamente o comportamento do universo, mas apenas que o faz com
forte probabilidade. As inferências indutivas são assim elaboradas medindo, ao
mesmo tempo, o respectivo grau de incerteza. Daí que, na ficha das técnicas
das sondagens eleitorais, por exemplo, apareçam referências ao “nível de
confiança” associado aos resultados e ao “erro” cometido.
O esquema seguinte ilustra a “roda” da disciplina de estatística, relacionando
os seus diferentes ramos:
POPULAÇÃO
OU UNIVERSO
Previsões
Estimação
Erros
Amostragem
INFERIR DA AMOSTRA
PARA O UNIVERSO
AMOSTRA
Estatística
Descritiva
TRATAMENTO E
ANÁLISE DA AMOSTRA
Inferência
Estatística
Gráficos; tabelas; medidas descritivas
Estatística Aplicada
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Manual de Exercícios
2. ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Os resultados da observação de um atributo sobre os elementos do conjunto a
analisar constituem os dados estatísticos. O ramo da estatística que se ocupa
do tratamento, apresentação e análise de dados amostrais denomina-se de
estatística descritiva.
2.1. Variáveis Qualitativas
Os dados qualitativos são organizados na forma de uma tabela de frequências,
que representa o número ni de elementos de cada uma das categorias ou
classes e que é chamado de frequência absoluta. A soma de todas as
frequências é igual à dimensão da amostra (n).
Numa tabela de frequências, além das frequências absolutas, também se
apresentam as frequências relativas (fi), obtida dividindo a frequência absoluta
pelo número total de observações.
fi =
Modalidades
Mod. 1
Frequências absolutas
n1
Frequências relativas
f1
Mod. j
nj
fj
Mod. n
Total
nn
n: dimensão da amostra
fn
1
ni
; ni: nº de vezes que cada modalidade da variável foi observada.
n
Estatística Aplicada
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Manual de Exercícios
Estes dados podem também ser representados graficamente através de:
Diagrama de barras
Para cada modalidade, desenha-se uma barra de altura igual à frequência
absoluta ou relativa (as frequências relativas são de preferir, pois permitem a
comparação de amostras de diferentes dimensões).
Diagrama sectorial ou circular
Esta representação é constituída por um círculo, em que se apresentam tantas
“fatias” quantas as modalidades em estudo. O ângulo correspondente a cada
modalidade é proporcional às frequências das classes, fazendo corresponder o
total da amostra (n) a 360º Geralmente, juntamente com a identificação da
modalidade, indica-se a frequência relativa respectiva.
2.2. Variáveis Quantitativas Discretas
São variáveis que assumem um número finito ou infinito numerável de valores.
A apresentação destas amostras é semelhante às variáveis qualitativas,
fazendo-se uma tabela de frequências e uma representação gráfica recorrendo
ao diagrama de barras.
Valores da variável
X1
Frequências absolutas
n1
Frequências relativas
f1
Xj
nj
fj
Xn
Total
nn
n: dimensão da amostra
fn
1
Também é possível calcular as frequências (absolutas – Ni - e relativas - Fi)
acumuladas, como se pode ver no exemplo:
Nº defeituosos (X)
0
1
2
3
4
Total
Estatística Aplicada
Nº embalagens (ni)
80
60
30
20
10
200
% embalagens (fi)
40%
30%
15%
10%
5%
1
Ni
80
80+60
170
190
200
Fi
40%
40%+30%
85%
95%
100%
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Manual de Exercícios
2.3. Variáveis Quantitativas Contínuas
Como foi dito anteriormente, uma variável (ou atributo) é contínua quando
assume um número infinito não numerável de valores, isto é, podem assumir
qualquer valor dentro de um intervalo.
Neste caso, a construção da tabela compreende duas etapas:
(i) Definição de classes de valores disjuntas, correspondentes a intervalos de
números reais fechados à esquerda e abertos à direita, cuja constituição
obedece a certas regras
(ii) Contagem das observações pertencentes a cada classe
Regra de construção de classes
(pressupõe a formação de classes de igual amplitude)
- Número de classes a constituir
Depende de n = dimensão da amostra
Se n≥25, o número de classes a constituir deve ser 5
Se n<25, o número de classes a constituir deve ser n
- Amplitude comum a todas as classes
Sendo a amplitude total dos dados dada pela diferença entre o valor
máximo e o valor mínimo observados, então a amplitude de cada classe
será:
Valor máximo da variável observado – Valor mínimo da variável observado
Nº de classes a constituir
Classes de
valores da variável
[x1; x2[
[x2; x3[
[x3; x4[
[xn-1; xn]
Total
Frequências absolutas
Frequências relativas
n1
f1
nj
fj
n
n: dimensão da amostra
fn
1
A distribuição de frequências representa-se através de um histograma.
Um histograma é uma sucessão de rectângulos adjacentes, em que a base é
uma classe e a altura a frequência (relativa ou absoluta) por unidade de
amplitude (ni/ai ou fi/ai), sendo a amplitude de cada classe ai=ei-ei-1. A área total
do histograma é a soma das frequências relativas, isto é, 1.
Estatística Aplicada
10
Manual de Exercícios
1. Esta distribuição permite visualizar o tipo de distribuição e deve salientar
alguns aspectos mais relevantes desta (moda, classe modal, ...). Como
as classes podem ter amplitudes diferentes, para que todos os
rectângulos (colunas) sejam comparáveis é necessário corrigir as
frequências das classes (calculando as frequências que se teria se a
amplitude de todas as classes fosse igual e igual a 1)
2. É preferível representar o histograma com fi/hi do que com ni/hi uma vez
que deste modo é possível comparar distribuições com diferente número
de observações amostrais.
Também é possível calcular as frequências (absolutas – Ni - e relativas - Fi)
acumuladas.
2.4. Medidas de localização
2.4.1. Média ( X )
É a medida de localização mais usada, sobretudo pela sua facilidade de
cálculo.
Dados não-classificados (não agrupados numa tabela de frequências)
1
n
x =
n
i =1
xi
Média aritmética simples
Dados classificados (isto é, agrupados numa tabela de frequências)
Variáveis discretas
n
1
n
x =
i =1
n
=
ni x i
i =1
f i xi
Média ponderada dos valores de X
Dados classificados (isto é, agrupados numa tabela de frequências)
Variáveis contínuas
x =
1
n
n
i =1
ni ci
Estatística Aplicada
=
n
i =1
f i ci
Média ponderada dos pontos médios das classes
11
Manual de Exercícios
onde ci é o ponto médio de cada classe (
lim . inf . + lim . sup .
)
2
A média é uma medida de localização que, geralmente, indica o valor central
da distribuição, entendido como o valor em torno do qual se distribuem os
valores observados. Desta forma, a média é muitas vezes utilizada como valor
representativo da amostra.
No entanto, a média tem o grande inconveniente de ser sensível a valores
muito extremados ou aberrantes da distribuição (outliers). Em casos desses, a
média deixa de ser um valor que aparece na parte central da distribuição para
ser “empurrada” para os extremos. Nestes casos, é preferível recorrer à
informação complementar fornecida por outras medidas de localização, como a
moda e a mediana, que se definem a seguir.
2.4.2. Mediana (Me)
A mediana não se calcula a partir do valor de todas as observações, mas a
partir da posição dessas observações.
Dados não-classificados
Se tivermos n valores x1, x2, ... xn
Se n fôr ímpar,
Me = x n+1
2
Se n fôr par,
xn + xn
Me =
2
2
+1
2
Dados classificados
A mediana é o valor tal que Fi = 0,5
Variáveis discretas
Se existe um valor de xi para o qual Fi = 0,5, então fala-se em intervalo
mediano.
Estatística Aplicada
12
Manual de Exercícios
Se não existe nenhum valor de xi para o qual Fi = 0,5, então a mediana é
o primeiro valor para o qual Fi > 0,5.
Variáveis contínuas
Em geral, determina-se o valor para o qual Fi = 0,5 através de uma regra
de três simples, atendendo a que as frequências acumuladas variam
uniformemente dentro de cada classe.
De uma forma geral:
Me = L inf +
0.5 − FL inf
xamp. classe mediana
FL sup − FL inf
2.4.3. Moda (Mo)
Variáveis discretas
A moda é valor de X para o qual fi é máximo, isto é, é o valor mais
frequente da distribuição.
Variáveis contínuas
A classe modal é a classe de valores de X para o qual fi/hi é máximo,
isto é, é a classe a que corresponde maior frequência por unidade de
amplitude.
2.5. Medidas de ordem
Tal como se definiu para a mediana, é possível definir outros valores de
posição ou valores separadores da distribuição em partes iguais.
Chama-se quantil de ordem p ao valor de x a que corresponde Fi = p.
-
Se p=0,01; 0,02;.....0,99, chama-se ao quantil percentil
-
Se p=0,1; 0,2;...0,9, chama-se ao quantil decil
-
Se p=0,25, 0,5, 0,75, chama-se ao quantil QUARTIL (Q1, Q2 e Q3). A
mediana é uma caso particular dos quartis (coincide com Q2)
Variável discreta
O quantil de ordem p é o primeiro valor de x para o qual i>p.
Estatística Aplicada
13
Manual de Exercícios
Variável contínua
Calcula-se por uma regra de três simples, como a mediana.
25%
maiores
De uma forma geral:
Q1 = L inf +
0.25 − FL inf
xamp. classe Q1
FL sup − FL inf
Q3 = L inf +
0.75 − FL inf
xamp. classe Q3
FL sup − FL inf
A representação gráfica destas medidas designa-se de diagrama de
extremos e quartis e serve para realçar algumas características da amostra.
Os valores da amostra compreendidos entre os 1º e 3º quartis são
representados por um rectângulo (caixa) com a mediana indicada por uma
barra. Seguidamente, consideram-se duas linhas que unem os meios dos
lados do rectângulo com os extremos da amostra.
A partir deste diagrama, pode reconhecer-se a simetria ou enviesamento dos
dados e a sua maior ou menor concentração:
2.6. Medidas de assimetria
A assimetria é tanto maior quanto mais afastados estiverem os valores da
média, mediana e moda. Concretamente, se:
−
X = Me = Mo, a distribuição diz-se simétrica
−
X > Me > Mo, a distribuição diz-se assimétrica positiva (ou enviesada à
esquerda)
−
X < Me < Mo, a distribuição diz-se assimétrica negativa (ou enviesada à
direita)
Coeficiente de assimetria de Bowley (g’):
(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1)
Q3 − Q1
Se g’ = 0 ..............a distribuição é simétrica positiva ou equilibrada
Os quartis estão à mesma distância da mediana.
Se g’ > 0 ..............a distribuição é assimétrica positiva ou “puxada” para
Estatística Aplicada
14
Manual de Exercícios
a esquerda (se fôr = 1, assimetria é máxima)
A mediana desliza para o lado do Q1,
logo Q3-Q2 > Q2-Q1
Se g’ < 0 ..............a distribuição é assimétrica negativa ou “puxada” para
a direita (se fôr = -1, assimetria é máxima)
A mediana desliza para o lado do Q3,
logo Q2-Q1 > Q3-Q2
Q1 Q2
Q3
Q1
Assimétrica positiva
Q2 Q3
Assimétrica negativa
2.7. Medidas de dispersão
Duas distribuições podem distinguir-se na medida em que os valores da
variável se dispersam relativamente ao ponto de localização (média, mediana,
moda). Apresentam-se de seguida algumas das mais utilizadas, classificadas
consoante a medida de localização usada para referenciar a dispersão das
observações:
2.7.1 Medidas de dispersão absoluta
(i)
Em relação à mediana
Amplitude inter-quartis = Q = Q3 – Q1
Significa que 50% das observações se situam num intervalo de
amplitude Q. Quanto maior (menor) a amplitude do intervalo, maior
(menor) a dispersão em torno da mediana.
(ii)
Em relação à média
Variância amostral: mede os desvios quadráticos de cada valor
observado em relação à média, havendo pouca dispersão se os desvios
forem globalmente pequenos, e havendo muita dispersão se os desvios
forem globalmente grandes.
Estatística Aplicada
15
Manual de Exercícios
Dados não-classificados
2
1 n
s2 =
xi − x
n i =1
(
)
Dados classificados
Variáveis discretas
1
s =
n
2
n
(
)
2
n
ni xi − x =
i =1
(
fi xi − x
i =1
)
2
Dados classificados
Variáveis contínuas
1
s =
n
2
n
(
ni ci − x
i =1
)
2
=
n
i =1
(
fi ci − x
)
2
onde ci é o ponto médio de cada classe i.
Desvio-padrão: Medida de dispersão com significado real, mas que só é
possível calcular indirectamente, através da raiz quadrada da variância.
Está expressa nas mesmas unidades da variável.
2.7.2 Medidas de dispersão relativa
Muitas vezes, avaliar a dispersão através de um indicador de dispersão
absoluta não é conveniente, assim como comparara a dispersão de duas
distribuições, uma vez que estas medidas vêm expressas na mesma unidade
da variável – como é o caso, por exemplo, da variância. Assim, é de esperar
que os valores da variância sejam mais elevados quando os valores da variável
são maiores, o que não significa que a distribuição seja muito dispersa. Para
comparar diferentes distribuições de frequência são precisas medidas de
dispersão relativa:
Dispersão relativa =
Estatística Aplicada
Dispersão absoluta
Medida de localizaçã o em relação à qual está definida
16
Manual de Exercícios
Coeficiente de variação
CV =
s
x100%
x
Outras medidas
Q3 − Q1
Q2
Estas medidas não estão expressas em nenhuma unidade, e permitem
comparar dispersões entre duas amostras, pois não são sensíveis à escala
(eventualmente diferente) em que as variáveis estejam expressas.
2.8. Análise da concentração
A noção de concentração apareceu associada ao estudo de desigualdades
económicas, como a repartição do rendimento ou a distribuição de salários. O
fenómeno de concentração está relacionado com a variabilidade ou dispersão
dos valores observados, apesar de não poder ser analisado através das
medidas de dispersão atrás descritas, que apenas medem a dispersão dos
valores em relação a um ponto. O objectivo é determinar como o atributo
(rendimento, salários, número de empresas) se distribui (se de forma mais ou
menos uniforme) pelos diferentes indivíduos da amostra (que devem ser
susceptíveis de serem adicionados, isto é, a análise de concentração não se
aplica a idade, altura, peso, etc).
Se o atributo estiver igualmente repartido pelos indivíduos, temos uma situação
extrema de igual distribuição; e vice-versa de o atributo estiver concentrado
num só indivíduo, temos uma situação extrema de máxima concentração. Em
geral, interessa medir o grau de concentração em situações intermédias.
Para analisar a concentração, existem dois instrumentos: a Curva de Lorenz e o Índice
de Gini.
2.8.1 Curva de Lorenz
Estatística Aplicada
17
Manual de Exercícios
O objectivo é comparar a evolução das frequências acumuladas (Fi = pi) com a
evolução da soma dos valores da variável (qi)
Quadro de dados
Classes de
valores da variável
[x1; x2[
[x2; x3[
[x3; x4[
Quantidade Freq.relativa
Proporção
atributo
acumuladas atrib.acumul,
yi
p1
q1
n1
nj
yj
pj
qj
[xn-1; xn[
Total
nn
n
yn
pn=1
qn=1
ni
Os pontos (pi;qi) pertencem ao quadrado (0,1) por (0,1). A curva que os une é
a curva de Lorenz. Se houver igual distribuição, a frequência das observações
deve ter uma evolução igual à proporção do atributo correspondente, isto é,
pi=qi. Nesse caso, a curva de Lorenz coincide com a diagonal do quadrado,
que é designada de recta de igual repartição. Quanto mais a curva se afastar
da recta, maior é a concentração. A zona entre a diagonal e acurva de Lorenz
designa-se, por isso, de zona de concentração.
2.8.2 Índice de Gini
O índice de Gini é calculado pela seguinte expressão
n −1
G=
i =1
( pi − qi )
n −1
pi
i =1
Quando G = 0, a concentração é nula, havendo igual repartição. Caso o valor
de G seja 1, a concentração será máxima. O valor de G varia entre 0 e 1, e
quanto maior o seu valor, maior a concentração.
Estatística Aplicada
18
Manual de Exercícios
2.9. Estatística Descritiva Bidimensional
Numa situação em que se observam pares de valores (xi; yj), pode ter interesse
estudar as relações porventura existentes entre os dois fenómenos,
nomeadamente relações estatísticas. Não se trata de estudar relações
funcionais (isto é, a medida em que o valor de uma variável é determinado
exactamente pela outra), mas sim de estudar a forma como a variação de uma
variável poderá afectar a variação da outra, em média. (por exemplo, o peso e
a altura normalmente estão relacionados, mas a relação não é determinística).
Duas variáveis ligadas por uma relação estatística dizem-se correlacionadas.
Se as variações ocorrem, em média ou tendencialmente, no mesmo sentido, a
correlação diz-se positiva. Se ocorrem em sentidos opostos, a correlação dizse negativa.
Trata-se então de estudar se:
-
Se existe alguma correlação entre os fenómenos ou variáveis
observadas
-
A existir, se é traduzível por alguma lei matemática, nem que
tendencialmente
-
A existir, se é possível medi-la
Por vezes, a representação gráfica do conjunto de dados bivariados sugere o
ajustamento de uma recta a este conjunto de pontos, indicando a existência de
uma tendencial correlação linear entre as duas variáveis, como é o caso do
exemplo atrás descrito. A essa recta chama-se recta de regressão de y sobre
x, que permite descrever como se reflectem em y (variável dependente ou
explicada) as modificações processadas em x (variável independente ou
explicativa). Essa recta torna possível, por exemplo, inferir (em média) a altura
de um indivíduo, conhecendo o respectivo peso.
Um dos métodos mais conhecidos de ajustar uma recta a um conjunto de
dados é o Método dos Mínimos Quadrados, que consiste em determinar a recta
que minimiza a soma dos quadrados dos desvios entre os verdadeiros valores
de y e os obtidos a partir da recta que se pretende ajustar. Obtém-se assim a
Estatística Aplicada
19
Manual de Exercícios
recta de regressão ou recta dos mínimos quadrados. Assim, se a recta de
regressão obedecer à seguinte fórmula geral:
y = a + bx
o método permite minimizar a soma dos desvios quadráticos yi - (a + bxi).
Assim sendo, obtém-se:
b=
xi y i − n x y
2
xi − n x
e
2
a = y − bx
Matematicamente, b designa o declive da recta. Em termos estatísticos, b
corresponde ao coeficiente de regressão de y sobre x, que indica a variação
média de y que acompanha uma variação unitária de x.
O valor de a designa a ordenada na origem, isto é, o valor que y assume
quando x=0.
Quando, quer através do diagrama de dispersão, quer através da recta de
regressão, se verifica a existência de uma associação linear entre as variáveis,
pode-se medir a maior ou menor força com que as variáveis se associam
através do coeficiente de correlação linear r:
r=
s xy
s xx s yy
, s xy =
n
i =1
( xi − x)( y i − y )
Este indicador da correlação tem a vantagem de não depender das unidades
ou da ordem de grandeza em que as variáveis estão expressas. O coeficiente
de correlação linear está sempre compreendido entre –1 e 1.
Se r > 0, então pode dizer-se que existe uma correlação positiva entre as
variáveis, isto é, as variáveis variam no mesmo sentido: um aumento
(diminuição de x) provoca um aumento (diminuição) de y, mas menos que
proporcional.
Estatística Aplicada
20
Manual de Exercícios
Se r < 0, então pode dizer-se que existe uma correlação negativa entre as
variáveis, isto é, as variáveis variam em sentidos opostos: um aumento
(diminuição de x) provoca uma diminuição (aumento) de y, mas menos que
proporcional.
Se r = 0, então pode dizer-se que as variáveis não estão correlacionadas
linearmente.
Antes de se efectuar um estudo de correlação, deve-se procurar justificação
teórica para a existência ou inexistência de correlação. Caso contrário, poderá
acontecer que variáveis sem relação de causalidade entre si, variem num certo
sentido por razões exteriores. A esta correlação ilusória, chama-se correlação
espúria.
Nos extremos, se r = 1 ou se r = -1, então pode dizer-se que existe uma
correlação positiva ou negativa perfeita, respectivamente, entre as variáveis,
isto é, uma variação numa variável provoca na outra uma variação
exactamente proporcional no mesmo sentido ou em sentido contrário. Isto é, a
correlação é máxima.
Correlação ordinal
Por vezes, as variáveis vêm expressas numa escala ordinal, isto é, interessa
mais conhecer a ordenação dos valores do que os valores observados
propriamente ditos. Neste caso, em vez do coeficiente de correlação linear,
calcula-se o coeficiente de correlação ordinal:
n
rs = 1 − 6
i =1
di
2
n(n − 1)
2
x
, d i = Ri − Ri
y
Ordens (“ranks”) das
observações de X e
de Y, respectivamente
Estatística Aplicada
21
Manual de Exercícios
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Considere a distribuição de 1000 empresas de um sector de actividade
segundo os resultados líquidos (em milhares de u.m.):
Resultado Líquido
[0; 1[
[1; 3[
[3; 5[
[5; 15[
[15; 25[
[25; 50[
Total
Frequência. Relativa (%)
10
25
35
15
10
5
100
a) Represente a distribuição graficamente.
b) Determine a média e a moda da distribuição. Qual o significado dos
valores encontrados?
c) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente.
Determine a mediana da distribuição.
d) Determine os quartis da distribuição. Faça a sua representação gráfica.
e) Analise a (as)simetria da distribuição em causa.
f)
Analise a concentração através do Índice de Gini e da Curva de Lorenz.
Resolução
a)
fi/hi
0,2
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
Estatística Aplicada
10
20
30
40
50
60
22
Manual de Exercícios
b) x = 1
n
[0; 1[
[1; 3[
[3; 5[
[5; 15[
[15; 25[
[25; 50]
X
fi
10%
25%
35%
15%
10%
5%
Total
1
n
i =1
ni c i
=
n
i =1
f i ci
hi
1
2
2
10
10
25
fi/hi
0.1
0.125
0.175
0.015
0.01
0.002
Fi
10%
35%
70%
85%
95%
100%
ci
0.5
2
4
10
20
37.5
= (0,5 x10%) + (2 x 25%) + ... + (37.5 x5%) = 7,325
Em média, o resultado líquido de uma empresa é de 7325 unidades
monetárias.
A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência por unidade de
amplitude. Neste caso, o maior valor de fi / hi é 0,175. correspondente à classe
[3; 5[, isto é, os valores de resultado líquido mais prováveis para uma empresa
situam-se entre 3000 u.m. e 5000 u.m.
c) A representação gráfica das frequências acumuladas (ver tabela) designa-se
de polígono integral:
Fi
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
20
40
60
80
100
120
Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [3; 5[
3 : Fi=0,35
5 : Fi = 0,7
Estatística Aplicada
23
Manual de Exercícios
Cálculo da mediana:
0,7 - 0,35 ------------ 5 - 3
0,5 – 0,35 -------------- Me – 3
Me = 3 + ((2x0,15)/0,35) = 3,857
50% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 3857 u.m.
d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,25): [1; 3[
1 : Fi=0,1
3 : Fi = 0,35
Cálculo do Q1:
0,35 - 0,1 ------------ 3 - 1
0,25 – 0,1 -------------- Q1 – 1
Q1 = 1 + ((2x0,15)/0,25) = 2,2
25% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 2200 u.m.
