2 - Minilua

Capacitância
Prof. Fernando G. Pilotto
UERGS
Capacitores
O capacitor é um dispositivo prático
para o armazenamento de energia
elétrica.
Os flashs de máquinas fotográficas e os desfibriladores médicos usam
capacitores para primeiramente armazenar energia vinda da bateria
(carregamento lento) e depois liberar essa energia (descarregamento rápido)
numa corrente elétrica intensa.
Capacitores de
placas paralelas
Capacitores
cilíndricos
Capacitância
Capacitância é a capacidade que um capacitor tem de armazenar cargas
elétricas.
q
C=
V
Unidade: Farad
1 F = 1 C/V
Quanto maior for a capacitância, maior será a carga armazenada por unidade
de voltagem aplicada.
V
+q
-q
Capacitores são
normalmente
vendidos em µF,
nF e pF.
Num condutor qualquer, a carga acumulada é
proporcional ao potencial ao qual ele está submetido.
Isso acontece porque as cargas se distribuem sempre
da mesma maneira num condutor. Se mais carga for
colocada no condutor, cada parte receberá sua carga
de maneira proporcional e o potencial aumentará
também proporcionalmente.
A capacitância é uma propriedade do
capacitor (depende de sua geometria).
Carregando um capacitor
Inicialmente as placas estão descarregadas.
A bateria fornece uma diferença de potencial
(voltagem) V constante.
Quando a chave S é ligada, a placa h terá
uma voltagem positiva e a placa l uma
voltagem negativa.
Isso é feito por uma corrente de elétrons que vai da placa h (de onde os
elétrons saem) para a placa l (onde os elétrons chegam).
Quando a diferença de potencial entre as placas é a mesma da bateria, a
corrente cessa e as placas ficam carregadas.
Veremos isso em mais detalhes na aula 7.
Capacitor de placas paralelas
Efeito de borda
Capacitor de
placas paralelas
idealizado
1
Aplicando a lei de Gauss na placa positiva,
podemos relacionar o campo elétrico no capacitor
com a carga acumulada nele:
área da placa
ε 0 ∫ E ⋅ d A = qenv
O campo é
perpendicular
à placa:
ε 0 EA = q
carga na placa
2
Cálculo da diferença de potencial entre as placas.
f
V f − Vi = − ∫ E ⋅ d s
i
O campo elétrico e o elemento infinitesimal de caminho têm sentidos opostos.
+
+
−
−
V = − ∫ − Eds = E ∫ ds = Ed
3
Cálculo da capacitância.
q ε 0 EA ε 0 A
C= =
=
V
Ed
d
A capacitância depende
só da geometria
C=
ε0 A
d
Resumo:
1) relacionamos a carga com o campo
através da lei de Gauss
2) relacionamos o potencial com o
campo
3) determinamos a capacitância
Capacitor cilíndrico
1
Aplicação da lei de Gauss na placa positiva:
ε 0 ∫ E ⋅ d A = qenv
ε 0 E 2πrL = q
ε 0 EA = q
Desta vez o campo depende de r:
E=
q
2πε 0 Lr
2
Cálculo da diferença de potencial
entre as placas.
f
V f − Vi = − ∫ E ⋅ d s
i
O campo elétrico e o elemento infinitesimal de caminho têm sentidos opostos.
+
a
−
b
V = − ∫ − Eds = ∫
b
V=
ln 
2πε 0 L  a 
q
q
2πε 0 Lr
(−dr ) = −
q
2πε 0 L
(ln a − ln b )
Os elementos infinitesimais ds e dr
têm sentidos opostos.
3
Vimos que o potencial é dado por:
b
V=
ln 
2πε 0 L  a 
q
A capacitância então é:
2πε 0 L
q
C= =
V ln(b / a)
Ligação em série e em paralelo
Dispositivos bipolares, ou seja, que têm dois polos e são conectados ao circuito por
dois fios condutores, podem ser ligados em série ou em paralelo.
