ISSN 1984-8218 Solução da Equação SN Multigrupo de Transporte Dependente do Tempo em Meio Heterogêneo Cynthia F. Segatto, Fernanda K. Tomaschewski, UFRGS-Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada 91509-900, Porto Alegre, RS Campus Agronomia E-mail: [email protected], [email protected] Resumo: Neste trabalho, apresentamos uma solução analítica na forma integral para a aproximação SN da equação de transporte dependente do tempo com fonte, em uma placa heterogênea, assumindo modelo de multigrupo. A ideia principal deste método envolve os seguintes passos: aplicação da transformada de Laplace na variável tempo, resolvendo, na sequência, a equação resultante pelo método LTSN . Finalmente determinamos a solução procurada para o fluxo angular dependente do tempo aplicando o teorema de inversão da transformada de Laplace. Neste trabalho avaliamos a transformada inversa de Laplace usando o algoritmo de Gaver-Stehfest. Concluímos apresentando o comportamento assintótico da solução para o problema estacionário resolvido pelo método LTSN . Palavras-chave: Equações SN , Multigrupo, Multiregião, Transformada Inversa de Laplace 1 Introdução O método LTSN é uma solução bem conhecida para o conjunto de equações de ordenadas discretas (equações SN ) em geometria cartesiana unidimensional. Nos últimos vinte anos, o método LTSN tem sido aplicado na resolução de uma classe abrangente de problemas, entre os quais citamos a solução de problemas de transferência radiativa com alto grau de anisotropia e fonte arbitrária [9, 5], problema de transporte de nêutrons usando modelo de multigrupo [10], problema não-linear de transferência radiativa-condutiva [11] e problema de transferência radiativa com coeficiente de albedo variando continuamente no espaço [18]. Esta metodologia também foi aplicada na solução de problemas multidimensionais, para o fluxo angular médio pela resolução das equações SN nodais [20, 7, 8] e também para o fluxo angular usando a técnica da dupla transformada de Laplace (DLTSN ) [12]. Além disto a convergência do método LTSN já foi mostrada usando a teoria forte dos C0 semigrupos [19]. Mais recentemente Segatto et al. apresentaram uma solução analítica, na forma integral, para as equações SN de transporte unidimensional dependente do tempo em uma placa que chamamos de método TLTSN [13, 14]. Neste trabalho, apresentamos uma extensão do método TLTSN para a solução da aproximação SN da equação multigrupo de transporte dependente do tempo considerando fonte externa, para uma placa heterogênea. A ideia principal do método TLTSN envolve os seguintes passos: primeiramente aplicamos a transformada de Laplace na variável tempo das equações SN de multigrupo em uma placa homogênea. Na sequência resolvemos a equação resultante pelo método LTSN e determinamos a solução procurada para o fluxo angular dependente do tempo usando o teorema de inversão da transformada de Laplace. Por este procedimento o fluxo angular dependente do tempo é escrito em termos de uma integral de linha na variável tempo, que neste trabalho é avaliada pelo esquema numérico de Gaver-Stehfest [15] [16]. Uma vez que a solução para o problema homogêneo é conhecida, determinamos a solução para o domínio heterogêneo, constituído 803 ISSN 1984-8218 de multiplacas, usando a solução encontrada para uma placa genérica e aplicando a condição de contorno e também impondo a condição de continuidade do fluxo angular nas interfaces. Concluímos apresentando resultados numéricos obtidos pela inversão numérica da transformada de Laplace considerada, bem como o comportamento assintótico desta solução, quando o tempo vai para o infinito, com a solução do problema estacionário resolvido pelo método LTSN . 