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75): [5; 15[
5 : Fi=0,7
15 : Fi = 0,85
Cálculo do Q3:
0,85 - 0,7 ------------ 15 - 5
0,75 – 0,7 -------------- Q3 – 5
Q3 = 5 + ((10x0,05)/0,15) = 8,333(3)
75% das empresas apresentam resultados líquidos inferiores a 8333 u.m.
e)
g' =
(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) (8,333 − 3,857) − (3,857 − 2,2)
=
= 0,4596 > 0
Q3 − Q1
8,333 − 2,2
A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.
Estatística Aplicada
24
Manual de Exercícios
f)
X
[0; 1[
[1; 3[
[3; 5[
[5; 15[
[15; 25[
[25; 50[
Total
fi
10%
25%
35%
15%
10%
5%
1
ni
1000x10%=100
250
350
150
100
50
n=1000
ci
0.5
2
4
10
20
37.5
Atributo
100x0.5=50
250x2=500
1400
1500
2000
1875
7325
pi (=Fi)
0.1
0.35
0.7
0.85
0.95
1
qi
0.007
0.075
0.266
0.471
0.744
1
50 + 500 + 1400
7325
Res.Liq.Totais
G=
(0,1 − 0,007) + ... + (0,95 − 0,744)
= 0,47
0,1 + 0,35 + 0,7 + 0,85 + 0,95
A distribuição dos resultados líquidos
apresenta concentração média (G=0,5
Curva de Lorenz
1
corresponde ao centro da escala
possível, entre 0 e 1). Por exemplo,
70% das empresas apresentavam
resultados até 5000 u.m., mas isso
representava apenas 26,6% do total
de
resultados
das
empresas
0,8
0,6
0,4
da
amostra, o que sugere um tecido
empresarial com muitas PMEs, mas
em que cada uma tem baixo resultado
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
líquido.
Exercício 2
Considere a seguinte amostra de dimensão 200, referente aos lucros obtidos
por empresas de um dado sector industrial, expressas numa determinada
unidade monetária.
Analise a concentração através do Índice de Gini e da Curva de Lorenz.
Estatística Aplicada
25
Manual de Exercícios
Resolução
Lucros
[0; 50[
[50; 100[
[100; 200[
[200; 300[
[300; 500]
Total
ni
20
60
80
30
10
200
Lucro total
600
4400
14000
7500
3500
30000
pi (=Fi)
0.1
0.4
0.8
0.95
1
qi
0.02
0.16(6)
0.63(3)
0.883(3)
1
Curva de Lorenz
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
n −1
G=
0,4
0,6
( pi − qi )
=
i =1
n −1
pi
0,8
1
0,546(6)
= 0,243
2,25
i =1
Tanto pela análise da Curva de Lorenz, como pelo valor do Índice de Gini,
conclui-se que esta amostra apresenta concentração moderada, encontrandose os valores razoavelmente repartidos.
Exercício 3
Considere o exemplo abaixo referente ao peso e altura de 10 indivíduos.
a) Represente o diagrama de dispersão.
b) Analise a correlação existente entre peso e altura.
c) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima as peso em função da altura.
Estatística Aplicada
26
Manual de Exercícios
Indivíduo
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Resolução
Peso (kg)
72
65
80
57
60
77
83
79
67
68
Altura (cm)
175
170
185
154
165
175
182
178
175
173
Diagrama de Dispersão
a)
190
Altura (cm)
180
170
160
150
50
60
70
80
90
Peso (kg)
b) No exemplo, r = 0,90681871, isto é, existe uma correlação positiva forte
entre as duas variáveis, quase perfeita.
Recta de Regressão
c)
190
y = 0,9016x + 109,36
Altura (cm)
180
170
160
150
50
60
70
80
90
Peso (kg)
Estatística Aplicada
27
Manual de Exercícios
A equação desta recta traduz-se em
Altura = 109,36 + 0,9016 x Peso
Isto é, se um indivíduo pesar 70 kg, a altura esperada será de 109,36 + 0,9016
x 70 = 172,472.
Por cada kg de peso adicional, espera-se que a altura do indivíduo aumente
0,9016 cm.
Exercício 4
O quadro abaixo apresenta as vendas e as despesas em publicidade (ambas
em milhares de u.m.) de uma empresa no período de 7 anos:
Ano
1
2
3
4
5
6
7
Vendas
10
13
18
19
25
30
35
Desp. Publicidade
3
3
5
6
8
9
13
a) Compare as vendas e as despesas em publicidade quanto à dispersão.
b) Analise a correlação existente entre volume e custo de produção.
c) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima as vendas em função das despesas em publicidade.
Resolução
a) Para comparar a dispersão das duas distribuições, é necessário calcular os
coeficientes de variação (medidas de dispersão relativa):
Dados não-classificados
1
n
x =
sx
2
1
=
n
CV x =
n
i =1
n
i =1
xi = 21,429
(xi − x )
2
= 69,9408
sx
69,9408
=
= 0,39
x
21,429
sy
<
2
1
=
n
CV y =
n
1
n
y =
i =1
i =1
y
(yi − y )
2
n
sy
yi = 6,714
=
= 11,0651
11,0651
= 0,495
6,714
A dispersão das despesas em publicidade é superior à dispersão das vendas.
Estatística Aplicada
28
Manual de Exercícios
b)
r=
1
[(10 − 21,429)(3 − 6,714) + ... + (35 − 21,429)(13 − 6,714)]
7
=
= 0,98
69,9408 x 11,0651
s xy
s xx s yy
Existe uma correlação positiva linear forte entre as duas variáveis. Em média,
quando as despesas em publicidade aumentam (diminuem), as vendas
aumentam (diminuem) de forma quase exactamente proporcional.
Recta de Regressão
c)
y = 2,4649x + 4,8782
Vendas
30
20
10
0
3
8
13
Desp. Public.
Exercício 5
Considere que 10 estudantes foram sujeitos a uma prova de avaliação no início
e no final do curso. No quadro abaixo, encontram-se as ordenações desses 10
estudantes segundo as classificações obtidas em cada uma das provas:
Aluno
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Estatística Aplicada
Prova inicial
Rix
1
3
2
5
7
8
9
10
6
4
Prova final
Riy
1
2
3
4
6
8
7
9
10
5
di
Rix - Riy
0
1
-1
1
1
0
2
1
-4
-1
29
Manual de Exercícios
Resolução
Como não dispomos das classificações dos alunos, mas sim das ordenações
das classificações (do 1º ao 10º classificado), para avaliar a correlação
existente entre as 2 provas calcula-se o coeficiente de correlação ordinal:
n
rs = 1 − 6
i =1
di
2
n(n − 1)
2
= 1−
6 x(0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 1 + 16 + 1)
= 0,8424
10 x(100 − 1)
A correlação é positiva e elevada (rs varia entre –1 e 1), isto é, os alunos que
tiveram boa nota na prova inicial tiveram, em média, igualmente boa nota na
prova final.
Exercício 6
O quadro que se segue descreve a distribuição do rendimento anual (em
milhares de u.m.) de 2500 famílias da população de um país:
Rendimento anual
[0, 1[
[1, 2[
[2, 5[
[5, 15[
[15, 25[
[25, 50[
Nº de famílias
250
375
625
750
375
125
a) Represente as frequências acumuladas graficamente.
b) Determine o rendimento médio e mediano.
c) Determine os três primeiros quartis. Que indicações lhe dão sobre a
(as)simetria?
d) O que pode concluir quanto à dispersão?
e) Calcule o índice de Gini. O que conclui sobre a concentração do
rendimento?
Resolução
a)
Rendimento anual
[0, 1[
[1, 2[
[2, 5[
[5, 15[
[15, 25[
[25, 50[
Estatística Aplicada
Nº de famílias
250
375
625
750
375
125
% de famílias
10
15
25
30
15
5
Fi (%)
10
25
50
80
95
1
ci
0.5
1.5
3.5
10
20
37.5
30
Manual de Exercícios
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
b) x = 1
n
10
n
i =1
ni c i
20
n
=
i =1
30
f i ci
40
50
60
70
80
90
100
= (0,5 x10%) + (1.5 x15%) + ... + (37.5 x5%) = 9,025
Em média, o rendimento anual de uma família é de 9025 unidades monetárias.
Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [2; 5[
5 : Fi = 0,5. Logo, a mediana é 5 (50% das famílias têm rendimentos anuais até
5000 unidades monetárias).
c) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,25): [1; 2[
3 : Fi = 0,25
25% das famílias apresentam rendimentos anuais inferiores a 2000 u.m.
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75): [5; 15[
5 : Fi=0,5
15 : Fi = 0,8
Cálculo do Q3:
0,8 - 0,5 ------------ 15 - 5
0,75 – 0,5 -------------- Q3 – 5
Q3 = 5 + ((10x0,25)/0,3) = 13,333(3)
75% das famílias apresentam rendimentos anuais inferiores a 13333 u.m.
Estatística Aplicada
31
Manual de Exercícios
g' =
(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) (13,333 − 5) − (5 − 2)
=
= 0,47 > 0
Q3 − Q1
13,333 − 2
A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.
2
d) s x =
(
n
fi * ci − x
i =1
)
2
=
n
2
fici 2 − x = 82,286875
i =1
2
s x = s x = 82,286875 = 9,071
e)
Rendimento anual
[0, 1[
[1, 2[
[2, 5[
[5, 15[
[15, 25[
[25, 50[
Total
n −1
G=
( pi − qi )
=
i =1
n −1
pi
ni
250
375
625
750
375
125
2500
ci
0.5
1.5
3.5
10
20
37.5
1,18436
= 0,4555
2,6
Rend. total
125
562,5
2187,5
7500
7500
4687.5
22562,5
pi (=Fi)
0,1
0,25
0,5
0,8
0,95
1
qi
0.00554
0.0305
0.1274
0.46
0.7922
1
Concentração moderada do rendimento
i =1
Exercício 7
Considere a seguinte tabela que representa a distribuição dos empregados de
uma instituição bancária segundo a remuneração bruta mensal (em milhares de
unidades monetárias):
Remuneração
[60; 80[
[80; 100[
[100; 120[
[120; 140[
[140; 160[
[160; 200[
[200; 250[
[250, 300[
[300; 350]
Total
Estatística Aplicada
Frequência. Relativa
(%)
7.8
15.2
31.2
19.5
7.2
8.1
5.4
2.6
3.0
100
32
Manual de Exercícios
a) Calcule os quartis da distribuição.
b) Analise a dispersão da distribuição em causa.
c) Analise a assimetria da distribuição em causa.
Resolução
a)
Remuneração
Frequência. Relativa (%)
[60; 80[
[80; 100[
[100; 120[
[120; 140[
[140; 160[
[160; 200[
[200; 250[
[250, 300[
[300; 350]
Total
7.8
15.2
31.2
19.5
7.2
8.1
5.4
2.6
3.0
100
Fi
(%)
7.8
23
54.2
73.7
80.9
89
94.4
97
100
Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência acumulada
0,25): [100; 120[
1 : Fi=0,23
3 : Fi = 0,542
Cálculo do Q1:
0,542 - 0,23 ------------ 120 - 100
0,25 - 0,23 -------------- Q1 - 100
Q1 = 100 + ((20x0,02)/0,312) = 101,28
25% dos empregados auferem remunerações inferiores a 101,28 milhares u.m.
Classe a que pertence Q2 (classe a que corresponde uma frequência acumulada
0,5): [100; 120[
100 : Fi=0,23
120 : Fi = 0,542
Cálculo do Q2:
0,542 - 0,23 ------------ 120 - 100
0,5 - 0,23 -------------- Q2 - 100
Q2 = 100 + ((20x0,27)/0,312) = 117,3
50% dos empregados auferem remunerações inferiores a 117,3 milhares u.m.
Estatística Aplicada
33
Manual de Exercícios
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75): [140; 160[
120 : Fi=0,737
140 : Fi = 0,809
Cálculo do Q3:
0,809 - 0,737 ------------ 160 - 140
0,75 – 0,737 -------------- Q3 - 140
Q3 = 140 + ((20x0,013)/0,072) = 143,61(1)
75% dos empregados auferem remunerações inferiores a 143,61(1) milhares u.m.
b) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 143,61(1) - 101,28 = 42,33
(dispersão reduzida em torno da mediana)
c) g ' =
(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) (143,61 − 117,3) − (117,3 − 101,28)
=
= 0,243 > 0
Q3 − Q1
143,61 − 101,28
A distribuição é assimétrica positiva ou enviesada à esquerda.
Exercício 8
Os dados seguintes referem-se ao peso, expresso em gramas, do conteúdo de
uma série de 100 garrafas que, no decurso de um teste, saíram de uma linha
de enchimento automático:
Peso (em gramas)
[297; 298[
[298; 299[
[299; 300[
[300; 301[
[301; 302[
[302; 303[
[303; 304[
[304; 305[
[305; 306]
Total
Frequência. Relativa
(%)
8
21
28
15
11
10
5
1
1
100
a) Represente graficamente os dados acima.
b) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente.
Estatística Aplicada
34
Manual de Exercícios
c) Determine o peso médio, mediano e modal. Qual o seu significado?
d) Determine os quartis da distribuição.
e) Analise a dispersão do peso das garrafas.
Resolução
a)
Histograma
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307
b)
Peso (em gramas)
[297; 298[
[298; 299[
[299; 300[
[300; 301[
[301; 302[
[302; 303[
[303; 304[
[304; 305[
[305; 306]
Total
Frequência Relativa (%)
8
21
28
15
11
10
5
1
1
100
Fi (%)
8
29
57
72
83
93
98
99
100
F*
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310
c)
x =
1
n
n
i =1
ni c i
=
n
i =1
f i ci
= (297,5 x8%) + (298,5 x 21%) + ... + (305,5 x1%) = 300,11
O peso médio das garrafas é de 300,11 kg.
Estatística Aplicada
35
Manual de Exercícios
Classe mediana (classe a que corresponde uma frequência acumulada 0,5): [299;
300[
299 : Fi = 0,29
300 : Fi = 0,57
Cálculo do Q2:
0,57 - 0,29 ------------ 300 - 299
0,5 - 0,29 -------------- Q2 - 299
Q2 = 299 + ((1x0,21)/0,28) = 299,75
50% das garrafas têm peso inferior a 299,75 kg.
A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência relativa. Neste
caso, o maior valor de fi é 0,28 correspondente à classe [299; 300[, isto é, os
pesos mais prováveis das garrafas situam-se entre 299 kg e 300 kg.
d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,25): [298; 299[
298 : Fi=0,08
299 : Fi = 0,29
Cálculo do Q1:
0,29 - 0,08 ------------ 298 - 299
0,25 - 0,08 ------------ Q1 - 299
Q1 = 299 + ((1x0,17)/0,21) = 299,0357
25% das garrafas têm peso inferior a 299,0357 kg.
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75): [301; 302[
301 : Fi=0,72
302 : Fi = 0,83
Cálculo do Q3:
0,83 - 0,72 ------------ 302 - 301
0,75 – 0,72 -------------- Q3 - 301
Q3 = 301 + ((1x0,03)/0,11) = 301,27(27)
75% das garrafas têm peso inferior a 301,27(27) kg.
Estatística Aplicada
36
Manual de Exercícios
e) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 301,27(27) - 299,0357 = 2,237
(dispersão reduzida em torno da mediana)
Exercício 8
Numa faculdade, mediram-se as alturas de 100 alunos do primeiro ano:
Altura (em metros)
[1,4; 1,5[
[1,5; 1,55[
[1,55; 1,6[
[1,6; 1,65[
[1,65; 1,7[
[1,7; 1,75[
[1,75; 1,8[
[1,8; 1,9]
Total
Nº Alunos
2
10
25
13
17
20
10
3
100
a) Represente graficamente os dados acima.
b) Determine a altura média e a altura modal. Qual o seu significado?
c) Calcule as frequências acumuladas e represente-as graficamente.
d) Determine os quartis da distribuição e diga qual o seu significado.
e) Analise a dispersão da distribuição.
f) Analise a (as)simetria da distribuição.
Resolução
a)
Altura (em metros)
[1,4; 1,5[
[1,5; 1,55[
[1,55; 1,6[
[1,6; 1,65[
[1,65; 1,7[
[1,7; 1,75[
[1,75; 1,8[
[1,8; 1,9]
Total
6
ni
2
10
25
13
17
20
10
3
100
fi/hi
fi
0,02
0,1
0,25
0,13
0,17
0,2
0,1
0,03
1
ci
1,45
1,525
1,575
1,625
1,675
1,725
1,775
1,85
hi
0,1
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,1
fi/hi
0,2
2
5
2,6
3,4
4
2
0,3
Fi
0,02
0,12
0,37
0,5
0,67
0,87
0,97
1
Histograma
5
4
3
2
1
0
1,4
Estatística Aplicada
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
37
Manual de Exercícios
b) x =
n
1
n
i =1
ni c i
=
n
i =1
= (1,45x 2%) + (1,525x10%) + ... + (1,85x3%) = 1,65
f i ci
A altura média dos alunos é de 1,65 m.
A classe modal é aquela a que corresponde maior frequência por unidade de
amplitude. Neste caso, o maior valor de fi / hi é 5. correspondente à classe
[1,55; 1,6[, isto é, a altura mais provável de um aluno rondará 1,55m / 1,6m.
c)
F*
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
d) Classe a que pertence Q1 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,25): [1,55; 1,6[
1,55 : Fi=0,12
1,6 : Fi = 0,37
Cálculo do Q1:
0,37 – 0,12 ------------ 1,6 – 1,55
0,25 – 0,12 ------------ Q1 – 1,55
Q1 = 1,55 + ((0,05x0,13)/0,25) = 1,576
25% dos alunos têm altura inferior a 1,576 m.
Classe a que pertence Q2 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,5): [1,6; 1,65[
1,65 : Fi = 0,5
50% dos alunos têm altura inferior a 1,65 m.
Classe a que pertence Q3 (classe a que corresponde uma frequência
acumulada 0,75): [1,7; 1,75[
1,7 : Fi=0,67
1,75 : Fi = 0,87
Estatística Aplicada
38
Manual de Exercícios
Cálculo do Q3:
0,87- 0,67------------ 1,75 – 1,7
0,75 – 0,67-------------- Q3 – 1,7
Q3 = 1,7 + ((0,05*0,08)/0,2) = 1,72
75% dos alunos têm altura inferior a 1,72 m.
e) Amplitude do intervalo inter-quartis = Q3 - Q1 = 1,72 – 1,576 = 0,144
(dispersão reduzida em torno da mediana)
2
sx =
n
(
fi * ci − x
i =1
)
2
=
n
2
fici 2 − x = 0,00536875
i =1
2
s x = s x = 0,00536875 = 0,07327
(dispersão reduzida em torno da média)
f) g ' =
(Q3 − Q 2) − (Q 2 − Q1) (1,72 − 1,65) − (1,65 − 1,576)
= −0,027(7) < 0
=
Q3 − Q1
1,72 − 1,576
A distribuição é ligeiramente assimétrica negativa ou enviesada à direita
(quase simétrica).
Exercício 9
Em determinada central telefónica, registou-se a duração das chamadas
realizadas em Dezembro de 2001:
Duração (em minutos)
[0; 5[
[5; 10[
[10; 20[
[20; 30[
[30; 50]
Total
Nº Chamadas
2000
1500
1000
300
200
5000
a) Represente graficamente as frequências simples e acumuladas.
b) Determine a duração média das chamadas e respectivo desvio-padrão.
c) Qual a duração da chamada mediana? Qual o significado do valor
encontrado?
Estatística Aplicada
39
Manual de Exercícios
d) Sabe-se que as chamadas realizadas durante o ano de 2001
apresentaram uma duração média de 10 minutos, com desvio-padrão de
8,7 minutos. Compare, quanto à dispersão, as chamadas efectuadas em
Dezembro com as que tiveram lugar durante todo o ano de 2001.
Resolução
a)
Duração (em minutos)
[0; 5[
[5; 10[
[10; 20[
[20; 30[
[30; 50]
Total
fi
0,4
0,3
0,2
0,06
0,04
1
ni
2000
1500
1000
300
200
5000
fi/hi
0,1
hi
5
5
10
10
20
fi/hi
0,08
0,06
0,02
0,006
0,002
40
50
Fi
0,4
0,7
0,9
0,96
1
ci
2,5
7,5
15
25
40
Histograma
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
10
20
30
60
F*
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
n
b) x = 1
n
i =1
10
=
ni c i
n
i =1
20
30
40
50
60
70
80
90
100
f i ci
= (2,5 x 40%) + (7,5 x30%) + ... + (40 x 4%) = 9,35
A duração média de uma chamada é de 9,35 minutos.
2
sx =
n
(
fi * ci − x
i =1
)
2
=
n
2
fici 2 − x = 81,4525
i =1
2
s x = s x = 0,00536875 = 9,025
c) Classe mediana (classe a que corresponde frequência acumulada 0,5): [5; 10[
Estatística Aplicada
40
Manual de Exercícios
5 : Fi = 0,4
10 : Fi = 0,7
Cálculo da Me:
0,7 - 0,4 ------------ 10 - 5
0,5 - 0,4 ------------ Me - 5
Me = 5 + ((5x0,1)/0,3) = 6,67
50% das chamadas têm duração a 6,67 minutos.
d) CV Dez =
s x 9,025
=
= 0,965 >
x
9,35
CV2001 =
sy
y
=
8,7
= 0,87
10
Exercício 10
Uma empresa coligiu dados relativos à produção de 12 lotes de um tipo especial
de rolamento. O volume de produção e o custo de produção de cada lote
apresentam-se na tabela:
Lote
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Volume (unidades)
1500
800
2600
1000
600
2800
1200
900
400
1300
1200
2000
Custo (contos)
3100
1900
4200
2300
1200
4900
2800
2100
1400
2400
2400
3800
a) Analise a correlação existente entre volume e custo de produção.
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima o custo em função do volume de produção.
Resolução
a) r =
s xy
s xx s yy
1
[(1500 − 1358,3)(3100 − 2708,3) + ... + (2000 − 1358,3)(3800 − 2708,3)]
= 12
= 0,98
520854x 1145944
Correlação positiva quase perfeita.
Estatística Aplicada
41
Manual de Exercícios
b)
6000
5000
y = 1,4553x + 731,6
Custo
4000
3000
2000
1000
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
Volume
Exercício 11
Um conjunto de empresas do sector da Construção e Obras Públicas cotadas
na Bolsa de Valores foram analisadas relativamente aos seguintes indicadores:
EPS (Earnings per Share): Resultado Líquido por Acção
PBV (Price/Book Value): Preço / Situação Líquida por Acção
Empresa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
EPS ($)
191
32
104
117
210
95
65
201
81
PBV ($)
0.9
1.0
0.8
0.8
1.5
0.7
0.9
1.3
0.4
a) Analise a correlação existente entre aqueles dois indicadores.
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima a variável EPS em função de PBV.
Resolução
a) r =
s xy
s xx s yy
1
[(191 − 121,7)(0,9 − 0,92) + ... + (81 − 121,7)(0,4 − 0,92)]
=9
= 0,61
3669,332 x 0,096933
Correlação positiva moderada.
