Lógica Matemática [Modo de Compatibilidade]

Antonio Paulo Muccillo de Medeiros
Conceito
• É a área da matemática que estuda
os argumentos (premissas e
conclusão).
• Estuda os métodos e princípios que
permitam distinguir argumentos
corretos e incorretos.
Argumento Legítimo ou Válido
É aquele em que a conclusão é
consequência lógica ou necessária das
premissas.
Exemplo:
Premissa: todos os animais são mortais
Premissa: o gato é um animal
Conclusão: o gato é mortal
Argumento Ilegítimo ou Não
Válido
É aquele em que a conclusão não é
consequência lógica das premissas.
Exemplo:
Premissa: todos os homens são mortais
Premissa: alguns animais são mortais
Conclusão: todos os animais são mortais
Aristóteles
384 – 322 a.C.
Aristóteles
• Princípio do Terceiro Excluído
• Silogismo
Princípio do Terceiro
Excluído
“Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa,
isto é, verifica-se sempre um destes casos e
não um terceiro”.
Silogismo
Os componentes do Silogismo Aristotélico são
as sentenças universais ou particulares,
afirmativas ou negativas.
Exemplo:
A: Todos os animais são mortais - universal afirmativa
E: Nenhum animal é imortal – universal negativa
I: Alguns homens são sábios – particular afirmativa
O: Alguns homens não são sábios – particular negativa
Silogismo
Em linguagem de conjuntos temos:
A: Todo X é Y
–
E: Nenhum X é Y
I: Algum X é Y
X⊂Y
–
–
O: Algum X não é Y
X∩Y=∅
X∩Y≠∅
–
X–Y≠∅
Silogismo
Diagramas de Euler-Venn
A: Todo X é Y
–
X⊂Y
Silogismo
Diagramas de Euler-Venn
E: Nenhum X é Y
–
X∩Y=∅
Silogismo
Diagramas de Euler-Venn
I: Algum X é Y
–
X∩Y≠∅
Silogismo
Diagramas de Euler-Venn
O: Algum X não é Y
–
X–Y≠∅
Zenão
336 - 204 a.C.
Outros gregos
desta época:
Crisipo e Filo
Gottfried Wilhelm Leibniz
1646 - 1716
Precursor da Lógica
Moderna. Sugeriu o
sistema de
abreviações para
construir uma
linguagem artificial
livre de
ambiguidades.
Leonhard Euler
1707 - 1783
Primeiro a usar
diagramas no
estudo da Lógica.
George Boole
1815 - 1864
Criou os
fundamentos da
lógica formal e de
uma nova álgebra,
hoje conhecida
como álgebra
booleana.
George Boole
Escreveu os livros:
The Mathematical Analysis of Logic e
Investigations of the Laws of Thought,
que é considerado como o início da
lógica moderna.
Augustus De Morgan
1806 – 1871
Desenvolveu, em
paralelo com Boole,
a Álgebra da Lógica.
Enunciou o princípio
da dualidade da
teoria dos conjuntos.
John Venn
1834 - 1923
Aperfeiçoou os
diagramas no
estudo da Lógica.
Gottlob Frege
1848 – 1925
Em sua obra
Begriffsschrift
desenvolve, pela
primeira vez,
axiomaticamente, o
Cálculo Sentencial.
Outros Matemáticos
• Bertrand Russel (1872 – 1970)
• Alfred Noth Whitehead (1861 – 1947)
• David Hilbert (1862 – 1943)
• Paul Bernays (1888 – 1977)
• Kurt Gödel (1906 - 1978)
• Alfred Tarski (1901 - 1983)
Proposição ou Sentença
Todo conjunto de palavras ou símbolos
que exprimem um pensamento de
sentido completo (Sá, 2008).
É o elemento fundamental da linguagem
falada ou escrita (Castrucci, 1984).
Uma proposição é composta de um
sujeito (nome) e uma ação
(predicado).
