Estudo de duas metodologias para o ensino da matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DE ENSINO
CURSO DE LICENCIATURA EM PEDAGOGIA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Estudo de duas metodologias para o ensino da Matemática
Christiane Sato da Silva
Orientadora
Profa. Dra. Maria do Carmo de Sousa
São Carlos
2007
Estudo de duas metodologias para o ensino da Matemática
Christiane Sato da Silva
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
ao Departamento de Metodologia de Ensino
da Universidade Federal de São Carlos,como
parte dos requisitos para a obtenção da
Formação
plena
em
Pedagogia
da
Universidade Federal de São Carlos.
Orientadora: Maria do Carmo de Sousa
São Carlos
2007
Agradecimentos
Em primeiro lugar agradeço a Deus por me dar forças para superar todos os
obstáculos e chegar até onde cheguei.
Agradeço aos meus familiares, pelo apoio, pela ajuda e por tudo o que sou
hoje.
Agradeço ao meu namorado pelo carinho e por estar ao meu lado nos
momentos difíceis.
Agradeço aos meus amigos pelo apoio e pelos bons momentos compartilhados.
Agradeço a minha orientadora pela dedicação, paciência, compreensão, e por
todos os nossos encontros e conversas.
Agradeço aos professores e funcionários que possibilitaram a minha formação
nessa Universidade.
Resumo
O presente trabalho foi elaborado a partir de um estudo teórico das possíveis
contribuições que a Resolução de Problemas e os Jogos, enquanto metodologias de ensino da
Matemática podem oferecer ao processo de ensino-aprendizagem da Matemática, bem como
na construção dos conceitos matemáticos. Inicialmente, saliento a importância da Matemática
na sociedade atual; em seguida, apresento as duas metodologias e ao final faço algumas
considerações sobre a temática. Para tanto, procuro definir o termo problema e o termo jogo e
os tipos de problemas e jogos existentes. Também faço um histórico das duas metodologias,
com posterior análise do uso dessas metodologias na prática da sala de aula. Por fim, relato
sobre a importância do tema para a Educação Matemática. As análises realizadas a partir da
leitura de livros, artigos, documentos oficiais, Teses e Dissertações relacionados ao tema
evidenciam as particularidades e os potenciais didáticos-pedagógicos de cada metodologia
estudada, permitindo, então, utilizá-las em prol do processo de ensino-aprendizagem da
Matemática.
Palavras-chave: Matemática, ensino-aprendizagem, recurso metodológico, resolução de
problemas, jogos, conceitos matemáticos.
Abstract:
The present job was elaborated from theoretical studies of possible
contributions given by problems solution and games, while a teaching methodology of
Mathematics, as much as in the construction of the mathematical concepts. First, I point the
importance of the Mathematics in the actual society; after that, I introduce both
methodologies and at the end I have some considerations about the theme. So, I aim to define
the term problem and the term game and their existing types. I also do a description of both
methodologies, later analysis about the use of this methodologies classroom custom. Finally, I
mention about the theme importance for Mathematics Education. The accomplished analysis
as of reading of books, articles, officials documents, Thesis and Dissertations relating with
the theme evidences the peculiarities and didactical-pedagogical potentialities each studied
methodology, allowing their use in favour of the Mathematics teaching-learning processes.
Key words: Mathematics, teaching-learning, methodological resource, problems solution,
games, mathematical concepts.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 6
CAPÍTULO I: A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NA SOCIEDADE ATUAL ......... 11
CAPÍTULO II: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ................................................................ 13
2.1 Um breve histórico da Resolução de Problemas ....................................... 15
2.2 Tipos de problema ..................................................................................... 19
2.3 Como se resolve um problema .................................................................. 20
2.4 O uso da metodologia na prática da sala de aula ...................................... 22
2.5 Dificuldades do aluno ao resolver um problema ....................................... 28
CAPÍTULO III: JOGOS ......................................................................................................... 30
3.1 Aspectos históricos do jogo no ensino ...................................................... 30
3.2 Mas o que é um jogo? ............................................................................... 32
3.3 Momentos do jogo ..................................................................................... 37
3.4 Classificação dos jogos ............................................................................. 38
3.5 O jogo no processo de ensino-aprendizagem da Matemática ................... 40
CAPÍTULO IV: ALGUMAS CONSIDERAÇÕES ................................................................ 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................ ........... 47
ANEXOS ................................................................................................................................. 51
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INTRODUÇÃO
O presente trabalho estuda duas metodologias para o ensino da Matemática.
Trata-se de um trabalho de Conclusão de Curso elaborado como parte das exigências para a
obtenção de diploma em Pedagogia, do curso de Licenciatura em Pedagogia da Universidade
Federal de São Carlos - UFSCar.
O estudo de duas metodologias para o ensino da Matemática como tema teve
origem em minha experiência de vida com a disciplina de Matemática, o gosto pela mesma, o
curso de Metodologia e Prática de Ensino da Matemática, os estágios que realizei, o valor que a
Matemática tem na vida de uma pessoa, as condições atuais do Ensino da Matemática, além da
vontade de trabalhar na área.
Desde pequena sempre gostei de Matemática, era uma das minhas matérias
preferidas, tinha facilidade em assimilar os conteúdos e quase nunca ficava para a recuperação.
Ao longo do Ensino Médio, por acompanhar bem a matéria, fui uma das alunas selecionadas
pelos professores para auxiliar os colegas na compreensão dos conteúdos em que eles estavam
defasados. Tinha o maior prazer em ensiná-los algo que dominava e fazia de tudo para que
compreendessem o conteúdo e conseguissem melhorar seu desempenho e se dar bem nas provas.
Eventos que eram de conhecimento de meus familiares, por isso alguns primos
me pediam ajuda quando algum conteúdo não lhe era claro. Auxiliava-os com o maior prazer e
passava horas e horas até que eles entendessem. No decorrer de minha vida escolar sempre me
deparei com essa situação: tinha amigos e familiares que dominavam os conteúdos de
Matemática, enquanto outros sempre corriam atrás de ajuda ou de aulas particulares para
conseguir passar de ano na escola; um processo árduo e que para eles tinha um único propósito:
“aprender” para passar nos exames.
Foi a partir dessas “aulas particulares” que ministrava, que surgiu o meu grande
interesse pela Educação e em particular pela Educação Matemática, tinha curiosidade para saber
porque alguns alunos se davam bem, enquanto outros não; sendo que o professor era o mesmo e
que apesar das aulas extras esses alunos ainda tinham dificuldade em lidar com os cálculos.
Em seguida, já no Curso de Pedagogia, tivemos a disciplina de “Metodologia e
Prática de Ensino de Matemática”, que me encantou e me fez querer conhecer mais sobre esse
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universo. Com o tempo e as experiências de estágio é que fui lapidando o tema com o qual
gostaria de trabalhar. Uma vez que nos estágios, vi muitos alunos com dificuldades, até mesmo
professoras que tinham dificuldade em entender os conceitos matemáticos e como conseqüência
não sabiam “transmitir” os conceitos; alunos desinteressados por achar que nunca iriam aprender
matemática; aulas desestimulantes em que a professora dá um exemplo e depois passa uma série
de exercícios para o aluno fazer e etc.
Além disso, levei em conta a situação atual da Educação no Brasil no campo da
Matemática, em que os alunos consideram a matemática como algo desagradável e
desinteressante. O resultado deste desinteresse fica explicitado nas diversas avaliações nacionais
e internacionais, onde os alunos brasileiros, de forma geral, se dão mal na resolução de
problemas.
Sendo assim, após muito ler sobre as diversas metodologias, como por exemplo
Etnomatemática, Modelagem Matemática, Investigação Matemática e Educação Conceitual,
existentes no campo da Educação Matemática e debater com a minha orientadora os
fundamentos teóricos de algumas delas optei por aprofundar meus estudos em duas delas:
Resolução de Problemas e Jogos.
Fiz tal opção, pois acredito que contemplam contextos variados de aprendizagem,
aparentemente, não possuem restrição ao tipo de público ou aos recursos materiais, são “fáceis”
para a aplicação em sala de aula, uma vez que procuram tornar os alunos cada vez mais livres e
autônomos na busca da solução para as situações relacionadas ao cotidiano.
Ao mesmo tempo, permitem com que o aluno faça a sua matemática e,
finalmente, envolvem o aluno como um ser integral.
Entendo como Resolução de Problemas a metodologia que faz com que as
crianças “usem a cabeça” e tenham a preocupação de pensar sobre o problema proposto,
buscando respostas, analisando as variáveis envolvidas na situação. Fugindo da procura dos
números e de uma conta para solucionar o problema, como é costume na maioria das escolas.
Isto é, na maioria das vezes, os alunos aprendem matemática a partir da “Pedagogia do
Treinamento” (Lima, 1998; citada por Marco (2004)) que não valoriza o processo de saber
pensar.
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Compreendo o jogo, como uma metodologia que permite a “ponte” ou elo de
ligação com o conhecimento e propicia o processo de abstração vivenciada pelas crianças na
construção dos conceitos matemáticos. Uma vez que, esse gera uma situação problema e
desencadeia a aprendizagem do aluno a partir do desenvolvimento de estratégias para resolver o
problema.
Nesse sentido, o Jogo enquanto metodologia tem relevância no ensino da
Matemática, pois é uma atividade fundamental para o desenvolvimento da criança. É por meio
do lúdico que a criança é capaz de elaborar o processo de pensamento relacionado à solução de
problemas. Todavia, para ser educativo é preciso que o jogo seja intencionalmente planejado,
aliado a uma proposta pedagógica condizente. Desse modo, a criança aprende a pensar sobre os
conteúdos matemáticos mediante as situações desafiantes, lúdicas e interativas.
Desse modo, entendo que esse trabalho é de grande relevância, já que o quadro de
crianças que tem dificuldade com a Matemática e as Ciências Exatas é cada vez maior, por isso é
de grande importância estudos que colaborem para que se ensine a Matemática visando suprir as
dificuldades dos alunos. Isto é, que haja instrumentos para que o professor se prepare e saiba
como lidar diante as dificuldades encontradas no dia-a-dia; uma vez que, ao utilizar, os Jogos ou
a Resolução de Problemas, com intenções pedagógicas, podemos tornar a criança mais alerta,
participativa, pensante e crítica.
Enfim, este estudo vem contribuir com os estudos relacionados à Educação e à
Educação Matemática no sentido de buscar novas alternativas e estratégias de ensino,
objetivando minimizar a realidade apresentada e conhecida por todos nós, isto é, gostaria de
contribuir com pesquisadores que defendem propostas pedagógicas que colaboraram para o
processo de ensino-aprendizagem de conceitos matemáticos, tornando os alunos cada vez mais
independentes e autônomos na busca de soluções de problemas.
Sob esse contexto o objetivo da investigação é compreender, a partir da teoria,
quais são as possíveis contribuições da Resolução de Problemas e dos Jogos na aprendizagem
dos conceitos matemáticos. Considerando-se que as duas metodologias possuem determinados
limites como por exemplo a falta de um planejamento pedagógico para a utilização dessas
metodologias (o jogo passa a ser uma mera brincadeira e os problemas meros exercícios). Ou
seja, não estou defendendo que apenas as duas metodologias são suficientes para mudar,
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radicalmente, o ensino de Matemática, uma vez que, no contexto de sala de aula, há muitas
variáveis a considerar, como por exemplo tempo disponível para o trabalho, falta de recursos
para a obtenção de materiais e etc; para que o processo ensino-aprendizagem possa ser eficaz
como sugerem os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998).