Ligação em série: os dispositivos são ligados em sequência, conectando-se um polo
de um deles a um polo do outro. A corrente elétrica que passa por eles é a mesma.
Ligação em paralelo: os dispositivos são conectados pelos dois polos. A diferença de
potencial nos dispositivos é a mesma.
Capacitores em série
esta parte do circuito está isolada do resto
se numa placa a carga é +q, na outra será –q
então, a carga nos 2 capacitores é a mesma
q = C1V1
q = C2V2
O conjunto de 2 capacitores em série pode ser entendido
como um capacitor com capacitância Ceq.
Ceq
queda total de potencial: V
queda no capacitor 1: V1
queda no capacitor 2: V2
Veq = V1 + V2
Ceq
O capacitor equivalente tem carga q e a voltagem
entre as placas é V.
qeq = CeqVeq
Veq = V1 + V2
qeq
q
q
=
+
Ceq C1 C2
qeq = q1 = q2
Veq = V1 + V2
1
1
1
=
+
Ceq C1 C2
Fórmula para a capacitância
equivalente de 2 capacitores em
série.
Capacitores em paralelo
As placas positivas estão à mesma voltagem.
As placas negativas estão à mesma voltagem.
Os capacitores têm a mesma diferença de potencial.
q1 = C1V
Ceq
q2 = C2V
O conjunto de 2 capacitores em paralelo pode ser
entendido como um capacitor com capacitância Ceq.
carga total acumulada: q
carga acumulada no capacitor 1: q1
carga acumulada no capacitor 2: q2
qeq = q1 + q2
Ceq
O capacitor equivalente tem carga q e a voltagem
entre as placas é V.
qeq = CeqVeq
qeq = q1 + q2
CeqV = C1V + C2V
qeq = q1 + q2
Veq = V1 = V2
Ceq = C1 + C2
Fórmula para a capacitância
equivalente de 2 capacitores em
paralelo.
Energia potencial de um sistema
de cargas
Repeteco!!!
A energia potencial de um sistema de cargas é igual a energia necessária
para colocar as cargas juntas, trazendo-as do infinito.
Mantendo a carga q1 fixa e trazendo q2 do infinito, teremos de aplicar uma
força contra o campo gerado por q1.
Podemos pensar em
manter q2 fixa e trazer q1
do infinito. O resultado é
o mesmo.
Num sistema com 3 cargas, devemos
proceder do seguinte modo:
1) mantemos a carga 1 fixa e trazemos a
carga 2 do infinito
2) mantemos as cargas 1 e 2 fixas e
trazemos a carga 3 do infinito
Repeteco!!!
Passo 1:
Passo 2:
Energia armazenada no capacitor
Quando a chave S é fechada, as cargas
começam a se acumular no capacitor e a
voltagem entre as placas começa a aumentar.
Num determinado instante, se a voltagem entre as placas for V, a energia
acumulada quando trazemos a carga dq é:
dU = Vdq
Mas a voltagem entre as placas se deve à carga que já foi acumulada:
q
V=
C
dU =
q
dq
C
A energia total acumulada no capacitor é:
q′
q2
U = ∫ dU = ∫ dq′ =
C
2C
0
q
Isso também pode ser escrito como:
1
U = CV 2
2
Densidade de energia elétrica
Antes de o capacitor ser carregado, não havia campo
elétrico entre as placas.
A energia potencial acumulada no capacitor é a
energia necessária para criar o campo elétrico entre
as placas.
No capacitor de placas paralelas, o campo está relacionado com a carga e a
área das placas:
O campo elétrico está distribuído por todo o volume do capacitor.
A densidade de energia é:
energia U
u=
=
volume Ad
u=
U
1 q
1 1 (ε 0 EA)
1
=
=
= ε0E2
Ad Ad 2C Ad 2 ε 0 A / d 2
1
u = ε0E2
2
2
2
densidade de energia acumulada no campo elétrico
Obs.: Aos poucos, o tratamento da eletricidade vai ficando cada vez mais
sofisticado. Iniciamos com forças entre cargas (Lei de Coulomb) e depois
passamos para a idéia de campo elétrico (F = Eq). Em relação à energia, vimos
na última aula a energia acumulada quando trazemos várias cargas para um
mesmo lugar, agora entendemos essa energia como sendo do campo elétrico.
