File - Matemática Discreta 2014/2

1a Lista de Exercı́cios Matemática Discreta
Exercı́cio 1. Faça a tabela verdade para as fórmulas a seguir:
a) ¬P ∨ Q.
b) (S ∨ G) ∧ (¬S ∨ ¬G).
c) ¬ [P ∧ (Q ∨ ¬P )].
d) (P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ R).
Exercı́cio 2. Com o uso de sı́mbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados, escreva cada sentença na lı́ngua portuguesa como uma wff predicativa. (O domı́nio é
todo o mundo.)
D(x) é ”x é um dia.”S é ”segunda-feira.”
S(x) é ”x é ensolarado.”T é ”terça-feira.”
R(x) é ”x é chuvoso.”
a. Todos os dias são ensolarados.
b. Alguns dias não são chuvosos.
c. Todo dia que é ensolarado não é chuvoso.
d. Alguns dias são ensolarados e chuvosos.
e. Nenhum dia é ensolarado e chuvoso.
f. Sempre é dia ensolarado se, e somente se, é um dia chuvoso.
g. Nenhum dia é ensolarado.
h. Segunda-feira foi ensolarada, portanto todo dia será ensolarado.
i. Tanto segunda-feira quanto terça-feira foram chuvosos.
j. Se algum dia for chuvoso, então todos os dias serão ensolarados.
Exercı́cio 3. Com o uso de sı́mbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados, escreva cada sentença da lı́ngua portuguesa como uma wff predicativa. (O domı́nio é
todo o mundo.)
J(x) é ”x é um juiz.”Q(x) é ”x é um quı́mico.”
A(x) é ”x é um advogado.”A(x, y) é ”x admira y.”
M(x) é ”x é uma mulher.”
a. Existem algumas mulheres advogadas que são quı́micas.
b. Nenhuma mulher é advogada e quı́mica.
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c. Alguns advogados só admiram juizes.
d. Todos os juizes admiram apenas juizes.
e. Apenas juizes admiram juizes.
f. Todas as mulheres advogadas admiram algum juiz.
g. Algumas mulheres não admiram advogados.
Exercı́cio 4. Usando os sı́mbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados,
escreva as sentenças na lı́ngua portuguesa como wffs predicativas. (O domı́nio é todo o
mundo.)
A(x) é ”x é uma abelha.”
F(x) é ”x é uma flor.”
G(x) é ”x gosta de y.”
a. Todas as abelhas gostam de todas as flores.
c. Todas as abelhas gostam de algumas flores
e. Apenas abelhas gostam de flores.
g. Nenhuma abelha gosta só de flores.
i. Algumas abelhas gostam apenas de flores.
k. Toda abelha odeia todas as flores.
b. Algumas abelhas gostam de todas as flores.
d. Toda abelha só odeia flores.
f. Toda abelha só gosta de flores.
h. Algumas abelhas gostam de algumas flores.
j. Toda abelha odeia algumas flores.
1. Nenhuma abelha odeia todas as flores.
Exercı́cio 5. Usando os sı́mbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados,
escreva as sentenças na lı́ngua portuguesa como wffs predicativas. (O domı́nio é todo o
mundo.)
C(x) é ”x é uma Corvette.”P(x) é ”x é um Porsche.”
F(x) é ”x é uma Ferrari.”L(x, y) é ”x é mais lento que v.”
a. Nada é, ao mesmo tempo, uma Corvette e uma Ferrari.
b. Alguns Porsches são apenas mais lentos que as Ferraris.
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c. Apenas Corvettes são mais lentas que Porsches.
d. Todas as Ferraris são mais lentas que alguma Corvette.
e. Nenhum Porsche é mais lento que a Corvette.
f. Se existir uma Corvette que seja mais lenta que uma Ferrari, então todas as Corvettes
serão mais lentas que todas as Ferraris.
Exercı́cio 6. Se B(x) for ”x é bonito.”
E(x) for ”x é elegante.”
G(x, y) for ”x gosta de y.”
H(x) for ”x é um homem.”
M(x) for ”x é uma mulher.”
j for ”John.”
k for ”Kathy.”
dê as traduções para a lı́ngua portuguesa das wffs a seguir:
a. E(j) ∧ G(k, j)
b. (∀x) (H(x) → E(x))
c. (∀x) (M (x) → (∀y) (G(x, y) → H(y) ∧ E(y)))
d. (∃x) (H(x) ∧ E(x) ∧ G(x, k))
e. (∃x) (M (x) ∧ B(x) ∧ (∀y) (G(x, y) → E(y) ∧ H(y)))
f. (∀x) (M (x) ∧ B(x) → G(j, x))
Exercı́cio 7. Diversas formas de negação são apresentadas para cada uma das sentenças
a seguir. Qual é a correta?
a. Algumas pessoas gostam de Matemática.
