CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática 7 – MA07A –
Prof. Luiz Antonio Kretzschmar
TURMA T51
PARTE 3
POLIEDROS
CONVEXOS
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
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FACES : São os polígonos
ARESTAS : São os lados dos polígonos
VÉRTICES : São os vértices dos polígonos
ÂNGULOS : São os ângulos dos polígonos
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O plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semiespaço
RELAÇÃO DE EULER
Para todo poliedro convexo vale a relação
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
V+F = A + 2
A soma dos ângulos de cada face de um polígono convexo é S = 180° (n – 2)
A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é
S = 360° (V – 2)
POLIEDROS DE PLATÃO
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Todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas
Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas
Vale a relação de Euler V + F = A + 2
Existem cinco, e somente cinco, classes de POLIEDROS de PLATÃO
Todo poliedro regular é POLIEDRO de PLATÃO, mas nem todo poliedro de Platão
é poliedro regular.
NOME
TETRAEDRO
HEXAEDRO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
m n
3
3
4
3
5
3
4
3
5
3
F
V
A
4
6
8
12
20
4
8
6
20
12
6
12
12
30
30
RELAÇÕES :
 Cada face tem n arestas e como cada aresta está em duas faces: n F = 2 A

Cada um dos V ângulos poliédricos tem m arestas e como cada aresta
contém dois vértices : m V = 2 A
EXERCÍCIOS
1)
Calcule em graus a soma dos ângulos das faces do :
a) tetredro
b) hexaedro
c) octaedro
d) dodecaedro
2)
A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720°. Calcule o número de
faces sabendo que é 2/3 do número de arestas
3)
Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas
tem de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos ?
4)
e) icosaedro
Um poliedro convexo de 15 arestas possui faces quadrangulares e pentagonais.
Quantas
faces tem de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 32 retos ?
5)
Um poliedro possui faces quadrangulares e triangulares. A soma dos ângulos das faces
é 2160°. Sabendo que ele possui 15 arestas, determine o número de faces de cada tipo.
6)
Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcule o
número de vértices e arestas desse poliedro.
7)
Um cristal de rocha tem formato de poliedro que satisfaz a relação de Euler e possui 60
faces triangulares. Calcule:
a) o número de arestas
b) o número de vértices
c) a soma dos ângulos de todas as faces
d) o número de arestas para cada vértice poliédrico
8)
Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5
lados. Calcule o número de vértices e arestas desse poliedro.
9)
Calcule a soma dos ângulos das faces de um poliedro que possui 12 faces e 30 arestas
10)
Num poliedro o número de vértices é igual ao número de faces. Sabendo que ele possui
20 arestas e faces triangulares, quadrangulares e uma pentagonal, determine
a) o número de faces
b) o número de faces triangulares e quadrangulares
c) a soma dos ângulos das faces do poliedro