Para tanto, analiso a Resolução de Problemas e os Jogos enquanto metodologias
de ensino e procuro entender, até que ponto, essas metodologias, à luz da teoria, podem ajudar na
superação das dificuldades para a aprendizagem da Matemática A pergunta de investigação
poderia ser assim sintetizada: quais são as possíveis contribuições, apontadas por pesquisadores e
teóricos, que a Resolução de Problemas e Jogos podem trazer para a aprendizagem dos conceitos
matemáticos?
Desse modo, para desenvolver esse trabalho, utilizei uma abordagem que
caracteriza essa pesquisa como bibliográfica e documental, isto é, os instrumentos adotados para
que a pesquisa se configurasse foram o levantamento e, posteriormente a leitura, análise e
interpretação de bibliografias relacionadas ao tema, como livros, artigos, documentos oficiais,
como os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), Teses de Doutorado e Dissertações de
Mestrado, bem como Trabalhos de Iniciação Científica. Após o contato inicial como material
recolhido, em alguns meses, fiz uma triagem, a partir da qual foi possível estabelecer um plano
de leitura, com base nos objetivos da pesquisa. A partir dos textos selecionados fiz uma leitura
mais sistemática sobre os mesmos, fazendo anotações e fichamentos.
A pesquisa bibliográfica foi empregada com a finalidade de conhecer as
diferentes contribuições científicas disponíveis sobre o tema, auxiliando também na definição do
problema, na determinação dos objetivos, na construção de hipóteses, na fundamentação da
justificativa da escolha do tema e na elaboração do trabalho final. Vale ressaltar aqui, que
Fiorentini e Lorenzato (2006) permitem classificar essa pesquisa em duas modalidades.
Na primeira modalidade, o trabalho é considerado um estudo ou ensaio teórico,
ou seja: “... tem por objetivo a (re) construção e/ou desenvolvimento de teorias, conceitos, idéias,
ideologias, polêmicas, tendo em vista termos imediatos, aprimorar fundamentos teóricos ou
desenvolver quadros de referência” (DEMO, 2000, p.20; citado por Fiorentini e Lorenzato, 2006,
p.69).
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A segunda modalidade mostra que este trabalho se enquadra na pesquisa do tipo
(histórico) bibliográfica ou de revisão, uma vez que, trata-se de um estudo em que se propõe
realizar análises históricas e/ou a revisão de estudos ou processos tendo como material de análise
documentos escritos e/ou produções culturais buscadas através de arquivos e acervos.
Quanto à estruturação, este trabalho está dividido em quatro partes.
A primeira trata da importância da Matemática na sociedade atual (capítulo 1), a
segunda faz uma breve apresentação histórica de como o conceito da Resolução de Problemas,
através dos tempos, se tornou metodologia de ensino da Matemática (capítulo 2). O mesmo vai
acontecer no capítulo 3, porém dando enfoque aos jogos e, finalmente, a quarta parte diz respeito
a algumas considerações sobre o uso dessas metodologias na sala de aula (capítulo 4).
Sendo assim, no primeiro capítulo apresento algumas reflexões sobre a
importância da Matemática na atualidade com base nos estudos de Onuchic (2007) e Azevedo
(1992) e também nos apontamentos apresentados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais
(1998); além de relatar sobre os potenciais que podemos desenvolver nas crianças para auxiliálas na assimilação das mudanças que ocorrem na sociedade.
No segundo capítulo, primeiramente, defino o conceito de problema; faço um
histórico da Resolução de Problemas; descrevo os tipos de problemas existentes e ao final trato
do uso da metodologia na prática da sala de aula. Para tanto, utilizo autores como Polya (1978),
Onuchic (2007), Dante (1994), Romanatto (2007), Marco (2004), Franchi (1994), Didoné
(2003), Lopes (1994) entre outros.
Já, no terceiro capítulo relato alguns aspectos históricos do jogo, defino o termo
jogo, caracterizo os tipos de jogos e ao final falo da importância do jogo no processo de ensinoaprendizagem. Azevedo (1992), Marco (2004), Moura (1994) e Maluta (2007) são alguns dos
autores que fundamentam-o.
Por fim, no quarto capítulo, apresento algumas considerações a respeito da
temática, justificando a sua importância, na sala de aula.
Dessa forma, entendo que esse trabalho é o início de uma reflexão teórica a
respeito dessas duas metodologias. A partir da reflexão teórica foi possível compreender os
princípios que regem essas duas metodologias, bem como suas particularidades e
potencialidades; que podem ser utilizadas em prol do processo de ensino-aprendizagem.
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CAPÍTULO I
A IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA NA SOCIEDADE ATUAL
Segundo Onuchic (2007c), atualmente, nota-se que pessoas do mundo todo estão
trabalhando na reestruturação da Educação Matemática. A finalidade dessas transformações está
em tornar a Matemática mais eficiente, permitindo que muito mais pessoas saibam matemática e
a saibam bem, com qualidade, ou seja, para que se possa romper com estereótipos de que não
gosta da matemática e que essa é uma matéria difícil; tornando os conteúdos matemáticos úteis a
vida.
Essa tendência à transformação e ao aprimoramento do que já está instituído
ocorre, pois vivemos em uma sociedade do conhecimento, em que todos precisam da
Matemática.
Assim, se a sociedade está em transformação, cabe a escola preparar os alunos
para essa mudança, podendo a Matemática dar a sua contribuição nesse processo. Desse modo,
Azevedo (1992) define que as contribuições que a Matemática pode dar refere-se ao
desenvolvimento de habilidades que favoreçam a construção de estratégias eficientes para a
resolução de problemas. Para tanto, é preciso fazer com que os alunos:
- demonstrem perfeita compreensão dos conceitos e princípios matemáticos;
- sejam capazes de raciocinar e expressar suas idéias matemáticas;
- tenham a competência de reconhecer as aplicações da Matemática em sua vida
cotidiana e
- tenham autonomia na Resolução de Problemas, sendo capaz de criar soluções
próprias para não ficar na dependência das idéias e das fórmulas decoradas.
Nesse sentido, a Matemática é definida por Onuchic (2007a) como uma ciência de
padrão e ordem, assim como tudo que nos rodeia. Ela possui padrões ocultos que nos ajudam a
entender o mundo ao nosso redor; está presente desde as tarefas caseiras como nos problemas do
cotidiano e permite o trabalho com dados; medidas e observações da ciência; com inferência
dedução e prova; e com modelos matemáticos de fenômenos naturais, de comportamento
humano e de sistemas sociais. É uma ciência de objetos abstratos, que conta mais com a lógica
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do que com a observação como seu padrão de verdade, embora ainda empregue observação,
simulação e mesmo experimentação como meios para descobrir a verdade.
Por isso podemos dizer que o processo de “fazer” matemática não se restringe
apenas a fazer contas ou deduções e sim envolve a observação de padrões, testagem de hipóteses
e estimativa de resultados.
Nessa perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) relatam que um
dos maiores obstáculos que o Brasil tem enfrentado com relação ao ensino da Matemática, é a
falta de formação profissional qualificada, restrições ligadas às condições de trabalho, ausência
de políticas educacionais efetivas e interpretações equivocadas de concepções pedagógicas
(Onuchic, 2007c). Além disso, em seus objetivos gerais, os PCN (1998) buscam contemplar
todas as linhas que devem ser trabalhadas no ensino da Matemática, entretanto se faz um
destaque para a Resolução de Problemas, já que se acredita que essa sirva para os alunos pensar
matematicamente; levantar idéias sobre a Matemática (permitindo estabelecer relações entre elas
e sabendo se comunicar ao falar sobre elas); desenvolver formas de raciocínio; estabelecer
conexões entre os temas da Matemática e desenvolver a capacidade de resolver problemas
(explorá-los, generalizá-los e até propor novos problemas a partir deles).
Enfim, pode-se afirmar, que se faz necessário ir à busca de um ensino da
Matemática em que o professor conheça os conteúdos e saiba as maneiras possíveis para ensinálos. Sob esse contexto e com base nas afirmações feitas pelo Parâmetros Curriculares Nacionais
(1998), entendo que a Resolução de Problemas e os Jogos podem ser metodologias que indiquem
caminhos para que a aprendizagem matemática dos alunos seja mais eficaz.
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CAPÍTULO II
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Neste capítulo, irei descrever como a Resolução de Problemas veio se tornando,
com o passar dos anos, Metodologia de Ensino da Matemática. A literatura mostra que a palavra
“problema”, bem como o termo Resolução de Problemas não tem o mesmo significado para as
pessoas. Historicamente, de tempos em tempos, este termo sofre mudanças ou ainda
ressignificações, de acordo com o contexto.
Compartilho com os pesquisadores como Onuchic (2007c) e Romanatto (2007b)
o pensamento de que a Resolução de Problemas pode contribuir para a sanar as necessidades dos
alunos relacionadas com a compreensão dos conceitos matemáticos, nos diversos níveis de
ensino.
Sendo assim e concordando com Onuchic (2007c), compreendo a Resolução de
Problemas como uma metodologia para se ensinar a Matemática e não apenas para se ensinar a
resolver problemas. Trata-se de algo bem mais amplo em que o problema é apenas um ponto de
partida, em que os professores podem fazer conexões com os diferentes ramos da Matemática,
como por exemplo, os conteúdos da aritmética; promovendo a compreensão dos conceitos e
conteúdos estudados.
Para tanto, é preciso compreender, inicialmente, o que é um problema. De acordo
com Marco (2004), há uma série de autores que definem o termo problema, entre eles temos:
- Saviani (2000): problema é algo que se desconhece e se necessita conhecer, é
uma dificuldade que precisa ser superada, uma dúvida presente.
- Mendonça (1999): problema é uma situação de conflito que não apresenta
solução imediata e clara, o qual exige uma solução própria e original.
- Moisés (1999): problema é algo que deve conter a necessidade de um indivíduo
resolvê-lo, envolvendo-o afetivamente, emocionalmente, culturalmente e socialmente.
- Sztajn (1997): problema são questões que alguém deseja resolver, mas que não
possui um algoritmo imediato para solucioná-lo. Trata-se de questões que servem para formar,
enriquecer e reorganizar os conceitos matemáticos que temos.
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- Kantowski (1997): problema é uma situação que se enfrenta sem ter um
algoritmo que garanta uma solução. Para solucioná-lo é preciso reunir os conhecimentos
relevantes; organizando-os de uma nova forma.
Assim, há uma série de definições para o termo problema, as quais se
complementam, atribuindo amplitude para o conceito. Penso que se faz necessário ainda ressaltar
as considerações feitas por Romanatto (2007b).
O autor atenta para a definição dada por Allevato e Onuchic (2004), em que se
entende o problema como algo que não se sabe fazer, mas que se tem interesse em fazer; e de
Van de Walle (2001) em que o problema é compreendido como qualquer tarefa ou atividade para
a qual os alunos não têm métodos ou regras prescritas ou memorizadas e nem sequer têm a
percepção de que haja um método específico para chegar à solução correta.
Compreendido o conceito de problema e concordando com os autores
referenciados acima, cabe pensar um pouco sobre a Resolução de Problemas.
