Lógica Exercícios de Demonstraç8es Prof. Lúcio Fassarella 1. Prove

Lógica
Exercícios de Demonstrações
Prof. Lúcio Fassarella
1. Prove que todo número inteiro ímpar é a soma de dois números inteiros consecutivos.
2. Sejam a e b números inteiros e c 6= 0 um divisor comum de a e b.
(a) Prove por demonstração direta que c divide a + b, a
b e ab.
(b) Dê um exemplo de inteiros a 6= 0, b e c 6= 0 tais que c divide a e b, mas c não divide b=a.
3. Sejam p e q números racionais. Prove que são racionais: p + q, p
4. Sejam p um número real racional e
q, pq e p=q (se q 6= 0).
um número real irracional.
(a) Prove por redução ao absurdo que p + , p
(b) Dê um exemplo de número irracional
, p e p= são irracionais.
tal que
2
é racional.
5. Prove que se a e b são números reais não nulos, então ab 6= 0.
6. Prove que log32 é um número irracional, usando redução ao absurdo.
7. Dado r 0, prove que existe um único x 2 R tal que x3 = r. (Sugestão: use redução ao absurdo e a
identidade x3 y 3 = (x y) x2 + xy + y 2 .
8. Sejam a e b números reais.
(a) Prove:
ab
a2 + b2
:
2
(b) Prove:
ab
a+b
2
2
:
9. Sejam p < q números racionais não-negativos. Prove que existe um número racional r tal que
p < r < q:
1
10. Mostre que todos os números capícuas de 4 algarismos são divisíveis por 11. (Um número capícua é
um número que não mudam de valor quando lidos da esquerda para a direita ou da direita para a
esquerda. Exemplos: 4444, 1221.)
11. Considere o conjunto
Q
Prove:
o
hp i n
p
7 = a + b 7 ; a; b 2 Q :
p
7 e12Q 7
p
p
(b) Se x; y 2 Q 7 , então x + y; x y; xy 2 Q 7 .
p
p
(c) Se x 2 Q 7 , existe y 2 Q 7 tal que xy = 1?
(a) 0 2 Q
p
2