Exemplos de proposições
1. A Lua é um satélite da Terra.
2. José é malandro.
3. 3 x 5 = 5 x 3
4. Onde você mora?
5. Que lindo jardim!
6. Escreva um verso.
7. Pedro estuda e trabalha.
8. Fernanda está no cinema ou no mercado.
9. João estuda então tem êxito na escola.
10. Paulo vai ao cinema somente se conseguir
dinheiro.
Observações:
No estudo da Lógica Matemática nos
restringiremos às proposições
declarativas ou afirmativas e que
admitem o valor V (verdadeiro) ou F
(falso), um excluindo o outro. São
exemplos deste tipo de proposição as
de números 1, 2, 3, 7, 8, 9 e 10.
As proposições interrogativas (4),
exclamativas (5) e imperativas (6) não
serão consideradas em nosso estudo.
Observações:
No estudo da Lógica as proposições são
designadas por letras latinas minúsculas:
p, q, r, ...
As proposições afirmativas 1, 2 e 3 são
ditas proposições simples. Elas são o
núcleo da linguagem.
Já as proposições 7, 8, 9 e 10 são
chamadas proposições compostas. Elas
são formadas por uma ou mais
proposições simples.
Proposições compostas:
Pedro estuda e Pedro trabalha.
Fernanda está no cinema ou Fernanda
está no mercado.
Se João estuda então João tem êxito na
escola.
Paulo vai ao cinema se e somente se
Paulo conseguir dinheiro.
Exercícios:
Determine dentre os itens dos próximos slides:
• Quais são proposições
• Entre as que forem quais são simples e
compostas e
• Dê os valores das proposições simples, isto é,
atribuir V ou F a cada uma.
Exercícios:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
O número 3 é maior que o número 2.
A terra é uma estrela.
3(9-2)
9
8 x 7 = 56
O gato é da mamãe.
Um bom livro de matemática.
3+5=5+3
Se chove, então, a rua fica molhada.
O sol brilha e queima as plantas.
Ou você me vende o livro ou você me empresta.
Um triângulo é retângulo se e somente se tem um
ângulo reto.
Exercícios:
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
u.
3+5=8
Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil.
Colombo descobriu a Ásia.
O número 11 é primo.
Triângulo equilátero.
sen 30° é 1
O número π é racional.
Um número divisível por 2 é par.
Se um triângulo é retângulo, então, dois de
seus lados são perpendiculares.
v. Os lados de um triângulo equilátero são
congruentes.
Conectivos e Modificadores:
São termos, símbolos ou palavras que
usamos para combinar proposições
simples tornando-as proposições
compostas.
Principais Conectivos e
Modificadores:
NOME
COMO SE LÊ
SIMBOLOGIA
Negação
não p
~p
Conjunção
peq
p∧q
Disjunção
p ou q
p ∨q
se p então q
p→q
p se e somente se q
p↔q
Condicional
Bicondicional
Negação
Colocando-se “não” antes do verbo da
proposição obtemos uma proposição que
é a negação da primeira. A negação da
proposição “Ele é um bom professor” é
“Ele não é um bom professor”.
Outra forma para obter a negação de uma
proposição é colocar na frente dela
expressões do tipo “não é verdade que”
ou “não é o caso de”. Assim teremos
como negação do primeiro exemplo “Não
é verdade que ele é um bom professor”.
Conjunção
Dadas duas proposições:
p: Pedro estuda a lição.
q: João vai à escola.
e usando a conjunção teremos
p ∧ q: Pedro estuda a lição e João vai à
escola.
Disjunção
Dadas duas proposições p e q,
formaremos uma proposição
denominada disjunção com o
conectivo “ou” e teremos “p ou q”
(p ∨ q). No exemplo do slide
anterior teremos:
p ∨ q: Pedro estuda a lição ou João
vai à escola.
Observação
Há dois sentidos para o “ou” na linguagem.