Estatística Aplicada
42
Manual de Exercícios
b)
250
EPS
200
y = 124,04x + 7,383
150
100
50
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
PBV
Exercício 12
Recolheu-se uma amostra em 17 cidades do país relativamente aos seguintes
indicadores:
Ri: Rendimento médio mensal na cidade i (em 106 unidades monetárias)
Gi: Gasto médio mensal em bens de luxo na cidade i (em 106 u.m.)
Ri
Gi
Ri
Gi
125
127
130
131
133
135
140
143
169
54
56
57
57
58
58
59
59
66
144
147
150
152
154
160
162
165
61
62
62
63
63
64
65
66
Dados adicionais
Ri = 2467
2
Gi = 62620
Gi = 1030
2
Ri = 361073
Ri Gi = 150270
a) Estude a correlação entre rendimento e despesas em bens de luxo.
b) Ajuste, pelo Método dos Mínimos Quadrados, uma função linear que
exprima a variável Gi em função de Ri.
Estatística Aplicada
43
Manual de Exercícios
Resolução
a)
rXY =
Ri G i − n R G
(
2
2
Ri − n R )(
2
G − nG )
2
i
=
150270 − 17 *
2467 1030
*
17
17
2
2467
1030 2
(361073 − 17 *
)(
62620
−
17
*
)
17 2
17 2
= 0,986
Correlação positiva forte.
b)
68
y = 0,2604x + 22,801
66
64
Gasto
62
60
58
56
54
52
50
100
120
140
160
180
200
Rendimento
Estatística Aplicada
44
104
FMD_i.p65
Introdução ao e-learning
104
15-01-2004, 10:49
Manual de Exercícios
3. ESTATÍSTICA INDUTIVA
A estatística indutiva é o ramo da estatística que se ocupa em inferir das
conclusões retiradas sobre a amostra para a população. Claro que o processo
de indução implica um certo grau de incerteza associado à tentativa de
generalização de conclusões da “parte” (amostra) para o “todo” (universo). O
conceito de probabilidade vai ter aqui, então, um papel fundamental. Isto é, não
vai ser possível afirmar com toda a certeza que o comportamento da amostra
ilustra perfeitamente o comportamento do universo, mas apenas que o faz com
forte probabilidade.
De seguida, serão apresentadas algumas noções simples de probabilidades e
funções de probabilidade, que serão úteis a aplicações de estatística indutiva
relacionadas
com
controlo
estatístico
de
qualidade
e
fiabilidade
de
componentes e sistemas.
3.1. Noções básicas de probabilidade
A teoria das probabilidades é um ramo da matemática extremamente útil para o
estudo e a investigação das regularidades dos chamados fenómenos
aleatórios. O exemplo seguinte pretende clarificar o que vulgarmente é
designado por experiência aleatória.
Deve entender-se como experiência qualquer processo ou conjunto de
circunstâncias capaz de produzir resultados observáveis; quando uma
experiência está sujeita à influência de factores casuais e conduz a resultados
incertos, diz-se que a experiência é aleatória.
Fundamentalmente, as experiências aleatórias caracterizam-se por:
Estatística Aplicada
45
Manual de Exercícios
(i)
poder repetir-se um grande número de vezes nas mesmas condições
ou em condições muito semelhantes
(ii)
cada vez que a experiência se realiza, obtém-se um resultado
individual, mas não é possível prever exactamente esse resultado
(iii)
os resultados das experiências individuais mostram-se irregulares,
mas os resultados obtidos após uma longa repetição da experiência
patenteiam uma grande regularidade estatística no seu conjunto
Alguns autores consideram inserido no conceito de experiência aleatória um
outro, o de espaço de resultados. O espaço de resultados corresponde ao
conjunto formado por todos os resultados possíveis de uma experiência
aleatória. Por exemplo, num lançamento de um dado ordinário tem-se que o
espaço de resultados é {1,2,3,4,5,6}.
A importância da definição deste conceito advém sobretudo por ser o meio
empregue para a definição de acontecimentos, que não sei mais que
subconjuntos do espaço de resultados. Por exemplo, no lançamento de um
dado podem definir-se, para além dos 6 acontecimentos elementares
correspondentes à saída de cada uma das faces, outros como “saída de um
número ímpar” definido pelo subconjunto {1,3,5}.
Definidos como conjuntos, aos acontecimentos é aplicável toda a construção
disponível para aqueles, isto é, existe um paralelismo perfeito entre álgebra de
conjuntos e álgebra de acontecimentos:
(i)
O acontecimento que contem todos os elementos do espaço de
resultados chama-se acontecimento certo
(ii)
O acontecimento que não contem qualquer elemento do espaço de
resultados chama-se acontecimento impossível
(iii)
Dois acontecimentos são mutuamente exclusivos se não têm em
comum qualquer acontecimento do espaço de resultados
(iv)
A união de dois acontecimentos A e B representa-se por A ∪ B e é
formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois,
A ou B
(v)
A intersecção de dois acontecimentos A e B representa-se por A ∩ B e
é formado pelos elementos comuns a A e B
Estatística Aplicada
46
Manual de Exercícios
Probabilidade de um acontecimento é expressa na escala de 0 a 1, sendo 0 a
probabilidade associada a um acontecimento impossível e 1 a probabilidade
associada a um acontecimento certo. A primeira definição foi proposta por
Laplace em 1812. Pode definir-se probabilidade de um acontecimento A
como sendo:
P(A) =
Número de casos favoráveis ao acontecimento A
Número total de casos possíveis na exp. aleatória
Uma das principais críticas a esta definição é a de que ela só é aplicável
quando o espaço de resultados é finito e os seus elementos possuem igual
probabilidade; daí que ela surja muito ligada aos “jogos de azar”, que possuem
essas propriedades. É o que acontece com as duas faces de uma moeda, as
52 cartas de um baralho, as 6 faces de um dado, etc.
Para
se
analisar
a
probabilidade
de
ocorrência
de
determinados
acontecimentos, deve ter-se em atenção o seguinte:
−
Dois acontecimentos são ditos mutuamente exclusivos se não puderem
acontecer ao mesmo tempo; se dois acontecimentos forem mutuamente
exclusivos, então:
P(A ∩ B) = 0
−
A probabilidade de união de dois acontecimentos mutuamente
exclusivos é dada por
P (A ∪ B) = P(A) + P(B)
−
Para dois acontecimentos quaisquer, vem que
P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
−
Dois acontecimentos dizem-se complementares se:
P(A) = 1 – P( A )
−
Dois acontecimentos são ditos independentes se a ocorrência de um
não afectar a probabilidade de ocorrência de outro; a probabilidade de
ocorrência de dois ou mais acontecimentos independentes é o produto
das probabilidades dos respectivos acontecimentos, isto é:
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
Estatística Aplicada
47
Manual de Exercícios
Após a apresentação desta definição, convém ainda referir que, numa outra
perspectiva, a da chamada teoria frequencista, a probabilidade de um
acontecimento é definida como sendo o valor para o qual tende a frequência
relativa do acontecimento quando o número de repetições da experiência
aumenta.
3.2. Probabilidade condicionada
Exemplo:
Um grupo de pessoas é classificado de acordo com o seu peso e a incidência
de hipertensão. São as seguintes as proporções das várias categorias:
Obeso
Normal
Magro
Total
Hipertenso
0,1
0,08
0,02
0,2
Não Hipertenso
0,15
0,45
0,2
0,8
Total
0,25
0,53
0,22
1,00
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser hipertensa?
b) Qual a probabilidade de uma pessoa obesa ser hipertensa?
Resolução
a) Basta ver que a proporção de hipertensos é de 20%
b) Há que tomar em atenção que o que se pretende é a proporção de
hipertensos na população de obesos, isto é
0,1
= 0,4 . Por outras palavras,
0,25
pretende-se calcular a probabilidade do acontecimento “ser hipertenso”,
sabendo que ocorreu o acontecimento “ser obeso”. Repare-se que este
quociente resulta da divisão entre a probabilidade de uma pessoa ser
hipertensa e obesa e a probabilidade de uma pessoa ser obesa. Pode
escrever-se que a probabilidade pretendida é dada por:
P( H / O) =
P( H ∩ O)
P (O)
onde P(H/O) é a probabilidade de ocorrer o acontecimento “ser hipertenso”,
sabendo que ocorreu ou condicionado pelo acontecimento “ser obeso”.
Este exemplo corresponde ao cálculo de uma probabilidade condicionada.
Estatística Aplicada
48
Manual de Exercícios
Como se viu anteriormente, dois acontecimentos são ditos independentes se a
ocorrência de um não afectar a probabilidade de ocorrência de outro, isto é, se:
P(A / B) = P(A) e se P(B / A) = P(B).
Teorema de Bayes
Seja B um acontecimento que se realiza se e só se um dos acontecimentos
mutuamente exclusivos A1, A2,…An se verifica. Aos acontecimentos A1, A2,…An
dá-se o nome de acontecimentos antecedentes. O teorema de Bayes permite
calcular a probabilidade à posteriori de A1, A2,… An, isto é, a probabilidade de
ocorrência de A1, A2,… An calculadas sob a hipótese de que B (acontecimento
consequente) se realizou. De acordo com este teorema:
P ( Ai ).P ( B / Ai )
P ( Ai / B ) =
n
i =1
P ( Ai ).P ( B / Ai )
Este Teorema utiliza-se em situações em que a relação causal está invertida.
n
i =1
P ( Ai ).P ( B / Ai )
designa-se de probabilidade total de ocorrência do
acontecimento B, isto é, é a probabilidade de ocorrência do acontecimento
consequente B face a todos os possíveis acontecimentos A1, A2,… An que o
podem ter antecedido (ou causado a sua ocorrência).
3.3. Funções de probabilidade
A probabilidade associada aos acontecimentos possíveis numa experiência
aleatória obedecem, por vezes, a um padrão. Se associarmos a uma
experiência aleatória uma variável X (por exemplo, associar aos resultados da
experiência lançamento de um dado - que são 6 (saída de face 1 a 6) – a
variável X:“Nº da face resultante do lançamento de um dado”), então pode ser
constituída uma lei ou função de probabilidade (f(x)) dessa variável X, tal que
f(x) = P(X=xi)
Estatística Aplicada
49
Manual de Exercícios
Por exemplo, para X: nº da face resultante do lançamento de um dado, vem
que:
xi
1
2
3
4
5
6
f(xi)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
que se designa por lei uniforme.
Algumas leis de probabilidade servem para explicar (ou aplicam-se a) um maior
número de fenómenos estatísticos do que outras. Entre estas, contam-se a lei
Binomial, a lei de Poisson e a lei Exponencial.
(i) Lei Binomial
Há alguns acontecimentos que são constituídos por um conjunto de
experiências independentes, cada uma das quais com apenas dois estados
possíveis de ocorrência e com uma probabilidade fixa de ocorrência para cada
um deles. Por exemplo, os produtos resultantes de uma fábrica podem ser
classificados como sendo defeituosos ou sendo não defeituosos, e o facto de
um ter saído (ou não) defeituoso não influencia os outros serem (ou não). A
distribuição das duas classes possíveis é discreta e do tipo binomial.
No exemplo anterior, consideremos uma amostra de n artigos retirados da
produção total, em relação aos quais se pretende identificar a variável X: “Nº de
artigos defeituosos nos n que constituem a amostra”. A probabilidade de
ocorrência do acontecimento “artigo é defeituoso” é dada por p: incidência de
defeituosos na produção (convenientemente calculada através de métodos de
estimação). A probabilidade do acontecimento complementar “artigo é nãodefeituoso” é dada por
1–p=q
A probabilidade associada a x artigos defeituosos é dada por px (p x p x p x
p...x vezes). Se há x defeituosos, restam n-x artigos não-defeituosos, com
probabilidade dada por qn-x. Para calcular o número exacto de combinações de
x artigos defeituosos com n-x artigos não-defeituosos, utiliza-se a figura
“combinações de n, x a x, oriunda das técnicas de cálculo combinatório. Vem
Estatística Aplicada
50
Manual de Exercícios
então que a probabilidade de existência de x defeituosos (e logo n-x não
defeituosos) é igual a:
f ( x) = C xn p x q n − x =
n!
p x q n− x
(n − p )! p!
sendo que X segue Bi (n;p), sendo n e p os parâmetros caracterizadores da lei.
Um acontecimento deve ter 4 características para que se possa associar a uma
lei binomial:
-
número fixo de experiências (n)
-
cada experiência ter apenas duas classes de resultados possíveis
-
todas as experiências terem igual probabilidade de ocorrência (p)
-
as experiências serem independentes
Em sistemas eléctricos de energia é possível, por exemplo, aplicar a
distribuição binomial quando se pretende calcular a fiabilidade de uma central
eléctrica, com várias unidades iguais e admitindo que cada unidade apenas
pode residir em dois estados, a funcionar ou avariada.
(ii) Lei de Poisson
A lei de Poisson (ou lei dos acontecimentos raros ou cadenciados) dá a
probabilidade de um acontecimento ocorrer um dado número de vezes num
intervalo de tempo ou espaço fixado, quando a taxa de ocorrência é fixa (por
exemplo, nº de chamadas que chegam a uma central telefónica por minuto; nº
de varias que ocorrem numa máquina por dia). Os números de acontecimentos
de “sucesso” ocorridos em diferentes intervalos são independentes. O
parâmetro caracterizador da distribuição de Poisson é λ, que corresponde ao
número médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço.
Como o número médio de ocorrências do acontecimento é proporcional à
amplitude do intervalo de tempo ou espaço a que se refere, a variável X: “Nº de
ocorrências do acontecimento no intervalo [0,t[” segue lei de Poisson de
parâmetro λt (isto é, se para 1 unidade de tempo o nº médio de ocorrências é
λ, para t unidades de tempo o número médio de ocorrências é λt). A expressão
(λt )x e −λt
x!
Estatística Aplicada
51
Manual de Exercícios
dá a probabilidade de acontecerem x ocorrências no intervalo de tempo [0,t[, e
corresponde à expressão da lei de probabilidade de Poisson : Po(λt)
Por exemplo, se X fôr o “Nº de avarias que ocorrem no intervalo de tempo
[0,t[”, então a probabilidade de não ocorrerem avarias nesse intervalo, isto é, a
fiabilidade do componente/sistema como função do tempo, é dada por:
(λt )0 e −λt = e −λt
0!
(iii) Lei Exponencial
Seja T a variável “Tempo ou espaço que decorre entre ocorrências
consecutivas de um acontecimento”. Então T segue lei exponencial Exp (λ),
sendo
1
λ
o tempo que, em média, decorre entre ocorrências sucessivas do
acontecimento.
Note-se que é possível estabelecer uma relação entre a lei exponencial e a lei
de Poisson. Assim, se X fôr o “Nº de avarias que ocorrem no intervalo de
tempo [0,t[”, e T fôr o “Tempo que decorre entre avarias consecutivas”, então:
P (T>t)
= P(tempo que decorre entre avarias exceder t)
= P(até ao instante t, não ocorre qualquer avaria)
= P (ocorrerem zero avarias no intervalo [0,t[)
= P(X=0) = e
− λt
A distribuição exponencial é a mais usada em estudos de fiabilidade, já que a
probabilidade de um componente sobreviver até ao instante t é dada por
e − λt
A probabilidade de avariar até ao instante t é dada por
1 − e − λt
Estatística Aplicada
52
Manual de Exercícios
(iv) Lei Normal
A lei Normal tem como parâmetros caracterizadores a média µ e o desviopadrão σ. Isto é, os valores observados têm uma determinada tendência
central e uma determinada dispersão em torno da tendência central.
A expressão
1
−
1
e 2
σ 2∏
( Xi − µ ) 2
σ2
representa a função densidade de probabilidade da distribuição Normal.
Se se fizer o valor médio µ igual a zero e todos os desvios forem medidos em
relação à média, a equação será:
Z=
X −µ
σ
que corresponde a uma distribuição normal estandardizada (0;1) com os
valores tabelados, a qual é caracterizada por uma curva de Gauss:
Esta distribuição apresenta 99,73% dos valores entre os extremos –3 e 3.
Existem muitos tipos de distribuição, mas a curva normal é a forma de
distribuição mais frequente nos processos industriais para características
mensuráveis, e pode considerar-se como estabelecida pela experiência prática.
Estatística Aplicada
53
Manual de Exercícios
(v) Lei Qui-Quadrado
Considere-se um conjunto de n variáveis aleatórias Zi, obedecendo às
seguintes condições:
-
cada variável Zi segue distribuição N(0,1);
-
as variáveis Zi são mutuamente independentes
Então, a variável aleatória X, construída a partir da soma das n variáveis Zi
elevadas ao quadrado, segue distribuição Qui-Quadrado com n graus de
liberdade, denotada por
X=
n
i =1
Z i2 = Z12 + Z 22 + ... + Z n2
X ∩ χ n2
O termo “Graus de Liberdade” (d.f: degrees of freedom) é habitualmente usado
para designar o número n de parcelas (variáveis Zi) adicionadas. É possível
demonstrar que o valor esperado e a variância da distribuição de uma variável
Qui-Quadrado são respectivamente
µ =n
σ 2 = 2n
A distribuição Qui-Quadrado é uma distribuição assimétrica à esquerda,
aproximando-se da distribuição Normal à medida que n cresce.
Estatística Aplicada
54
Manual de Exercícios
Estatística Aplicada
55
104
FMD_i.p65
Introdução ao e-learning
104
15-01-2004, 10:49
Manual de Exercícios
PROBABILIDADES
Exercícios resolvidos
Exercício 1
De um baralho ordinário (52 cartas) extrai-se ao acaso 1 carta. Determine a
probabilidade dos seguintes acontecimentos:
a) saída de Rei
b) saída de copas
c) saída de Rei ou copas
d) saída de Rei mas não de copas
e) não saída de Rei
f) não saída de Rei nem de copas
g) não saída de Rei ou não saída de copas
Resolução
A: saída de Rei
B: saída de copas
a) P(A)=1/13
b) P(B)=1/4
c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/13+1/4-1/52 = 4/13 (=(13+3)/52)
d) P(A-B) = P(A) – P(A ∩ B) = 1/13 – 1/52 = 3/52 (= (4-1)/52)
e) P( A )= 1-1/13 = 12/13 (=(52-4)/52)
f) P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) = 1 – P(A ∪ B) = 1 – 4/13 = 9/13
g) P( A ∪ B ) = P( A ∩ B ) = 1 – P ( A ∩ B ) = 1 – 1/52 = 51/52
Exercício 2
Um sistema electrónico é formado por dois sub-sistemas, A e B. De ensaios
anteriores, sabe-se que:
-
a probabilidade de A falhar é de 20%
-
a probabilidade de B falhar sozinho é 15%
-
a probabilidade de A e B falharem é 15%
Determine a probabilidade de:
Estatística Aplicada
56
Manual de Exercícios
a) B falhar
b) falhar apenas A
c) falhar A ou B
d) não falhar nem A nem B
e) A e B não falharem simultaneamente
Resolução
A: o subsistema A falha
B: o subsistema B falha
P(A)=20%
P( A )= 80%
P(B-A)=15%
P(A ∩ B)=15%
a) P(B) = P(B-A)+ P(A ∩ B) = 0,15 + 0,15 = 30%
b) P(A-B) = P(A) – P(A ∩ B) = 0,2 – 0,15 = 5%
c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,2 + 0,3 – 0,15 = 35%
d) P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) = 1 – P(A ∪ B) = 1 – 0,35 = 65%
e) P( A ∩ B ) = 1 – P ( A ∩ B ) = 1 – 0,15 = 85%
Exercício 3
Suponha que há 3 jornais, A, B e C, com as seguintes percentagens de leitura:
A: 9,8%; B: 22,9%; C: 12,1%; A e B: 5,1%; A e C: 3,7%; B e C: 6%;
A, B e C: 2,4%
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Calcule a probabilidade dessa pessoa:
a) ler pelo menos um dos jornais
b) ler A e B mas não C
c) ler A mas não ler B nem C
Resolução
A: a pessoa escolhida lê o jornal A
B: a pessoa escolhida lê o jornal B
C: a pessoa escolhida lê o jornal C
P(A) = 9,8%
P(B) = 22,9%
P(A ∩ B) = 5,1%
P(A ∩ C) = 3,7%
P(C) = 12,1%
P(B ∩ C) = 6%
P(A ∩ B ∩ C) = 2,4%
Estatística Aplicada
57
Manual de Exercícios
a)
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
= 0,098+0,229+0,121-0,051-0,037-0,06+0,024 = 32,4%
b) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A ∩ B ) − P ( A ∩ B ∩ C ) = 0,051 – 0,024 = 2,7%
c) P ( A ∩ B ∩ C ) = P(A) - P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
= 0,098-0,051-0,037+0,024 = 3,4%
Exercício 4
Um gerente de uma galeria de arte muito creditada no mercado, está
interessado em comprar um quadro de um pintor famoso para posterior venda.
O gerente sabe que há muitas falsificações deste pintor no mercado e que
algumas dessa falsificações são bastante perfeitas o que torna difícil avaliar se
o quadro que ele pretende comprar é ou não um original. De facto, sabe-se que
há 4 quadros falsos desse pintor para 1 verdadeiro.
O gerente não quer comprometer o “bom nome” da galeria para a qual trabalha
comprando um quadro falso. Para obter mais informação o gerente resolve
levar o quadro a um museu de arte e pede para que o especialista do museu o
examine. Este especialista garante-lhe que em 90% dos casos em que lhe é
pedido para examinar um quadro genuíno daquele pintor, ele identifica-o
correctamente como sendo genuíno. Mas em 15% dos casos em que examina
uma falsificação do mesmo pintor, ele identifica-o (erradamente) como sendo
genuíno.
Depois de examinar o quadro que o gerente lhe levou, o especialista diz que
acha que o quadro é uma falsificação. Qual é agora a probabilidade de o
quadro ser realmente uma falsificação?
Resolução
V: o quadro é genuíno
F: o quadro é falso
I: o quadro é identificado correctamente
P(V) = 20%
P(F) = 80%
P(I/V) = 90%
P( I / V ) = 10%
P( I / F ) = 15%
P(I/F) = 85%
Estatística Aplicada
58
Manual de Exercícios
P(ser realmente falsificação/especialista identificou como falsificação) =
=
P( F ) * P( I / F )
0,8 * 0,85
0,68
=
=
= 97,1%
P ( F ) * P ( I / F ) + P (V ) * P ( I / V ) 0,8 * 0,85 + 0,2 * 0,1 0,7
Exercício 5
Na ida para o emprego, o Sr. Óscar, polícia de profissão, tem de passar
obrigatoriamente
por
três
cruzamentos
com
semáforos.
No
primeiro
cruzamento, o do Largo Azul, a probabilidade do semáforo se encontrar com
sinal vermelho é de 10%. Em cada um dos cruzamentos seguintes, o Sr. Óscar
fica parado devido aos sinais vermelhos em metade das vezes que lá passa.
O Sr. Óscar já descobriu que os semáforos funcionam separadamente, não
estando ligados entre si por qualquer mecanismo.
Embora goste de cumprir a lei, o guarda Óscar passa no sinal verde e acelera
no amarelo, só parando mesmo no sinal vermelho.
a) Qual a probabilidade do Sr. Óscar chegar ao emprego sem ter de parar
em qualquer sinal vermelho?
b) Qual a probabilidade do Sr. Óscar ter de parar num só semáforo?
c) Qual a probabilidade do Sr. Óscar ter parado no sinal vermelho do
cruzamento do Largo Azul, sabendo que parou num só semáforo na sua
ida para o emprego?