Segundo Romanatto (2007a), o termo Resolução de Problemas surgiu num
contexto de novas concepções sobre a Educação, conhecimento, inteligência, avaliação e
interação professor-aluno; com o intuito de relacionar a matemática intuitiva com a matemática
formal.
Uma metodologia em que se busca uma solução, a qual se desconhece e que é
encontrada quando o aluno aplica os seus conhecimentos ao que está solucionando, produzindo
significados à Matemática escolar. Emerge como um método que pode fazer com que princípios
e conceitos matemáticos formais fiquem mais compreensíveis uma vez que serão reconstruídos
(o aluno irá construir o seu conhecimento), adquiridos, investigados de maneira ativa e
significativa. Há uma apropriação do conteúdo, uma matemática que considera o aspecto
qualitativo do conhecimento científico; que engloba conteúdos como raciocínio aritmético,
algébrico e geométrico (mesmo com o aluno não sabendo).
A resolução de um problema permite a representação do problema, a partir de
desenhos, esquemas e diagramas, de forma a auxiliar na explicitação dos raciocínios utilizados
enquanto há a apropriação dos conceitos matemáticos. Diferenciando-se da solução de um
problema com algoritmo.
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Para Romanatto (2007b), os alunos devem ter oportunidades freqüentes para
formular, tentar e solucionar problemas complexos que requerem grande quantidade significativa
de esforço. Aqui, os professores deveriam, constantemente, encorajá-los a refletirem sobre seus
conhecimentos. Desse modo, solucionar um problema é aplicar sobre os problemas uma reflexão
que estimule o seu modo de pensar, sua curiosidade e seus conhecimentos.
Tendo em vista as características da Resolução de Problemas, é preciso que se
ensine a Matemática a partir da relação entre a solução de problemas com os conteúdos
curriculares matemáticos. Fazendo um trabalho conjunto para que os estudantes reconheçam a
utilidade das estratégias utilizadas na resolução dos problemas.
2.1 Um breve histórico da Resolução de Problemas
Com base nos estudos de Romanatto (2007b), a Resolução de Problemas tem
ocupado um lugar de destaque desde a Antiguidade, na história egípcia, chinesa e grega. Nessa
época, a Resolução de Problemas era representada pelas situações-problema e incluía os
exemplos de uma solução técnica específica. Todavia, a Resolução de Problemas enquanto uma
metodologia de ensino é algo recente. Seu primeiro incentivador foi George Polya, que propunha
tornar os estudantes bons solucionadores de problema; algo que se aproxima mais do ensino
tradicional (em que os problemas são resolvidos para a fixação ou aplicação dos conteúdos
estudados). Essa concepção de Resolução de Problemas, em sua essência, sempre foi mantida;
houve avanços e recuos, mas o objetivo era ensinar a resolver problemas.
No Brasil, de acordo com Lopes (1994), são poucos os pesquisadores que se
dedicam aos estudos sobre a Resolução de Problemas, entre eles temos: Barbosa (1969) que foi
um dos primeiros a discutir a resolução de problemas, estratégias e esquemas de solução no
ensino e Dante (1989) que trouxe os tipos de problema.
Para Lopes (1994) esses estudos não conseguem responder a objetivos didáticos e
educacionais mais amplos relacionados à escola em si, com seus alunos e professores reais. Isso
ocorre, pois esses autores apenas classificam os problemas, isso pouco auxilia os professores na
compreensão e exploração das atividades de resolução de problemas e expressam uma visão
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reducionista no que se refere aos objetivos didáticos e educacionais pretendidos pela Educação
Matemática.
Sendo assim, destaca Romanatto (2007d, p.1): “A natureza da Matemática, que
envolve a capacidade de construir relações, raciocinar logicamente e usar algoritmos
eficientemente precisa ser a preocupação central da Educação Matemática”.
Entretanto, a partir de 1990, há um novo entendimento da Resolução de
Problemas; passando a ser divulgada na literatura sobre Educação Matemática, bem como nas
propostas oficiais que regem o Ensino Fundamental e o Ensino Médio. Trata-se de uma proposta
que foi compreendida como um grande avanço e em que as situações problema são entendidas
como desafios que possibilitam os alunos a construir e adquirir conceitos, princípios e
procedimentos matemáticos. Através do prazer de vencer os obstáculos criados por sua
curiosidade, vivenciando o “fazer” matemática. Além disso, incorpora-se os princípios de Polya
de tornar o aluno um bom “solucionador” de problema.
Nessa perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais para a Matemática de
1998, também afirmam que a finalidade maior do ensino de matemática é fazer com que os
alunos pensem matematicamente; identifiquem as idéias matemáticas sabendo manejá-las;
desenvolvam formas de raciocínio; estabeleçam conexões entre temas da Matemática e os temas
de fora da Matemática e aprimorem a capacidade de resolver problemas.
No cenário internacional, segundo Marco (2004), os estudos sobre a Resolução de
Problemas no mundo, iniciaram-se com Polya em 1945, e tem sido foco de estudo e pesquisa
desde a década de cinqüenta; se intensificando na década de setenta e oitenta com Echeverría,
Pozo, Post, Kilpatrick, Krulik, Shoenfeld e etc.
Antes da década de sessenta, os estudos sobre a Resolução de Problemas
consideravam relevante a busca de respostas para os problemas. Foi a partir de Polya (1978), que
houve uma reelaboração acerca das possibilidades teórico metodológicas da resolução de
problemas
pelos
educadores
matemáticos;
ampliaram
e
reestruturam
suas
interpretações,valorizando o processo utilizado pelos alunos, que resolvem os problemas de
forma criativa, utilizando formas estratégicas.
Nesse sentido, estudos mais recentes objetivam trazer contribuições para o
processo de ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos; pelo fato das crianças
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apresentarem dificuldades para aprender a Matemática e insistirem em encontrar números para
fazer uma conta e solucionar os problemas matemáticos.
De forma geral, a literatura aponta que a maioria das crianças não tem a
preocupação em pensar sobre o problema e analisar as variáveis envolvidas na situação. Isto é
ainda são alfabetizadas, matematicamente, a partir da Pedagogia do Treinamento ao invés de
valorizar o processo de saber pensar sobre os conceitos matemáticos mediante a Resolução de
Problemas (Lima, 1998; citada por Marco (2004)).
Assim, esses estudos surgem com o intuito de que, ao resolver problemas, as
crianças “usassem a cabeça”, buscando respostas para os problemas propostos, através do
exercício constante de uma grande quantidade de problemas (Fiorentini, 1994 ;citado por Marco
(2004)).
Cabe ainda acrescer as considerações feitas por Romanatto (2007b), o qual
estabelece que essas novas propostas da Resolução de Problemas recuperam o “fazer”
matemática na sua essência como uma condição necessária para que se possa aprender
matemática; em que se entende a Resolução de Problemas como um método de ensino promissor
para tornar as aulas de Matemática mais efetivas e significativas para os alunos.
Em concordância com Caraça (2000), citado por Marco (2004), é preciso um
problema que envolva o sujeito desde seus sentimentos, emoções, frustrações, ansiedades,
hesitações e alegria até seu intelecto. Ou seja, todo o seu aspecto subjetivo (consciente,
inconsciente, sensações, percepções, afetividade) e não só o cognitivo. De tal modo que
proporcione aos alunos ambientes favoráveis à imaginação, à criação de novos processos de
pensamento de resolução de problemas por meio do aprender pela investigação, pelo “fazer
matemática” não só na sala de aula bem como em sua vida cotidiana, suprindo as necessidades
reais do dia-a-dia. Ou seja, permitindo que o aluno vivencie o problema (Romanatto, 2007a).
Nesse sentido, Polya (1997) citado por Marco (2004), diz que resolver problema é
próprio da natureza humana, uma vez que o ser humano tem seus dias preenchidos com
ambições não imediatamente atingíveis, além disso a maior parte do seu pensamento consciente
é sobre problemas. Por isso, cabe ao sujeito elaborar processos que levem a soluções
satisfatórias; algo que deve ser valorizado pela comunidade escolar .
18
Enfim, é necessário que haja esse envolvimento integral do sujeito quando este
for solucionar um problema, visto que, atualmente, a necessidade do aluno é atribuir sentido
próprio aos conceitos matemáticos que ele irá aprender, é desejar saber. Para tanto, o aprendiz
precisa estar envolvido e ter curiosidade sobre a situação.
Desse modo, segundo Dante (1994), a Resolução de Problemas tem alguns
objetivos a serem alcançados. São eles:
a) fazer os alunos pensar produtivamente com a resolução de situações-problema
que o desafiem e o motivem a querer resolvê-las;
b) desenvolver a habilidade de elaborar um raciocínio lógico, fazendo uso
inteligente dos recursos disponíveis para que aprenda a lidar com as ocorrências do dia-a-dia;
c) preparar e ensinar o aluno a enfrentar situações novas, para isso é necessário
instigar nele a iniciativa, espírito explorador, criatividade e independência;
d) dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática,
para que saiba usá-las e assim as conceba como algo positivo para sua vida;
e) permitir que os alunos sejam mais ativos e tenham prazer em resolver através
de aulas de matemática mais interessantes, motivadoras e desafiadoras em que o professor
incentive e oriente os alunos;
f) fornecer ao aluno estratégias para resolver os diversos tipos de problemas e,
finalmente,
g) dar uma boa formação matemática aos discentes.
Pode-se dizer que se esses objetivos forem alcançados algumas habilidades
podem ser desenvolvidas nos alunos. Para Romanatto (2007a), ao aprender um conceito ou
princípio matemático a partir da Resolução de Problema, o aluno desenvolve e adquire
habilidades intelectuais que poderão ser utilizadas em quaisquer outras situações do dia-a-dia.
Tais como: criatividade, imaginação, intuição, autonomia, liberdade, experimentação, tentativa e
erro e etc.
Pode-se afirmar que essas são habilidades almejadas a fim de se romper com o
cenário atual da resolução de problemas, em que se inicia o trabalho nas séries iniciais com os
casos mais fáceis e depois os difíceis por um longo período de tempo. Porém nem sempre o
aluno executa as técnicas com facilidade e também não compreendem o processo, uma vez que
19
se faz o trabalho com problemas clássicos (são semelhantes às situações concretas da vida; tem
uma forma textual bem definida, em que se consegue tirar os dados facilmente; os
conhecimentos envolvidos são os que o aluno já sabem) (Franchi, 1994).
2.2 Tipos de problema
De acordo com Dante (1994), existem alguns tipos de problema que podem ser
explorados no contexto de ensino-aprendizagem da Resolução de Problemas. São eles:
- Exercícios de reconhecimento: sua finalidade é fazer com que o aluno lembre,
reconheça um conceito, uma definição, uma propriedade.
- Exercícios de algoritmos: seu objetivo é treinar a habilidade de executar um
algoritmo, são os problemas que podem ser resolvidos passo a passo.
- Problemas-padrão: sua resolução se dá com o uso de um ou mais algoritmos
aprendidos anteriormente, por isso, normalmente, encontram-se no final dos livros didáticos;
como forma de concluir e reforçar os conteúdos estudados. A resposta para o problema encontrase no próprio enunciado, trata-se apenas de um exercício em que o educando deve transformar a
linguagem do problema para a linguagem matemática; isto é não exige nenhuma estratégia. Há
dois tipos de problema-padrão: problemas-padrão simples (mais objetivos e com poucos
cálculos) e problemas-padrão compostos (maior elaboração do pensamento e mais cálculos).