Por exemplo a sentença “Chove ou faz frio” é
verdadeira nos seguintes casos:
• Chove
• Faz frio
• Chove e faz frio
Já o exemplo “O Prof. Pedro será nomeado
embaixador na Espanha ou será reitor da
USP.” será verdadeira nos casos:
• O Prof. Pedro será nomeado embaixador na
Espanha
• O Prof. Pedro será nomeado reitor na USP.
Observação
No primeiro exemplo do slide anterior
dizemos que o ou é inclusivo
inclusivo. Esta será
operação que estudaremos mais a fundo.
No segundo exemplo diz-se que ou é
exclusivo. Esta operação é representada
por ∨.
Utiliza-se a repetição do ou para
denotarmos que o ou é exclusivo. Por
exemplo:
p ∨ q: Ou vou ao cinema ou à aula.
Condicional
A proposição condicional “se p
então q” (p → q) . No nosso
exemplo seria lido como:
p → q: Se Pedro estuda a lição
então João vai à escola.
Bicondicional
A proposição bicondicional “p se e
somente se q” (p ↔ q) . No nosso
exemplo seria lido como:
p ↔ q: Pedro estuda a lição se e
somente se João vai à
escola.
Exercícios
(Castrucci, 1984)
1. Escrever simbolicamente para p: João é
esperto, q: José é tolo.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
João é esperto e José é tolo.
João é esperto ou José é tolo.
Ou João é esperto ou José é tolo.
Nem João nem José são tolos.
João e José são tolos.
João é esperto ou José não é tolo.
Não é verdade que João e José são tolos.
Se João é tolo, então José não é tolo.
Exercícios
(Castrucci, 1984)
2. Construa fórmulas para as seguintes
sentenças:
a. José vai ao cinema se e somente se é anunciada
uma comédia.
b. Condição necessária e suficiente para que o rei
seja feliz é que tenha vinho.
c. Ou João irá a festa e Max não, ou João não irá e
Max sim.
d. Uma condição suficiente para que x seja ímpar é
que x seja primo.
e. Uma condição necessária para que uma
sequência s convirja é que seja limitada.
f. Se x > 0, x2 > 0
Exercícios
(Castrucci, 1984)
3. Escreva, na linguagem comum, sabendo
que p: Os preços são altos e q: Os
estoques são grandes.
a. (p ∧ q) → p
b. (p ∧ ~q) → ~p
c. ~p ∧ ~q
d. p ∨ ~q
e. ~(p ∧ q)
f.
~(p ∨ q)
g. ~(~p ∨ ~q)
Tabela--verdade
Tabela
É usual representarmos as proposições
através de tabelas das possibilidades
de seus valores lógicos (V ou F), que
denominamos tabelas
tabelas--verdade.
verdade
Tabela--verdade da Negação
Tabela
p
~p
V
F
F
V
Outros símbolos para a negação são:
-e
.
Tabela--verdade da Conjunção
Tabela
p
q
p ∧q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Outro símbolo para a conjunção é &
Circuito elétrico em série e a
tabela--verdade da conjunção
tabela
Tabela--verdade da Disjunção
Tabela
p
q
p ∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Circuito elétrico paralelo e a
tabela--verdade da disjunção
tabela
Tabela--verdade da Disjunção Exclusiva
Tabela
p
q
p ∨q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Tabela--verdade da Condicional
Tabela
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p →q
V
F
V
V
Exemplo:
Uma pessoa chega perto de uma porta onde se lê:
“Se você é flamenguista, então entre.”
Condicional
Podemos considerar uma proposição
condicional como a inclusão de um conjunto
(p) em outro (q). Ou seja, podemos imaginar
que p → q representa um conjunto associado
a p, contido num conjunto associado a q.
Exemplo:
Se o jovem é escoteiro, então é leal.