2 O Método TLTSN considerando modelo de Multigrupo Para construirmos a solução TLTSN global em uma placa heterogênea constituída de K subplacas homogêneas, sem perda de generalidade, vamos considerar o conjunto de equações SN de transporte de nêutron isotrópica com G grupos de energia na k-ésima placa como: G N X 1 ∂ k ∂ k 1 X k k k k k ψn,g (t, x) + µn ψn,g (t, x) + σtg ψn,g (t, x) = σsg ψi,g 0g 0 (t, x)wi + Sn,g (t, x), vg ∂t ∂x 2 g0 =1 i=1 (1) para g = 1, . . . , G e k = 1, . . . , K. Com condição inicial k ψn,g (0, x) = φkn,g (x), (2) sujeita respectivamente às seguintes condições de contorno e de continuidade nas interfaces 1 ψn,g (t, x0 ) = fn,g (t), K ψn+ (t, xk ) = gn,g (t), N ,g 2 k k+1 ψn,g (t, xk ) = ψn,g (t, xk ). (3) Aqui estamos considerando a notação standart para os parâmetros, isto é µi e wi , 1 < n < N , k (t, x) é o fluxo são respectivamente as N raízes e pesos da quadratura de Gauss Legendre, ψn,g angular de nêutrons em x na direção µn do grupo g da k-ésima região, vg representa a velocidade k é a seção de choque macroscópica total para grupo dos nêutrons no g-ésimo grupo de energia, σt,g k 0 g da k-ésima região, σs,g 0 g é a seção de choque macroscópica de espalhamento do grupo g para k o grupo g na região k e Sn,g (t, x) é uma fonte externa de nêutrons. Por simplicidade de aplicação do método TLTSN realizamos uma mudança na variável espacial x, da seguinte forma, x = x − xk−1 na região k, para k = 1, . . . , K. As espessuras de cada placa são dadas por Lk = xk − xk−1 . Desta forma, as condições de contorno e de continuidade nas interfaces são dadas respectivamente por 1 ψn,g (t, 0) = fn,g (t), K ψn+ (t, Lk ) = gn,g (t), N ,g 2 k k+1 ψn,g (t, Lk ) = ψn,g (t, 0). (4) Aplicando a transformada de Laplace na variável temporal do problema (1), obtemos o seguinte problema transformado para cada região k: µn G N X d k 1 X pk k k Ψn,g (p, x) = Ψki,g0 (p, x)wi + Qkn,g (p, x), Ψn,g (p, x) + σtg σsg 0g dx 2 g0 =1 i=1 pk k + na qual Ψkn,g (p, x) denota a transformada de Laplace de Ψkn,g (t, x), t → p, σtg = σtg Qkn,g (p, x) = (5) p vg e 1 k k (p, x) φ (x) + S̄n,g vg n,g é o termo fonte. Agora, para aplicarmos o método LTSN , reescrevemos em cada regão k, o conjunto de equações dado por (5) em sua forma matricial, isto é: d k Ψ (p, x) − A(p)Ψk (p, x) = Qk (p, x), dx 804 (6) ISSN 1984-8218 onde o vetor fluxo angular transformado Ψk (p, x), o vetor fonte Qk (p, x) e a matriz LTSN A(p) são dados por: Ψk (p, x) = Ψk1,1 , Ψk2,1 , . . . , ΨkN,1 , Ψk1,2 , Ψk2,2 , . . . , ΨkN,2 , . . . . . . . . . , Ψk1,G , Ψk2,G , . . . , ΨkN,G k Q (p, x) = Qk Qk Qk Qk Qk Qk Qk Qk1 Qk1 , ,..., 1 , 2, 2,..., 2 ,........., G, G,..., G µ1 µ2 µN µ1 µ2 µN µ1 µ2 µN ai+N (g−1),j+N (g0 −1) = σsg0 g wj 2µi p σtg µi − σsg0 g wj 2µi T , (7) !T , (8) e g = g0 se i = j . se i 6= j ou g 6= (9) g0 A solução LTSN para a equação matricial (6) é dada por [5]: k k− k k Ψkg (p, x) = Bk+ g (p, x − x0 )Ψg (p, x0 ) + Bg (p, x)Ψg (p, 0) + Hg (p, x), (10) k− onde as matrizes Bk+ g e Bg são definidas em cada região k por: k± −1 Bk± g (p, x) = X(p)Eg (p, x)X (p), (11) k− na qual Ek+ g (p, x) e Eg (p, x) são matrizes diagonais cujos elementos da diagonal são dados por ( Ek+ g (p, x) = ( edi x se di > 0 0 se di < 0 Ek− g (p, x) e = 0 se di > 0 . edi x se di < 0 (12) Aqui di (p) são os autovalores e X(p) é a matriz dos respectivos