Resolução
A: polícia encontra sinal vermelho no 1º cruzamento
B: polícia encontra sinal vermelho no 2º cruzamento
C: polícia encontra sinal vermelho no 3º cruzamento
P(A)=10%
P( A )= 90%
P(B)=50%
P( B )= 50%
P(C)=50%
P( C )= 50%
a) P( A ∩ B ∩ C ) = P( A )*P( B )*P( C ) = 0,9*0,5*0,5 = 22,5%
b) P( A ∩ B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C ) +P( A ∩ B ∩ C ) =
= P( A )*P( B )*P( C ) + P( A )*P( B )*P( C ) + P( A )*P( B )*P( C ) = 47,5%
Estatística Aplicada
59
Manual de Exercícios
c) P(polícia parar no 1º cruzamento / polícia parou num só semáforo)
=
P ( A ∩ B ∩ C ) P ( A) * P ( B ) * P (C )
=
= 5,26%
0,475
0,475
Exercício 6
Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo, concluiu-se
que este é louco com probabilidade 60%, ladrão com probabilidade igual a 70%
e não é louco nem ladrão com probabilidade 25%. Determine a probabilidade
do indivíduo:
a) Ser louco e ladrão
b) Ser apenas louco ou apenas ladrão
c) Ser ladrão, sabendo-se que não é louco
Resolução
A: indivíduo é louco
B: indivíduo é ladrão
P(A)=60%
P(B)=70%
P( A ∩ B ) = 25% = P( A ∪ B )
P(A ∪ B) = 1 – 0,25 = 75%
a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
0,75 = 0,6 + 0,7 - P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = 0,6 + 0,7 – 0,75 = 55%
b) P(A-B) + P(B-A) = (0,6-0,55) + (0,7-0,55) = 20í
c) P(B/ A ) =
P ( B ∩ A) P ( B − A) 0,15
=
=
= 37,5%
1 − 0,6
0,4
P ( A)
Exercício 7
Uma moeda é viciada, de tal modo que P(F) = 2/3 e P(C) = 1/3. Se aparecem
faces, então um número é seleccionado de 1 a 9. Se parecem coroas, um
número é seleccionado entre 1 e 5. Determine a probabilidade de ser
seleccionado um número par.
Resolução
P(Par) = 2/3*4/9 + 1/3*2/5 = 42,96%
Estatística Aplicada
60
Manual de Exercícios
Exercício 8
Numa fábrica, 3 máquinas, M1, M2 e M3 fabricam parafusos, sendo a produção
diária total de 10000 unidades. A probabilidade de um parafuso escolhido ao
acaso ter sido produzido por M1 é 30% da probabilidade de ter sido produzido
por M2. A incidência de defeituosos na produção de cada máquina é:
M1: 3%
M2: 1%
M3: 2%
Extrai-se ao acaso da produção diária um parafuso. Sabendo que a
probabilidade dele ser defeituoso é de 1,65%, determine o número de
parafusos que cada máquina produz diariamente.
Resolução
M1: o parafuso foi produzido por M1
M2: o parafuso foi produzido por M2
M3: o parafuso foi produzido por M3
D: o parafuso é defeituoso
n = 10000 unidades
P(M1) = 0,3 P(M2)
P(D / M1) = 3%
P(D / M2) = 1%
P(D / M3) = 2%
P(D) = 1,65%
Prod. 1 = P(M1)*10000 = ?
Prod. 2 = P(M2)*10000 = ?
Prod. 3 = P(M3)*10000 = ?
P( M 1) = 0,3P( M 2)
P( M 1) + P ( M 2) + P( M 3) = 1
⇔
P( D) = P( M 1) * P( D / M 1) + P( M 2) * P ( D / M 2) + P( M 3) * P( D / M 3)
−
1,3P( M 2) + P( M 3) = 1
⇔
0,0165 = 0,3P( M 2) * 0,03 + P( M 2) * 0,01 + P( M 3) * 0,02
Estatística Aplicada
61
Manual de Exercícios
−
⇔
P( M 3) = 1 − 1,3P( M 2)
0,0165 = 0,3P( M 2) * 0,03 + P( M 2) * 0,01 + (1 − 1,3P( M 2)) * 0,02
P( M 1) = 0,3 * 0,5 = 15%
P( M 3) = 1 − 1,3P( M 2) = 1 − 1,3 * 0,5 = 35%
P( M 2) = 50%
Exercício 9
O João tem à sua disposição 3 meios de transporte diferentes para se deslocar
de casa para a escola: os transportes A, B ou C. Sabe-se que a probabilidade de:
-
chegar atrasado à escola é 60%
-
chegar atrasado utilizando o transporte A é 80%
-
chegar atrasado utilizando o transporte B é 50%
-
chegar atrasado utilizando o transporte C é 60%
-
utilizar os transportes B e C é a mesma
a) Calcule a probabilidade de o João utilizar o transporte A
b) Sabendo que o João chegou atrasado à escola, calcule a probabilidade
de ter utilizado os transportes B ou C.
Resolução
T: O João chega atrasado
A: o João utiliza o transporte A
B: o João utiliza o transporte B
C: o João utiliza o transporte C
P(T) = 0,6
P(T/A) = 0,8
P(T/B) = 0,5
P(T/C) = 0,6
P(B) = P(C)
P(A)+P(B)+P(C) = 1
P(A) = 1- 2P(B)
a) P(T) = P(A)*P(T/A) + P(B)*P(T/B) + P(C)*P(T/C)
Estatística Aplicada
62
Manual de Exercícios
Logo
0,6 = (1-2P(B))*0,8 + P(B)*0,5 + P(B)*0,6
e vem que
P(B) = 40%
Então P(A) = 1 – 2P(B) = 1 – 2*0,4 = 20%
b) P(B ∪ C / T) =
P ( B ) * P (T / B ) + P (C ) * P (T / C )
0,4 * 0,5 + 0,4 * 0,6
=
=73,3%
P (T )
0,6
Exercício 10
Uma empresa que se dedica à prestação de serviços de selecção de pessoal
em relação a um teste psicotécnico para uma profissão específica sabe o
seguinte:
-
as percentagens de indivíduos com um quociente de inteligência (Q.I.)
elevado e médio são, respectivamente, de 30% e de 60%
-
a percentagem de indivíduos com Q.I. médio que ficam aptos no teste é
de 50%
-
a probabilidade de um indivíduo com Q.I. baixo ficar apto no teste é de
20%
-
finalmente, sabe-se que 70% dos indivíduos com Q.I. elevado ficam
aptos no teste
a) Qual a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso ficar apto no
teste?
b) Qual a probabilidade de um indivíduo ter Q.I. baixo, sabendo-se que
ficou inapto?
Resolução
A: indivíduo fica apto no teste
E: indivíduo tem QI elevado
M: indivíduo tem QI médio
B: indivíduo tem QI baixo
P(E) = 30% P(M) = 60%
P(A/M) = 50%
Estatística Aplicada
P(B) = 1 –0,3 – 0,6 = 10%
P(A/B) = 20%
P(A/E) = 70%
63
Manual de Exercícios
a) P(A)
=P(E)*P(A/E)+P(M)*P(A/M)+P(B)*P(A/B)
=0,3*0,7+0,6*0,5+0,1*0,2=53%
b) P(B/ A ) =
P( B ) * P ( A / B) 0,1 * 0,8
=
= 17%
1 − 0,53
P ( A)
Exercício 11
Os resultados de um inquérito aos agregados familiares de uma determinada
cidade forneceram os seguintes dados:
-
35% dos agregados possuem telefone
-
50% dos agregados possuem frigorífico
-
25% dos agregados possuem automóvel
-
15% dos agregados possuem telefone e frigorífico
-
20% dos agregados possuem telefone e automóvel
-
10% dos agregados possuem frigorífico e automóvel
-
5% dos agregados possuem telefone, automóvel e frigorífico
a) Calcule a probabilidade de um agregado familiar
1. possuir telefone ou frigorífico
2. não possuir nem telefone nem automóvel
b) Calcule a probabilidade de um agregado que possui automóvel
1. possuir também frigorífico
2. possuir também telefone ou frigorífico
c) Calcule a probabilidade de um agregado familiar
1. possuir pelo menos um daqueles três objectos
2. não possuir nenhum daqueles três objectos
Resolução
A: agregado familiar possui telefone
B: agregado familiar possui frigorífico
C: agregado familiar possui automóvel
P(A) = 35%
P(B) = 50%
P(C) = 25%
Estatística Aplicada
64
Manual de Exercícios
P(A ∩ B) = 15%
P(A ∩ C) = 20%
P(B ∩ C) = 10%
P(A ∩ B ∩ C) = 5%
a) 1. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,35 + 0,5 – 0,15 = 70%
2. P( A ∩ C ) = P( A ∪ C ) = 1 – P(A ∪ C) = 1 – 0,4 = 60%
P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) = 0,35 + 0,25 – 0,2 = 40%
b) krysktsh1. P(B / C) =
P( B ∩ C )
0,1
=
= 40%
P (C )
0,25
2. P(A ∪ B/ C) =
P ( A ∩ C ) + P ( B ∩ C ) − P ( A ∩ B ∩ C ) 0,2 + 0,1 − 0.05
=
= 100%
P (C )
0,25
c) 1.
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
= 0,35+0,5+0,25-0,15-0,2-0,1+0,05 = 70%
2. 1 – P( A ∪ B ∪ C ) = 1 – 0,7 = 30%
Exercício 12
Admita que 60% dos seguros no ramo automóvel respeitam a condutores com
mais de 40 anos de idade, dos quais 5% sofrem, pelo menos, um acidente por
ano. De entre os segurados com idade igual ou inferior a 40 anos, 3% têm um
ou mais acidentes no mesmo período.
a) Qual a probabilidade de um segurado não sofrer qualquer acidente
durante um ano?
b) Qual a probabilidade de um segurado que sofreu pelo menos um
acidente ter idade igual ou inferior a 40 anos?
c) Qual a probabilidade de, numa amostra de três segurados
1. todos terem idade igual ou inferior a 40 anos?
2. nenhum ter sofrido qualquer acidente durante um ano?
3. Todos terem idade igual ou inferior a 40 anos, dado que cada um
sofreu, pelo menos, um acidente durante o referido período?
Estatística Aplicada
65
Manual de Exercícios
Resolução
I1: o segurado tem mais de 40 anos de idade
I2: o segurado tem 40 anos ou menos de idade
A: o segurado sofre pelo menos 1 acidente por ano
A : o segurado não sofre nenhum acidente por ano
P(I1) = 60%
P(I2) = 1 – 0,6 = 40%
P(A/I1) = 5%
P( A /I1) = 1 – 0,05 = 95%
P(A/I2) = 3%
P( A /I2) = 1 – 0,03 = 97%
a) P( A ) = P(I1)* P( A /I1) + P(I2)* P( A /I2) = 0,6*0,95 + 0,4*0,97 = 95,8%
b) P(I2/A) =
P ( A ∩ I 2) P ( I 2) * P ( A / I 2) 0,6 * 0,03
=
=
= 28,57% = P(B)
1 − 0,958
P ( A)
P ( A)
c) 1. P( I 2 ∩ I 2 ∩ I 2) = 0,4*0,4*0,4 = 6,4%
2. P( A ∩ A ∩ A) = 0,958*0,958*0,958 = 87,9%
3. P( B ∩ B ∩ B ) = 0,2857*0,2857*0,2857 = 2,3%
Estatística Aplicada
66
104
FMD_i.p65
Introdução ao e-learning
104
15-01-2004, 10:49
Manual de Exercícios
FUNÇÕES DE PROBABILIDADE
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Se 20% das bobinas de um determinado cabo eléctrico forem defeituosas,
calcule a probabilidade de, entre as 4 bobines necessárias a um determinado
cliente, escolhidas ao acaso uma ser defeituosa.
Resolução
X: número de bobines defeituosas no conjunto de 4 bobines necessárias a um
determinado cliente (0,1,2,3,4)
n=4
p=0,2
q=1-p=0,8
P(X=1)=C4p1q4-1 = 4*0,2*0,83 = 0,4096 = 41%
Exercício 2
O número médio de chamadas telefónicas a uma central, por minuto, é 5. A
central só pode atender um número máximo de 8 chamadas por minuto. Qual a
probabilidade de não serem atendidas todas as chamadas no intervalo de
tempo de 1 minuto?
Resolução
X: número de chamadas telefónicas atendidas numa central, por minuto
(0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8)
λ=5
p=0,2
q=1-p=0,8
e −5 5 x
P(X ≤ 8) =
= 0,932
x!
x =0
8
Logo P(X>8) = 1-0,932 = 0,06
Exercício 3
O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de
produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado
igual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no
instante t=0 horas.
Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6 horas?
Estatística Aplicada
67
Manual de Exercícios
Resolução
Seja
T: tempo de funcionamento sem avarias (ou entre avarias consecutivas) de
uma máquina, e
X: numero de avarias que ocorrem no intervalo [0,6[, isto é, num período de 6h
λ=1/4,5 corresponde ao número de avarias por unidade de tempo (por hora)
Logo
P(T ≥ 6) = P(X=0)= e
−
1
*6
4,5
= e −1,333 = 0,264
Exercício 4
Considere que o comprimento médio de determinado fio condutor é 120, com
desvio padrão 0,5. Qual a percentagem de fio com comprimento superior a 121?
Resolução
X: comprimento de determinado fio condutor
Calculando a variável reduzida correspondente, vem:
121 − 120
=2
0,5
Consultando a tabela, verifica-se que o valor da função Z é P(X ≤ 2) = 0,9772.
Z=
Logo P(X>2) = 1-0,9772 = 2,28%.
Exercício 5
Numa praia do litoral português existe um serviço de aluguer de barcos,
destinado aos turistas que a frequentam. O número de turistas que procuram
este serviço, por hora, está associado a uma variável aleatória com distribuição
de Poisson.
Verificou-se que, em média, em cada hora, esse serviço é procurado por 8
turistas interessados em alugar barcos; sabe-se, por outro lado, que esse
serviço funciona ininterruptamente das 8 às 20 horas.
a)
Qual a probabilidade de que, entre as 8 e as 9 horas, se aluguem 5
barcos?
b)
Qual a probabilidade de que, entre as 9 e as 11 horas, os barcos
sejam procurados por mais de 25 turistas?
Estatística Aplicada
68
Manual de Exercícios
Resolução
X: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer de barcos por hora
X segue Po(λ=8)
a) Na tabela da Po(λ=8) vem P(X=5) = 9,16%
b) Y1: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer na 1ª hora
Y2: nº de de turistas que procuram o serviço de aluguer na 2ª hora
Logo
Y1+Y2: nº de turistas que procuram o serviço de aluguer em 2 horas
Pelo Teorema da Aditividade da Poisson, considerando Y1 e Y2
independentes e que todas seguem Po(8), vem que:
Z=Y1+Y2 segue Po(2*8=16)
Logo P(Z>25) = f(26) +... + f(33) = 0,0057 + ... + 0,0001 = 1,32%
Exercício 6
O número de navios petroleiros que chegam diariamente a certa refinaria é
uma variável com distribuição de Poisson de parâmetro 2. Nas actuais
condições, o cais da refinaria pode atender, no máximo, 3 petroleiros por dia.
Atingido este número, os restantes que eventualmente apareçam deverão
seguir para outro porto.
a) Qual a probabilidade de, num qualquer dia, ser preciso mandar
petroleiros para outro porto?
b) De quanto deveriam ser aumentadas as instalações de forma a
assegurar cais a todos os petroleiros em 99,9% dos dias?
c) Qual o número esperado de petroleiros a chegarem por dia?
d) Qual o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?
e) Qual o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente?
f) Qual o número esperado de petroleiros que recorrerão a outros portos
diariamente?
Resolução
X: nº de petroleiros que chegam diariamente a uma certa refinaria
X segue Po (2)
Capacidade máxima de atendimento da refinaria: 3 petroleiros/dia
Estatística Aplicada
69
Manual de Exercícios
a) P(X>3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – F(3) = 1 – 0,8571 =14,29%
(tab. pg.14)
b) Nº máximo de petroleiros que podem chegar: 9 (informação da tabela)
Logo, a capacidade devia aumentar em 6 petroleiros/dia (9-3)
c) E(X) = 2
d) X = 1 ou X = 2, com probabilidade 27,07%
e) Y: nº de petroleiros que são atendidos diariamente numa certa refinaria
(0,1, 2, 3)
g(0) = P(X=0) = 0,1353
g(1) = P(X=1) = 0,2707
g(2) = P(X=2) = 0,2707
g(3) = P(X=3) = 1 – P(X<3) = 1 – P(X ≤ 2) = 1 – 0,6767 = 0,3233
E(Y) = 0*0,1353 + … + 3*0,3233 = 1,782
São atendidos, em média, entre 1 e 2 petroleiros diariamente
f) Z: nº de petroleiros que recorrem diariamente a outros portos
(0,1, 2, 3, 4, 5, 6)
Logo, Z = X - Y
E(Z) = E(X -Y) = E(X) - E(Y) = 2 - 1,782 = 0,218
Recorrem a outros portos, em média, entre 0 e 1 petroleiro por dia
g) W: nº de dias em que é preciso mandar petroleiros para outro porto num
mês de 30 dias (0,1, 2,...30)
W segue Bi (n = 30; p = P(X>3) = 0,1429)
E(W) = 30*0,1429 = 4,3
Em média, é preciso enviar petroleiros para outro porto 4 a 5 dias/mês
Exercício 7
Os Serviços Municipalizados de Gás e Electricidade debitam mensalemnte aos
seus clientes um consumo teórico T de energia eléctrica calculado de tal modo
que a probabilidade de o consumo efectivo o exceder seja de 30,85%.
Suponha um cliente cujo consumo por mês segue lei normal de média 400 kwh
e desvio-padrão 40 kwh.
a) Qual o consumo teórico que lhe é mensalmente debitado?
b) 1. Qual a distribuição do consumo efectivo durante 3 meses?
Estatística Aplicada
70
Manual de Exercícios
2. Qual a probabilidade de que, ao fim de 3 meses, o consumo teórico
exceda o efectivo em mais de 100 kwh?
Resolução
X: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente por mês (em kwh)
T: consumo teórico (valor fixo) debitado ao cliente por mês (em kwh)
T: P(X>T) = 0,3085
X segue N(400; 1600)
a) P(X>T) = 0,3085 ⇔ P(
P(N(0,1) ≤
X − 400 T − 400
>
) = 0,3085 ⇔
40
40
T − 400
T − 400
) = 0,6915 ⇔
= 0,5 ⇔ T = 420
40
40
b) 1.
X1: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 1ºmês (em kwh)
X2: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 2ºmês (em kwh)
X3: consumo efectivo de energia eléctrica de um cliente no 3ºmês (em kwh)
Logo
X1+X2+X3: consumo efectivo de energia eléctrica em 3 meses (em kwh)
Pelo Teorema da Aditividade da Normal, considerando X1, X2 e X3
independentes e que todas seguem N(400, 1600), vem que:
Y=X1+X2+X3 segue N(400*3; 1600*3), isto é, N(1200; 4800)
2. P(3*420-Y > 100) = P(Y < 1160) = P(N(0,1)<
1160 − 1200
)=
4800
= P(N(0,1)<-0,58) = 28,1%
Exercício 8
Num determinado processo de fabrico, existem 2 cadeias de montagem A e B,
com funcionamento independente.
A cadeia A opera a um ritmo médio de 2 montagens por hora, e a probabilidade
da cadeia B efectuar pelo menos uma montagem numa hora é de 98,71%.
Admitindo que o número de montagens efectuadas por hora em ambas as
cadeias é uma v.a. Poisson, determine:
a) a probabilidade de se efectuarem mais de 6 montagens numa hora com
a cadeia B
Estatística Aplicada
71
Manual de Exercícios
b) a probabilidade de, em 3 horas de trabalho, se efectuarem no máximo
10 montagens com a cadeia B
c) a probabilidade de, numa hora, a cadeia A efectuar o dobro de
montagens de B
d) o número médio de montagens efectuadas num dia de trabalho de 8
horas com ambas as cadeiras
Resolução
X: nº de montagens da cadeia A por hora
X segue Po(2)
Y: nº de montagens da cadeia B por hora
a) Y segue Poisson, mas desconhece-se a média (=parâmetro λ)
No entanto, como se sabe que P(Y ≥ 1) = 0,9817, vem que
P(Y<1) = 1 – 0,9817 = 0,0183
Na tabela da Poisson, percorrendo as linhas de valor = 0, vem que o
valor 0,0183 pode ser encontrado no cruzamento da linha 0 com a
coluna 4. Logo, λ = 4.
Na tabela da Po(4), P(Y>6) = 1–P(Y ≤ 6) = 1–F(6) = 1-0,8893=11,07%
b)
Y1: nº de montagens da cadeia B na 1ª hora
Y2: nº de montagens da cadeia B na 2ª hora
Y3: nº de montagens da cadeia B na 3ª hora
Logo
Y1+Y2+Y3: nº de montagens da cadeia B em 3 horas
Pelo Teorema da Aditividade da Poisson, considerando Y1, Y2 e Y3
independentes e que todas seguem Po(4), vem que:
Z=Y1+Y2+Y3 segue Po(4*3=12)
P(Z ≤ 10) = f(0) + f(1) +... + f(10) = 0 + 0,0001 + … + 0,1048 = 34,72%
c) P(X=2Y) = P(X=0 ∩ Y=0) + P(X=2 ∩ Y=1) + P(X=4 ∩ Y=2) +
P(X=6 ∩ Y=3) + P(X=8 ∩ Y=4) = 0,1353*0,0183 + 0,2707*0,0753 +
0,0902*0,1465 + 0,012*0,1954 + 0,0009*0,1954 = 3,8%
d) W: nº de montagens das 2 cadeias num dia de trabalho de 8 horas
W=
8
i =1
( X i + Yi )
onde Xi + Yi corresponde ao nº de montagens das 2 cadeias por hora
Estatística Aplicada
72
Manual de Exercícios
Pelo Teorema da Aditividade de Poisson, sendo as variáveis
independentes e seguindo Po(2) e Po(4) respectivamente, vem que
Xi + Yi segue também Po(2+4=6).
E Z , também pelo mesmo Teorema, segue Po(6*8=48)
Logo, o número médio de montagens efectuado pelas 2 cadeias num dia
de trabalho de 8 horas é de 48.
Exercício 9
Uma companhia de tabacos recebeu em dada altura um elevado número de
queixas quanto à qualidade dos cigarros de certa marca que comercializa.