Tabela--verdade da Bicondicional
Tabela
p
q
p ↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Podemos entender a proposição p ↔ q como
sendo equivalente à composição de
(p → q) ∧ (q → p)
Tabela-verdade de (p → q) ∧ (q → p)
p → q q → p (p → q) ∧ (q → p)
p
q
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Tabela-verdade de uma
Tabelafórmula qualquer
Com as regras estabelecidas, podemos
construir a tabela verdade de uma fórmula
qualquer. Por exemplo da proposição:
((p ∨ q ) → ~p) → (q ∧ p).
Os átomos dessa proposição são p e q.
Segue-se a tabela-verdade:
Tabela-verdade de uma
Tabelafórmula qualquer
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
p ∨q
~p
(p ∨ q) → ~p
q∧p
((p ∨ q ) → ~p) → (q ∧ p)
Tabela-verdade de uma
Tabelafórmula qualquer
p
q
p ∨q
~p
(p ∨ q) → ~p
q∧p
((p ∨ q ) → ~p) → (q ∧ p)
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
Número de linhas de uma
Tabela--verdade
Tabela
Cada proposição p tem dois valores: V ou F,
que se excluem. Daí, para n proposições p1,
p2, p3, ..., pn há tantas possibilidades
quantos são os arranjos com repetição de 2
(V ou F) elementos, n a n, isto é A2,n = 2n.
Assim para duas proposições teremos 22 = 4
linhas, para três são 23 = 8 linhas.
Número de linhas de uma
Tabela--verdade
Tabela
p
V
F
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Façam , agora, para
p, q, r e s.
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Quantificadores:
Sentenças do tipo: “Ele é professor da FAA” ou
“x + 2 = 8” são chamadas sentenças
abertas, pois podem ser ou não verdadeiras
de acordo com a substituição que fizermos
do “ele” e do “x”.
Os quantificadores são símbolos lógicos que
atuam sobre as sentenças abertas,
tornando-as sentenças fechadas ou
proposições.
Quantificador Universal (
)
Para todo
Qualquer que seja
Exemplo:
x, x > 4
Todos os homens são inteligentes.
Quantificador Existencial (
Para algum
Existe algum
Exemplo:
x, x é par
Algumas mulheres são sensíveis.
)
Negação de sentenças com
quantificadores
~(
x, p) ⇔
x, ~p
~(
x, p) ⇔
x, ~p
Negação de sentenças com
quantificadores
Exemplo:
A negação da sentença
“Todos os alunos da turma são estudiosos.”
seria
“Não é verdade que todos os alunos da turma
são estudiosos.”
Ou
“Existe algum aluno da turma que não é
estudioso”
Negação de sentenças com
quantificadores
Exemplo:
A negação da sentença
“Algumas mulheres são sensíveis.”
seria
“Não é verdade que algumas mulheres são
sensíveis.”
Ou
“Todas as mulheres são insensíveis.”
Equivalência Lógica (
(⇔
⇔)
Uma proposição é dita logicamente
equivalente a outra se suas
tabelas-verdade são idênticas.
Podemos, então, escrever que
p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
Tautologia
Uma proposição é uma tautologia ou é
tautológica quando ela é sempre verdadeira.
Representamos as tautologias pela letra
latina minúscula v.
p
q
~p
q ∨ ~p
p ∨ (q ∨ ~p)
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
Contradição
Uma proposição é uma contradição ou contraválida quando ela é sempre falsa.
Representamos as contradições pela letra
latina minúscula f.
p
q
~p
~p ∧ q
p ∧ (q ∧ ~p)
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
Outra definição para
Equivalência Lógica (⇔
(⇔ )
Uma proposição p é dita logicamente
equivalente a outra q se e somente se
p ↔ q é uma tautologia.
Propriedades da equivalência
1. As fórmulas tautológicas são
equivalentes entre si.
2. As fórmulas contra-válidas
(contradições) são equivalentes entre
si.