autovetores da matriz A(p). Finalmente o vetor solução particular Hkg (p, x) é dado por: Hkg (p, x) = Z x x0 k Bk+ g (p, x − ξ)Qg (p, ξ)dξ + x Z 0 k Bk− g (p, x − ξ)Qg (p, ξ)dξ. (13) Desta forma a solução LTSN , no espaço transformado, em cada placa k é dada pela equação (10). Agora, para avaliarmos as componentes desconhecidas nos vetores Ψkg (p, 0) e Ψkg (p, x0 ), aplicamos as condições de contorno e de continuidade nas interfaces (4), e resolvemos o sistema linear resultante. Desta forma, a solução (10) fica totalmente determinada e, é solução analítica do sistema de equações SN , no espaço transformado, descrito pela equação (6). Para encontramos o fluxo angular de partículas dependente do tempo usamos o teorema de inversão da transformada da Laplace, isto é: ψgk (t, x, µ) = 1 2πi Z c+i∞ c−i∞ Ψkg (p, x, µ)ept dp. (14) Aqui é importante ressaltar a existência de uma vasta literatura sobre métodos de inversão da transformada de Laplace, como a que aparece na equação (14) [17] [6]. Neste trabalho nós avaliamos a inversão da transformada de Laplace na variável temporal usando o bem conhecido algoritmo de Gaver-Stefest. Este algoritmo está baseado em um acelerador sobre a sequência dos funcionais de Gaver, que por sua vez requer a avaliação da integral apenas sobre pontos do eixo real. De acordo com o trabalho de Abate [1], os funcionais de Gaver são dados por: αk fk (t) = t 2k k ! k X j (−1) j=0 805 k j ! F ((k + j)α/t), (15) ISSN 1984-8218 onde α = ln(2). Os funcionais de Gaver (fk (t)) também podem ser calculados através do seguinte algoritmo recursivo (n) G0 = nα ˆ t f (nα/t), (n) Gk = 1 + n k 1 ≤ n ≤ 2M (n) Gk−1 − n k (n+1) Gk−1 , k ≥ 1, n≥k (16) (k) fk (t) = Gk . O acelerador de Stefehfest por sua vez é dado por N ln 2 X Vi F f (t) = t i=1 ln 2 i , t (17) sendo que N é um número par e Vi é definido por M in(i,N/2) Vi = (−1)N/2+i X k=[ i+1 2 ] k N/2 (2k)! . (N/2 − k)!(k)!(k − 1)!(i − k)!(2k − i)! (18) ou ainda conforme Valkó [17] pelo esquema recursivo: (n) T0 se n ≥ 0 = fn (t) (19) (n) Tk 3 = 1+ n k (n+1) Tk−1 − n k (n) Tk−1 se k ≥ 1 Resultados Numéricos Para mostrarmos a aplicação do método TLTSN na solução de problemas de transporte com multigrupo de energia e meio heterogêneo, nós mostramos o comportamento assintótico da solução com o crescimento do tempo e comparamos com o resultado obtido pelo método LTSN para o problema estacionário. Consideramos um problema estilizado em uma placa composta de duas regiões com dois grupos de energia, onde a velocidade dos nêutrons rápidos é de v1 = 1 = 1cm−1 , 107 cm/s e dos térmicos é v2 = 2x105 cm/s, na primeira região temos L1 = 7.8663cm, σt1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 σt2 = 1.2cm , σs11 = 0.9cm , σs12 = 0.2cm , σs21 = 0.05cm , σs22 = 0.8cm , e na se2 = 0.9cm−1 , σ 2 = 1.5cm−1 , σ 2 = 0.75cm−1 , σ 2 = 0.35cm−1 , gunda temos L2 = 1.2549cm, σt1 t2 s11 s12 2 −1 2 σs21 = 0.10cm , σs22 = 0.99 cm−1 . Na primeira região a fonte externa é nula e na segunda região temos uma fonte unitária apenas no grupo 1 e nula no grupo 2. Consideramos ainda uma condição inicial unitária e condições de contorno reflexivas em x = 0 e x = x0 . Isto é: ψn,g (0, x) = 1, 1 ψn,g (t, 0) = n = 1, 2, . . . , N 1 (t, 0) ψn+ N ,g 2 2 2 (t, L2 ) = ψn+ ψn,g (t, L2 ), N ,g 2 (20) n = 1, 2, . . . , N 2 Na tabela apresentamos os valores obtidos pelo método TLTSN para o fluxo escalar com a ordem de quadratura N = 10, para primeira e segunda região, nos instantes t = 10−6 , 10−4 , 10−2 , 1, 10, 100. 