Dielétricos
dielétrico = material isolante colocado entre
as placas de um capacitor
Se o material for condutor, o capacitor
entrará em curto-circuito...
O efeito de dielétricos nos capacitores foi investigado por Michael Faraday
em 1837.
Ele descobriu que a capacitância aumenta por um fator, que ele chamou de
constante dielétrica do material, κ (kappa).
C = κ C vácuo
κ
vácuo:
κ=1
C = κ C vácuo
C=
q
V
Se a capacitância aumenta, para a mesma voltagem o capacitor acumula
mais carga; ou, se a carga se mantiver inalterada, a voltagem entre as
placas diminuirá.
capacitor de placas paralelas:
com dielétrico
C =κ
ε0 = permissividade do vácuo
ε = permissividade do meio com dielétrico
ε0A
d
=
εA
d
Em se tratando de meio
dielétrico, podemos
substituir ε0 por ε em
todas as fórmulas.
permissivo
[Do lat. permissus, part. pass. de permittere (v. permitir) + -ivo.]
Adjetivo.
1.Que dá permissão; tolerante, indulgente:
pais permissivos.
2.Que envolve permissão:
a atitude permissiva desta época.
permissividade
[De permissivo + -(i)dade.]
Substantivo feminino.
1.Qualidade de permissivo.
2.Eletr. Produto da constante dielétrica de um material pela permissividade...
Permissividade do vácuo. 1. Eletr. Fator numérico que aparece na expressão
analítica da lei de Coulomb.
Permissividade dos costumes. 1. Ét. Num dado período, o afrouxamento das
restrições das normas prescritivas de comportamentos sociais.
Comparação entre capacitores com e sem dielétrico, ambos ligados a
baterias com a mesma diferença de potencial
C diel = κ C vácuo
Como a voltagem nos capacitores é a mesma e q = CV, temos
q diel = C diel V = κC vácuoV = κqvácuo
A carga no capacitor com dielétrico é então
q diel = κq vácuo = κε 0 EA = εEA
O campo elétrico tem o mesmo valor nos dois capacitores, já que a voltagem
aplicada é a mesma.
No capacitor sem dielétrico, a carga acumulada é qvácuo, e no capacitor com
dielétrico a carga é maior, qdiel = κqvácuo.
O meio com dielétrico é, portanto, mais tolerante aos efeitos do campo elétrico,
ou seja, a sua permissividade é maior:
ε = κε 0
Por que a capacitância aumenta?
Sem dielétrico:
Carga = Q
Voltagem = V = E·d
Campo elétrico = E
Com dielétrico:
Carga nas placas = Q + Qdiel
Voltagem = V = E·d
Campo elétrico = E = Eplaca - Ediel
Com dielétrico:
As moléculas do dielétrico ficam polarizadas e se alinham com o campo elétrico
externo (dipolo elétrico induzido).
O campo elétrico gerado pelas moléculas, Ediel, é oposto ao campo externo.
A bateria tem de manter a voltagem constante em V, então ela supre as placas do
capacitor com mais cargas elétricas.
A carga a mais é igual à carga acumulada na superfície do dielétrico, Qdiel.
Ruptura dielétrica
Quando o campo elétrico aplicado é muito
intenso, as moléculas do dielétrico são
ionizadas.
Haverá uma corrente elétrica entre as placas.
Isto é chamado de ruptura dielétrica.
Faíscas e relâmpagos são exemplos de ruptura
dielétrica.
Rigidez dielétrica = valor máximo do campo elétrico que não causa ruptura
dielétrica no material
Potencial de ruptura = valor máximo da voltagem que não causa ruptura dielétrica
no material