RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS RESISTÊNCIA DOS

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Terceira Edição
CAPÍTULO
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Carregamento
Transversal
Resistência dos Materiais
Capítulo 5 – Carregamento Transversal
5.1 – Introdução
5.2 – Carregamento Transversal
5.3 – Distribuição de Tensões Normais
5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal
5.5 – Tensões de Cisalhamento τxy em uma Viga
5.6 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas de Seções
Transversal Retangulares
5.7 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas com Perfil em
forma de I ou de Abas Largas
5.8 – Tensões Combinadas
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Resistência dos Materiais
5.1 – Introdução
• Serão analisadas tanto as tensões normais quanto as tensões de
cisalhamento em barras prismáticas sujeitas a carregamentos transversais.
• As cargas podem ser:
 Concentradas;
 Distribuídas; ou
 Uma combinação de ambas.
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Resistência dos Materiais
5.2 – Carregamento Transversal
 Flexão simples: quando o carregamento transversal produz, ao
mesmo tempo, momento fletor e esforço cortante em seções
transversais da viga.
 Flexão pura: há apenas o momento fletor (Cap. 04).
• Cargas transversais aplicadas em barras, produzem tensões normais
e de cisalhamento nas diversas seções transversais.
• Seja a viga AB em balanço:
Da estática, em C:
N 0
V P
M  Px
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Resistência dos Materiais
5.2 – Carregamento Transversal
• A distribuição das tensões normais e de cisalhamento satisfazem as
condições:
Fx    x dA  0
M x    y xz  z  xy  dA  0
Fy   xy dA  V
M y   z  x dA  0
Fz   xz dA  0
M z     y  x dA  M
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Resistência dos Materiais
5.2 – Carregamento Transversal
• Seja um cubo elementar localizado no plano vertical de simetria (τxz = 0)
• Quando tensões de cisalhamento atuam
nas faces verticais de um elemento,
tensões iguais devem atuar nas faces
horizontais, para que haja o equilíbrio
• Tensões de cisalhamento longitudinal
devem atuar em qualquer elemento
submetido a cargas transversais.
Flexão pura: não há τ
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Resistência dos Materiais
5.3 – Distribuição de Tensões Normais
• Considerando que a distribuição de tensões normais em uma certa seção
transversal não fica afetada pelas deformações provocadas pelas tensões
de cisalhamento.
• Do Cap. 4:
x  
My
Pxy

Iz
Iz
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Resistência dos Materiais
5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal
• Seja a viga prismática:
Forças que atuam
numa porção da viga
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Resistência dos Materiais
5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal
• Seja a viga prismática:
• Para o equilíbrio do elemento:
F
x
 0  H    C   D  dA
a
H 
M D  MC
a y dA
Iz
A integral representa o momento estático
da área acima da linha y = y1, em relação à
L.N.
M S   y dA  ay
a
a - área sombreada da seção
transversal;
y - distância do seu centróide a L.N.
O raciocínio também poder ser feito para a área abaixo da linha y = y1.
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Resistência dos Materiais
5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal
• Seja a viga prismática:
• Logo:
H 
M
MS
Iz
dH dM M S V .M S


dx
dx I z
Iz
Chamando:
q
H V .M S

x
Iz
q  fluxo de cisalhamento (N/m)
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Resistência dos Materiais
5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal
• Fluxo de cisalhamento q 
H VM S

x
Iz
Com:
M S   y dA  ay
a
Iz 

y 2 dA
aa '
• O mesmo resultado é encontrado para a área abaixo
q 
H  VM S

 q
Iz
x
M S  M S  0
H   H
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Resistência dos Materiais
Exemplo 5.1
Uma viga de madeira é construída de três peças de seção transversal
20mm × 100mm, que são fixadas umas às outras por meio de pregos.
O espaçamento entre os pregos, ao longo do comprimento da viga, é
de 25mm. Sabendo-se que a viga está submetida a uma força cortante
V = 500 N, determinar a força de corte em cada prego.
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Resistência dos Materiais
5.5 – Tensões de Cisalhamento τxy em uma Viga
• A tensão média de cisalhamento na face
horizontal do elemento
 med 
H q x VM S x VM S



A A
I z t x
I zt
• As tensões de cisalhamento em um plano
transversal são iguais as tensões em um
plano horizontal (xy=yx).
• Se a largura da viga é bem maior que sua
altura, a tensão de cisalhamento em D1 e
D2 é significativamente maior que em D.
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Resistência dos Materiais
5.6 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas de Seções
Transversal Retangulares
h
VM S VM S
• Seja uma viga retangular, b  ;  xy 

4
I zt
I zb
Tem-se que, y  y 
c y yc

e A  b  c  y 
2
2
b  c2  y2 
M S  Ay 
2
2
bh3 b  2c 

 bc 3
Iz 
12
12
3
3
Fazendo substituições, e para
S.N.
A  2bc
3V 
y2 
 xy 
1  
2 A  c2 
3V
y  0   max 
2A
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Resistência dos Materiais
5.7 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas com Perfil em
forma de I ou de Abas Largas
• Considerando novamente a equação:
 med 
VM S
I zt
 Em pontos da seção aa’, a largura t é a largura da aba;
 Em pontos da seção bb’, a largura t é a largura da alma;
L.N.
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Resistência dos Materiais
Exemplo 5.2
A viga AB é constituída por três peças coladas e está submetida ao
carregamento indicado, que atua no seu plano de simetria. Determinar
a tensão de cisalhamento média nas juntas da seção nn da viga. A
figura indica a posição do centróide da seção transversal.
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Resistência dos Materiais
Exemplo 5.3
Uma peça de máquina com perfil em forma de T fica submetida ao
carregamento indicado em seu plano de simetria. Determinar: (a) a
máxima tensão de compressão na seção nn; (b) a máxima tensão de
cisalhamento.
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Resistência dos Materiais
5.8 – Tensões Combinadas
• Nos capítulos anteriores analisamos as tensões causadas em barras sob
carga axial, em eixos circulares sob torção e em vigas sob flexão com
esforço cortante.
• Veremos agora a determinação das tensões em estruturas ou elementos
de máquinas sob a ação combinada dos carregamentos estudados.
• Seja a barra encurvada submetida à ação de várias força.
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Resistência dos Materiais
5.8 – Tensões Combinadas
Tensões em um ponto K:
1. Passar uma seção transversal em K;
2. Determinar o sistema de forças e momentos em relação ao centróide C
da seção.
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Resistência dos Materiais
5.8 – Tensões Combinadas
Princípio da Superposição:
tensões normais: P, My e Mz
tensões de cisalhamento: T, Vy e Vz.
Condições de aplicabilidade do princípio:
a) Tensões devem estar dentro do limite de proporcionalidade do material;
b) A deformação provocada por um certo carregamento não deve afetar a
determinação das tensões devidas a outro carregamento;
c) Seção em estudo não deve estar muito próxima de nenhum ponto de
aplicação das cargas.
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Resistência dos Materiais
Exemplo 5.4
Duas forças P1 e P2 são aplicadas nas extremidades A da barra AB.
Essa barra é soldada à peça cilíndrica BD de raio c = 20 mm.
Determinar a tensão normal e a tensão de cisalhamento nos pontos H
e K do cilindro.
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Resistência dos Materiais
Exemplo 5.5
Três forças são aplicadas
nos pontos A, B e D de uma
peça metálica. A seção
transversal horizontal é
retangular medindo 40x140
mm. Determinar a tensão
normal e a tensão de
cisalhamento no ponto H da
seção.
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