Exercícios
(Castrucci, 1984)
1. Construa tabelas-verdade para:
a. (p ∧ q) → p
g. ~(~p ∨ ~q)
b. (p ∧ ~q) → ~p
h. (p ∧ q) ∨ r
c. ~p ∧ ~q
i. ~~p ↔ p
d. p ∨ ~q
j. ~(p ∨ q) ↔ ((~~p) ∨ ~q)
e. ~(p ∧ q)
k. (p ∨ q) ∨ r ↔ p ∨ ( q ∨ r)
f.
~(p ∨ q)
l. ~(p ∧ q) ↔ ~p ∨ ~q
Operadores Lógicos
Relacionais:
Igual
=
Diferente
≠
Maior que
>
Menor que
<
Maior ou igual a
≥
Menor ou igual a
≤
Equivalente a
⇔
Implica
⇒
Operadores Lógicos
Não Relacionais:
Não
~
E
∧
Ou
∨
Se...então
→
Se e somente se
↔
Operadores Lógicos Não
Relacionais
Esse operadores, como os
aritméticos, obedecem a uma
ordem de prioridade para serem
executados.
Como acontece com os operadores
aritméticos, esta ordem pode ser
alterada com o uso de parêntesis,
colchetes e chaves.
Operadores Lógicos Não Relacionais
Prioridade dos operadores
Aritméticos
Potência/Radiciação
Produto/Divisão
Adição/Subtração
Prioridade dos operadores
Lógicos
Não
~
E
∧
Ou
∨
Se...então
→
Se e somente se
↔
Prioridade dos Operadores
Lógicos Não Relacionais
Assim:
a ↔ b → c significa a ↔ (b → c)
a → b ∨ c significa a → (b ∨ c)
a ∨ b ∧ c significa a ∨ (b ∧ c)
~p ∨ q significa (~p) ∨ q
Exercícios
(Sá, 2008)
Vamos fazer agora os exercícios da fotocópia
das páginas 20 a 28 do livro do Prof. Ilydio
Pereira de Sá, Raciocínio Lógico – Concursos
Públicos e Formação de Professores.
Relação de Implicação(
Implicação(⇒
⇒)
Uma proposição a implica uma
proposição b se e somente se a → b é
uma tautologia.
Ou
Uma fórmula proposicional A implica
uma fórmula proposicional B se e
somente se A → B é tautológica.
Propriedade da Implicação
1. Se P é um conjunto de proposições ou
de fórmulas, A ⇒ B é uma relação em
P, então valem as propriedades:
a. Reflexiva: qualquer que seja A, A ⇒ A
b. Transitiva: quaisquer que sejam A, B e C,
se A ⇒ B e B ⇒ C, então A ⇒ C
Exercícios
(Castrucci, 1984)
1. Provar as implicações
a. (~p ∧ q) ⇒ ~p
b. (p ∧ q → r) ⇒ (p → (q → r)
c. p ⇒ (q → q ∧ p)
d. p ⇒ (p ∨ q)
e. p ⇒ (p ∧ q ↔ q)
f.