1. Algumas pessoas não gostam de Matemática.
2. Todo o mundo não gosta de Matemática.
3. Todo o mundo gosta de Matemática.
b. Todo o mundo gosta de sorvete.
1. Ninguém gosta de sorvete.
2. Todo o mundo não gosta de sorvete.
3. Alguém não gosta de sorvete.
c. Todo o mundo é alto e magro.
1. Alguém é baixo e gordo.
3
2. Ninguém é alto e magro.
3. Alguém é baixo ou gordo.
d . Alguns retratos estão velhos ou apagados.
1. Nenhum retrato está velho ou apagado.
2. Alguns retratos não estão velhos ou apagados.
3. Todos os retratos não estão velhos ou não estão apagados.
Técnicas de Demonstração
As definições a seguir podem ser úteis na resolução de alguns dos exercı́cios.
Um quadrado perfeito é um inteiro n tal que n = k 2 para algum inteiro
k. Um número primo é um inteiro n > 1 tal que n não é divisı́vel por
nenhum inteiro além de 1 e n. Para dois números x e y, x < y significa
y −x > 0. Dados dois inteiros a e b ,com b 6= 0 dizemos que a|b se a divide b.
Exercı́cio 8. a) Forneça uma demonstração direta de que a soma de inteiros pares é par.
b) Prove por contradição que a soma de inteiros pares é par.
Exercı́cio 9. Prove que o produto de quaisquer dois inteiros consecutivos
é par.
Exercı́cio 10. Mostre que n é par se, e somente se, n2 é par.
Exercı́cio 11. Mostre que n é ı́mpar se, e somente se, n2 é ı́mpar.
Exercı́cio 12. Prove que a soma de um inteiro e do seu quadrado é par.
Exercı́cio 13. Prove que para qualquer inteiro n, o número
3(n2 + 2n + 3) − 2n2
é um quadrado perfeito. Sugestão: Analise a paridade de n.
Exercı́cio 14. Prove que se dois inteiros são ambos divisı́veis por um inteiro n, então a sua soma é divisı́vel por n.
Exercı́cio 15. Prove que se o produto de dois inteiros não é divisı́vel por
um inteiro n, então nenhum dos inteiros é divisı́vel por n. Sugestão: Mostre
por contraposição ou contradição.
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Exercı́cio 16. Sejam a, b e c inteiros.
a) Se a|b e a|c então a|(b + c).
b) Se a|b então a|bc.
Exercı́cio 17. Sejam a, b e p inteiros, com p sendo um número primo. Se
p|ab então p|a ou p|b.
Exercı́cio 18. Prove que um inteiro x é ı́mpar se, e somente se, x + 1 é
par.
Exercı́cio 19. Prove que um inteiro é ı́mpar se, e somente se, for a soma
dedois inteiros consecutivos.
Exercı́cio 20. Prove que a soma de três inteiros consecutivos é divisı́vel
por 3.
Exercı́cio 21. Seja n um número inteiro. Prove que n3 é par se, e somente
se, n é par.
Exercı́cio 22. Seja x um número inteiro. Prove que o resto da divisão de
x2 por 4 é 0 ou 1.
Exercı́cio 23. Prove que a diferença de dois cubos consecutivos é ı́mpar.
Exercı́cio 24. Prove que o quadrado de um número par é divisı́vel por 4.
Exercı́cio 25. Prove que a soma de quadrados de dois inteiros ı́mpares não
pode ser um quadrado perfeito. Sugestão: Mostre por contradição. Também
pode usar o Exercı́cio 25.
Exercı́cio 26. Prove por contradição: Se a soma de dois números primos é
um número primo, entãoo um dos primos deve ser 2. Sugestão: Considere
a paridade da soma.
Exercı́cio 27. Mostre que se n2 é múltiplo de 5, então n é múltiplo de 5.
√
Exercı́cio 28. Mostre que 5 é irracional. Sugestão: Mostre por contradição e use o Exercı́cio 28.
Exercı́cio 29. Seja p um número primo. Mostre que se n2 é múltiplo de
p, então n é múltiplo de p. Sugestão: Utilize o Exercı́cio 17.
√
Exercı́cio 30. Seja p um número primo. Mostre que p é irracional.
Sugestão: Mostre por contradição e use o Exercı́cio 30.
Exercı́cio 31. Prove que para todo x ∈ R, se |x − 3| > 3 então x2 > 6x.
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