Numa rápida análise às condições de produção, constata-se que 1% dos filtros
que compõem o cigarro saem defeituosos. Nestas condições, determine:
a) a probabilidade de um maço acabado de formar
1. conter 1 cigarro com filtro defeituoso
2. conter 0 cigarros com filtro defeituoso
b) o número de maços que, num volume que contém 20, a companhia
espera poder aproveitar se utilizar o critério:
1. maço é aproveitável se não contiver cigarros defeituosos
2. maço é aproveitável se contiver no máximo 1 cigarro defeituoso
Resolução
X: nº de cigarros com filtro defeituoso em 20 cigarros de um maço
X segue Bi(n=20; p=0,01)
a) 1. P(X=1) = 20*0,01*0,9919 = 16,52%
2. P(X=0) = 0,010*0,9920 = 81,79%
b) 1. Crit. 1: maço é aproveitável se não contiver cigarros defeituosos
Y: nº de maços aproveitáveis num volume que contem 20 maços
Y segue Bi(n=20; p=P(X=0) = 0,8179)
Logo E(Y) = 20*0,8179 = 16,36
2. Crit. 2: maço é aproveitável se contiver no máximo 1 cigarro defeituoso
Y: nº de maços aproveitáveis num volume que contem 20 maços
Y segue Bi(n=20; p=P(X=0)+P(X=1)= 0,8179+0,1652 = 0,9831)
Logo E(Y) = 20*0,9831 = 19,66
Estatística Aplicada
73
Manual de Exercícios
Exercício 10
O comprimento das peças produzidas por uma máquina é uma v.a. Normal
com média µ e variância σ2. Uma peça defeituosa se o seu comprimento diferir
do valor médio mais do que σ. Sabemos que 50% das peças produzidas têm
comprimento inferior a 0,25 mm e 47,5% têm comprimento entre 0,25 mm e
0,642 mm.
a) Calcule a média e o desvio-padrão do comprimento das peças.
b) Determine a probabilidade de uma peça não ser defeituosa.
Resolução
X: comprimento das peças produzidas por uma máquina
X segue N(µ; σ2)
Peça defeituosa se X>µ + σ ou se X< µ - σ
P(X<0,25) = 50%
P(0,25<X<0,642) = 47,5%
a) Como P(X<0,25) = 50% vem que
P(
X −µ
σ
<
Na tabela,
0,25 − µ
) = 50%
σ
0,25 − µ
σ
tem que ser =0, logo µ = 0,25
E como
P(0,25<X<0,642) = 47,5% vem que
P(
0,25 − 0,25
=θ(
σ
0,392
σ
<
X − 0,25
σ
<
0,642 − 0,25
σ
) = P (0 < N (0,1) <
0,392
σ
)=
) − θ (0) = 0,475
Sendo θ (0)=0,5, vem que θ (
0,392
σ
Na tabela 3B da Normal, vem que
) = 0,475 + 0,5 = 0,975
0,392
σ
= 1,96 e logo σ = 0,2
b) P(peça não defeituosa) = P(µ - σ < X < µ + σ) = P(0,05 < X < 0,45) =
P(X<0,45) – P(X<0,05) =
θ(
0,45 − 0,25
0,05 − 0,25
) −θ (
) = θ (1) − θ (−1) = D (1) = 84,13%
0,2
0,2
Estatística Aplicada
74
Manual de Exercícios
Exercício 11
Sabe-se que a probabilidade de cura de uma certa doença é 20%. Põe-se à
prova um novo medicamento, que eleva a probabilidade de cura para 40%,
ministrando-o a um grupo de 20 doentes. Admite-se que o medicamento é
eficaz no caso de contribuir para a cura de, pelo menos, 8 doentes em 20.
Calcule a probabilidade de se concluir pela ineficácia do medicamento, ainda
que este eleve de facto a probabilidade de cura para 40%.
Resolução
X: número de doentes curados no grupo de 20 a que é ministrado o novo
medicamento (0,1,2...19, 20)
n=20
p=0,4
q=1-p=0,6
X segue Bi (20; 0,4)
P(X ≥ 8)=1- F(7) = 41,58%
Exercício 12
Sabe-se por via experimental que, por cada período de 5 minutos, chegam, em
média, 4 veículos a determinado posto abastecedor
de combustíveis. Um
empregado entra ao serviço às 8 horas. Qual a probabilidade de ter de
aguardar mais de 10 minutos até à chegada de um veículo?
Resolução
X: nº de veículos que chegam ao posto abastecedor por período de 5 minutos
X segue Po(4)
Se
X1: nº de veículos que chegam ao posto no 1º período de 5 minutos
X2: nº de veículos que chegam ao posto no 2º período de 5 minutos
então
X1+X2: nº de veículos que chegam ao posto abastecedor em 10 minutos
Pelo Teorema da Aditividade de Poisson, considerando X1 e X2 independentes
e que ambas seguem Po(4), vem que X1+X2 também segue Po(4+4=8)
Logo P(X1+X2=0) na tabela da Po(8) vem igual a 0,03%.
Estatística Aplicada
75
Manual de Exercícios
3.4. Estimação por intervalos
Conhecendo-se uma amostra em concreto, é possível estimar os valores dos
seus parâmetros caracterizadores através de métodos probabilísticos.
Por exemplo, suponhamos que numa fábrica produtora de açúcar se pretende
averiguar se o peso dos pacotes produzidos está, em média, dentro das
normas de qualidade exigíveis. Na impossibilidade de medição do peso de
todos os pacotes, pela morosidade e dispêndio de recursos que tal implicaria, a
estatística permite que, a partir da observação de uma única amostra, seja
possível inferir entre que valores varia o peso médio com um grau de confiança
ou probabilidade elevado. Assim, ao recolher um determinado número de
pacotes da produção total aleatoriamente, é possível calcular o peso médio de
acordo com as técnicas de estatística descritiva apreendidas atrás. Claro que
nada nos garante que esse valor coincide com o valor do parâmetro da
população em estudo. De facto, é até provável que não coincida e, mais, se
recolhermos outro conjunto idêntico de pacotes, o valor seja diferente. Isto é,
para cada amostra de dimensão n recolhida, a estimativa do parâmetro
assumiria valores distintos. Então, como retirar conclusões? Como garantir
algum nível de rigor?
O método a estudar neste capítulo – a estimação por intervalos – permite, a
partir da recolha de uma única amostra, aferir entre que valores seria de
esperar que variasse o parâmetro de interesse se nos empenhássemos a
recolher um número infinito de amostras. Isto é, por exemplo, caso o valor
amostral fosse de 1,02 kg, este método poderia, por exemplo, permitir afirmar
que seria altamente provável que o peso dos pacotes produzidos estivesse a
variar entre 0,92 kg e 1,12 kg. E esse resultado tem um determinado nível de
confiança associado: por exemplo, se dissermos que o nível de confiança ou
certeza implicado é de 95%, tal significa que, se nos fosse possível observar
um número infinito de amostras, o intervalo de valores apresentado
corresponderia aos resultados obtidos em 95% delas (os valores mais
usualmente utilizados são 90%, 95% ou 99% de confiança). Caberia depois à
empresa julgar se esses seriam ou não valores aceitáveis e proceder aos
eventuais reajustes necessários.
Estatística Aplicada
76
Manual de Exercícios
A partir do conceito de intervalo de confiança para um parâmetro, é fácil
concluir que a sua especificação implica conhecer:
-
o estimador do parâmetro em causa
-
a sua distribuição de probabilidade
-
uma estimativa particular daquele parâmetro
Como parâmetros de interesse e para efeitos de exemplificação, vão
considerar-se duas tipologias de intervalo: o intervalo de confiança para a
média de uma população normal e o intervalo de confiança para a proporção
de uma população binomial. Para efeitos de simplificação, vão considerar-se
apenas exemplos relativos a amostras de grande dimensão (na prática, n ≥ 100)
(i) Intervalo de confiança para a média µ de uma população normal
Seja X (média amostral) o estimador da média da população. Porque a
distribuição é Normal, a distribuição deste estimador será:
X ∩ N (µ ;
σ
n
)
Uma vez que apenas se encontra tabelada a distribuição N(0,1), torna-se
necessário calcular a variável reduzida correspondente:
Z=
X −µ
σ
∩ N (0;1)
n
Esta variável permitirá deduzir a fórmula geral do intervalo de confiança para a
média µ de uma população normal:
X −c
σ
n
;X +c
σ
n
Isto é, em torno do valor do estimador, é definido um intervalo de variação onde
é possível afirmar que o parâmetro a estimar está contido com um grau de
confiança δ . Esse intervalo de variação depende:
-
da dimensão da amostra (n): quanto maior a dimensão da amostra,
menor a amplitude do intervalo. Este resultado explica-se facilmente: no
limite, se fosse possível observar todo o universo de dados (n= ∞ ), o
valor amostral calculado corresponderia ao valor da população.
Estatística Aplicada
77
Manual de Exercícios
-
do desvio - padrão da população ( σ ): quanto maior o desvio - padrão,
maior a amplitude do intervalo. Como se sabe, o desvio - padrão é uma
medida que caracteriza a dispersão da distribuição. Quanto maior o seu
valor, maior a variabilidade apresentada pelos dados, sendo natural que
a margem de variação de prever em torno do valor amostral recolhido
seja também, naturalmente, maior.
-
do valor crítico (c): quanto maior o valor c, maior a amplitude do
intervalo. O valor crítico reflecte o nível de confiança adoptado.
Naturalmente, para que aumente a confiança de que o valor do
parâmetro a estimar está contido no intervalo, a sua amplitude deve
aumentar também (no limite, se o intervalo se alongasse de - ∞ a + ∞ a
confiança seria total ou 100%). É possível encontrar o valor c na tabela
da normal (pois esta é a lei do estimador), da seguinte forma:
P ( −c ≤ Z ≤ c ) = δ
já que assim é possível definir a fórmula geral do intervalo,
resolvendo a inequação em ordem ao parâmetro, µ :
P (−c ≤
X −µ
σ
≤ c) = δ ⇔ P( X − c
σ
≤ µ ≤ X −c
n
σ
n
)=δ
n
Se o desvio - padrão da população fôr desconhecido, utiliza-se este intervalo
considerando-se como estimativa de σ o desvio - padrão corrigido da amostra,
ou seja, s’=
( xi − x ) 2
n −1
, tal que:
X −c
s'
n
;X +c
s'
n
(ii) Intervalo de confiança para a proporção p de uma população binomial
Seja p̂ (proporção amostral ou frequência observada na amostra) o estimador
da proporção p de uma população binomial. Sendo a amostra de grande
dimensão, a distribuição deste estimador será:
pˆ ∩ N ( p;
Estatística Aplicada
p(1 − p )
)
n
78
Manual de Exercícios
Uma vez que apenas se encontra tabelada a distribuição N(0,1), torna-se
necessário calcular a variável reduzida correspondente:
Z=
pˆ − p
p (1 − p )
n
∩ N (0;1)
Esta variável permitirá deduzir a fórmula geral do intervalo de confiança para a
proporção p de uma população binomial:
pˆ − c
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
; pˆ + c
n
n
(como estimativa de p (1 − p ) foi utilizado pˆ (1 − pˆ ))
Como é óbvio, pretende-se que o resultado possua o máximo de confiança
possível. No entanto, se uma maior confiança é pretendida na estimação, esta
conduz a possibilidades de erro maiores, dado que um elevado nível de
confiança conduz a um intervalo maior e, como tal, a precisão da estimação
diminui.
Exemplo:
Consideremos 3 afirmações de alunos que aguardam a saída das pautas de
um exame de Estatística:
Afirm. 1: “Tenho a sensação que as pautas serão afixadas durante a manhã”
Afirm. 2: “Tenho quase a certeza que as pautas serão afixadas entre as 10h e
as 11h
Afirm. 3: “Tenho a certeza absoluta que as pautas ou são afixadas às 10h30 ou
já não são afixadas hoje”
Estas 3 afirmações permitem constatar facilmente que se se pretende maior
confiança na estatística, se tem que permitir que a possibilidade de erro
aumente. Por outro lado, se se permitir que o erro diminua, os extremos do
intervalo aumentam, embora o resultado perca alguma precisão. No entanto,
há que ter em atenção que, se um intervalo de confiança tem uma amplitude
demasiado grande, a estimativa não tem utilidade. Cabe ao investigador gerir
este “trade-off”.
Estatística Aplicada
79
Manual de Exercícios
Isto leva a uma questão importante: o dimensionamento de amostras. Até aqui,
sempre se assumiu que as dimensões são conhecidas à partida, sem referir
como se determinam. No entanto, a resolução deste problema tem um enorme
interesse prático, já que (i) recolher e tratar uma amostra demasiado grande
para os resultados que se pretendem obter constitui um evidente desperdício
de recursos e (ii) recolher uma amostra cuja dimensão é insuficiente para
retirar conclusões constitui um erro.
A dimensão das amostras aumentará se se pretender garantir maior precisão
ao intervalo e/ou maior grau de confiança.
No capítulo dedicado a aplicações estatísticas, será possível ver como é
possível utilizar o conceito de intervalo de confiança ao controlo estatístico de
processos de qualidade.
Estatística Aplicada
80
Manual de Exercícios
INTERVALOS DE CONFIANÇA
Exercícios
Exercício 1
Suponha-se que se tem uma população normal com média µ desconhecida e
desvio - padrão 3, N (µ, 9) e uma amostra de 121 observações. Deduza um
intervalo de confiança para a µ com 95% de confiança.
Resolução
Para os dados deste exercício, vem:
n=121
σ =3
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96
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X −c
σ
n
;X +c
σ
n
= X−
[
[
1,96 x3
1,96 x3
;X −
= X − 0,535; X + 0,535
11
11
]
]
O intervalo X − 0,535; X + 0,535 contém o verdadeiro valor do parâmetro µ
com probabilidade ou confiança de 95%. Conhecida uma estimativa particular
daquele parâmetro, torna-se possível calcular entre que valores seria de
esperar que, com 95% de confiança, variasse µ .
Exercício 2
Numa cidade pretende-se saber qual a proporção da população favorável a
certa modificação de trânsito. Faz-se um inquérito a 100 pessoas, e 70
declaram-se favoráveis.
Determine um intervalo de confiança a 95% para a proporção de habitantes
dessa cidade favoráveis à modificação de trânsito.
Resolução
n=100
p̂ =
70
= 0,7
100
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96
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Estatística Aplicada
81
Manual de Exercícios
pˆ − c
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
0,7 x0,3
0,7 x0,3
; pˆ + c
= 0,7 − 1,96
;0,7 − 1,96
=
n
n
100
100
= [0,6102;0,7898]
O intervalo [0,6102;0,7898] contém o verdadeiro valor do parâmetro p com
probabilidade ou confiança de 95%.
Ou seja, a proporção de habitantes favoráveis à modificação de trânsito está
situada entre 61,02% e 78,98%, com probabilidade de 95%.
Exercício 3
Uma máquina fabrica cabos cuja resistência à ruptura (em kg/cm2) é uma
variável com distribuição Normal de média 100 e desvio - padrão 30. Pretendese testar uma nova máquina que, segundo indicações do fabricante, produz
cabos com resistência média superior. Para isso, observam-se 100 cabos
fabricados pela nova máquina, que apresentam uma resistência média de 110
kg/cm2. Admita que o novo processo não altera o desvio padrão da resistência
à ruptura dos cabos.
a) Determine um intervalo de confiança a 95% para a resistência média à
ruptura dos cabos produzidos pela nova máquina.
b) Suponha que pretendíamos obter um intervalo de confiança com a
mesma amplitude do anterior, mas com nível de confiança de 99%.
Quantos cabos deveriam ser observados?
Resolução
a)
X segue N(100; 302)
n=100
x =110
σ=30
γ=95%
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96
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X −c
σ
n
;X +c
σ
n
= 110 −
1,96 x30
1,96 x30
;110 −
= [104,12;115,88]
10
10
Estima-se, com 95% de confiança, que a resistência média à ruptura dos cabos
produzidos pela nova máquina se situa entre 104,12 kg/cm2 e 115,88 kg/cm2.
Estatística Aplicada
82
Manual de Exercícios
b) Amplitude = 115,88 – 104,12 = 11,76
Amplitude = Lim.Sup. - Lim.Inf. = ( X + c
Logo 2c
σ
n
σ
) -( X − c
σ
n
) = 2c
σ
n
=11,76
n
Sendo que
x =110
σ=30
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 99% ⇔ D (c) = 99% ⇔ c = 2,576
vem que
n = 173 cabos
Exercício 4
Uma amostra de 20 cigarros é analisada para determinar o conteúdo de
nicotina, observando-se um valor médio de 1,2 mg. Sabendo que o desvio padrão do conteúdo de nicotina de um cigarro é 0,2 mg, diga, com 99% de
confiança, entre que valores se situa o teor médio de nicotina de um cigarro.
Resolução
X segue N(µ; 0,22)
n=20
x =1,2
σ=0,2
γ=99%
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 99% ⇔ D (c) = 99% ⇔ c = 2,576
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X −c
σ
n
;X +c
σ
n
= 1,2 −
2,576 x0,2
20
;1,2 −
2,576 x0,2
20
= [1,085;1,315]
Estima-se, com 99% de confiança, que o teor médio de nicotina de um cigarro
se situa entre 1,085 mg e 1,315 mg.
Exercício 5
Admita-se que a altura dos alunos de uma escola segue distribuição Normal
com variância conhecida e igual a 0,051. Admita-se ainda que foi recolhida
uma amostra aleatória com dimensão n=25 alunos e calculada a respectiva
média amostral, tendo-se obtido o valor de 1,70m. Defina um intervalo que,
com probabilidade 95%, contenha o valor esperado da altura µ.
Estatística Aplicada
83
Manual de Exercícios
Resolução
X segue N(µ; 0,051)
n=25
x =1,70
σ2=0,051
γ=95%
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96
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X −c
σ
n
;X +c
σ
n
= 1,7 −
1,96 x 0,051
25
;1,2 −
1,96 x 0,051
25
= [1,611;1,788]
Estima-se, com 95% de confiança, que o teor médio de nicotina de um cigarro
se situa entre 1,085 mg e 1,315 mg.
Exercício 6
Numa fábrica, procura conhecer-se a incidência de defeituosos na produção de
uma máquina. Para tanto, colhe-se uma amostra de dimensão suficientemente
grande (1600 artigos), onde 10% dos artigos são defeituosos. Determine o
intervalo de confiança para a referida proporção com 90% de confiança.
Resolução
n=1600
p̂ =10%
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 90% ⇔ D (c) = 90% ⇔ c = 1,645
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pˆ − c
0,1x0,9
0,1x0,9
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
; pˆ + c
;0,1 − 1,645
= 0,1 − 1,645
=
1600
1600
n
n
= [0,0876;0,1123]
Estima-se, com 90% de confiança, que a proporção de artigos defeituosos na
produção se situa entre 8,76% e 11,23%.
Exercício 7
O director fabril de uma empresa industrial que emprega 4000 operários emitiu
um novo conjunto de normas internas de segurança. Passada uma semana,
seleccionou aleatoriamente 300 operários e verificou que apenas 75 deles
conheciam suficientemente bem as normas em causa. Construa um intervalo
Estatística Aplicada
84
Manual de Exercícios
de confiança a 95% para a proporção de operários que conheciam
adequadamente o conjunto das normas uma semana após a sua emissão.
Resolução
n=300
p̂ =
75
= 0,25
300
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96
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pˆ − c
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
0,25 x0,75
0,25 x0,75
; pˆ + c
= 0,25 − 1,96
;0,25 − 1,96
=
n
n
300
300
= [0,201;0,299]
Estima-se, com 95% de confiança, que a proporção de operários que
conheciam adequadamente o conjunto das normas se situa entre 20,1% e
29,9%.
Exercício 8
A Direcção de Marketing de uma empresa pretende conhecer a notoriedade da
marca de determinado produto. Nesse sentido, efectuou um inquérito junto de
1200 pessoas escolhidas aleatoriamente, verificando que 960 a conheciam.
a)
Estime a proporção de pessoas conhecedoras da marca através de
um intervalo de confiança a 90%.
b)
Se se pretender que a amplitude do intervalo de confiança da alínea
anterior não seja superior a 0,034, qual deve ser a dimensão mínima
da amostra?
c)
Sabendo que o intervalo de confiança determinado pela Direcção de
Marketing foi [0,767; 0,833], calcule o nível de confiança utilizado
Resolução
a) n=1200
p̂ =
960
= 0,8
1200
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 90% ⇔ D (c) = 90% ⇔ c = 1,645
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Estatística Aplicada
85
Manual de Exercícios
pˆ − c
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
0,8 x0,2
0,8 x0,2
; pˆ + c
= 0,8 − 1,645
;0,8 − 1,645
=
n
n
1200
1200
= [0,781;0,819]
Estima-se, com 90% de confiança, que a proporção de indivíduos
conhecedores da marca se situa entre 78,1% e 81,9%.
b) Amp.=Lim.Sup.-Lim.Inf. = ( pˆ + c
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
) – ( pˆ − c
) = 2c
n
n
n
Logo
2c
pˆ (1 − pˆ )
0,8 * 0,2
= 2 *1,645 *
≤ 0,034 ⇔ n ≥ 1499
n
n
c) pˆ + c
pˆ (1 − pˆ )
= 0,833
n
Logo 0,8 + c
0,8 * 0,2
= 0,833 ⇔ c = 2,86
1200
E D(2,86) na tabela N(0,1) vem igual a 99,6%, a que corresponde o nível de
confiança utilizado
Exercício 9
O gabinete de projectos de uma empresa de material de construção civil
pretende estimar a tensão de ruptura do material usado num determinado tipo
de tubos.
Com base num vasto conjunto de ensaios realizados no passado, estima-se
que o desvio - padrão da tensão de ruptura do material em causa é de 70 psi.
Deseja-se definir um intervalo de confiança a 99% para o valor esperado da
tensão de ruptura, pretendendo-se que a sua amplitude não exceda 60 psi.
Qual o número de ensaios necessário para definir tal intervalo?
Resolução
n=?
σ=70
γ=99%
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 99% ⇔ D (c) = 99% ⇔ c = 2,576
Amplitude = 2c
σ
Estatística Aplicada
n
Logo 2c
σ
n
≤ 60 ⇔ 2 * 2,576 *
70
n
≤ 60 ⇔ n ≥ 36
86
Manual de Exercícios
Exercício 10
A empresa SCB controla regularmente a resistência à ruptura dos cabos por si
produzidos. Recentemente, foram analisadas as tensões de ruptura de 10
cabos SCB-33R, seleccionados aleatoriamente a partir de um lote de grandes
dimensões, tendo sido obtida uma média de 4537 kg/cm2. Existe uma norma
de 112 kg/cm2 em relação à variância, que é respeitada. O director comercial
pretende saber qual o intervalo de confiança, a 95%, para o valor esperado da
tensão de ruptura dos cabos do lote em causa. Defina esse intervalo.
Resolução
X segue N(µ; 112)
x =4537
n=10
σ=10,58
γ=95%
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96
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X −c
σ
n
;X +c
σ
n
= 4537 −
1,96 x10,58
10
;4537 −
1,96 x10,58
10
= [4530,5;4543,5]
Estima-se, com 95% de confiança, que o tensão média de ruptura dos cabos
se situa entre 4530,5 kg/cm2 e 4543,5 kg/cm2.
Exercício 11
Uma amostra de 50 capacetes de protecção, usados por trabalhadores de uma
empresa de construção civil, foram seleccionados aleatoriamente e sujeitos a
um teste de impacto, e em 18 foram observados alguns danos.
Construa um intervalo de confiança, a 95%, para a verdadeira proporção p de
capacetes que sofre danos com este teste. Interprete o resultado obtido.
Resolução
a) n=50
p̂ =
18
= 0,36
50
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96
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Estatística Aplicada
87
Manual de Exercícios
pˆ − c
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
0,36 x0,64
0,36 x0,64
; pˆ + c
= 0,36 − 1,96
;0,36 − 1,96
=
n
n
50
50
= [0,22695;0,49305]
Estima-se, com 95% de confiança, que a proporção de capacetes que sofre
danos se situa entre 22,7% e 49,3%.
