Lista de Exercícios: Provas1 Exercícios - IC

Instituto de Computação
Universidade Estadual de Campinas
Lista de Exercícios: Provas1
MC348 Fundamentos Matemáticos para Computação
Pedro J. de Rezende
1 o Semestre de 2008
Assunto: Técnicas de provas
Exercícios
1. Se x e y são ímpares, prove que o produto xy é ímpar. (Demonstração direta).
2. Prove que se xy é ímpar então x e y são, individualmente, ímpares. (Demonstração por
contrapositiva).
3. Dizemos que a divide x, denotado, a|x, se existe b tal que a · b = x. Mostre que se a|x e
a|(x + y) então a|y . (Demonstração direta).
4. Seja a ≥ 0, prove que se a2 ≤ 1 então a ≤ 1. (Demonstração por contrapositiva).
5. Prove que a soma de três números inteiros e consecutivos é divisível por 3. (Demonstração
direta).
√
6. Prove por contradição que 2 é irracional.
Dica: Um número é racional se puder se escrito na forma ab onde a, b ∈ Z e mdc(a, b) = 1.
7. Prove que para todo par de números racionais x e y , x · y é racional.
8. Prove que existem números racionais x e y tais que xy é irracional. Sua prova é construtiva
ou existencial?
9. Prove que existem números irracionais x e y tais que xy é racional. Sua prova é construtiva
ou existencial?
10. Prove que o conjunto dos números primos é innito.
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Com a colaboração de Fábio P. Selmi-Dei e Célia P. de Mello.