(p → (q ∧ ~q)) ⇒ ~p
Propriedades das Operações
Lógicas:
Propriedades da Conjunção
p∧q⇔q∧p
Comutativa
(p ∧ q) ∧ r ⇔ q ∧ (p ∧ r)
Associativa
p∧p⇔p
Idempotente
p∧v⇔p
Propriedade de v
p∧f⇔f
Propriedade de f
Propriedades das Operações
Lógicas:
Propriedades da Disjunção
p∨q⇔q∨p
Comutativa
(p ∨ q) ∨ r ⇔ q ∨ (p ∨ r)
Associativa
p∨p⇔p
Idempotente
p∨v⇔v
Propriedade de v
p∨f⇔p
Propriedade de f
Propriedades das Operações
Lógicas:
Propriedades Distributivas
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Propriedades das Operações
Lógicas:
Absorção
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
Propriedades das Operações
Lógicas:
Propriedades da Negação
~(~p) ⇔ p
Propriedades das Operações
Lógicas:
Leis de De Morgan
~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
Redução do número de
conectivos
p ∨ q ⇔ ~(~p ∧ ~q)
p → q ⇔ ~(p ∧ ~q)
p ↔ q ⇔ ~(p ∧ ~q) ∧ ~(~p ∧q)
Exercícios
(Castrucci, 1984)
1. Provar pelas propriedades das operações
lógicas as equivalências:
a. ~( a ∧ b ∧ ~c) ⇔ ~a ∨ (b →c)
b. a ∧ ~b → ~c ⇔ a ∧ c → b
c. (a ∨ b ) ∧ (~a ∨ b) ⇔ b
d. ~(~(p ∨ ~q) ⇔ ~p → ~q
e. a → a ∨ b ⇔ a ∧ ~a → b
f.
~(~(p ∨ q) ∧ (p ∨ q)) ⇔ p v p
Argumento
Um argumento é uma sequência A1,
A2, A3, ..., An (n ≥ 1) de fórmulas
proposicionais (ou proposições), onde
os termos A1, A2, A3, ... chamam-se
premissas e o último An, conclusão.
Indica-se por:
A1, A2, A3,..., An-1
An
Argumento
A1, A2, A3,..., An-1
An
Se lê A1, A2, A3, ... An-1 acarretam An
ou An decorre de A1, A2, A3, ... An-1
Argumento Válido
Um argumento
A1, A2, A3,..., An-1
An
é válido se e somente se
A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ ... ∧ An-1 → An é uma
tautologia. Nets caso escreve-se
A1, A2, A3,..., An-1
An
Exemplos de Argumentos
Válidos
1. (p ∧ q) ∨ (p → q), ~(p ∧ q)
2. p, q → r, r
p→q
~q
Testem fazendo as tabelas-verdade.
Exercícios
(Castrucci, 1984)
1. Verificar se são válidos os argumentos:
a. p, p → q
q
b. p → q, ~q
~p
c. p → q, q → r
d. p ∨ q, ~p
p→r
~q
e. p → q, r → s, p ∨ r
q∨s
Exercícios
(Castrucci, 1984)
2. Verificar se são válidos os argumentos:
a. p → q
b. p → q
~p → ~q
p
c. ~(p ∨ q), (p ∧ q) ∨ (p → q) ∨ r
d. p → q, p ∨ r, ~q
e. p ∧ q, ~p
~q
r
(p → q) ∨ r
Exercícios
(Castrucci, 1984)
3. Verificar se são válidos os argumentos:
a. Se eu fosse artista, seria inteligente; não sou
artista, logo não sou inteligente.
b. Não é verdade que eu não gosto de açúcar e de
pimenta; eu gosto de açúcar e pimenta ou não
estudo ou se gosto de açúcar não gosto de
pimenta. Segue-se que eu estudo ou se gosto de
açúcar, então gosto de pimenta.
c. Se eu gosto de pimenta, então, entendo o
teorema. Eu gosto de pimenta ou vou ao cinema.
Não entendo o teorema. Logo, vou ao cinema.
Exercícios
(Castrucci, 1984)
3. Verificar se são válidos os argumentos:
(continuação)
d. Se trabalho, ganho dinheiro. Se não trabalho,
divirto-me. Logo, se não ganho dinheiro, divirtome.
e. O aluno é aprovado se e somente se é estudioso.
Se o aluno tem tempo e não é estudioso. Então,
não é reprovado. Se o aluno é estudioso e não
tem tempo, então ele é aprovado ou não. Seguese que se o aluno não tem tempo, então, ele é
estudioso.
Exercícios
(Castrucci, 1984)
3. Verificar se são válidos os argumentos:
(continuação)
f.
Se Paulo é competente, então, se o serviço é bem
feito, ele será aceito. O serviço não é aceito.