Exercício 12
Qual deve ser o número de habitantes da cidade do Porto a seleccionar
aleatoriamente para estudar a proporção de portuenses que usam óculos, de
modo a garantir que um intervalo de confiança a 95% para essa proporção
tenha uma amplitude não superior a 8 pontos percentuais?
Resolução
n=?
Amp.= ( pˆ + c
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
pˆ (1 − pˆ )
) – ( pˆ − c
) = 2c
< 0,08
n
n
n
c: P (−c ≤ Z ≤ c) = 95% ⇔ D (c) = 95% ⇔ c = 1,96
Considerando que a proporção amostral é a que maximiza a amplitude (pior
dos casos), isto é, que a proporção amostral é 50% ( pˆ (1 − pˆ )' = 1 − 2 pˆ = 0 ), vem
que:
2c
pˆ (1 − pˆ )
0,5 * 0,5
= 2 * 1,96 *
< 0,08 ⇔ n > 600
n
n
Estatística Aplicada
88
Manual de Exercícios
3.5. Testes de hipóteses
Todos os dias temos de tomar decisões respeitantes a determinadas
populações, com base em amostras das mesmas (decisões estatísticas). Nesta
tomada de decisões, é útil formular hipóteses sobre as populações, hipóteses
essas que podem ou não ser verdadeiras. A essas hipóteses chamamos
hipóteses estatísticas, as quais geralmente se baseiam em afirmações sobre
as distribuições de probabilidade das populações ou sobre alguns dos seus
parâmetros. Uma hipótese pode então ser definida como uma conjectura
acerca de uma ou mais populações.
Desta forma, os testes de hipóteses podem considerar-se uma segunda
vertente da inferência estatística, tendo por objectivo verificar, a partir de dados
observados numa amostra, a validade de certas hipóteses relativas à
população. O resultado do teste corresponde inevitavelmente a uma das duas
respostas possíveis para cada questão: afirmativa ou negativa. Em ambos os
casos corre-se o risco de errar. Uma das características do teste de hipóteses
é, justamente, a de permitir controlar ou minimizar tal risco.
Nos testes de hipóteses, e ao contrário dos intervalos de confiança, em vez de
procurar uma estimativa ou um intervalo para um parâmetro, admite-se ou
avança-se um valor hipotético para o mesmo, utilizando depois a informação da
amostra para confirmar ou rejeitar esse mesmo valor. A hipótese a testar
denomina-se, pois, de H0 ou de hipótese nula. O objectivo é verificar se os
factos observados a contradizem, levando a optar pela hipótese alternativa H1.
Isto é, a estratégia básica seguida no método de teste de hipóteses consiste
em tentar suportar a validade H1 de uma vez provada a inverosimilhança de H0.
Exemplo:
Registos efectuados durante vários anos permitiram estabelecer que o nível de
chuvas numa determinada região, em milímetros por ano, segue uma lei
normal N(600;100). Certos cientistas afirmavam poder fazer aumentar o nível
médio µ das chuvas em 50 mm. O seu processo foi posto à prova e anotaram-
se os valores referentes a 9 anos:
510
614
780
512
501
534
603
788
650
Que se pode concluir? Adopte um nível de significância de 5%.
Estatística Aplicada
89
Manual de Exercícios
Resolução:
Duas hipóteses se colocavam: ou o processo proposto pelos cientistas não
produzia qualquer efeito, ou este aumentava de facto o nível médio das chuvas
em 50 mm. Estas hipóteses podem formalizar-se do modo seguinte:
H0: µ=600 mm
H1: µ=650 mm
Este é um problema clássico de teste de hipóteses, em que está em causa
aceitar ou rejeitar a hipótese nula, em função dos resultados de uma amostra.
Ao utilizar uma amostra de uma população, estamos a lidar com leis de
probabilidades, logo não é possível de saber se a hipótese nula é verdadeira
ou falsa, mas apenas medir as probabilidades envolvidas na tomada de
decisão.
Podem-se definir 2 formas de especificar Ho e H1:
(i)
hipótese simples contra hipótese simples
Ho: θ = θ0
H1: θ = θ1
(ii)
hipótese simples contra hipótese composta
Ho: θ = θ0
H1: θ > θ0 ou θ < θ0 ou θ ≠ θ0
Estes testes designam-se respectivamente de teste unilateral à
direita, teste unilateral à esquerda e teste bilateral
Sendo os testes de hipóteses, portanto, um processo de inferência estatística
onde se procuram tomar decisões sobre a população com base numa amostra,
é natural que envolvam alguma margem de erro e que ocorram em situação de
incerteza. Estes erros não podem ser completamente evitados mas, no
entanto, pode-se manter pequena a probabilidade de os cometer. Compete ao
investigador decidir qual a dose de risco de se enganar em que está disposto a
incorrer. Vamos supor uma probabilidade de erro de, por exemplo, 5%. Nesse
caso, e avançada a hipótese nula Ho, o investigador só estaria disposto a
rejeitá-la se o resultado obtido na amostra fizesse parte de um conjunto de
resultados improváveis que teriam apenas, por exemplo, 5 chances em 100 de
Estatística Aplicada
90
Manual de Exercícios
se produzir. Este tipo de formulação é conhecida como postura conservadora.
Ou seja, estamos mais propensos a achar que o novo processo não tem
qualquer efeito sobre o nível das chuvas (isto é, que tudo se mantém igual) do
que investir no novo processo (mudar), arriscando apenas quando houver
evidências da amostra muito fortes a favor do novo. Para que esta decisão
possa ser tomada de uma forma controlada, é conveniente pois que, à partida,
se fixe o valor a partir do qual se considera improvável a validade da hipótese
nula. Tal fixação corresponde à fixação da regra de decisão do teste.
A formalização desta regra passa pela especificação de uma região de região
de rejeição. A essa região, isto é, ao conjunto de valores “improváveis” que
conduzem à rejeição da hipótese nula dá-se o nome de Região Crítica. Ao
limite superior de risco, que na maior parte dos casos é de 10%, 5% ou 1%, dáse o nome de Nível de Significância do teste, sendo este que permite definir a
condição de rejeição de Ho. O Nível de Significância designa-se de α e
corresponde, então, à probabilidade de o resultado amostral levar à rejeição de
Ho, supondo Ho verdadeira, isto é, à probabilidade de se estar a cometer aquilo
a que se convenciona chamar de erro de 1ª espécie.
Como veremos no exemplo, existem também erros de 2ª espécie, cuja
probabilidade se designa pela letra β. Em resumo:
Quadro de decisão em condição de incerteza
Hipótese nula Ho
Decisão
Hipótese Ho ser verdadeira:
Hipótese Ho ser falsa
Aceitar Ho
Decisão correcta (1-α)
Rejeitar Ho
Erro de tipo I
Alfa (α)
Erro de tipo II
Beta (β)
Decisão correcta (1-β)
Como decidir? Visto que se trata de testar o valor de µ, a variável de decisão
será X . Considerando Ho verdadeira vem que
X ∩ N (600;
Estatística Aplicada
100
9
).
91
Manual de Exercícios
Em princípio, grandes valores de X são improváveis, pelo que se opta pela
seguinte regra de decisão:
Se X fôr demasiado grande, isto é, superior a um valor crítico c que tem
apenas 5 chances em 100 de ser ultrapassado, opta-se por H1 com
probabilidade 5% de se estar a cometer um erro. Se tal não acontecer,
conserva-se Ho, por falta de provas suficientes para não o fazer.
Logo, sendo
P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que
P ( X > c / µ = 600) = 0,05 ⇔ P (
X −µ
σ
>
c − 600
) = 0,05 ⇔
100
n
⇔ c = 600 + 1,645 x
9
100
= 654,83(3)
3
A regra de decisão é, então, a seguinte:
-
rejeitar H0 em favor de H1, se o valor amostral fôr superior a 654,83(3)
-
conservar H0 em detrimento de H1 se fôr inferior a 654,83(3)
Isto é, a Região Crítica deste teste, isto é, o conjunto de acontecimentos que
levam à rejeição de H0 corresponde a todos os valores de X >654,83(3).
RA: Região
de Aceitação
RR: Região
Crítica ou de
Rejeição
RA=(1-α)
µ = 600
RR=α
654,83(3)
X
Os dados recolhidos indicavam X =610,2 mm, pelo que a decisão é conservar
H0 , isto é, considerar que o processo científico não produz efeitos.
Estatística Aplicada
92
Manual de Exercícios
No entanto, os erros incorridos não se ficam apenas pelos de 1ª espécie.
Existem também erros de 2ª espécie. Isto é, à partida parte-se do princípio
que H0 é verdadeira e só se rejeitará essa hipótese se ocorrerem
acontecimentos pouco prováveis.
No entanto, é possível alternativamente partir do princípio que é H1 que é
verdadeira, ou seja, considerar que o processo científico é realmente eficaz no
aumento do nível médio das chuvas, mas que, infelizmente, o número de
valores observado não permite observar resultados ou esses resultados foram
insuficientes.
Supondo então que H1 é verdadeira (µ=650 mm), então vem que:
X ∩ N (650;
β
RA
100
9
)
1-β
β
RR
µ = 650
X
A probabilidade de rejeitar H1 erradamente, isto é, de se cometer um erro de 2ª
espécie, vem então igual a:
P(Rejeitar H1 / H1)=β
P ( X ≤ 654,83(3) / µ = 650) = P (
X −µ
σ
n
≤
654,83(3) − 650
) = P ( N (0,1) ≤ 0,14) = 55,57%
100
9
É através das probabilidades α e β que se procura o melhor teste de hipóteses,
sendo o teste ideal o que minimiza simultaneamente ambos os valores. No
entanto, e como α e β se referem a realidades opostas e variam em sentido
contrário, tal não é possível. O que na maior parte dos casos se faz é fixar o α
(para amostras de dimensão n) e tentar minimizar β.
Estatística Aplicada
93
Manual de Exercícios
Região de rejeição e de aceitação da hipótese nula
Unilateral
à esquerda
H1: µ < 600
Bilateral
H1: µ ≠ 600
RA
RR
α
RR
α/2
1−α
RA
Unilateral
à direita
H1: µ > 600
RA
RR
α/2
1−α
RR
1−α
α
Chama-se potência de um teste à probabilidade de rejeitar H0 quando esta é
falsa. Esta é uma decisão certa, não implica erro, e é complementar do erro de
2ª espécie. Logo, quanto menor o erro de 2ª espécie, maior será o valor da
potência do teste e, logo, maior a sua qualidade (diz-se que o teste é mais
potente) . Quando H1 é uma hipótese composta (>, < ou ≠ ), a potência do teste
é variável, dependendo do valor do parâmetro que não é fixo. Nesse caso falase em função potência do teste = 1 -β (µ1)
Resumindo: passos para construção de um teste de hipóteses:
Passo No 1: Formular as hipóteses nula e alternativa
Passo No 2: Decidir qual estatística (estimador) será usada para julgar a Ho e a
variável de decisão
Passo No 3: Definir a forma da Região Crítica, em função da hipótese H1
Passo Nº 4: Fixar o nível de significância
Passo Nº 5: Construir a Região Crítica em função do nível de significância
Passo Nº 6: Cálculo (eventual) da potência do teste
Passo Nº 7: Calcular a estatística da amostra
Passo No 8: Tomar a decisão: rejeição ou não de Ho
Estatística Aplicada
94
Manual de Exercícios
TESTES DE HIPÓTESES
Exercícios
Exercício 1
Suponha que o director de qualidade pretende averiguar se o peso dos pacotes
de arroz produzidos corresponde ao valor assinalado na embalagem. Seja X a
variável que representa o peso de um pacote de arroz. Suponha que
X ∩ N ( µ ;0,012 ) e que se conhece a seguinte amostra:
1,02 0,98 0,97 1,01 0,97 1,02 0,99 0,98 1,00
Será que, para um nível de significância de 5% se pode dizer que o peso médio
corresponde ao peso de 1 kg assinalado na embalagem?
Resolução
Passo 1
Formular as hipóteses:
Ho: µ = 1
H1: µ < 1
Passo 2
A estatística a ser utilizada será a média amostral
Passo 3
A região crítica é formada por todos os valores menores ou iguais a c
Passo 4
Assumir um nível de significância de 5%
Passo 5
Para α=5%, determinar a região de rejeição e aceitação. Logo, sendo
P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que
P ( X < c / µ = 1) = 0,05 ⇔ P (
X −µ
σ
n
<
c −1
) = 0,05 ⇔
0,01
9
0,01
= 0,9945
3
Logo, RC = ]− ∞;0,9945]
⇔ c = 1 − 1,645 x
Estatística Aplicada
95
Manual de Exercícios
Passo 6
Calcular a estatística X =
1
9
xi = 0,9933
Passo 7
Tomar a decisão
Como o valor da amostra foi 0,9933 e é menor que o valor crítico 0,9945,
rejeita-se Ho
Ou seja, considera-se que o arroz contido em cada pacote era inferior ao
indicado. No entanto, há o risco de se mandar parar a produção para revisão
do equipamento sem necessidade. Reduzindo a probabilidade de isso ocorrer
de 5% para 1%, vem:
α=1%
RR: Parar a
produção
-∞
0
α=5%
RA: Continuar a
produção
0,9922 0.9945
+∞
Valor da amostra: 0,9933
A única mudança será no Valor Crítico, que de 0,9945 para 0,9922. Neste
caso, aceitaremos Ho, ou seja, consideraremos que não há qualquer anomalia
na produção.
Exercício 2
Numa cidade, pretende-se saber se metade da população é favorável à
construção de um centro comercial. Faz-se um inquérito a 200 pessoas, e 45%
declaram-se favoráveis. Estes valores contradizem a hipótese?
Resolução
Passo 1
Formular as hipóteses:
Ho: p = 0,5
H1: p < 0,5
Estatística Aplicada
96
Manual de Exercícios
Passo 2
A estatística a ser utilizada será a proporção amostral, onde o cuidado deve ser
trabalhar com grandes amostras.
Passo 3
A região crítica é formada por todos os valores menores ou iguais a c
Passo 4
Assumir um nível de significância de 5%
Passo 5
Para α=5%, determinar a região de rejeição e aceitação.
Logo, sendo
P(Rejeitar Ho / Ho) = α = 5%, vem que
P ( pˆ < c / p = 0,5) = 0,05 ⇔ P (
⇔ c = 0,5 − 1,645 x
pˆ − p
p (1 − p )
n
0,5(1 − 0,5)
= 0,442
200
<
c − 0,5
0,5(1 − 0,5)
200
) = 0,05 ⇔
Logo, RC = ]− ∞;0,442]
Passo 6
p̂ =0,45
Passo 7
Como o valor amostral 0,45 é maior que o valor crítico 0,442, não se rejeita Ho
RR: Não
construir o
centro comercial
α=5%
RR: Parar a
construção
-∞
0
RA: Decidir pela
construção
+∞
Valor amostral: 0,45
0,442
Ou seja, apesar de apenas 45% dos habitantes se terem manifestado a favor
da construção do centro comercial, essa margem não é suficiente para decidir
deixar de o construir.
Estatística Aplicada
97
Manual de Exercícios
Exercício 3
O peso dos pacotes de farinha de 1 kg, produzidos por uma fábrica, é uma
variável normalmente distribuída, com desvio padrão 0,01. Da produção de
determinado dia é retirada uma amostra de 49 pacotes, com peso médio de
0,998 Kg.
Pode-se afirmar, a um nível de significância de 1%, que o peso médio dos
pacotes de farinha nesse dia não está de acordo com o peso indicado?
Resolução
X segue N(µ; 0,012)
n = 49
x = 0,998
α = 1%
H0: µ = 1
H1: µ < 1
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1%
P ( X ≤ c / µ = 1) = 0,01 ⇔ P (
X −µ
σ
n
≤
c −1
c −1
) = 0,01 ⇔
= −2,326 ⇔ c = 0,997
0,01
0,01
49
49
Como x = 0,998 > c = 0,997, não pertence à região crítica, logo não se rejeita
Ho a um nível de significância de 1% (não se pode afirmar que o peso médio
não esteja de acordo com o indicado).
Exercício 4
Numa região onde existem entre os maiores de 18 anos 50% de fumadores, é
lançada uma intensa campanha anti-tabaco.
Ao fim de três meses, realiza-se um mini-inquérito junto de 100 cidadãos com
mais de 18 anos, registando-se 45 fumadores.
a) Com 1% de significância, pode concluir-se que a campanha surtiu
efeito?
b) Em caso negativo, qual seria a dimensão da amostra a partir da qual
aquela percentagem permitiria afirmar que a cmapnha atingiu o fim em
vista?
Estatística Aplicada
98
Manual de Exercícios
Resolução
a) n = 100
p̂ = 0,45
α = 1%
H0: p = 0,5 (a campanha não surtiu efeito)
H1: p < 0,5 (a campanha surtiu efeito)
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1%
P ( X ≤ c / p = 0,5) = 0,01 ⇔ P (
pˆ − p
p (1 − p )
n
≤
c − 0,5
0,5 * 0,5
100
) = 0,01 ⇔
c − 0,5
0,5 * 0,5
100
= −2,326 ⇔ c = 0,384
Como p̂ = 0,45 > c = 0,384, não pertence à região crítica, logo não se rejeita
Ho a um nível de significância de 1% (a campanha não surtiu efeito).
b) P( X ≤ 0,45 / p = 0,5) = 0,01 ⇔ P(
⇔
pˆ − p
0,45 − 0,5
≤
) = 0,01 ⇔
p(1 − p)
0,5 * 0,5
n
n
0,45 − 0,5
= −2,326 ⇔ n = 541
0,5 * 0,5
n
Exercício 5
Um fabricante afirma que o tempo médio de vida de um certo tipo de bateria é
de 240 horas, com desvio-padrão de 20 horas. Uma amostra de 18 baterias
forneceu os seguintes valores:
237
242
232
242
248
230
244
243
254
262
234
220
225
236
232
218
228
240
Supondo que o tempo de vida das baterias se distribui normalmente, poder-se-á
concluir, a 5% de significância, que as especificações não estão a ser cumpridas?
Estatística Aplicada
99
Manual de Exercícios
Resolução
X segue N(µ; 202)
n = 18
x =
1
18
xi = 237,05
α = 5%
H0: µ = 240
H1: µ < 240
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1%
P ( X ≤ c / µ = 240) = 0,05 ⇔ P (
X −µ
σ
≤
n
c − 240
c − 240
) = 0,05 ⇔
= −1,645 ⇔ c = 232,25
20
20
18
18
Como x = 237,05 > c = 232,25, não pertence à região crítica, logo não se
rejeita Ho a um nível de significância de 1% (não se pode afirmar que as
especificações não estão a ser cumpridas).
Exercício 6
Uma empresa de cerâmica tem, em dada secção, fornos controlados por
termóstatos para manter a temperatura no interior dos fornos a 600 graus
centígrados. A experiência tem demonstrado que a variância dos valores da
temperatura no interior desses fornos é de 360.
A empresa fornecedora dos fornos comercializa agora um novo tipo de
controlador, que é anunciado como garantindo que as temperaturas se mantêm
dentro do limite desejado. Foram registadas 5 medidas de temperatura de
fornos regulados para 600º, utilizando novos controladores:
620º 595º 585º 602º 608º
Para 5% de significância, poder-se-á concluir que a temperatura não se afasta
significativamente do valor desejado?
Resolução
X segue N(µ;360)
n=5
Estatística Aplicada
100
Manual de Exercícios
x =
1
5
xi = 602
α = 5%
H0: µ = 600
H1: µ > 600
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 5%
P( X ≥ c / µ = 600) = 0,05 ⇔ P(
X −µ
σ
≤
c − 600
n
360
5
) = 0,95 ⇔
c − 600
= 1,645 ⇔ c = 613,96
18,97
5
Como x = 602 < c = 613,96, não pertence à região crítica, logo não se rejeita
Ho a um nível de significância de 1% (a temperatura não se afasta
significativamente do valor desejado).
Exercício 7
O peso dos ovos de chocolate produzidos numa fábrica segue distribuição
normal com variância 90,25.
a) O fabricante diz que o peso médio é de 160 g. Foi recolhida uma
amostra de 100 ovos, cujo peso médio foi de 158, 437 g. Teste, a um
nível de significância de 1%, se a afirmação do fabricante pode ser
considerada verdadeira, ou se, pelo contrário, o verdadeiro peso dos
ovos será menor.
b) Qual o nível de significância a partir do qual a conclusão seria diferente?
Resolução
a) X segue N(µ; 90,25)
n = 100
x = 158,437
α = 1%
H0: µ = 160
H1: µ < 160
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1%
Estatística Aplicada
101
Manual de Exercícios
P ( X ≤ c / µ = 160) = 0,01 ⇔ P (
X −µ
≤
σ
c − 160
90,25
n
) = 0,01 ⇔
c −1
= −2,326 ⇔ c = 157,79
9,5
100
100
Como x = 158,437 > c = 157,79, não pertence à região crítica, logo não se
rejeita Ho a um nível de significância de 1% (a afirmação do fabricante pode
ser considerada verdadeira).
b)
P ( X ≤ 158,437 / µ = 160) = α ⇔ P (
X −µ
σ
≤
158,437 − 160
90,25
n
) = α ⇔ F (−1,645) = α ⇔ α = 5%
100
Exercício 8
Um jornal semanário afirma ter atingido, numa região, a percentagem, até
então nunca atingida por qualquer semanário, de 60% de leitores que
regularmente compram um jornal desse tipo.
Efectuando um inquérito junto de 600 leitores, 55% declararam adquirir, por
hábito, o semanário em causa.
Adoptando um nível de significância de 1%, pronuncie-se quanto à projecção
que o semanário reclama.
Resolução
n = 600
p̂ = 0,55
α = 1%
H0: p = 0,6
H1: p < 0,6
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 1%
P ( X ≤ c / p = 0,6) = 0,01 ⇔ P (
pˆ − p
p (1 − p )
n
≤
c − 0,6
0,6 * 0,4
600
) = 0,01 ⇔
c − 0,6
0,6 * 0,4
600
= −2,326 ⇔ c = 0,5535
Como p̂ = 0,55 < c = 0,5535, pertence à região crítica, logo rejeita-se Ho a um
nível de significância de 1% (o semanário não atingiu a projecção que
reclama).
Estatística Aplicada
102
Manual de Exercícios
Exercício 9
Um molde de injecção tem produzido peças de um determinado material
isolante térmico com uma resistência à compressão com valor esperado de
5,18 kg/cm2 e variância 0,0625 (kg/cm2)2. As últimas 12 peças produzidas
nesse molde foram recolhidas e ensaiadas, tendo-se obtido para a resistência
média à compressão o valor de 4,95 kg/cm2.
a) Poder-se-á afirmar, a um nível de significância de 5%, que as peças
produzidas recentemente são menos resistentes do que o habitual?
b) Qual a potência do teste efectuado anteriormente, admitindo que o valor
esperado
da
resistência
à
compressão
das
peças
produzidas
2
recentemente é de 4,90 kg/cm ?
