Física Geral 3001 Cap2 – Campo Elétrico 3ª Aula
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Física Geral 3001 Cap 4 – Capacitancia (Cap. 27 – Halliday, Cap. 23 Sears, Cap 33 Tipler – vol 2) 13ª Aula/14ª Aula Sumário 4.1 - Introdução 4.2 – Cálculo da Capacitância 4.3 – Capacitores em série e em paralelo 4.4 – Armazenamento de energia em um campo elétrico 4.5 – Capacitores com dielétrico 4.1 Introdução Neste capítulo introduziremos o conceitos de capacitor e capacitância. Capacitores: armazenam energia potencial proveniente do campo elétrico. Observe: • Capacitor: Dispositivo; • Capacitância: Propriedade que o dispositivo tem de armazenar carga. Apresentam-se numa grande variedade de tamanhos e formas: basicamente são dois condutores isolados de forma arbitrária Símbolo do capacitor : ( ) Quando o capacitor é carregado suas placas adquirem cargas iguais, porem com sinais diferentes Observe: carga líquida é zero Entre as placas pode haver um meio, como plástico, vidro etc – meio dielétrico. Por enquanto vamos considerar o ar! Todos os pontos sobre uma mesma placa tem o mesmo potencial: diferença de potencial entre as placas é V q q Podemos estabelecer uma relação de proporcionalidade entre a carga q e a diferença de potencial V 𝑞 = 𝐶𝑉 C: CAPACITÂNCIA 𝑞 𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝐶= = ≡ 𝐹𝐴𝑅𝐴𝐷 𝑉 𝑉𝑜𝑙𝑡 Farad é uma unidade muito grande, convencionou-se o uso de sub múltiplos: 1𝜇𝐹 = 10−6 𝐹 1𝑝𝐹 = 10−12 𝐹 Carga do capacitor: Ao fechar a chave S um fluxo de carga origina cargas +q sobrea placa da direita e -q sobre a da esquerda, até que uma diferença de potencial V entre as placas seja estabelecida Descarga do capacitor: Ao abrir a chave S, o capacitor funcionará como uma bateria até que a energia armazenada entre suas placas cesse. 4.2 Cálculo da Capacitância Podemos calcular capacitância de um capacitor desde que saibamos sua geometria Roteiro de cálculo: 1- supor uma carga q sobre as placas 2- calcular o campo elétrico entre as placas usando a lei de Gauss 3- conhecendo-se E calcula-se V 4- Calcula-se C fazendo C = q/V Aplicações: 1-capacitores com placas paralelas 1- carga q sobre as placas 2- Campo elétrico 𝜀0 𝐸. 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞 𝜀0 𝐸𝐴 = 𝑞 − 3- Dif. de Potencial: 𝑉= 𝑑 𝐸𝑑𝑆 = 𝐸 + 4- Cálculo da capacitância: 𝐹 𝜀0 =8,85× 10−12 𝑚 = 𝐹 8,85𝑝 𝑚 𝑑𝑆 = 𝐸𝑑 0 𝑞 𝜀0 𝐸𝐴 𝐶= = 𝑉 𝐸𝑑 = 8,85 × 𝐶2 −12 10 𝑁𝑚2 𝜀0 𝐴 𝐶= 𝑑 Aplicações: 2-capacitores cilíndricos 1- Cilindros coaxiais de raios a e b e comprimento l, com uma distribuição de cargas sobre eles 2- Campo elétrico 𝜀0 𝐸. 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞 𝜀0 𝐸(2𝜋𝑟𝑙) = 𝑞 𝑞 𝐸= 𝜀0 2𝜋𝑟𝑙 3- Dif. de Potencial: − 𝑉= + 4- Cálculo da capacitância: 𝑞 𝐸𝑑𝑆 = 𝜀0 2𝜋𝑙 𝑞 𝐶= = 𝑉 𝑏 𝑎 𝑞 𝑞 𝑏 ln 𝜀0 2𝜋𝑙 𝑎 𝑑𝑟 𝑟 = 𝜀0 2𝜋 𝑞 𝑏 V= ln 𝜀0 2𝜋𝑙 𝑎 𝑙 𝑏 ln 𝑎 Aplicações: 3-capacitores esféricos 2- Campo elétrico 𝜀0 𝐸. 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞 𝜀0 𝐸(4𝜋𝑟 2 ) = 𝑞 𝑞 𝐸= 𝜀0 4𝜋𝑟 2 − 3- Dif. de Potencial: 𝑉= + 𝑞 𝐸𝑑𝑆 = 𝜀0 4𝜋 𝑏 𝑎 𝑑𝑟 𝑟2 𝑞 1 1 V= − 𝜀0 4𝜋 𝑎 𝑏 4- Cálculo da capacitância: 𝑞 𝐶= = 𝑉 𝑞 𝑎𝑏 = 4𝜋𝜀0 𝑞 1 1 𝑏−𝑎 − 𝜀0 4𝜋 𝑎 𝑏 Aplicações: 4-capacitores de uma esfera isolada Podemos atribuir uma capacitância a um único condutor de raio R, supondo que a placa que “falta” é uma esfera de raio infinito: 𝑎𝑏 1 𝑎𝑏 𝐶 = 4𝜋𝜀0 = 4𝜋𝜀0 𝑏−𝑎 𝑏 1−𝑎 𝑏 𝑎 𝐶 = 4𝜋𝜀0 𝑏 →∞𝑒𝑎 ≡𝑅 𝑎 1− 𝑏 𝐶 = 4𝜋𝜀0 𝑅 4.3 – Capacitores em série e em paralelo - Capacitores em paralelo Dizemos que dois capacitores combinados estão ligados em paraleloa , quando a diferença de potencial aplica através da combinação, resulte na mesma diferença de potencial através de cada capacitor 𝑞1 = 𝐶1 𝑉 𝑞2 = 𝐶2 𝑉 𝑞3 = 𝐶3 𝑉 𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑉 𝑞 𝑞 = 𝐶𝑒𝑞 𝑉 → 𝐶𝑒𝑞 = = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑉 𝑛 𝐶𝑒𝑞 = 𝐶𝑖 𝑖=1 - Capacitores em série Dizemos que dois capacitores combinados estão ligados em série, quando a diferença de potencial aplica através da combinação é a soma das diferença de potencial resultante através de cada capacitor 1 1 1 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑞( + + ) 𝑞 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝑉1 = 𝐶1 𝑞 1 𝐶𝑒𝑞 = = 𝑞 1 1 1 𝑉 + + 𝑉2 = 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶2 𝑞 𝑉3 = 𝐶3 1 1 1 1 = + + 𝐶𝑒𝑞 𝐶1 𝐶2 𝐶3 1 = 𝐶𝑒𝑞 𝑛 𝑖=1 1 𝐶𝑖 4.4 – Armazenamento de energia em um campo elétrico Vamos considerar: • Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor • O trabalho necessário para carregar o capacitor é armazenado sob a forma de energia potencial elétrica U no campo formado pelas placas. • Supomos que em determinado instante uma carga q’ já tenha sido transferida de uma placa para outra. Logo temos: 𝑉′ 𝑞′ = 𝐶 • Sendo assim, o trabalho para transferir uma carga extra dq’ é: 𝑞′ 𝑑𝑤 = 𝑑𝑞′ 𝐶 𝑑𝑊 = 𝑉 ′ 𝑑𝑞′ 𝑤= 1 𝑑𝑤 = 𝐶 𝑞 0 2 𝑞 𝑞 ′ 𝑑𝑞 ′ = 2𝐶 • Como o trabalho é armazenado sob a forma de energia potencial elétrica U no capacitor: 𝑞2 𝑊=𝑈= 2𝐶 𝑈= 𝑞2 𝐶 . 2𝐶 𝐶 = 𝐶𝑞2 2𝐶 = 𝐶𝑉 2 . 2 * Densidade de energia: 𝑈 𝑢= 𝑣 Vamos considerar um capacitor plano por simplicidade 𝑈 𝐶𝑉 2 𝑢= = 𝐴𝑑 2𝐴𝑑 𝐸= 𝑉 𝑑 1 𝜀0 𝐴 𝐸 2 𝑑 2 𝑢= 2 𝑑 2𝐴𝑑 𝜀0 𝐴 𝐶= 𝑑 𝜀0 𝐸 2 𝑢= 2 Valido para qualquer capacitor 4.5 – Capacitores com dielétrico Anteriormente analisamos o comportamento de capacitores tendo, entre suas placas, somente o ar. Agora, entre elas, vamos introduzir um material isolante, um dielétrico, tal qual um óleo mineral, plástico, etc. Como muda a capacitância ?? • Michael Faradey:1837 - primeiro a observar • A capacitância aumenta por um fator numérico 𝜅 – constante dielétrica 𝐶 ′ = 𝜅𝐶 • Limita a diferença de potencial V, entre as placas, a um valor 𝑉𝑚𝑎𝑥 • Se 𝑉𝑚𝑎𝑥 for substancialmente excedido o material dielétrico se romperá originando um caminho condutor entre as placas • Todo material possui uma rigidez dielétrica característica que é a intensidade máxima de campo elétrico suportada pelo material • Sendo assim, a capacitância de qualquer capacitor pode ser escrita como: 𝐶 = 𝜀0 ℒ 𝐴 ℒ= 𝑑 2𝜋𝐿 ℒ= 𝑏 ln 𝑎 4𝜋𝑎𝑏 ℒ= (𝑏 − 𝑎) Placas paralelas Cilíndrico Esférico Para um capacitor preenchido completamente por um dielétrico 𝐶 = 𝜅𝜀0 ℒ 𝐶 = 𝜅𝐶𝑎𝑟 • Em uma região completamente preenchida por um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contem 𝜀0 deve ser modificada, substituindo-se aquela constante por 𝜅𝜀0 1 𝑞 1 𝑞 𝐸= →𝐸= 2 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜅𝜀0 𝑟 2 𝐸= 𝜎 𝜀0 →𝐸= 𝜎 𝜅𝜀0 • Lei de Gauss para dielétricos 𝜀0 𝐸0 𝐸= 𝜅 𝑞 − 𝑞′ 𝑞 = 𝜀0 𝐴 𝜅𝜀0 𝐴 𝜅𝐸. 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞 𝜀0 𝐸. 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞 𝑞 𝐸0 = 𝜀0 𝐴 𝜀0 𝜅𝐸. 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞 − 𝑞′ 𝐸= 𝑞 − 𝑞′ 𝜀0 𝐴 • O efeito do dielétrico é enfraquecer o campo por um fator 𝜅 𝑞 − 𝑞′ = 𝑞 𝜅 Assim podemos escrever a lei de Gauss como: 𝜀0 𝜅𝐸. 𝑛𝑑𝐴 = 𝑞