Segue-se que se o serviço é bem feito, então
Paulo não é competente.
Sentenças Abertas
Há frases declarativas afirmativas para as
quais não podemos atribuir os valores V
ou F. Assim, a frase “Ela foi professora da
FAA.” será uma proposição se colocarmos
um nome de pessoa, o que acarretará
um valor V ou F.
Da mesma forma “x + 4 = 8” será uma
proposição quando colocarmos uma
constante no lugar de x.
Sentenças Abertas
As frases com variáveis , que se chamam
sentenças abertas , não são nem
verdadeiras nem falsas.
Quando se substituem as variáveis por
constantes numa sentença aberta, temse o que se chama de interpretação das
variáveis da sentença aberta ou,
abreviadamente, uma interpretação de
sentença aberta.
Sentenças Abertas
Deste modo, “4 + 4 = 8” é uma
interpretação da sentença “x + 4 = 8” e
“Charles Chaplin foi professor da FAA.” é
uma interpretação da frase “Ele foi
professor da FAA.”
Cada interpretação conduz a uma
proposição, pois fica determinada para
ela um dos valores V ou F.
Exercícios
(Castrucci, 1984)
1. Dê interpretações que tornem proposições
as sentenças abertas:
a. x + y = 8
b. 5x – 1 = 9
c. Ele foi o melhor jogador do Santos F.C., em 1970.
d. Ele foi o presidente do Brasil em 2005.
e. X é um bom matemático da Universidade y6.
f.
Log10x = 1
Exercícios
(Castrucci, 1984)
2. Dê sentenças abertas correspondentes às
fórmulas:
a. Px
b. Rxy
c. Px ∨ Qx → Py
d. Px → Ay ∧ Qz
Diz-se que a sentença aberta de uma variável tem peso 1.
No exercício as sentenças P, Q e A têm este peso. As
sentenças com duas variáveis têm peso 2, que é o caso ,
no exemplo, da sentença R. O peso 0 (zero) é o peso de
uma proposição.
Revisando Quantificadores:
Os quantificadores são símbolos lógicos que
atuam sobre as sentenças abertas,
tornando-as sentenças fechadas ou
proposições.
Quantificador Universal (
)
Para todo
Qualquer que seja
Exemplo:
x, x > 4
Todos os homens são inteligentes.
Quantificador Existencial (
Para algum
Existe algum
Exemplo:
x, x é par
Algumas mulheres são sensíveis.
)
Negação de sentenças com
quantificadores
~(
x, p) ⇔
x, ~p
~(
x, p) ⇔
x, ~p
Negação de sentenças com
quantificadores
Exemplo:
A negação da sentença
“Todos os alunos da turma são estudiosos.”
seria
“Não é verdade que todos os alunos da turma
são estudiosos.”
Ou
“Existe algum aluno da turma que não é
estudioso”
Negação de sentenças com
quantificadores
Exemplo:
A negação da sentença
“Algumas mulheres são sensíveis.”
seria
“Não é verdade que algumas mulheres são
sensíveis.”
Ou
“Todas as mulheres são insensíveis.”
Exercícios
(Castrucci, 1984)
1. Negar, aplicando as regras:
a. Todos os triângulos são isóceles.
b. Todos os quadrados são losangos e retângulos.
c. Nenhum homem é imortal.
2. Negar, aplicando as regras:
a.
x Px → Qx
b. Px →
c.
xQx
x (Qx ∧ Rx → ~Sx)
Exercícios
(Castrucci, 1984)
3. Negar, aplicando as regras:
a. Alguns animais são mamíferos.
b. Para todo x, x + 4 = 9, com x ∈ R
c. Tudo é esférico.
d. Qualquer que seja x, se x é homem, então, x é
racional.
e. Existem animais não carnívoros.
f.
Algo é belo e monótono.
g. Tudo é esférico ou não é esférico.