Resolução
a) X segue N(µ; 0,0625)
n = 12
x = 4,95
α = 5%
H0: µ = 5,18
H1: µ < 5,18
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 5%
P ( X ≤ c / µ = 5,18) = 0,05 ⇔ P (
X −µ
σ
≤
c − 5,18
0,0625
n
12
) = 0,05 ⇔
c − 5,18
= −1,645 ⇔ c = 5,061
0,25
12
Como x = 5,18 > c = 5,061, não pertence à região crítica, logo não se rejeita
Ho a um nível de significância de 1% (as peças produzidas recentemente não
são menos resistentes do que o habitual).
b) Potência = 1-β
β = (Conservar Ho/H1 verdadeira)
P ( X > 5,061 / µ = 4,9) = P (
X −µ
σ
n
Estatística Aplicada
>
5,061 − 4,9
0,0625
) = 1 − F (0,01) = 1 − 0,5040 = 49,6%
12
103
Manual de Exercícios
Exercício 10
Um jornal desportivo noticiou que o número de espectadores de um programa
desportivo que é apresentado na televisão aos domingos à noite está
igualmente dividido entre homens e mulheres.
De uma amostra aleatória de 400 pessoas que vêem regularmente o referido
programa, concluiu-se que 240 são homens.
Pode-se concluir, para um nível de significância de 10%, que a notícia é falsa?
Resolução
n = 400
p̂ = 0,6
α = 10%
H0: p = 0,5
H1: p > 0,5
P(Rejeitar Ho/Ho verdadeira) = α = 10%
P ( X ≥ c / p = 0,5) = 0,1 ⇔ P (
pˆ − p
p (1 − p )
n
≤
c − 0,5
0,5 * 0,5
400
) = 0,9 ⇔
c − 0,5
0,5 * 0,5
400
= 1,282 ⇔ c = 0,53205
Como p̂ = 0,6 > c = 0,53205, pertence à região crítica, logo rejeita-se Ho a um
nível de significância de 1% (a notícia é falsa).
Estatística Aplicada
104
Manual de Exercícios
3.6. Aplicações estatísticas
Fiabilidade de componentes e sistemas
3.6.1 Conceito de fiabilidade
Define-se fiabilidade como sendo a probabilidade de um sistema (ou
componente) desempenhar a função para a qual foi concebido, nas condições
previstas e nos intervalos de tempo em que tal é exigido.
A análise da fiabilidade será, então, um método de quantificar o que se espera
que aconteça e pode ser usada para indicar méritos relativos de sistemas,
tendo em atenção um pré-definido nível de fiabilidade.
A fiabilidade de um componente pode ser obtida a partir da sua taxa de
avarias. Se um sistema fôr constituído por vários componentes, então a
fiabilidade será dependente da fiabilidade dos componentes que compõem
esse mesmo sistema.
É necessário, quando se apresentam os resultados de um estudo de fiabilidade
saber expô-los, pois os interpretadores poderão não ter a noção daquilo que se
está a querer transmitir. Assim, dizer que a fiabilidade de um sistema ou
componente é de 0,998 pode não significar muito; no entanto, se tal facto fôr
traduzido em que, por ano, o sistema em questão estará fora de serviço por
avaria num período de 9 horas já significa alguma coisa.
Como o estudo da fiabilidade se trata de um estudo extremamente importante,
pois que muitas vezes estão em jogo vidas humanas, é importante desenvolver
um estudo de probabilidade relativo ao funcionamento adequado de um
componente ou sistema.
3.6.2 Fiabilidade de um sistema
Ao analisar a fiabilidade de um sistema constituído por vários componentes, é
necessário estudar a fiabilidade desses componentes e a forma como estão
ligados (estrutura do sistema e definição do funcionamento do sistema). De
seguida, são apresentados 3 casos: (i) as associações de componentes em
Estatística Aplicada
105
Manual de Exercícios
paralelo; (ii) a associação de n unidades idênticas em paralelo em que é
apenas necessário o funcionamento de m (m<=n) para o sistema funcionar; (iii)
e as associações em série.
(i) Associação em paralelo
Consideremos vários componentes redundantes e independentes:
1
2
3
4
Uma vez que os componentes são redundantes, basta apenas um para que o
sistema funcione. Considerando um sistema composto por apenas 2
componentes, se cada um dos componentes estiver no seu período de vida útil,
a fiabilidade do sistema (Rs) é dada por:
Rs
= P (funcionar pelo menos um componente)
= P (funcionarem 1 ou 2 componentes)
= 1 – P (não funcionar nenhum)
= 1 – P (não funcionar comp.1 e não funcionar comp.2)
= 1 - P (não funcionar comp.1) x P(não funcionar comp.2)
pois o funcionamento é independente
= 1 – q1 x q2
onde q1 e q2 são, respectivamente as indisponibilidades (isto é, as
probabilidades de não funcionamento) das componentes 1 e 2. Se houver n
componentes ligadas em paralelo, a fiabilidade do sistema é dada por
Rs = 1 - q1 x q2 x q3 x … x qn = 1 -
∏q
i
i
Estatística Aplicada
106
Manual de Exercícios
Veja-se que, no caso de sistemas redundantes, a fiabilidade do sistema
aumenta à medida que aumenta o número de componentes ligadas ao sistema
(que representam como garantias de funcionamento adicionais).
(ii) Associação em paralelo de componentes não redundantes
Se o sistema não fôr redundante, as condições de funcionamento e de avaria
para o sistema têm de ser definidos, isto é, é necessário saber qual o número
mínimo de componentes que necessitam de estar em funcionamento para que
o sistema sobreviva.
Para o efeito, vai considerar-se de novo um sistema composto por quatro
componentes em paralelo. Se as componentes forem todas iguais, com
probabilidade de funcionamento p e de indisponibilidade q, a probabilidade
associada a cada um dos estados possíveis (1, 2, 3 ou 4 componentes, no
mínimo, a funcionar), a fiabilidade do sistema é dada pelo quadro seguinte:
Nº mínimo de componentes
necessárias ao funcionamento do
sistema
4
3
2
1
Probabilidade de o sistema funcionar
p4
p4 + 4p3q
4
p + 4p3q + 6p2q2
p4 + 4p3q + 6p2q2 + 4pq3
Ou seja, a fiabilidade do sistema funcionar pode ser calculada recorrendo à lei
binomial. Assim, por exemplo, para um nº mínimo de 3 componentes
necessárias, vem:
Rs
= P(pelo menos 3 componentes a funcionar)
= P(funcionarem as 4) + P (funcionarem 3)
= C 44 p 4 q 4− 4 + C 34 p 3 q 4−3
= p 4 + 4 p3q
Por exemplo, se todos os componentes tivessem fiabilidade 0,9 (p=0.9), então
a fiabilidade de um sistema deste tipo seria 94,77%.
Estatística Aplicada
107
Manual de Exercícios
(iii) Associação em série
Quando os componentes se encontram associados em série, para que o
sistema funcione torna-se necessário que todos os componentes se encontrem
em bom estado de funcionamento.
1
2
3
No caso mais vulgar de os componentes serem independentes, a fiabilidade do
sistema é dada por
Rs = p1 x p2 x p3 x ... x pn
No caso de todas as componentes serem iguais
Rs = pn
Facilmente se depreende que a fiabilidade do sistema diminui à medida que
aumenta o número de componentes ligadas em série.
A distribuição exponencial é a mais usada em estudos de fiabilidade, já que a
probabilidade de um componente sobreviver até ao instante t é dada por
e − λt
A probabilidade de avariar até ao instante t é dada por
1 − e − λt
Num sistema com várias componentes em série, em que o componente se
encontra a funcionar no seu período de vida útil, a fiabilidade do sistema é
dada por
Rs = e
−
n
i =1
λi t
(iv) Outros sistemas
Quando a estrutura do sistema não puder ser enquadrada em nenhuma das
anteriores, terão que ser analisadas técnicas mais gerais, tais como a árvore
de avarias. O método consiste basicamente em identificar todos os modos
possíveis de avaria e controlá-los. Assim, supondo que se pretende analisar a
fiabilidade da iluminação de uma sala com uma lâmpada.
Estatística Aplicada
108
Manual de Exercícios
Se o objectivo fôr calcular a probabilidade de falta de energia (acontecimento
secundário) vem
P (avaria) = P (A ∪ B) = P (A) + P(B) + P(A)xP(B)
Para o acontecimento prioritário (sala às escuras) vem:
P(sala às escuras) = P(falta de energia ∪ lâmpada estragada)
Esta metodologia pode ser aplicada a estudos de fiabilidade de sistemas de
protecção e esquemas de comando (fiabilidade de mísseis e reactores
nucleares, por exemplo).
Sala às
escuras
Falta de
energia
Avaria na
rede
Estatística Aplicada
Lâmpada
estragada
Actuação da
protecção
109
Manual de Exercícios
3.7. Aplicações estatísticas
Controlo Estatístico de Qualidade
É do conhecimento geral que nenhum processo de produção executa dois
produtos iguais. Os processos industriais são caracterizados por produzirem
peças cujas características variam dentro de certos valores toleráveis. As
variações são inevitáveis, podendo ser grandes, pequenas, muito ou pouco
dispersas. O conhecimento do tipo, da extensão e da evolução dessas
variações é extremamente importante para podermos garantir que nos é
possível produzir produtos que vão cumprir as especificações, para eles
definidas, a um nível aceitável.
Os testes descritos anteriormente referiam-se em situações em que o estudo
não era cronológico. É simples imaginar situações onde, pelo contrário, o
processo a analisar deva ser monitorado ao longo do tempo. Situações deste
tipo ocorrem em linhas de fabrico de produtos, estudos de conservação de
materiais e máquinas, qualidade de serviços. Duma forma geral, entende-se
por controle de qualidade a monitorização de um processo, cujos resultados de
natureza quantitativa se devem encontrar dentro de determinados limites. Um
processo está sob controle se os resultados estão em conformidade com os
limites impostos; caso contrário, o processo deve ser investigado para que
sejam detectadas as causas do desvio. A "qualidade" pode referir-se a um
valor fixo, que constitui o objectivo desejado (por exemplo, a conformidade da
média relativamente a "limites normais"). A avaliação do processo implica, que
em certos intervalos de tempo se proceda a uma amostragem.
O controlo estatístico de qualidade permite uma intervenção nos processos, no
sentido de se ajustarem e corrigirem os processos, antes de qualquer alteração
não natural passar a fazer efeito de forma contínua. As cartas de controlo são
um instrumento poderoso que permite identificar as causas de variação não
natural nos processos.
Ao definir uma carta de controle para a média, é necessário começar por definir
a norma para µ (µ0) e 2 níveis de controle: os de vigilância “garantida” (limites
Estatística Aplicada
110
Manual de Exercícios
inferior e superior de vigilância: LIV e LSV) e os de controle (limites inferior e
superior de controle: LIC e LSC). Se a média amostral cair fora da área de
tolerância definida pelos LIC e LSC, é por que há alguma anomalia e deve
haver paragem da produção.
Supõe-se que a variável em estudo segue Distribuição Normal, sendo os LIC e
LSC calculados da seguinte forma:
LIC / LSC = µ0 +/-
cσ
n
(metodologia baseada na estimação por intervalos estudada atrás)
Ao definir uma carta de controle para a proporção, por exemplo, de
defeituosos, é necessário começar por definir a norma para p (p0) e 2 níveis de
controle: os de vigilância “garantida” (limites inferior e superior de vigilância: LIV
e LSV) e os de controle (limites inferior e superior de controle: LIC e LSC). Se
a proporção amostral cair fora da área de tolerância definida pelos LIC e LSC,
é por que há alguma anomalia e deve haver paragem da produção.
Os LIC e LSC calculados da seguinte forma:
Estatística Aplicada
111
Manual de Exercícios
pˆ (1 − pˆ )
n
(metodologia baseada na estimação por intervalos estudada atrás)
As cartas de controlo são instrumentos fáceis e simples de aplicar pelos
LIC / LSC = p0 +/-
executantes, no sentido de se obter o controlo contínuo do processo. Podem
ser traçadas nos próprios locais de trabalho, dando informações preciosas
sobre os momentos em que são necessárias acções correctivas.
Desde que o processo esteja sob controlo estatístico, as cartas de controlo
permitem prever de forma adequada o comportamento do processo, e melhorar
os processos, com base na informação disponível nas cartas, no sentido de
reduzir a sua variabilidade.
As cartas são elaboradas a partir de medições efectuadas de uma
característica do processo (a média, por exemplo). Os dados são obtidos de
amostras de tamanho constante, geralmente 3 ou 5 unidades, recolhidas
consecutivamente em intervalos de tempo constantes. Deve ser elaborado um
plano de recolha de dados, que deverá ser usado como base para a colheita,
registo e marcação dos dados no gráfico. As amostras a utilizar devem ser de
tamanho racional, isto é, devem ser eficazes para o controlo sem acarretar
esforço demasiado e desnecessário na colheita.
A interpretação dos limites de controlo é a seguinte: se a variabilidade peça a
peça do processo permanecesse constante e nos níveis encontrados, seria
legítimo concluir que na base de um ponto fora dos limites de controlo estariam
causas que importa conhecer e sanear. Um ponto fora do controlo deve
merecer uma análise imediata quanto à causa.
Pode ser mantido um registo das médias amostrais por meio de uma carta
como a representada na figura abaixo, denominada carta de controle de
qualidade.
Cada vez que for calculada uma média amostral, ela será representada por um
ponto particular. Enquanto eles caírem entre o limite inferior e o superior, o
processo está sob controle. Quando um ponto estiver fora desses limites de
Estatística Aplicada
112
Manual de Exercícios
controle (como ocorreu com a terceira amostra tomada na quinta-feira), há a
possibilidade de haver alguma anomalia, o que justifica uma investigação.
Os limites de controlo especificados são denominados de limites de confiança.
A escolha, em cada caso, depende das circunstâncias particulares de cada
processo.
Média
Amostral
(cm)
Segunda-feira
LSuperior
•
•
•
Estatística Aplicada
•
•
50
LInferior
Terça-feira
•
•
Quarta-feira
•
•
•
•
Quinta-feira
•
•
•
•
•
•
•
•
Sexta-feira
•
•
•
•
•
•
•
113
Manual de Exercícios
3.8. Aplicações estatísticas
Tratamento estatístico de inquéritos
3.8.1 Teste de independência do qui-quadrado
O teste do
é muito eficiente para avaliar a associação existente entre
variáveis qualitativas. Trata-se de um teste de hipóteses semelhante aos
anteriormente estudados, mas que se inclui na categoria dos testes nãoparamétricos, isto é, aqueles que não incidem explicitamente sobre um
parâmetro de uma ou mais populações (por exemplo, o valor esperado ou a
proporção, como os estudados anteriormente). No entanto, a lógica de
formulação das hipóteses e de definição de uma regra de decisão é
equivalente aos testes paramétricos. O princípio básico deste método nãoparamétrico é comparar as divergências entre as frequências observadas e as
esperadas.
Este teste encontra aplicabilidade no tratamento estatístico de inquéritos. De
facto, para além do tratamento frequencista dos inquéritos, é por vezes
interessante aferir da existência de relações estatísticas relevantes entre as
diversas questões (por exemplo, testar se há alguma coerência entre quem
respondeu à opção 1 da pergunta X e à opção 2 da pergunta Y). O estudo
destas relações encontra aplicabilidade no campo das análises de mercado,
em que o objectivo é proceder à sua segmentação. A existência de
associações entre as questões permite determinada um vector comum entre
grupos de inquiridos que responderam de forma semelhante a certo tipo de
questões (concluir algo como que os habitantes de uma dada área foram
sempre os que assinalaram determinado tipo de respostas e constituem, por
isso, um segmento geográfico autónomo e com características próprias de
entre o total dos inquiridos).
De uma maneira geral, pode dizer-se que dois grupos se comportam de modo
semelhante se as diferenças entre as frequências observadas e as esperadas
em cada categoria forem muito pequenas ou próximas de zero.
Estatística Aplicada
114
Manual de Exercícios
Exemplo:
Um pesquisador deseja verificar se há associação entre três cursos de uma
universidade e dependência de drogas. Entrevistou 120 alunos, sendo 25 de
Medicina, 35 de Farmácia e 60 de Biologia, perguntando sobre o uso de
drogas, admitindo somente duas respostas: sim ou não. Após o processamento
dos dados, chegou-se à seguinte tabela de distribuição de frequências:
Medicina
Farmácia
Biologia
Total
Usa drogas
10
20
30
60
Não usa drogas
15
15
30
60
Total
25
35
60
120
As tabelas como aquela na qual se apresentam os resultados referentes ao
exemplo são habitualmente designadas de tabelas de contingência. Admitase que os resultados que nela figuram resultam de amostras aleatórias. Tais
resultados representam o número de observações incluídas nas diferentes
combinações das classes nas quais as duas variáveis em estudo se exprimem.
Mod. 1
Mod. 2
…
Mod. n
Total
Modalidade 1
n11
n12
…
…
n1.
Modalidade 2
n21
n22
…
…
n2.
…
…
…
…
…
…
Modalidade n
…
…
…
nnn
ni.
Total
n.1
n.2
…
n.j
n
onde
nij: frequência observada na célula ij
n.j: frequência marginal observada na modalidade j
ni.: frequência marginal observada na modalidade i
n: dimensão da amostra
Estatística Aplicada
115
Manual de Exercícios
O objectivo do teste é o de verificar se as duas variáveis em questão são ou
não relacionadas. As hipóteses nula e alternativa são então as seguintes:
Ho: As variáveis são independentes
H1: As variáveis não são independentes
As frequências observadas são obtidas directamente dos dados da amostra,
enquanto que as frequências esperadas são calculadas a partir destas, sob o
pressuposto de que Ho é verdadeira, isto é, admitindo a hipótese de
independência.
Na prática, a frequência esperada é calculada pela multiplicação do total da
coluna respectiva pelo total da linha a que pertence, dividindo-se o produto pela
dimensão total da amostra:
eij =
O
n i . * n. j
n
é calculado da seguinte forma:
(nij − eij ) 2
=
i
j
eij
Note-se que o numerador faz referência à diferença entre frequência observada
e frequência esperada, que deverá ser calculada para cada célula da tabela.
Quando as frequências observadas são muito próximas das esperadas, o valor
do numerador é pequeno; no entanto, quando as discrepâncias são grandes, o
valor do numerador passa a ser grande e, consequentemente, o
assume
valores altos. Ou seja, quando há fortes discrepâncias entre o que de facto foi
observado e o que seria de esperar sob a hipótese de independência, a
variável de decisão
assume um valor elevado e há motivos ou significância
estatística para rejeitar Ho.
No teste qui-quadrado compara-se o valor
calculado com o valor crítico
fornecido em uma tabela, considerando o nível de significância adoptado e os
graus de liberdade GL ou d.f. (obtidos por (número de linhas-1)*(número de
colunas-1)).
Estatística Aplicada
116
Manual de Exercícios
Tome-se o caso de GL (d.f.) = 4:
Para
o
nível
de
significância
tabela de valores críticos da
Rejeita-se a hipótese nula se
de
5%,
obtém-se
da
(ver página seguinte):
for maior que o valor crítico fornecido na
tabela.
Resolução:
Como pode ser observado, entre os 120 alunos incluídos no estudo há um
número igual (60) que afirma usar e não usar drogas. No entanto, a distribuição
entre os vários cursos não ocorre de forma homogénea.
Medicina
Farmácia
Biologia
Total
Usa drogas
10
20
30
60
Não usa drogas
15
15
30
60
Total
25
35
60
120
Os dados são do tipo qualitativo, pois cada aluno entrevistado foi classificado
sob uma determinada categoria. Neste caso, pode usar-se o teste do quiquadrado com duas hipóteses de trabalho:
Ho: Não há associação entre tipo de curso e dependência de drogas
H1: Há associação entre tipo de curso e dependência de droga
Estatística Aplicada
117
Manual de Exercícios
Se o
obtido fôr maior ou igual ao
Para o cálculo do
crítico, Ho deverá ser rejeitada.
recomendam-se os seguintes passos:
1. Calcular as frequências esperadas eij =
n i . * n. j
n
Por exemplo, se as duas variáveis fossem independentes, seria de esperar que
o número de estudantes de Medicina a admitir usar drogas fosse de:
eij =
ni. * n. j
=
n
25 * 60
= 12,5
120
2. As frequências esperadas deverão ser anotadas nas correspondentes
células:
Usa drogas
Não usa drogas
Medicina
Farmácia
Biologia
Total
nij
10
20
30
60
eij
12,5
17,5
30,0
nij
15
15
30
eij
12,5
17,5
30,0
25
35
60
Total
3. A seguir aplica-se a fórmula
(nij − eij ) 2
=
i
j
eij
60
120
= …=1,7
4. Determinam-se os graus de liberdade na tabela
Os graus de liberdade da tabela são calculados multiplicando
(número de linhas-1)*(número de colunas-1)= (2-1)*(3-1)=2 GL
5. Por último, compara-se o valor do
observado obtido (1,7) com o valor do
crítico, considerando os graus de liberdade (GL) e o nível de significância
adoptado (ver tabela anexa).
Vem que o
obsv.=1,7 é menor do que o valor obtido a partir da tabela, que
é 5,991 (cruzamento da linha 2 com a coluna 0,05). Assim sendo, a hipótese Ho
não pode ser rejeitada, concluindo-se que, no grupo estudado, não há
associação entre as variáveis. Em média, a proporção de alunos que usam ou
não drogas não varia entre os cursos.
Estatística Aplicada
118
Manual de Exercícios
Observação:
Caso 20% ou mais das células tenham frequências esperadas menores que 5,
ou haja uma ou mais frequências esperadas com valores menores ou igual a 1,
não se deve usar o teste do
. Uma boa alternativa para estes casos é o
agrupamento de linhas e colunas adjacentes, desde que tenha algum sentido
lógico, de modo a diminuir os graus de liberdade associados.
Estatística Aplicada
119
Manual de Exercícios
! " ! #$&%'($ )"*+, -./0120
0.995
0.975
0.9
0.5
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
1
0.000
0.001
0.016
0.455
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879 10.827
2
0.010
0.051
0.211
1.386
4.605
5.991
7.378
9.210 10.597 13.815
3
0.072
0.216
0.584
2.366
6.251
7.815
9.348 11.345 12.838 16.266
4
0.207
0.484
1.064
3.357
7.779
9.488 11.143 13.277 14.860 18.466
5
0.412
0.831
1.610
4.351
9.236 11.070 12.832 15.086 16.750 20.515
6
0.676
1.237
2.204
5.348 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 22.457
7
0.989
1.690
2.833
6.346 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 24.321
8
1.344
2.180
3.490
7.344 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 26.124
9
1.735
2.700
4.168
8.343 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 27.877
10
2.156
3.247
4.865
9.342 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 29.588
11
2.603
3.816
5.578 10.341 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 31.264
12
3.074
4.404
6.304 11.340 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300 32.909
13
3.565
5.009
7.041 12.340 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 34.527
14
4.075
5.629
7.790 13.339 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 36.124
15
4.601
6.262
8.547 14.339 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 37.698
16
5.142
6.908
9.312 15.338 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267 39.252
17
5.697
7.564 10.085 16.338 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 40.791
18
6.265
8.231 10.865 17.338 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 42.312
19
6.844
8.907 11.651 18.338 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 43.819
20
7.434
9.591 12.443 19.337 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997 45.314
21
8.034
10.283 13.240 20.337 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 46.796
22
8.643
10.982 14.041 21.337 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 48.268
23
9.260
11.689 14.848 22.337 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 49.728
24
9.886
12.401 15.659 23.337 33.196 36.415 39.364 42.980 45.558 51.179
25 10.520 13.120 16.473 24.337 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 52.619
26 11.160 13.844 17.292 25.336 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290 54.051
27 11.808 14.573 18.114 26.336 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 55.475
28 12.461 15.308 18.939 27.336 37.916 41.337 44.461 48.278 50.994 56.892
29 13.121 16.047 19.768 28.336 39.087 42.557 45.722 49.588 52.335 58.301
30 13.787 16.791 20.599 29.336 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 59.702
Estatística Aplicada
120
Manual de Exercícios
FIABILIDADE
Exercícios
Exercício 1
Num centro comercial, está instalado um sistema de 10 máquinas para
utilização de cartão multibanco. Diz-se que o sistema está em funcionamento
se pelo menos uma das máquinas funciona. Suponha que cada máquina
funciona independentemente das outras e a probabilidade de funcionamento de
cada máquina é 85%. Calcule a probabilidade do sistema estar em
funcionamento.