- Problemas-processo ou heurísticos: são problemas cuja solução exige estratégias
e essa não está contida no enunciado. Por esse motivo, exige do aluno o pensar, a elaboração de
um plano de ação, de uma estratégia que possa levar à solução e além disso, que o aluno teste a
solução encontrada. Isto faz com que os problemas sejam mais interessantes, que despertem a
curiosidade do aluno e que desenvolva nele sua criatividade, iniciativa, e a vontade de explorar;
já que esse tipo de problema permite diversos pensamentos acerca do problema.
- Problemas de aplicação: são os problemas que exigem o uso da linguagem
matemática, pesquisa e levantamento de dados e retratam situações cotidianas; são conhecidos
também por situações-problema.
- Problemas de quebra-cabeça: constituem a Matemática recreativa, sua solução
depende quase sempre de um “insight”.
20
Todos os tipos de problemas citados acima, são os que encontramos na maioria
dos livros didáticos; possuem um caráter de uma lista de exercícios que, geralmente, é proposta
pela maioria dos professores logo depois de um conteúdo trabalhado.
Dessa maneira, tem-se um método que se reduz ao ensino sem significado para o
aluno, o qual não desperta curiosidade, nem vontade, bem como a não precisão para solucioná-lo
(Echeverría, 1998 citado por Marco (2004)). Em que o aluno quer colocar em prática o que
acabou de “aprender”, ou seja, treinar algoritmos e técnicas de solução; há a repetição de formas
abstratas dos conceitos matemáticos, fragmentando o ensino (Kalmykova, 1977; mencionada por
Marco (2004)).
Franchi (1994) diz que esses são os chamados problemas de aplicação, e tem sido
trabalhado como um instrumento de desenvolvimento do raciocínio; são separados por tema e
reduzem-se a meros exercícios de mecanização.
Diante disso, cabe salientar que não entendo a Resolução de Problemas nesse
âmbito. Já que acredito em um método de ensino que seja significativo ao aluno, que faça
sentido às suas origens, que leve em consideração as suas aprendizagens anteriores e que
aprimore o processo de ensino-aprendizagem e, posteriormente, seja útil a sua vida diária.
Isto é, em concordância com Romanatto (2007b), os contextos dos problemas
podem variar de experiências concretas relacionadas à vida dos alunos, ou ao cotidiano escolar;
bem como as ciências do mundo do trabalho. Bons problemas integrarão tópicos múltiplos,
assim como matemáticas significativas (veja alguns exemplos de problemas em anexo). Afinal,
bons problemas proporcionam aos alunos chances de solidificar e ampliar o que já sabem;
estimulando a aprendizagem em Matemática. Além disso, eles devem ser usados no auxílio para
desenvolver fluência com habilidades específicas.
2.3 Como se resolve um problema
Segundo Polya (1978), é possível definir quatro etapas principais para a resolução
de um problema. Primeiramente, é preciso compreender o problema, para isso podemos
responder às seguintes questões: O que se pede no problema?, O que se procura no problema?, O
que se quer resolver no problema?, O que o problema está perguntando?, Quais são os dados que
21
tenho?, Quais são as condições? O que posso utilizar na resolução do problema?. Além disso,
cabe nessa etapa traçar uma notação adequada, “desenhando” o problema, fazendo uma figura da
situação; e pensar se já é possível estimar a resposta.
Na segunda etapa, estabelece-se um plano de ação (estratégias) para resolver o
problema com base nos dados do problema e com o que se pede (incógnita). Muitas vezes, é
nessa fase que conseguimos formular uma sentença matemática, isto é, transformar a linguagem
usual na linguagem matemática. Nesta fase, cabem as seguintes perguntas: Já resolvi algum
problema semelhante a esse que possa ajudar na resolução?, É possível colocar os dados numa
tabela e depois fazer um gráfico ou diagrama?, É possível resolver o problema por partes?, É
possível delinear um ou mais caminhos para a solução?.
Já na terceira etapa, é hora da execução do plano de ação; verificando cada passo,
completando, se necessário, os diagramas e efetuando os cálculos necessários. Assim, utilizando
cada uma das estratégias pensadas, obteremos diversas maneira de resolver o mesmo problema.
Porém, é preciso analisar se o passo dado está correto e pensar se é possível demonstrar que ele
está correto.
Por fim, na quarta etapa é o momento de fazer o retrospecto ou a verificação, na
qual se faz a análise da solução obtida a fim de rever a aprendizagem e detectar os possíveis
erros. É preciso pensar também se existe outra maneira para solucionar o problema e se o método
utilizado pode resolver outros problemas.
Entretanto, vale ressaltar que essas etapas não são rígidas ou inflexíveis, é algo
que serve apenas para guiar o processo de resolução, uma vez que este é muito mais amplo e
rico, não se limita às essas instruções de passo a passo para se chegar à solução, como se fosse
um algoritmo.
Romanatto (2007b) ressalta que essas estratégias de resolução de problemas
merecem uma atenção especial e devem ser elucidadas claramente, bem como serem integradas
ao currículo da Matemática. Ou seja, devem ser ensinadas aos alunos. Sendo que nas séries
iniciais de escolarização, os professores podem ajudar as crianças a se expressar, categorizar e
comparar suas estratégias. Já nas séries posteriores, os alunos devem ser capazes de reconhecer
quando várias estratégias são apropriadas para o uso, sabendo decidir quando e como utilizá-las.
22
Essas diferentes estratégias são necessárias enquanto os alunos experimentam
uma grande diversidade de problemas.
Os professores devem encorajar os alunos a anotar as estratégias, uma vez que
essa verbalização ajuda a desenvolver a linguagem comum e a representação matemática, do
mesmo que contribui para que os alunos entendam o raciocínio do colega; compreendendo o que
o outro entendeu e o que ele estava fazendo. Isso se dá porque nenhuma estratégia é aprendida
de uma vez por todos os alunos, as estratégias são aprendidas com o tempo e quando aplicadas
em um contexto particular se tornam mais elaboradas e flexíveis.
Enfim, essas fazem com que os estudantes reconheçam a necessidade de se
aprender mais Matemática.
Além disso, por se tratar de um processo, a resolução de um problema requer
análise e reflexão constante do processo. Assim, bons “solucionadores” constantemente
monitoram e ajustam o que estão fazendo, por exemplo: certificam se entenderam o problema;
lêem cuidadosamente o problema; perguntam até entender o que está se pedido; planejam com
freqüência; periodicamente anotam seus progressos para ver se estão no caminho certo; quando
não estão avançando param para considerar as alternativas possíveis e partem para um outro
caminho completamente diferente.
2.4 O uso da metodologia na prática da sala de aula
Ao fazer uso da Resolução de Problemas enquanto uma metodologia de ensino
devemos nos atentar para saber como propor os problemas adequadamente em sala de aula.
O papel do professor é essencial, devendo propor bons problemas; acompanhar e
orientar a busca de soluções; coordenar debates entre soluções diferentes; valorizar caminhos
diferentes que chegaram à mesma solução (validando ou chamando atenção para algum aspecto
particular de uma resolução); e organizar, sintetizar, formalizar os conceitos e princípios
matemáticos (Romanatto, 2007a).
Cabe a ele ainda, analisar e adaptar um problema quando necessário, também
deve usufruir dos problemas particulares para que consiga atingir seus objetivos; assim deve
partir de onde os alunos estão (conhecimentos e experiências). Algo que deve ser levado em
23
consideração já que existem muitos problemas interessantes e divertidos, mas que não podem
levar ao desenvolvimento das idéias matemáticas que são importantes para uma classe em um
tempo particular.
Seria interessante que em sua prática, o professor diferenciasse, para seus alunos,
o que vem a ser exercícios e o que vem a ser problemas.
Entendendo por exercício, algo que serve apenas para praticar um certo algoritmo
ou um processo e que possui uma resposta imediata e única. Já o problema, é algo que requer
iniciativa, criatividade aliada ao conhecimento de algumas estratégias (Ponte e Serrazina, 2000;
mencionados por Didoné (2003)).
Ao elaborar um enunciado de um problema o professor deve estar atento para o
que ele quer ressaltar na aprendizagem do aluno, deve pensar sempre no quesito interesse e
significado para o aluno. Deste modo, estará propondo exercícios adequadamente.
Essa diferenciação entre problema e exercício se deve a possibilidade de uma
mesma situação representar ou um problema ou um exercício; dependendo da pessoa que o
soluciona. Caso a pessoa não tenha interesse pela situação ou se essa possuir alguns mecanismos
vai o compreender como um exercício, se utilizando de poucos recursos cognitivos para resolvêlo (Echeverría, 1998; citado por Marco (2004)).
Ainda, ao planejar o seu trabalho o professor poderia, segundo Lopes (1994),
estabelecer claramente seus objetivos, pois esses são fundamentais para a profundidade e
amplitude do aprendizado matemático que será proporcionado aos estudantes.
É preciso analisar o potencial do problema no desenvolvimento de capacidades
cognitivas, procedimentos e atitudes e na construção dos conceitos e aquisição de fatos da
matemática.
Assim, Lopes (1994) define que o melhor critério para selecionar o repertório de
problemas é escolher ou formular problemas que possibilitem os alunos a pensar sobre o próprio
pensamento, que os coloquem diante diversas situações. O professor deve pensar sobre:
- o problema pode ser solucionado por meio de mais de uma estratégia?;
- as possíveis estratégias podem ser generalizadas?;
- o problema induz o aluno ao erro?;
- os erros podem ser úteis, colaboram para o processo de aprendizagem?;
24
- o que ocorre se modificarmos um número ou uma palavra do enunciado?;
- o problema instiga o aluno para fazer a verificação?;
- o problema permite desenvolver bons hábitos de comunicação, sistematização e
argumentação?;
- o problema ajuda o aluno a elaborar hipóteses? e
- o problema permite desencadear outros problemas?.
Nessa perspectiva, Onuchic (2007b), aponta mais algumas questões a serem
consideradas quando se pensa em propor um problema a um aluno. Um exercício deve ser feito
pelo professor analisando os seguintes aspectos:
- por que isso é um problema?;
- quais tópicos da Matemática podem ser trabalhados com esse problema?;
- há a necessidade de considerar problemas secundários (algo que os alunos não
sabem porque nunca viram ou algo que já viram mas se esqueceram) relacionados a esse
problema?;
- esse problema é adequado para que série?;
- quais os caminhos possíveis para se chegar na solução?;
- a solução é necessariamente única?;
- como observar a razoabilidade das respostas obtidas?;
- tenho dificuldades para trabalhar esse problema?;
- qual o grau de dificuldade que o aluno pode ter diante a esse problema?;
- como posso relacionar esse problema a aspectos sociais e culturais?;
- onde posso buscar recursos para o trabalho na sala de aula? e
- quais crenças tenho a respeito da Matemática, da Educação Matemática, da
minha sala, dos meus alunos?.
