Terceira Edição CAPÍTULO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Carregamento Transversal Resistência dos Materiais Capítulo 5 – Carregamento Transversal 5.1 – Introdução 5.2 – Carregamento Transversal 5.3 – Distribuição de Tensões Normais 5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal 5.5 – Tensões de Cisalhamento τxy em uma Viga 5.6 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas de Seções Transversal Retangulares 5.7 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas com Perfil em forma de I ou de Abas Largas 5.8 – Tensões Combinadas 5-2 Resistência dos Materiais 5.1 – Introdução • Serão analisadas tanto as tensões normais quanto as tensões de cisalhamento em barras prismáticas sujeitas a carregamentos transversais. • As cargas podem ser: Concentradas; Distribuídas; ou Uma combinação de ambas. 5-3 Resistência dos Materiais 5.2 – Carregamento Transversal Flexão simples: quando o carregamento transversal produz, ao mesmo tempo, momento fletor e esforço cortante em seções transversais da viga. Flexão pura: há apenas o momento fletor (Cap. 04). • Cargas transversais aplicadas em barras, produzem tensões normais e de cisalhamento nas diversas seções transversais. • Seja a viga AB em balanço: Da estática, em C: N 0 V P M Px 5-4 Resistência dos Materiais 5.2 – Carregamento Transversal • A distribuição das tensões normais e de cisalhamento satisfazem as condições: Fx x dA 0 M x y xz z xy dA 0 Fy xy dA V M y z x dA 0 Fz xz dA 0 M z y x dA M 5-5 Resistência dos Materiais 5.2 – Carregamento Transversal • Seja um cubo elementar localizado no plano vertical de simetria (τxz = 0) • Quando tensões de cisalhamento atuam nas faces verticais de um elemento, tensões iguais devem atuar nas faces horizontais, para que haja o equilíbrio • Tensões de cisalhamento longitudinal devem atuar em qualquer elemento submetido a cargas transversais. Flexão pura: não há τ 5-6 Resistência dos Materiais 5.3 – Distribuição de Tensões Normais • Considerando que a distribuição de tensões normais em uma certa seção transversal não fica afetada pelas deformações provocadas pelas tensões de cisalhamento. • Do Cap. 4: x My Pxy Iz Iz 5-7 Resistência dos Materiais 5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal • Seja a viga prismática: Forças que atuam numa porção da viga 5-8 Resistência dos Materiais 5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal • Seja a viga prismática: • Para o equilíbrio do elemento: F x 0 H C D dA a H M D MC a y dA Iz A integral representa o momento estático da área acima da linha y = y1, em relação à L.N. M S y dA ay a a - área sombreada da seção transversal; y - distância do seu centróide a L.N. O raciocínio também poder ser feito para a área abaixo da linha y = y1. 5-9 Resistência dos Materiais 5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal • Seja a viga prismática: • Logo: H M MS Iz dH dM M S V .M S dx dx I z Iz Chamando: q H V .M S x Iz q fluxo de cisalhamento (N/m) 5 - 10 Resistência dos Materiais 5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal • Fluxo de cisalhamento q H VM S x Iz Com: M S y dA ay a Iz y 2 dA aa ' • O mesmo resultado é encontrado para a área abaixo q H VM S q Iz x M S M S 0 H H 5 - 11 Resistência dos Materiais Exemplo 5.1 Uma viga de madeira é construída de três peças de seção transversal 20mm × 100mm, que são fixadas umas às outras por meio de pregos. O espaçamento entre os pregos, ao longo do comprimento da viga, é de 25mm. Sabendo-se que a viga está submetida a uma força cortante V = 500 N, determinar a força de corte em cada prego. 5 - 12 Resistência dos Materiais 5.5 – Tensões de Cisalhamento τxy em uma Viga • A tensão média de cisalhamento na face horizontal do elemento med H q x VM S x VM S A A I z t x I zt • As tensões de cisalhamento em um plano transversal são iguais as tensões em um plano horizontal (xy=yx). • Se a largura da viga é bem maior que sua altura, a tensão de cisalhamento em D1 e D2 é significativamente maior que em D. 5 - 13 Resistência dos Materiais 5.6 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas de Seções Transversal Retangulares h VM S VM S • Seja uma viga retangular, b ; xy 4 I zt I zb Tem-se que, y y c y yc e A b c y 2 2 b c2 y2 M S Ay 2 2 bh3 b 2c bc 3 Iz 12 12 3 3 Fazendo substituições, e para S.N. A 2bc 3V y2 xy 1 2 A c2 3V y 0 max 2A 5 - 14 Resistência dos Materiais 5.7 – Tensões de Cisalhamento τxy em Vigas com Perfil em forma de I ou de Abas Largas • Considerando novamente a equação: med VM S I zt Em pontos da seção aa’, a largura t é a largura da aba; Em pontos da seção bb’, a largura t é a largura da alma; L.N. 5 - 15 Resistência dos Materiais Exemplo 5.2 A viga AB é constituída por três peças coladas e está submetida ao carregamento indicado, que atua no seu plano de simetria. Determinar a tensão de cisalhamento média nas juntas da seção nn da viga. A figura indica a posição do centróide da seção transversal. 5 - 16 Resistência dos Materiais Exemplo 5.3 Uma peça de máquina com perfil em forma de T fica submetida ao carregamento indicado em seu plano de simetria. Determinar: (a) a máxima tensão de compressão na seção nn; (b) a máxima tensão de cisalhamento. 5 - 17 Resistência dos Materiais 5.8 – Tensões Combinadas • Nos capítulos anteriores analisamos as tensões causadas em barras sob carga axial, em eixos circulares sob torção e em vigas sob flexão com esforço cortante. • Veremos agora a determinação das tensões em estruturas ou elementos de máquinas sob a ação combinada dos carregamentos estudados. • Seja a barra encurvada submetida à ação de várias força. 5 - 18 Resistência dos Materiais 5.8 – Tensões Combinadas Tensões em um ponto K: 1. Passar uma seção transversal em K; 2. Determinar o sistema de forças e momentos em relação ao centróide C da seção. 5 - 19 Resistência dos Materiais 5.8 – Tensões Combinadas Princípio da Superposição: tensões normais: P, My e Mz tensões de cisalhamento: T, Vy e Vz. Condições de aplicabilidade do princípio: a) Tensões devem estar dentro do limite de proporcionalidade do material; b) A deformação provocada por um certo carregamento não deve afetar a determinação das tensões devidas a outro carregamento; c) Seção em estudo não deve estar muito próxima de nenhum ponto de aplicação das cargas. 5 - 20 Resistência dos Materiais Exemplo 5.4 Duas forças P1 e P2 são aplicadas nas extremidades A da barra AB. Essa barra é soldada à peça cilíndrica BD de raio c = 20 mm. Determinar a tensão normal e a tensão de cisalhamento nos pontos H e K do cilindro. 5 - 21 Resistência dos Materiais Exemplo 5.5 Três forças são aplicadas nos pontos A, B e D de uma peça metálica. A seção transversal horizontal é retangular medindo 40x140 mm. Determinar a tensão normal e a tensão de cisalhamento no ponto H da seção. 5 - 22