Resolução
P(avaria) = 1-0,85 = 15%
P(sistema estar em funcionamento) = 1 – P(sistema avariar)
= 1 – P(nenhuma das máquinas funcionar)
= 1 – P(maq1 não funcionar e...e maq 10 não funcionar)
= 1 – 0,15*0,15*...*0,15 = 1 (aproximadamente)
2. Quatro componentes de um sistema encontram-se associados de acordo
com a figura junta. Estão no seu período de vida útil e as taxas médias de
avarias são 10-4 avarias/hora (A), 2x10-5 avarias/hora (B e C) e 5x10-5
avarias/hora (D).
B
A
D
C
Calcule a probabilidade do sistema estar em funcionamento após 5 000 horas.
Resolução
A: Rs = e
−10−4 *5000
D: Rs = e
− ( 5*10−5 ) *5000
Estatística Aplicada
= e −0,5 = 60,6531%
= e −0, 25 = 77,8801%
121
Manual de Exercícios
B e C: Rs = e
− ( 2*10−5 ) *5000
= e −0,1 = 90,4837%
P(funcionar 1 ou 2) = 1-P(funcionar nenhuma) = 1 – (1-0,904837)2 = 99,0944%
Logo, P(sistema estar em funcionamento após 5 000 horas) =
= 0,606531*0,990944*0,778801 = 46,8%
Exercício 3
Foram ensaiadas durante 3 000 horas, sem que se verificasse qualquer avaria,
cinco unidades idênticas de um equipamento que se sabe ter uma curva de
sobrevivência que obedece a uma distribuição exponencial, com um MTBF de
17 500 horas.
Calcule a fiabilidade do equipamento.
Resolução
X: tempo de funcionamento sem avarias da máquina (em horas)
(isto é, tempo que decorre entre avarias consecutivas (em horas))
X segue Exp(α=1/17500) MTBF = 17500
Y: nº de avarias no intervalo [0,3000] horas
Rs = e
−
3000
17500
= e −0,171429 = 84,25%
Exercício 4
O tempo de funcionamento sem avarias de uma determinada máquina de
produção contínua segue uma lei exponencial negativa com valor esperado
igual a 4,5 horas. Imagine que a máquina é (re)colocada em funcionamento no
instante t=0 horas.
a) Qual a probabilidade de não ocorrerem avarias antes do instante t=6
horas?
b) Admitindo que a máquina se encontrava em funcionamento no instante
t=4 horas, qual a probabilidade de não ocorrerem avarias até t=6 horas?
c) Qual a probabilidade de se verificarem 2 avarias durante as primeiras 6
horas de funcionamento da máquina?
Estatística Aplicada
122
Manual de Exercícios
Resolução
a) X: tempo de funcionamento sem avarias da máquina (em horas)
(isto é, tempo que decorre entre avarias consecutivas (em horas))
X segue Exp(α=1/4,5)
MTBF = 4,5
P(X ≥ 6) = 1 − P ( X < 6) = 1 −
6
0
1
6
−
1 − 4,5
e dx = e 4,5 = 26,4%
4,5
Ou considerando Y: nº de avarias no intervalo [0,6] horas, como Y segue
Po(1/4,5), vem que P(X ≥ 6) = P(Y=0) = e-λt = e-(1/4,5)t = e-(6/4,5) = 26,4%
−
6
P( X ≥ 6 ∩ X ≥ 4) P( X ≥ 6) e 4,5
b) P(X ≥ 6/ X ≥ 4) =
=
= 4 = 64,1% = P( X ≥ 2)
−
P( X ≥ 4)
P( X ≥ 4)
e 4 ,5
c) Y: nº de avarias no intervalo [0,6] horas
P(Y=2) =
e
−
6
4,5
x(6 / 4,5) 2
= 23,4%
2!
Exercício 5
Sabe-se que um determinado modelo de lâmpadas apresenta no período de
vida útil (3625 horas) um MTBF de 12 000 horas. Calcular:
a) A probabilidade de falha de uma ou mais lâmpadas, num conjunto de 10,
no período de vida útil.
b) Quantas lâmpadas, de um conjunto de 1 000, estarão provavelmente em
funcionamento após 2 000 horas de utilização.
Resolução
a) Rs = e
−
3625
12000
= e −0,302 = 73,9%
Em 10, 1 - P(falhar nenhuma) = 1 - 0,73910 = 1 – 0,0488 = 95,12%
b) Rs = e
−
2000
12000
= e −0,1667 = 84,6%
Estatística Aplicada
Logo, 0,846x1000 lâmpadas = 846
123
Manual de Exercícios
Exercício 6
Num grande centro comercial existem 3 telefones públicos, colocados
estrategicamente a fim de satisfazer adequadamente os utentes. A observação
prolongada do funcionamento dos telefones levou a concluir que as
probabilidades dos 3 telefones, T1, T2 e T3 se encontrarem avariados são,
respectivamente, 0,15, 0,2 e 0,25 e que as avarias são independentes. O grupo
de telefones satisfaz minimamente o serviço se pelo menos 2 estiverem sem
avarias. Qual a probabilidade de pelo menos dois destes telefones estarem
sem avarias?
Resolução
P(pelo menos dois destes telefones estarem sem avarias ) = P(2 ou 3 estarem
sem avarias) = 0,095+0,51=60,5%
P(2 sem avarias) = 0,15*0,2*0,75+0,85*0,2*0,25+0,15*0,8*0,25=9,5%
P(3 sem avarias) = 0,85*0,8*0,75=51%
Exercício 7
Um sistema é constituído por 5 componentes iguais, sendo 0.05 a
probabilidade de um elemento falhar ao longo de qualquer dia da semana. No
caso de nenhum elemento avariar o sistema funciona normalmente; se um dos
elementos avariar o sistema funciona com probabilidade 0.7; se mais de um
elemento avariar o sistema não funciona. Calcule:
a)
a probabilidade do sistema funcionar ao longo do dia.
b)
a função de probabilidade do nº de falhas registadas nos seus
componentes ao longo de um dia, indicando o valor médio de tal
distribuição.
Resolução
a) P(sist. funcionar) = P(0 avariar e funcionar) + P(1 avariar e funcionar)
= (0,955)* 1 + (5*0,954*0,05)*0,7 = 0,7738 + 0,1425 = 91,63%
b) Bi(n=5;p=0,05) Valor médio=5*0,05=0,25
Estatística Aplicada
124
Manual de Exercícios
CONTROLE ESTATÍSTICO DE QUALIDADE
Exercícios
Exercício 1
Uma empresa fabrica e comercializa condutores eléctricos cujas condições de
controlo da produção e aceitabilidade a seguir se indicam (relativos à
resistência de um componente em Ω):
−
Característica sob controlo: µ
−
LIC: 49,8775
−
LSC: 50,1225
−
n=16
−
σ=0,25
−
Proceder-se-á à paragem da produção sempre que os limites de controlo
sejam desrespeitados
−
Um condutor é considerado não defeituoso se a sua resistência em Ω
estiver compreendida entre [49,530; 50, 470]
Nestas condições, determine:
a)
O valor da norma µ0
b)
A probabilidade de se proceder a uma paragem indevida da produção
c)
A probabilidade de, estando a norma a ser cumprida, se produzir um
artigo defeituoso.
Resolução
X: resistência de um componente em Ω
X ∩ N ( µ ; (0,25) 2 )
a)
LIC = µ −
LSC = µ +
cσ
n
cσ
n
= 49,8775
= 50,1225
Como LIC + LSC = 100 vem que µ −
cσ
n
+ µ+
cσ
n
= 2 µ = 100
Logo µ=100/2 = 50 Ω
Estatística Aplicada
125
Manual de Exercícios
b)
P (parar indevidamente o processo produtivo) =
P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) =
1 - P(49,8775 ≤ X ≤ 50,1225 sendo µ=50) =
1 - P(
49,8775 − 50
50,1225 − 50
≤X ≤
)=
0,25
0,25
16
16
1- P(-1,96 ≤ X ≤ 1,96) =
Na tabela da Normal, vem D(1,96) = 0,95 donde
1 – 0,95 = 5%
c)
P(produzir um artigo defeituoso, sendo a norma respeitada) =
1 – P(49,53 ≤ X ≤ 50,47 sendo µ=50) =
1 - P(
49,53 − 50
50,47 − 50
≤X ≤
)=
0,25
0,25
16
16
1 - P(-1,88 ≤ X ≤ 1,88) =
Na tabela da Normal, vem D(1,88) = 0,9399 donde
1 – 0,9399 = 6,01%
Exercício 2
A empresa “TRADECHO, SA” mantém um diferendo com os seus principais
clientes, que afirmam que os produtos produzidos (em série) por esta empresa
não obedecem às normas de qualidade estabelecidas e que são:
-
a norma para o comprimento médio das peças é de 20 cm;
-
a norma para a variância é de 4 e está a ser cumprida;
-
a amplitude do intervalo de controle para a média deve ser de 1,96;
-
a dimensão das amostras a extrair é de 16
Afirmam os clientes que a probabilidade de parar indevidamente o processo
produtivo é superior àquela que decorre das normas.
Estatística Aplicada
126
Manual de Exercícios
a) Determine a probabilidade referida.
b) Represente a carta de controle para a média
c) A recolha de 5 amostras forneceu os seguintes resultados para a média:
20,05
19,90
20,00
20,30
20,15
Qual a medida a tomar?
Resolução
X: comprimento das peças em cm
X ∩ N ( µ ; 4)
a) P (parar indevidamente o processo produtivo) =
P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) =
1 - P(20-1,96/2 ≤ X ≤ 20+1,96/2 sendo µ=20) =
1 - P(
− 0,98
0,98
≤X ≤
)=
2
2
16
16
1- P(-1,96 ≤ X ≤ 1,96) =
Na tabela da Normal, vem D(1,96) = 0,95 donde
1 – 0,95 = 5%
b) e c)
Média
Amostral
(cm)
20,98
Amostra 1
•
•20,5
•
19,02
•
•
20
Amostra 2
•
Amostra 3
•
•
19,90 •
•
•
•
20
•
Amostra 4
•
•
•
•
•
•20,3
Amostra 5
•
•
•20,15
•
•
•
•
Não é necessário parar o processo produtivo (valores dentro dos limites de
controlo).
Estatística Aplicada
127
Manual de Exercícios
Exercício 3
Numa empresa procede-se ao exame das condições de produção relativas à
duração (em horas) das lâmpadas fabricadas (produção em série). Sabe-se
que o desvio-padrão da duração de uma lâmpada é de 100 horas.
O Departamento de Produção construiu o seguinte intervalo para a duração
média de uma lâmpada, a partir de uma amostra de dimensão 100:
[983,55; 1016,45]
parando-se o processo produtivo se o valor médio amostral se situar fora deste
intervalo.
a) Calcule o valor adoptado para a norma (µ0)
b) Determine a probabilidade de se parar indevidamente o processo
produtivo.
Resolução
X: duração das lâmpadas em horas
X ∩ N ( µ ; (100) 2 )
a) LIC = µ −
LSC = µ +
cσ
n
cσ
n
= 983,55
= 1016,45
Como LIC + LSC = 2000 vem que µ −
cσ
n
+ µ+
cσ
n
= 2 µ = 2000
Logo µ=2000/2 = 1000 h
b) P (parar indevidamente o processo produtivo) =
P( X cair fora dos limites de controlo quando µ=µ0) =
1 - P(983,55 ≤ X ≤ 1016,45 sendo µ=1000) =
1 - P(
983,55 − 1000
1016,45 − 1000
≤X ≤
)=
100
100
100
100
1- P(-1,645 ≤ X ≤ 1,645) =
Estatística Aplicada
128
Manual de Exercícios
Na tabela da Normal, vem D(1,645) = 0,9 donde
1 – 0,9 = 10%
Exercício 4
O novo Conselho de Administração da empresa de componentes eléctricas
“Alta Tensão, SA” resolveu efectuar um estudo aprofundado sobre o controle
estatístico de qualidade das peças produzidas. Assim, definiu com o director de
produção os aspectos considerados relevantes no controle da duração média
das componentes:
-
o limite superior de qualidade (LSC) deve ser de 10,8 milhares de horas
-
a amplitude do intervalo não deve exceder 1,96 milhares de horas
-
a probabilidade de se parar indevidamente a produção é de 5%
Sabe-se ainda que o desvio padrão da duração de uma componente é de 4 mil
horas.
a) Determine a dimensão da amostra que é necessário recolher para
cumprir as condições definidas.
b) Calcule a norma.
Resolução
X: duração das componentes em milhares de horas
X ∩ N ( µ ; ( 4) 2 )
a) LSC = µ +
cσ
n
= 10,8
D(c)= 5% logo c= 1,96
2
cσ
n
≤ 1,96 logo 2
b) LSC = µ +
cσ
n
1,96 * 4
n
≤ 1,96 ⇔ n ≥ 64
= 10,8 logo µ = 10,8 -
1,96 * 4
64
= 9,82
Exercício 5
O director de produção da empresa DISLIX, SA pretende implementar um
sistema de controle interno de qualidade de um determinado tipo de geradores
fabricados em série. Para tal, procede à verificação da produção de energia
Estatística Aplicada
129
Manual de Exercícios
eléctrica (em kws/hora) tendo e vista a construção de um intervalo de controle
para a produção média de energia de um gerador que cumpra os seguintes
objectivos:
-
Norma de produção para a média: 10
-
A amplitude do intervalo não deve exceder 3,92
-
A probabilidade de se parar indevidamente a produção não deve
exceder 5%
Sabe-se que o desvio padrão da produção da energia eléctrica de um gerador
é de 4 kws/hora e que a variável segue distribuição Normal.
a) Determine a dimensão mínima da amostra a utilizar para o controle de
produção.
b) Represente a carta de controle para a média.
Resolução
X: energia eléctrica produzida em kws/hora
X ∩ N ( µ ; ( 4) 2 )
a) D(c)= 5% logo c= 1,96
2
cσ
n
≤ 3,92 logo 2
1,96 * 4
n
≤ 3,92 ⇔ n ≥ 16
b)
Média
Amostral
(cm)
Amostra 1
11,96
Amostra 2
•
•
•
•
10
•
8,04
LIC = µ −
•
•
•
•
•
Amostra 3
•
Amostra 4
•
•
•
•
•
•
•
•
Amostra 5
•
•
•
•
•
•
cσ
LSC = µ +
n
cσ
n
= 10 −
1,96 * 4
= 10 +
Estatística Aplicada
16
= 8,04
1,96 * 4
16
•
= 11,96
130
Manual de Exercícios
TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE INQUÉRITOS
Exercícios
Exercício 1
A empresa BrasFruta Lda está a instalar-se em Portugal com um produto
inovador, um concentrado de fruta semelhante a um sumo de fruta natural. A
intenção é vender o produto em cafés, esplanadas e bares que passariam a
dispor de uma imitação perfeita de um sumo acabado de fazerva um preço
vantajoso.
Através de um estudo qualitativo com consumidores, conseguiu-se apurar que
existia uma grande sensibilidade ao preço. Apesar de haver uma preferência
generalizada por sumos naturais face a refrigerantes, os consumidores
mostravam-se cépticos em relação à qualidade quando se falav em preços
baixos.
Entendeu-se então levantar a seguinte questão: “a sensibilidade ao preço é
afectada pelo poder de compra dos clientes?” Numa sondagem efectuada a
1973 clientes potenciais, confrontaram-se os inquiridos com três alternativas:
adquirir sumo natural a preço elevado, adquirir sumo natural a preço baixo ou
adquirir refrigerantes. A sondagem revelou que, dos clientes classes A/B/C1,
598 pagariam um preço mais elevado pelo sumo natural, enquanto 212 não
estariam dispostos a gastar tanto. Em relação aos 977 clientes das classes
C2/D/E, 164 só consumiriam sumo natural se o preço fosse baixo e 285
preferiam refrigerante.
Represente adequadamente e interprete a informação contida nestes dados.
Utilize um nível de significância de 1%.
Resolução
Preço Elevado
Preço Baixo
Refrigerante
Total
A/B/C1
598
212
186
996
C2/D/E
528
164
285
977
Total
1126
376
471
1973
As conclusões foram retiradas pelo recurso à análise correlacionada através do
teste do qui-quadrado. Estes testes foram elaborados sobretudo com o intuito
Estatística Aplicada
131
Manual de Exercícios
de segmentar o mercado. As frequências
foram utilizadas para analisar o
mercado como um todo e para interpretar o resultado dos testes de correlação,
para os quais se convencionou a adopção de um nível de significância de 5%,
considerado razoável face aos valores normalmente utilizados.
Para o cálculo das frequências esperadas, procedeu-se à aplicação de
eij =
n i . * n. j
, de que resultou a seguinte tabela:
n
A/B/C1
C2/D/E
Preço Elevado
Preço Baixo
Refrigerante
Total
nij
598
212
186
996
eij
568.4
189.8
237.8
nij
528
164
285
eij
557.6
186.2
233.2
1126
376
471
Total
977
1973
Ho: As variáveis são independentes
H1: As variáveis não são independentes
crítico (GL=2; α=0,05)=5,991
observado = 31,141
Vem que o
obsv.=31,141 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
que é 5,991 (cruzamento da linha 2 com a coluna 0,05). Assim sendo, a
hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que, no grupo estudado, há
associação entre as variáveis. Em média, o poder de compra do consumidor
influencia a sensibilidade ao preço.
Exercício 2
Aos exames de primeira época de determinada disciplina compareceram 105
alunos, dos quais 20 não tinham prestado qualquer prova durante o ano. O
número de aprovações foi de 33, das quais 3 foram de alunos que não tinham
efectuado provas durante o ano.
Estatística Aplicada
132
Manual de Exercícios
Diga, com base nestes elementos, se, para um nível de significância de 5%, se
pode afirmar que existe independência entre a comparência (ou não) a provas
durante o ano de aprovação (ou não) em exame.
Resolução
Aprovações
Comparecem
Sim
Não
Total
Aprovado
Reprovado
Total
30
3
33
55
17
72
85
20
105
Ho: As variáveis são independentes
H1: As variáveis não são independentes
crítico (GL=2; α=0,05)=3,84
observado = 3,122
Vem que o
obsv.= 3,122 é menor do que o valor obtido a partir da tabela.
Logo, a hipótese Ho não será rejeitada (há independência).
Exercício 3
Com o objectivo de testar se existe relação entre a formação do gerente de
uma dependência bancária e a respectiva “performance”, construiu-se a
seguinte tabela de contingência, relativa a 300 balcões de diferentes bancos:
Formação
Gerente
Vol. Negócios
Baixo
Médio
Elevado
Média
Superior
44
55
51
52
43
55
Que conclui, a um nível de significância de 1%?
Resolução
Ho: As variáveis são independentes
H1: As variáveis não são independentes
Estatística Aplicada
133
Manual de Exercícios
Valores esperados:
Formação
Gerente
Vol. Negócios
Baixo
Médio
Elevado
Média
Superior
48
49
53
48
49
53
crítico (GL=2; α=0,01)=9,21
observado = 2,2876
Valor obsv. est. teste =
Vem que o
(44 − 48) 2
(55 − 53) 2
+ ... +
= 2,2876 > 9,21
48
53
obsv.= 2,2876 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação
entre as variáveis.
Exercício 4
Pretendendo-se analisar o comportamento do volume de divisas ao longo do
ano, deu-se particular atenção à influência exercida pelas remessas de
emigrantes. Assim, o ano foi dividido em duas épocas: Época de Ponta,
compreendendo os meses de vinda de emigrantes (Verão e Natal) e Época
Normal (restantes meses).
Assim, observou-se o nível de Disponibilidades Líquidas sobre o Exterior (DLX)
para cada mês, tendo-se obtido:
Volume DLX
Época
Normal
Ponta
Baixo/Médio
Elevado
150
20
50
80
A um nível de significância de 5%, que pode concluir?
Resolução
Ho: As variáveis são independentes
H1: As variáveis não são independentes
Estatística Aplicada
134
Manual de Exercícios
Valores esperados:
Volume DLX
Época
Normal
Ponta
Baixo/Médio
Elevado
113,33
6,66
86,66
43,33
crítico (GL=1; α=0,05)=5,991
observado = 85,069
Valor obsv. est. teste =
Vem que o
(150 − 113,33) 2
(80 − 43,33) 2
+ ... +
= 85,069 > 3,84
113,33
43,33
obsv.= 85,069 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação
entre as variáveis.
Exercício 5
Num estudo que pretendia averiguar a existência de relação entre a procura de
moeda e a taxa de juro, procedeu-se à recolha periódica de elementos sobre
essas variáveis, construindo-se a seguinte tabela de contingência:
Taxa juro
Proc. Moeda
0-10
10-45
45-70
Reduzida
Média
Elevada
20
20
250
30
400
30
200
30
20
Utilizando um nível de significância de 5%, que conclusão pode tirar?
Resolução
Ho: As variáveis são independentes
H1: As variáveis não são independentes
Valores esperados:
Taxa juro
Proc. Moeda
0-10
10-45
45-70
Estatística Aplicada
Reduzida
Média
Elevada
72.5
130.5
87
115
207
138
62.5
112.5
75
135
Manual de Exercícios
crítico (GL=4; α=0,05)=9,49
observado = 1183,7
Vem que o
obsv.= 1183,7 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação
entre as variáveis.
Exercício 6
Um investigador seleccionou três amostras de estudantes, A, B e C, que fazem
parte de um determinado projecto de estudo e aplicou-lhes uma escala de
atitudes com o objectivo de conhecer as suas opiniões em relação ao projecto.
Os resultados de uma amostra de 140 estudantes foram os seguintes:
Grupo de
Tipo
estudantes
de atitude
Atitude negativa
Atitude positiva
A
B
C
30
10
30
20
10
40
Utilizando um nível de significância de 5%, que conclusão pode tirar?
Resolução
Ho: As variáveis são independentes
H1: As variáveis não são independentes
Valores esperados:
Grupo de
Tipo
estudantes
de atitude
Atitude negativa
Atitude positiva
A
B
C
20
20
25
25
25
25
crítico (GL=2; α=0,05)=3,84
observado = 30
Vem que o
obsv.= 30 é maior do que o valor obtido a partir da tabela,
Assim sendo, a hipótese Ho será rejeitada, concluindo-se que há associação
entre as variáveis.
Estatística Aplicada
136