Nesse sentido, Dante (1994) acrescenta que é imprescindível que o problema
tenha características de um bom problema; tais como:
a) ser desafiador para o aluno (que os façam “quebrar a cabeça” para tentar
solucioná-los),
b) ser real para o aluno (problemas com dados artificiais desmotivam o aluno),
25
c) ser interessante para o aluno (é preciso que o aluno se sinta motivado para que
possa se envolver com o problema; desse modo, a motivação passa a ser natural e interior do
aluno quando os questionamentos do problema fazem parte do cotidiano do aluno),
d) ser um problema em que a incógnita seja realmente desconhecida pelo aluno,
(o problema não pode consistir na aplicação fácil e evidente de uma ou mais operações
aritméticas, é relevante estimular a criação no aluno), e
e) ter um nível adequado de dificuldade (já que altos índices de dificuldade
desanimam e podem provocar frustrações; o problema deve ser de possível resolução para
determinada série ou idade).
Romanatto (2007a) ainda acrescenta que bom problema é aquele que dramatiza,
que deixa com curiosidade e o que envolve.
Franchi (1994) ressalta a importância do professor mediar o trabalho do aluno,
fazendo a avaliação das respostas dada por ele, sem considerar uma única interpretação como
correta; já que aspectos pragmáticos podem influenciar na significação do texto do problema.
Em concordância com Franchi (1994), Romanatto (2007a), diz também que o professor deve
trabalhar com as soluções individuais, grupais e coletivas, procurando interagir com a linguagem
dos alunos.
O trabalho com a Resolução de Problemas pode ser promovido tanto por
professores como pelos pais, os quais podem proporcionar a resolução de alguns problemas a
partir de seu conhecimento de mundo e da sua vivência.
Os professores têm grande importância nesse processo, podem desde a Educação
Infantil, criar e manter ambientes na sala de aula, em que os estudantes são estimulados a
explorar, se arriscar, compartilhar fracassos e êxitos, e a questionarem uns aos outros.
Já que é nesses ambientes de apoio que os educandos desenvolvem confiança em
suas habilidades e disposição de engajar e explorar problemas; com isso eles terão mais
facilidade em expor problemas e persistir quando encontrarem problemas desafiadores.
Finalmente, o professor deve ter cautela quanto à linguagem utilizada no
problema. Deve, na medida do possível, adequar o vocabulário, utilizando o que é mais próximo
da vivência da criança.
26
Segundo Dante (1994), as frases não devem ser longas e complexas, é mais
interessante que sejam frases curtas e simples, de fácil entendimento; trazendo as informações
(dados e condições) na ordem em que serão utilizadas, inicialmente.
Caso haja palavras que componham vocabulário matemático específico às quais a
criança desconheça, é preciso que o professor interfira e a auxilie na compreensão.
O professor deve priorizar também “números não muito grandes”, pois isso tira a
atenção da criança do problema, transferindo-a para a preocupação em saber lidar com os
cálculos.
Por fim, deve se preocupar com a apresentação do problema, já que o modo como
ele é apresentado influi e muito no modo como o aluno irá solucioná-lo.
Seria interessante que o professor pudesse dosar o tempo para a resolução, não
dando todo o tempo que o aluno desejar e sim começando a resolver o problema quando a
maioria dos alunos terminassem. Para tanto, se faz necessário um bom planejamento da aula,
pois só assim o professor saberá quanto tempo tem para cada etapa de sua aula (Onuchic,
2007d).
Assim, é possível concluir que trabalhar com a Resolução de Problemas como
método, é algo bem mais complexo do que se parece, há uma série de requisitos para que o
professor possa efetuar um bom trabalho e para que ele seja produtivo para o aluno. Nesse caso,
o professor age como um mediador e incentivador para que o aluno faça a sua própria
matemática; e não somente como um mero orientador de instruções de como fazer, em que o
aluno observa a matemática ser feita pelo professor (Dante, 1994).
Além disso, Romanatto (2007a) lembra que é algo complexo, pois coloca o
professor diante do aleatório, inesperado, e do não pensado durante a busca de uma solução. Isso
exige do professor um domínio mais amplo dos conteúdos matemáticos. Tais como:
- conhecer os grandes problemas que originaram a construção de determinado
conteúdo;
- conhecer as orientações metodológicas empregadas na construção de um certo
conteúdo;
- conhecer obstáculos epistemológicos ou didáticos relacionados ao conteúdo;
27
- saber selecionar conteúdos adequados que sejam acessíveis aos alunos e
possíveis de interesse, partindo de uma revisão do currículo;
- ter algum conhecimento dos desenvolvimentos matemáticos atuais;
- estar preparado para aprofundar conhecimentos assim como adquirir outros.
Portanto, para ensinar a resolver problemas o professor deve além de saber ensinar, saber
os conteúdos que compõem a Matemática (Onuchic, 2007c). Mas para nos encorajar a autora nos
dá uma sugestão de trabalho.
Primeiramente, acredita que o trabalho com a resolução de problemas deva ser
feito em grupo, visto que trabalhar com grupos é mais fácil do que trabalhar com várias pessoas;
além disso aprender é muitas vezes um processo que surge a partir do compartilhamento dos
conhecimentos. Os educandos precisam experimentar a cooperação, precisamos dar
oportunidade deles aprenderem uns com os outros.
Uma segunda sugestão faz referência ao papel desempenhado pelo professor, esse
deve passar de comunicador do conhecimento para ser um observador, organizador, consultor,
mediador, interventor, controlador e incentivador da aprendizagem para que facilite e otimize o
seu trabalho.
A terceira sugestão é o professor ou o aluno anotar os resultados obtidos pelos
grupos na lousa, fazendo um agrupamento dos resultados corretos, os errados e os feitos por
diferentes caminhos.
Em quarto lugar é sugerido que se faça uma plenária, em que todos os alunos são
convocados para uma assembléia e apresentam seus resultados, sua síntese do processo.
Em quinto lugar, deve-se fazer uma análise dos resultados, as dificuldades são
novamente trabalhadas, retiram-se as dúvidas, explora-se o que foi trabalhado, resolvem-se os
problemas secundários para que se possa prosseguir.
A sexta sugestão diz respeito à busca por um consenso sobre o resultado
pretendido; e finalmente, em sétimo lugar tem a formalização do que foi trabalhado, o professor
deve fazer na lousa uma síntese daquilo que objetiva ensinar a partir do problema, colocando as
dúvidas, definições, identificando as propriedades e fazendo demonstrações.
28
2.5 Dificuldades do aluno ao resolver um problema
O processo de resolução de problemas pode ser afetado por uma série de
variáveis, essas, por sua vez, podem causar dificuldades no aluno. Sendo assim, se faz necessário
escrever a respeito dessas tais variáveis e dificuldades.
De acordo com Shoenfeld (1985a) e Fernandes (1989), mencionados por Lopes
(1994), a resolução de um problema envolve quatro aspectos diferentes do conhecimento. São
eles: conhecimentos de fatos, algoritmos e da matemática que cada indivíduo possui;
conhecimento das estratégias de resolução de problemas; conhecimento das estratégias de
verificação (maneira que o indivíduo utiliza as informações que tem) e a forma como o indivíduo
têm de si próprio, da matemática, dos problemas e do mundo; suas concepções e seus préconceitos.
Sendo assim, o desconhecimento desses aspectos do conhecimento pode implicar
em algumas dificuldades para o aluno. Alguns exemplos são: a) dificuldade do educando em
lidar com as diversas informações contidas no enunciado do problema, não encontrando pistas
para saber por onde começar, mas sabendo que tem que controlar essas informações; b) a
resolução de problemas é algo não convencional, que não faz parte da cultura escolar, por isso os
alunos se sentem perdidos diante de um problema que não tem um modelo de referência; c)
durante a resolução de um problema o aluno, por não ter costume de verificar a todo o momento
o processo de construção da solução, acaba por cometer erros e não chegar à resposta correta; d)
desconhecer o vocabulário específico implica em impedimentos durante o desenvolvimento da
atividade; e) é preciso que o aluno tenha uma leitura consistente do enunciado e seja capaz de se
envolver e interpretar o problema para que não dê apenas respostas burocráticas ao problema e
também para que não tenha atitudes estereotipadas (não acreditando que um problema não tenha
uma resposta, ou sua resposta não é um número ou ainda que não há condições que satisfaçam o
problema proposto).
Ainda é preciso ressaltar, segundo Franchi (1994), que há outras fontes de
dificuldade na resolução de problema que devem ser consideradas.
29
Uma delas é que nem sempre o professor considera a particularidade de cada uma
das interpretações, já a outra diz respeito à leitura viciada do enunciado pelo educador, em que se
dá enfoque em alguma parte do enunciado.
Por isso, Onuchic (2007d) afirma que o professor não deve ler o problema e
apenas permitir que o aluno faça a primeira leitura; uma vez que ao ler um problema damos certa
entonação ao que queremos ressaltar no problema.
Portanto, é preciso que o professor supere as dificuldades e proporcione ao aluno
maneiras de pensar, hábitos de persistência e de interpretação das situações e de resultados de
uma solução; bem como a confiança em contextos fora das salas de aula de Matemática; já que
no dia-a-dia ser um bom solucionador de problemas é uma grande vantagem frente aos outros
indivíduos (Romanatto, 2007b).
Todavia, ao professor deve mensurar à assistência dada ao estudante, é preciso
que ele sinta quando o aluno não consegue mais avançar sozinho e quando precisa de um tempo
para desenvolver o seu raciocínio, já que ajudar antecipadamente pode privar o aluno de fazer
descobertas matemáticas. Os alunos precisam ter consciência de que um problema desafiador
leva tempo para ser resolvido e que a esperança é algo essencial para que o processo se
concretize.
30
CAPÍTULO III
JOGOS
Neste segundo capítulo, irei apresentar o como o jogo veio se configurando,
historicamente, enquanto uma Metodologia de Ensino da Matemática.
Trata-se de uma Metodologia que, nos últimos anos, vêm sendo estudada e
assumindo um caráter relevante nas propostas de ensino na Matemática, devido à preocupação
em se elaborar uma nova proposta pedagógica de trabalho (MOURA, 1994).
Vale ressaltar, que até a década de setenta se procurava o “problema” do fracasso
na Matemática ora nos objetivos, ora nos conteúdos ou nos métodos (MOURA, 1994).
Atualmente, sabemos que um dos “problemas” pode estar no método em que
utilizamos para ensinar os alunos, vivemos uma nova perspectiva sobre a ação educativa, temos
sujeitos que “selecionam, assimilam, processam, interpretam, e conferem significações e
configurações de estímulo” (COLL, 1994:100; citado por MOURA, 1994). Assim, não cabem
mais os métodos expositivos de ensino, que simplificam o papel tanto do professor como do
aluno, como se fossem um transmissor e um receptor de conhecimento, conforme prega a
Pedagogia do Treinamento.
3.1 Aspectos históricos do jogo no ensino
Kishimoto (2003), citada por Maluta (2007), relata que para se compreender os
aspectos históricos do jogo é preciso buscar dados na história do brinquedo na sociedade
francesa já que não há estudos históricos a respeito da evolução do brinquedo na sociedade
brasileira.
Sendo assim, Almeida (1987), mencionado por Marco (2004), diz que na
Antiguidade (Roma e Grécia), é que surgem as primeiras reflexões sobre a importância do
brinquedo na Educação. Platão já considerava que aprender brincando e de modo atrativo era
muito mais importante do que aprender por meio da violência e da repressão. Dessa forma, os
jogos eram utilizados pelos egípcios, romanos e maias como um instrumento de preparação para
a vida adulta e para as tarefas sérias (algo sugerido por Aristóteles). Isto é, a finalidade maior da
31
utilização dos jogos era ensinar valores, conhecimentos, normas e padrões culturais com base na
vivência dos adultos.