806 ISSN 1984-8218 x 0 7.8663 t 10−6 10−4 10−2 1 10 100 LTSN 10−6 10−4 10−2 1 10 100 LTSN Grupo 1 6.760881942555956E-1 2.267682488494119E-1 2.264048995498734E-1 2.264025314285916E-1 2.264018295612942E-1 2.264052463978362E-1 2.264032561206425E-1 3.210328764452683 4.229963790669918 4.230130771936888 4.230119687791601 4.230117092448044 4.230132320253886 4.230122544624169 Grupo 2 9.542959383600768E-1 1.331866070970184E-1 1.323122490007483E-1 1.323110680669593E-1 1.323105523663717E-1 1.323124352750823E-1 1.323113466877578E-1 1.030556311758454 2.180072441979879 2.180447044069191 2.180445538580784 2.180441971823192 2.180448168628766 2.180444878223420 Tabela 1: Fluxo escalar para primeira região. x 0 1.2549 t 10−6 10−4 10−2 1 10 100 LTSN 10−6 10−4 10−2 1 10 100 LTSN Grupo 1 3.210328882655249 4.229964707921835 4.230130580291126 4.230120066080160 4.230118313300132 4.230131717057931 4.230122544624169 4.295245867409935 5.490428233317706 5.490626778830675 5.490615054790278 5.490618713215064 5.490628080930883 5.490621214315709 Grupo 2 1.030556311758454 2.180072392334802 2.180447492923737 2.180446098912643 2.180442158772624 2.180447917434834 2.180444878223419 1.094364499419694 2.879121760987863 2.879535022975963 2.879528816759977 2.879532218000185 2.879532909403221 2.879533108496728 Tabela 2: Fluxo escalar para segunda região. 4 Conclusão Neste trabalho, pela análise dos bons resultados obtidos e através do caráter analítico da solução, no sentido que nenhuma aproximação é feita ao longo de sua derivação, mostramos a aptidão do método TLTSN para resolver problemas de transporte incluindo modelo de multigrupo e meio heterogêneo. Levando ainda em conta que, conforme mostrado por Gonçalez et al. o método TLTSN apresenta bons resultados na resolução de problemas unidimensionais de transporte em meios finito e seminfinito e que usando o lema de Placzek [2] que estabelece que a solução do problema de transporte dependente do tempo para 0 < x < ∞ está relacionado com a solução do problema transiente para −∞ < x < ∞, acreditamos que a formulação TLTSN é uma técnica bastante robusta para a resolução de problemas unidimensionais de transporte dependente do tempo em geometria cartesiana. Mais ainda, como a convergência do método já foi provada, garantindo que a solução proposta converge para a solução exata quando N cresce ao 807 ISSN 1984-8218 infinito, podemos gerar resultados “benchmark” para este tipo de problema. Vale ainda salientar a simplicidade da solução proposta, o que facilita a implementação de códigos computacionais. Desta forma, estimulados pelos bons resultados obtidos iremos, em trabalhos futuros, focar nossa atenção na aplicação desta metodologia na solução de problemas de cinética de reatores nucleares. Referências [1] J. Abate, P. P. Valkó. Multi-precision Laplace transform inversion, International Journal for Numerical Methods in Enginnering, 60 (2004) 979-993. [2] K. M. Case, F. Hoffmann, G. Placzek, “Introduction to the theory of Neutron Diffusion”. Vol 1, US Govenment Printing Office, Washington DC, 1953. [3] A.M. Cohen, “Numerical Methods for Laplace Transform Inversion”, Springer, New York, pp 37, 2007. [4] D. P. Gaver, Jr., Observing stochastic processes and approximate transform inversion, Operations Research, 14 (1966) 444-459. [5] G. A. Gonçalves, M. T. Vilhena, C. F. Segatto, The LTSN Particular Solution in a Slab for an Arbitrary Source and Large Order of Quadrature. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 66 (2000) 271-276. [6] H. Hassanzadeh, M. 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