Uma vez que na Antiguidade, os jogos tinham a função de transmitir os
conhecimentos culturais na sociedade, apresentavam até objetivos educacionais e eram
estimulados por muitos povos.
Contudo, para outros povos e para a Igreja, durante o advento do Cristianismo, o
jogo era tido como algo imoral, profano, criminoso; desse modo, a sua prática não era permitida
e era julgado como comércio quando envolvia dinheiro. Isso porque se acreditava que ao jogar,
os jogadores causavam danos a si próprios, aos seus familiares e as pessoas com que se
relacionavam. Desse modo, o jogo foi perdendo as suas forças e deu lugar à educação rígida e
disciplinadora imposta pelo Império Romano (DUFLO, 1999; mencionado por Marco (2004)).
De acordo com Alves (2001), citado por Marco (2004), foi com a fundação da
Companhia de Jesus por Ignácio Loyola em 1540, que se entendeu o valor dos jogos para o
ensino e se introduziu oficialmente por meio de um documento denominado Ratio Studiorum
(nesse foram reelaboradas as considerações pedagógicas contidas nas Constituições da
Companhia de Jesus; que representavam as bases para todos os colégios jesuítas do mundo).
Dessa maneira, os jesuítas foram os primeiros a recolocarem os jogos na prática educativa.
Ainda no século XVI, originaram-se os jogos educativos que objetivavam a
aquisição de conhecimentos por meio de ações didáticas. Todavia, os jogos ainda não eram
considerados uma atividade principal e para algumas pessoas não tinham significado, o que fez
com muitos estudiosos não quisessem estudá-lo cientificamente (MARCO, 2004). Maluta (2007)
ainda acrescenta que nessa época os jogos foram empregados no cotidiano dos jovens não como
diversão e sim como uma tendência natural do ser humano, sendo criado os jogos de cartas
educativo.
No século seguinte (XVII), prossegue a expansão dos jogos com caráter
educativo, em particular dos jogos de leitura e dos jogos destinados à tarefa didática dos
conteúdos disciplinares de História, Geografia, Moral, Religião, Matemática e etc.
Já no século XVIII, surge a concepção de infância, o que implica na necessidade
de uma educação ajustada à natureza infantil. O que favoreceu no surgimento de inovações
32
pedagógicas no início do século XIX, ou seja, o jogo é compreendido como um objeto para
brincar e que deve fazer parte da pré-escola (Kishimoto, 2003; mencionada por Maluta, 2007).
Finalmente, no século XX, inicia-se a produção das pesquisas e teorias que
analisam a importância do ato de brincar para a construção dos conceitos necessários a vida; com
Piaget, Bruner e Vygotsky.
Nesse sentido, o jogo surge enquanto uma Metodologia de Ensino que procura
apresentar a Educação Matemática em bases mais científicas, tentando romper com o estereótipo
da infantilidade e da inutilidade quanto a fins educativos; era visto apenas como um divertimento
(MOURA,1994).
Para tanto, a autora Lanner de Moura (1995), mencionada por Marco (2004),
acredita que o jogo é uma atividade fundamental ao desenvolvimento da criança, já que é por
meio do lúdico, que a criança é capaz de elaborar o processo de pensamento relacionado à
resolução de problemas; todavia, para que o jogo seja educativo é preciso que seja
intencionalmente planejado, isto é, tenha objetivos, esteja aliado a uma proposta pedagógica que
tenha a consciência da importância dos jogos na vida da criança e, finalmente, tenha intervenção
pedagógica do professor (mediação).
Nessa perspectiva, Moura (1994) acrescenta que o jogo é um importante elemento
para a Educação Infantil, no processo de apreensão dos conhecimentos em situações cotidianas;
o jogo passa a ser defendido como um importante aliado do ensino formal de Matemática.
3.2 Mas o que é um jogo?
Antes de analisar o que é um jogo, se faz necessária uma diferenciação entre jogo
e material pedagógico feita por Kishimoto (1994), citada por Moura (1994):
“Se brinquedos são sempre suportes de brincadeiras, sua utilização deveria criar
momentos lúdicos de livre exploração, nos quais prevalecem a incerteza do ato e não se
buscam resultados. Porém se os mesmos objetos servem como auxiliar da ação docente,
buscam-se resultados em relação à aprendizagem de conceitos e noções ou, mesmo, ao
desenvolvimento de algumas habilidades. Nesse caso, objeto conhecido como
brinquedo não realiza sua função lúdica, deixa de ser brinquedo para tornar-se material
pedagógico” (Kishimoto, 1994:14).
33
Todavia, vale ressaltar que na prática docente esses dois conceitos acabam se
tornando um único conceito, isto porque os dois tem o objetivo de ampliar a ação pedagógica.
Isso se dá quando o professor elabora a atividade de ensino e acaba por considerar, nos planos
afetivos e cognitivos, os objetivos, a capacidade do aluno, os elementos culturais e os
instrumentos (materiais psicológicos) capazes de colocar o pensamento da criança em ação.
Assim, o mais importante passa a ser a busca por uma atividade orientadora de aprendizagem, ou
seja, que cria possibilidades de intervenção e permite avançar o conhecimento do aluno (Moura,
1994).
De acordo com Grando (1995), citada por Marco (2004), a palavra jogo vem do
latim joco e significa gracejo e zombaria; mas é empregado no conceito de ludus que quer dizer
jogo, divertimento e passatempo. Entretanto, ao longo do tempo, muitas noções foram
construídas a cerca do conceito jogo; por isso há uma série de atribuições feitas por diferentes
autores. Para compreender o que ocorre, Marco (2004) traz alguns autores e as suas definições.
Sendo elas:
- Huizinga (1990): o jogo é uma atividade voluntária e desinteressada. É um fator
distinto e fundamental, presente em tudo o que acontece no mundo. Ocorre dentro de certos
limites temporais e espaciais, segundo uma determinada ordem e um dado número de regras
livremente aceitas e fora da esfera da necessidade ou da utilidade material. Inicialmente tem-se o
sentimento de exaltação e tensão depois é seguida de um estado de alegria e distensão.
- Caillois (1994): o jogo é uma atividade livre (o jogador não é obrigado a jogar),
separada (espaço e tempo determinados antes), incerta (nem o desenvolvimento, nem o resultado
pode ser obtido antecipadamente), improdutiva (não cria elementos de nenhum tipo, a situação
de início é igual à do final da partida), regulamentada (regras que podem ser modificadas) e
fictícia (irreal). Os jogos podem ser de regras ou de ficção.
- Chateau (1987): a motivação do jogo está no esforço e no auto desafio, que
podem inspirar para o trabalho. O jogo é sempre uma prova proposta pelo jogador com o
objetivo de superar uma tarefa a ser cumprida. A criança joga e aprende a aceitar uma tarefa e
cumprí-la até o fim. Tem uma função social, já que ao se submeter às regras a criança leva em
consideração o ponto de vista dos outros jogadores. Assim, o jogo não é apenas um divertimento,
ele chega muitas vezes a ser exaustivo devido ao esforço que se faz necessário. Todavia, para as
34
crianças os jogos muito fáceis não às interessam e por isso logo são deixados de lado. Porém, seu
principal aspecto é a criação; em que prevalece o dinamismo e o prazer ocasionado por uma
vontade própria; permitindo uma possível conexão com o conhecimento por meio da ação.
- Moura (1992): o jogo como um problema em movimento, já que o jogador deve
elaborar procedimentos eficientes para resolver uma situação problema. O autor ainda define o
conceito de jogo pedagógico: aquele que utilizado como uma intencionalidade e que visa
permitir tanto o desenvolvimento de um conceito novo como a aplicação de um conceito
conhecido pela criança.
- Brenelli (1996): o jogo pode permitir a construção e a reconstrução de algumas
noções lógicas e aritméticas.
Nesse sentido, Maluta (2007), faz ainda algumas considerações a respeito da
definição de jogo. Para tanto, fala dos seguintes autores:
- Henriot (1983): jogo é o momento em que se distancia da situação real, quando
não se tem certeza dos resultados e quando não se tem a obrigação em fazê-lo.
- Grando (2004): o jogo é um desafio; uma atividade lúdica que envolve o desejo
e o interesse do jogador; uma competição que incentiva os jogadores a conhecer seus limites e
possibilidades de superação na busca da vitória.
Azevedo (1992) acrescenta as seguintes concepções de jogo:
- Vygotski (1988): todo o jogo contém regras e certa margem de ficção. Os jogos
evoluem de acordo com a situação onde variam a ficção e as regras. Um exemplo disso são os
jogos de faz de conta das crianças em que a ficção é explícita e a regra é implícita. Já com os
jogos com regras de adultos ocorre o inverso; regras explícitas e ficção implícita.
- Piaget:
“o jogo é inicialmente assimilação, uma vez que no jogo há uma transposição simbólica
que sujeita as coisas à atividade do indivíduo. É pois o pensamento agindo livremente,
segundo as tendências individuais, sem as limitações inerentes à objetividade externa.
Com a socialização da criança, o progressivo contato com as regras sociais e a
observação da realidade, o jogo começa a adotar regras e adaptar-se aos dados da
realidade objetiva. Desta forma, o jogo é um instrumento de desenvolvimento, uma vez
que promove a adaptação progressiva do indivíduo à realidade, evoluindo de
construções mais espontâneas, ainda que imitando o real, ou melhor, assimilando-o à
individualidade, para gradativamente ir fazendo com que o símbolo de assimilação
individual ceda lugar à regra coletiva ou símbolo representativo objetivo ou a ambos.”
(AZEVEDO, 1992. p. 75-76).
35
Portanto, na abordagem de Piaget, o desafio originado no jogo de regras é a causa
para o desequilíbrio que movem as crianças na busca de soluções; promovendo o
desenvolvimento cognitivo. Os jogos oferecem motivação para que a criança construa seus
conceitos, tendo ela a necessidade de considerar a opinião do outro.
Os jogos permitem a colocação de problemas, cuja busca de soluções favorece a
criatividade e a elaboração de estratégias de resolução. Os jogos criam uma situação
descompromissada com a expectativa de resultados imediatos, algo que permite que a criança
construa seu auto-conceito positivamente. Isso se deve ao fato das situações ocorrem
rapidamente, além disso o erro pode ser corrigido de forma natural. O jogo propicia a simulação
de situações problema que exigem soluções vivas e imediatas; estimulando o planejamento e o
cálculo mental, essenciais à Matemática.
Igualmente Marco (2004), Maluta (2007) e Azevedo descrevem algumas
definições de jogo com as quais não estou de total acordo. Isso porque são apresentados alguns
aspectos nas definições com os quais eu não concordo. Esses aspectos não confluem para a
formação da concepção que tenho de jogo. Para elucidar o que entendo como jogo, se faz
necessário considerar as ressalvas de Moura (1994).
Assim, diante do exposto, Moura (1994) faz algumas observações a respeito das
implicações que essas definições têm nas concepções existentes de jogo.
Inicialmente, as primeiras ações dos professores se apoiavam em teorias
construtivistas, tornando os ambientes cheios de variados jogos; para que os alunos os
manipulassem e descobrissem os conceitos inerentes ao jogo. Essa prática se mantém sobre as
bases das teorias psicológicas e de concepções de aprendizagem objetivistas, em que a
possibilidade de aprender está no sujeito que já apresenta certo nível de desenvolvimento,
desconsiderando-se os elementos externos.
Além disso, essa concepção de jogo, implica no fato do professor se sentir apenas
um indivíduo que promove situações desafiadoras para sujeitos em situação escolar. Desse
modo, as situações desafiadoras representam parte das atividades pedagógicas, porque são
elementos estimuladores do desenvolvimento; e o jogo é o elemento do ensino que possibilita
colocar o pensamento do sujeito em ação.
36
Ainda nessa concepção, o jogo deve ser utilizado na Educação Matemática a
partir dos níveis de conhecimentos dos alunos, que são por sua vez mais ou menos fixos. O
material deve ser estruturado de tal forma que proporcione a assimilação dos conceitos
matemáticos. Exemplos desse tipo de material são os blocos lógicos e o material dourado. Essa
concepção, em que se trabalha apenas as estruturas internas do indivíduo, levou a práticas em
que o conteúdo tinha pouca relevância.
Com o decorrer do tempo, na década de sessenta, a Educação Matemática se
deparou a uma nova visão de jogo: a visão da Psicologia. Nessa visão, o jogo é carregado de
conteúdos culturais, que permitem que os sujeitos entendam o conjunto de práticas sociais aos
quais estão inseridos (concepção sócio-interacionista). Em outras palavras, ao lidar com os jogos
de regras as crianças aprendem sobre o conjunto de regras que está posto na sociedade e ainda
desenvolvem as suas estruturas cognitivas, pois o jogo está impregnado de aprendizagem.
Dessa visão psicológica, decorre o cantinhos dos jogos e a brincadeira de faz-deconta. O jogo é visto como promotor da aprendizagem e do desenvolvimento e passa ser
considerado nas práticas escolares como um importante aliado do ensino. Já na Educação
Matemática, o jogo passa a ter caráter de material de ensino, em que a finalidade de seu conteúdo
é desenvolver as habilidades de resolução de problemas; possibilitando ao aluno estabelecer
metas para atingir seus objetivos, executar e avaliar jogadas.
Uma terceira concepção mais atual vem sendo propagada. As tendências atuais
vão deixando de lado essa visão do jogo como sendo um material de ensino e tornando-o uma
forma lúdica e prazerosa de lidar com o conceito matemático. Exemplos de jogos nessa
tendência são: quebra-cabeça, quadrado mágico, problemas desafio, paradidáticos (livros que
devem ser usados para além da didática) e etc.
Assim, nota-se que Moura (1994) faz referência a três concepções de jogo. Sendo
assim, defino o jogo me aproximando mais da terceira definição. Entendo o jogo como uma
situação lúdica em que predomina o sentimento de prazer e alegria; trata-se de um recurso que
pode se relacionar com o conhecimento, através das situações problema que geram a
aprendizagem no aluno; essas por sua vez permitem que o professor observe a construção do
pensamento do aluno.
37
Como se afirma também nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), em que o
jogo é definido como uma atividade natural do desenvolvimento dos processos psicológicos
básicos, em que não há uma obrigação e que representa um desafio que desperta interesse e
prazer.
Moura (1994) ainda complementa dizendo que a importância do jogo está na
possibilidade de se poder aproximar a criança do conhecimento científico (introduzindo aos
poucos a linguagem matemática). Dessa forma é que as crianças passam a poder vivenciar com
ludicidade as situações problemas que o homem seriamente enfrenta ou enfrentou em sua
história.
3.3 Momentos do jogo
A finalidade maior do jogo na Educação é valorizar a sua função pedagógica, em
que se possa explorar e aplicar os conceitos matemáticos; isto é para que se possa desenvolver o
conceito matemático no jogo.
Para tanto, é preciso que o docente tente planejar seu trabalho, delimitando seus
objetivos com a sala. Sendo assim, para que o jogo não seja simplesmente um jogo, segundo
Grando (2004) - citada por Maluta (2007), é preciso que o professor respeite os seguintes
momentos do jogo:
a)Promova a familiarização com o material do jogo, construindo-o e explorando-o
por meio da simulação de possíveis jogadas;
b)Faça o reconhecimento das regras, através da elucidação feita pelo professor, ou
pela leitura das regras pelos alunos ou até mesmo pelo “exercício” do próprio jogo entre o
professor e um dos alunos;
c)Permita que os alunos joguem para garantir a regra, isto é, deixar os educandos
livres para a exploração das noções matemáticas contidas no jogo, deixando-os jogar
espontaneamente;
d)Faça a intervenção pedagógica verbal, questionando o aluno quanto às suas
jogadas e estratégias em relação à formação dos conceitos matemáticos;
38
e)Registre o jogo, seja dos pontos ou dos procedimentos realizados ou dos
cálculos utilizados, já se utilizando da linguagem matemática;
f)Intervenção escrita do professor ou dos alunos, elaborando situações problema
sobre o jogo para que os educandos solucionem;
g)Ensine a jogar com competência, ou seja, retornar a praticar o jogo
propriamente dito fazendo uso das jogadas pensadas no momento anterior.
Portanto, esses são momentos que possibilitam a estruturação do trabalho
pedagógico com jogos nas aulas de Matemática, todavia é necessário que o professor realize,
quando preciso, as intervenções pedagógicas durante o jogo para garantir o processo de
aprendizagem dos conceitos matemáticos.
3.4 Classificação dos jogos
Feita a compreensão do conceito de jogo, dos seus momentos, percebe-se que o
jogo é um tema amplo, onde cada visão teórica concebe uma visão de jogo e prioriza um tipo de
jogo.
Segundo Corbalán (1994) citado por Marco (2004), há diferentes tipos de jogos.
São eles:
a) jogos de conhecimento: são jogos atraentes e descontraídos, mas que
apresentam relação com os conceitos matemáticos; e podem ser dos seguintes tipos: jogos
numéricos, jogos geométricos e jogos probabilísticos;
b) jogos de estratégias: são jogos que estão relacionados à resolução de
problemas, isto é, exigem procedimentos para que se ganhe;
c) jogos pré-instrucionais: são jogos utilizados antes do trabalho com a
formalização dos conceitos matemáticos;
d) jogos co-instrucionais: jogos utilizados à medida que se discute um novo
conceito, favorecendo à compreensão;
e) jogos pós-instrucionais: usados para reforçar, relembrar ou aprofundar os
conceitos já trabalhados.
39
Aproximando-se dessa classificação temos também a concepção defendida por
Moura (1992) - mencionado por Marco (2004), que define dois momentos para utilização dos
jogos no ensino da Matemática. São eles: desencadeadores da aprendizagem (os conceitos
envolvidos no jogo surgem na forma de problemas, levando o aluno a refletir sobre a situação e a
buscar caminhos para a resolução) e aplicador-fixador de conceitos (o jogo é usado para fixar
conceitos já trabalhados, é considerado um verificador da aprendizagem).
Uma outra classificação a ser considerada é a feita por Krulik e Rudnik (1983),
citados por Maluta (2007). Tais autores definem que há dois tipos de jogos, sendo eles os jogos
de treinamento (são ideais para auxiliar a memorização, ou a fixação de conceitos, fórmulas ou
técnicas ou conteúdos; todavia deve-se estabelecer bem seus objetivos para não se reduzir ao
pensamento mecânico ou a um algoritmo) e jogos de estratégia (visam o desenvolvimento do
raciocínio lógico, se caracterizam por possuir uma estratégia para que se possa vencer, sendo
que a sorte não interfere no jogo).
Maluta (2007), cita ainda a classificação feita por Grando (1995), que considera a
função dos jogos em um contexto social e didático-metodológico; classificando-os em:
- jogos de azar: são os que dependem da sorte para ser ganhos, uma vez que o
jogador não interfere em seu resultado. Exemplos: par ou ímpar, lançamento de dado, loteria e
etc.
- jogos quebra-cabeça: sua solução é desconhecida e quase sempre é jogada
individualmente. Exemplos: problemas, quebra-cabeça, charadas e etc.
- jogos de estratégia ou de construção de conceitos: dependem única e
exclusivamente da elaboração de estratégias de seus jogadores para que possam ser vencidos,
assim a sorte e aleatoriedade não influenciam. Exemplos: dama e xadrez.
- jogos de fixação de conceito ou jogos de treinamento: é utilizado pelo professor
com a finalidade é fixar os conceitos, vêm para substituir a lista de exercícios e servem para que
o aluno assimile o conteúdo.
- jogos computacionais: despertam grande interesse e são produzidos por meio de
técnicas da Computação.
40
- jogos pedagógicos: são os que podem ser usados no processo de ensinoaprendizagem, os que possuem valor pedagógico e são, portanto, os que englobam todos os
outros tipos de jogos citados acima.
Assim, podemos concluir que o jogo é um facilitador da aprendizagem quando
intencionalmente planejado, que envolve o aspecto lúdico para a resolução de problemas e a
posterior formalização do conceito matemático. Desenvolvendo também, a cooperação, a
interação social, a concentração, a exploração, a investigação de um conceito, a análise, a
comparação, a interpretação, a síntese, a tomada de decisão e a formação do pensamento humano
(Marco, 2004).
3.5 O jogo no processo de ensino-aprendizagem da Matemática
Com base na leitura dos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), entende-se o
jogo como um importante recurso metodológico na sala de aula, como uma forma interessante de
se propor problemas; uma vez que é algo atrativo para o aluno e que também favorece a
criatividade na elaboração de estratégias durante o jogo.
Sob esse contexto, Marco (2004), define o jogo como algo que gera uma situação
problema (uma vez que provoca no aluno a dúvida, a incerteza ao armar jogadas - estratégias,
analisá-las, e sintetizá-las para ganhar; fazendo com que o aluno reflita) e desencadeia a
aprendizagem do aluno, envolvendo os aspectos cognitivos, subjetivos e afetivos do aprendiz.
Enfim, são fatos que terão conseqüência na habilidade com a resolução de problemas.
Entrentanto, é preciso ressaltar que essa seqüência de acontecimentos ocorre sem
que o aluno perceba, ou tenha consciência visto que essa análise faz parte do processo de jogar e
permite que se constatem as jogadas erradas, que se entenda o desenvolvimento do raciocínio
utilizado e torna a atividade mais dinâmica, já que o aluno questiona o outro jogador quanto às
suas jogadas.
Atribuem função educativa para o jogo os seguintes autores citados por Maluta
(2007), e que merecem atenção:
- Parra (1996): os jogos são importantes pois permitem que os alunos trabalhem
de forma mais independente nas aulas (aprendem a respeitar as regras, a exercer diferentes
41
papéis, a discutir e a chegar em acordos). Já os professores, tem mais oportunidades de
observação, de modificar as propostas de acordo com os níveis de trabalho dos alunos e também
faz um trabalho mais intenso com os alunos, no qual se trabalha o que eles mais precisam.
- Kamii e Joseph (1992): os jogos podem ser utilizados na Educação Matemática
por estimular e desenvolver a habilidade de pensar de forma independente, contribuindo para o
seu processo de construção do conhecimento lógico matemático.
- Grando (2004): o jogo pode ser utilizado como um instrumento facilitador na
aprendizagem das estruturas matemáticas, que muitas vezes são de difícil assimilação. Tornando
atraente o ato de aprender.
- Borin (1996): o jogo tem importante papel no desenvolvimento de habilidade de
organização, atenção, concentração, linguagem, criatividade, raciocínio dedutivo, observação,
elaboração de estratégias, generalização, e diminuem o bloqueio para com a Matemática.
Contudo, para que o trabalho com jogos seja produtivo, seria interessante que o
professor pudesse mediar a elaboração das estratégias para a resolução dos problemas durante o
jogo. O professor poderia questionar o aluno sobre as suas jogadas e estratégias; para que o jogar
se torne um ambiente de aprendizagem e de reconstrução dos conceitos, e não apenas uma mera
reprodução (MARCO, 2004).
Dessa forma, o desenvolvimento dos conceitos matemáticos através do jogo, na
perspectiva de Grando (2000) - citada por Maluta (2007), ocorre dá quando:
a) o professor faz as intervenções e o aluno consegue elaborar situações problema
do jogo fora do objeto (um pensamento independente do objeto); garantindo o processo de
formulação;
b) o professor e aluno concebem a simulação matemática de algo real;
ressignificando um conceito matemático para que o aluno possa aprendê-lo e
c) quando analisa e reflete sobre a estrutura do próprio jogo.
Através do jogo também é possível propiciar o cálculo mental, que favorece a
generalização numérica, a imaginação e a memorização; trabalhar com os conteúdos culturais
inerentes ao próprio jogo e dar possibilidade para que a dimensão simbólica do sujeito se
manifeste já que se tem uma tarefa que se pode compartilhar com o outro, ressignificando-a e
42
transformando-a. De tal modo que a criança joga de uma forma divertida, articulando o imaginar,
o pensar e o fazer.
Mendonça e Lellis (1989), citados por Maluta (2007), ainda acrescentam que ao
criar as próprias estratégias de cálculo mental, o aluno passa a enfrentar e vencer desafios. Isso
se deve à autoconfiança que aluno vai adquirindo e que aumenta a sua capacidade de criação, de
concentração e de atenção frente aos conceitos matemáticos; uma vez que a Matemática para ele
passa a ser algo atingível.
O cálculo mental, pode ser incentivado pelos professores desde as séries inciais
uma vez que o trabalho com o cálculo mental interfere na capacidade de resolução de problemas;
aumenta a capacidade quanto ao conhecimento do campo numérico; habilita para uma forma de
construção do conhecimento que favorece uma melhor relação do aluno com a Matemática;
aumenta progressivamente a capacidade de calcular automaticamente (PARRA, 1996; citada por
MALUTA, 2007).
Um outro apontamento relevante se deve aos jogos em grupo, que servem tanto
para aprender a competir quanto para saber lidar com os diferentes pontos de vista, tem um papel
importante visto que propicia um contexto estimulador da atividade mental da criança. (Kamii e
Devries (1991), citados por Marco (2004)).
A relação ensino-aprendizagem por meio do jogo pode ser considerada algo
alegre, com trocas e descobertas; em que há contribuição para a construção da autonomia,
criticidade, criatividade, responsabilidade e interação social e cooperação.
Para isso, segundo Marco (2004), é necessário que o educador escolha
adequadamente o jogo de acordo com a faixa etária, conheça o jogo escolhido, e que o jogo
represente uma atividade desafiadora para os alunos; para tanto, o professor pode se utilizar das
classificações mencionadas acima; de acordo com os seus objetivos pode escolher um tipo de
jogo. Em outras palavras, o professor deveria, na medida do possível, conhecer e ter jogado o
jogo antes, para propor aos seus alunos, isso permite realizar intervenções pedagógicas mais
adequadas durante a partida.
É conveniente também que o professor esteja preparado para o inesperado e
também para o esperado; pois só assim ele poderá usufruir desses acontecimentos da melhor
maneira possível, ou seja, criando novos pensamentos e conhecimentos, deixando de seguir um
43
determinado padrão para a solução do jogo (MARCO, 2004).
Azevedo (1992) ressalta para
que se mantenha o caráter lúdico do jogo, é preciso que a interferência do professor seja
reduzida, de modo a garantir o que Caillois e Huizinga defendem: o jogo como uma atividade
livre, separada, incerta, improdutiva, regulamentada e fictícia , onde se reconheça o equilíbrio
entre a alegria e a concentração. Além disso, não se pode permitir que o entusiasmo e a agitação
chegue a um nível elevado que impeça a concentração. Portanto, o jogo é composto de um
caráter lúdico que dá prazer e de um caráter pedagógico que lhe confere concentração para
compreender as regras e construir as estratégias.
Nessa perspectiva do uso do jogo nas aulas de matemática, Maluta (2007)
acrescenta algumas considerações. Sendo assim, de acordo com os autores por ela citados,
temos:
- Grando (2004): o professor precisa ter claros os seus objetivos, esses devem ser
discutidos com os outros professores, visando um trabalho interdisciplinar. Além disso, o
ambiente deve ser propício ao desenvolvimento da imagem dos alunos, permitindo que eles se
expressem com gestos e movimentos os quais não estão habituados a realizar em sala de aula.
- Krulik e Rudnik (1983): O jogo não deve ser mecânico nem sem significado;
deve ser interessante e desafiador, nos quais os conteúdos sejam adequados ao nível de
conhecimento dos alunos e a regra seja um fator secundário ou inexistente. Sugere-se que as
equipes sejam compostas de quatro alunos, visto que essa formação facilita a troca de
informação; a colaboração na formulação das conclusões; a participação na elaboração para as
deduções das estratégias; facilita a observação, avaliação e intervenção do professor. Os autores
ainda recomendam que o jogo tenha regras pré-estabelecidas e que essas não possam ser
modificadas ao longo da partida, caso haja a necessidade de modificação essa deve ocorrer com
o consentimento de todos os jogadores e com apresentação de justificativas pertinentes a
mudança.
- Borin (1996): é recomendável que professor prepare os alunos para o trabalho
em grupo, caso contrário os alunos poderão ficar triste se não conquistarem a vitória. Um outro
aspecto apontado pelo autor, é a importância de se registrar as jogadas, tanto as que se obteve
êxito quanto as que fracassaram; para que se possa promover uma discussão posterior das
estratégias utilizadas. Borin, fala ainda que é preciso que o professor se conscientize de que o
44
jogo não deve ser algo obrigatório visto que há alunos que não gostam desse tipo de atividade,
além disso é preciso que ele se organize quanto ao tempo para que o jogue não se torne uma
atividade única.
Portanto, é viável que o professor elabore um projeto didático para fazer uso do
jogo como um método de ensino. Se organizando previamente e fazendo avaliações a todo o
momento. De tal modo que o professor pense sobre os seus objetivos para com a sala, seu
público alvo, materiais disponíveis e os necessários, suas intervenções durante a partida e a
dinâmica que irá utilizar, tempo e o espaço, seu papel frente aos alunos, a pertinência dos
conteúdos, a avaliação e continuidade que irá dar a proposta.
Pelo exposto até aqui, notamos que o jogo é uma metodologia complexa que
envolve uma série de aspectos apesar de ser, na maioria das vezes, algo prazeroso e divertido.
Assim, a importância está em aproximar a criança do conhecimento científico,
dos conceitos matemáticos; a partir da vivência de situações problema que o ser humano enfrenta
ou enfrentou (aproximação das ações adultas), uma vez que, ao colocar a criança diante de
situações lúdicas, ela aprende a estruturar uma lógica para a "brincadeira", e como conseqüência
estruturar a matemática presente.
45
CAPÍTULO IV
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Tendo em vista os apontamentos levantados a respeito da Resolução de
Problemas e dos Jogos venho neste capítulo reforçar a importância dessas metodologias para a
Educação Matemática. De tal forma que acredito na relevância desse estudo para Educação
Matemática, visto que, a literatura defende que essas metodologias podem aproximar mais as
crianças do conhecimento matemático e otimizar o acesso dos alunos aos conceitos e princípios
matemáticos; algo condescendente quando se trata de crianças que não gostam da matemática ou
tem dificuldade em aprendê-la.
Nesse sentido, tanto a Resolução de Problemas quanto o Jogo, enquanto
metodologias de ensino, têm por objetivo diminuir o abismo que há entre a Matemática
acadêmica e a Matemática escolar. Os alunos têm oportunidade de se entenderem e
compreenderem o mundo à sua volta, a partir dos conceitos matemáticos estudados na sala de
aula. A matemática não fica dissociada da vida do estudante.
Tais metodologias, quando utilizadas, intencionalmente, pelos professores podem
promover o crescimento das habilidades matemáticas dosalunos.
Contudo, trata-se apenas dos aspectos principais das duas metodologias, visto
que, os conceitos só podem ser ensinados mediante estas metodologias quando o professor
considerar os reais motivos que o fazem ensinar matemática. Ou seja, em cada uma das
metodologias há uma filosofia que a sustenta. Tal filosofia explicita o conceito de mundo e de
matemática que cada professor leva para a sala de aula.
Concordamos com Moura (2004) quando afirma que todo professor leva apara a
sala de aula, a partir das atividades de ensino que seleciona, uma concepção de mundo e de
ensino. As atividades de ensino são apresentadas aos alunos, a partir de metodologias que podem
ser mecanizadas ou não.
Como vimos, a resolução de problemas, como uma perspectiva metodológica de
ensino, é uma importante ferramenta para o docente, em que os problemas são o recurso para que
se aprenda a Matemática. É uma metodologia que permite o professor verificar se os alunos
entenderam bem o assunto, se possuem dificuldades ou ainda se não compreenderam algum
46
conceito ou princípio matemático. Por fim, é uma metodologia que contempla os aspectos
fundamentais à aprendizagem e em que os alunos “fazem” a sua própria matemática.
Por outro lado, entendo os jogos não como um recurso para tornar as aulas mais
agradáveis e sim como uma “ponte” para o conhecimento. Em que se proporciona a visualização
concreta dos conteúdos matemáticos e permite-se que o aluno seja um elemento ativo no seu
processo de aprendizagem.
Enfim, ao longo do trabalho tentei construir um estudo que contribuísse para a
compreensão da importância dessas metodologias, assim espero que as particularidades e os
potencialidades de cada metodologia estudada possa convencer professores de que ao utilizá-las,
em sala de aula, poderão diminuir as dificuldades de aprendizagem dos alunos.
É preciso romper com as práticas embasadas na memorização dos procedimentos,
em que só se utiliza o livro didático e os exercícios padronizados.
Seria interessante que em suas práticas nós professores proporcionássemos aos
nossos alunos um tempo maior de exposição ao conhecimento e às experiências culturais,
desenvolvendo, por exemplo um trabalho que alie a Resolução de Problemas e os Jogos. Isto é,
utilizando-se de jogos desafiantes que contenham a resolução de problemas e que envolvam as
emoções do aluno e o seu pensar sobre os conteúdos matemáticos.
Isso porque, sem a Educação o país perderá o seu futuro. A Educação é a única
“arma” para construir brasileiros conscientes, críticos e reflexivos. Para que não sejamos
derrotados pela competência e pela superioridade dos outros países e também para que
ultrapassemos os índices atuais, que indicam que os alunos brasileiros ainda estão abaixo do
esperado no ensino da Matemática. Desse modo, o investimento na Educação Matemática é um
dos caminhos para se trilhar.
47
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51
ANEXOS