Solução da Equação SN Multigrupo de Transporte Dependente do

Propaganda
ISSN 1984-8218
Solução da Equação SN Multigrupo de Transporte Dependente
do Tempo em Meio Heterogêneo
Cynthia F. Segatto,
Fernanda K. Tomaschewski,
UFRGS-Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada
91509-900, Porto Alegre, RS
Campus Agronomia
E-mail: [email protected], [email protected]
Resumo: Neste trabalho, apresentamos uma solução analítica na forma integral para a aproximação SN da equação de transporte dependente do tempo com fonte, em uma placa heterogênea,
assumindo modelo de multigrupo. A ideia principal deste método envolve os seguintes passos:
aplicação da transformada de Laplace na variável tempo, resolvendo, na sequência, a equação
resultante pelo método LTSN . Finalmente determinamos a solução procurada para o fluxo angular dependente do tempo aplicando o teorema de inversão da transformada de Laplace. Neste
trabalho avaliamos a transformada inversa de Laplace usando o algoritmo de Gaver-Stehfest.
Concluímos apresentando o comportamento assintótico da solução para o problema estacionário
resolvido pelo método LTSN .
Palavras-chave: Equações SN , Multigrupo, Multiregião, Transformada Inversa de Laplace
1
Introdução
O método LTSN é uma solução bem conhecida para o conjunto de equações de ordenadas discretas (equações SN ) em geometria cartesiana unidimensional. Nos últimos vinte anos, o método
LTSN tem sido aplicado na resolução de uma classe abrangente de problemas, entre os quais
citamos a solução de problemas de transferência radiativa com alto grau de anisotropia e fonte
arbitrária [9, 5], problema de transporte de nêutrons usando modelo de multigrupo [10], problema não-linear de transferência radiativa-condutiva [11] e problema de transferência radiativa
com coeficiente de albedo variando continuamente no espaço [18]. Esta metodologia também
foi aplicada na solução de problemas multidimensionais, para o fluxo angular médio pela resolução das equações SN nodais [20, 7, 8] e também para o fluxo angular usando a técnica da
dupla transformada de Laplace (DLTSN ) [12]. Além disto a convergência do método LTSN já
foi mostrada usando a teoria forte dos C0 semigrupos [19]. Mais recentemente Segatto et al.
apresentaram uma solução analítica, na forma integral, para as equações SN de transporte unidimensional dependente do tempo em uma placa que chamamos de método TLTSN [13, 14]. Neste
trabalho, apresentamos uma extensão do método TLTSN para a solução da aproximação SN da
equação multigrupo de transporte dependente do tempo considerando fonte externa, para uma
placa heterogênea. A ideia principal do método TLTSN envolve os seguintes passos: primeiramente aplicamos a transformada de Laplace na variável tempo das equações SN de multigrupo
em uma placa homogênea. Na sequência resolvemos a equação resultante pelo método LTSN e
determinamos a solução procurada para o fluxo angular dependente do tempo usando o teorema
de inversão da transformada de Laplace. Por este procedimento o fluxo angular dependente do
tempo é escrito em termos de uma integral de linha na variável tempo, que neste trabalho é
avaliada pelo esquema numérico de Gaver-Stehfest [15] [16]. Uma vez que a solução para o problema homogêneo é conhecida, determinamos a solução para o domínio heterogêneo, constituído
803
ISSN 1984-8218
de multiplacas, usando a solução encontrada para uma placa genérica e aplicando a condição de
contorno e também impondo a condição de continuidade do fluxo angular nas interfaces. Concluímos apresentando resultados numéricos obtidos pela inversão numérica da transformada de
Laplace considerada, bem como o comportamento assintótico desta solução, quando o tempo vai
para o infinito, com a solução do problema estacionário resolvido pelo método LTSN .
2
O Método TLTSN considerando modelo de Multigrupo
Para construirmos a solução TLTSN global em uma placa heterogênea constituída de K subplacas homogêneas, sem perda de generalidade, vamos considerar o conjunto de equações SN de
transporte de nêutron isotrópica com G grupos de energia na k-ésima placa como:
G
N
X
1 ∂ k
∂ k
1 X
k
k k
k
k
ψn,g (t, x) + µn ψn,g
(t, x) + σtg
ψn,g (t, x) =
σsg
ψi,g
0g
0 (t, x)wi + Sn,g (t, x),
vg ∂t
∂x
2 g0 =1
i=1
(1)
para g = 1, . . . , G e k = 1, . . . , K. Com condição inicial
k
ψn,g
(0, x) = φkn,g (x),
(2)
sujeita respectivamente às seguintes condições de contorno e de continuidade nas interfaces
1
ψn,g
(t, x0 ) = fn,g (t),
K
ψn+
(t, xk ) = gn,g (t),
N
,g
2
k
k+1
ψn,g
(t, xk ) = ψn,g
(t, xk ).
(3)
Aqui estamos considerando a notação standart para os parâmetros, isto é µi e wi , 1 < n < N ,
k (t, x) é o fluxo
são respectivamente as N raízes e pesos da quadratura de Gauss Legendre, ψn,g
angular de nêutrons em x na direção µn do grupo g da k-ésima região, vg representa a velocidade
k é a seção de choque macroscópica total para grupo
dos nêutrons no g-ésimo grupo de energia, σt,g
k
0
g da k-ésima região, σs,g
0 g é a seção de choque macroscópica de espalhamento do grupo g para
k
o grupo g na região k e Sn,g (t, x) é uma fonte externa de nêutrons.
Por simplicidade de aplicação do método TLTSN realizamos uma mudança na variável espacial x, da seguinte forma, x = x − xk−1 na região k, para k = 1, . . . , K. As espessuras de cada
placa são dadas por Lk = xk − xk−1 . Desta forma, as condições de contorno e de continuidade
nas interfaces são dadas respectivamente por
1
ψn,g
(t, 0) = fn,g (t),
K
ψn+
(t, Lk ) = gn,g (t),
N
,g
2
k
k+1
ψn,g
(t, Lk ) = ψn,g
(t, 0).
(4)
Aplicando a transformada de Laplace na variável temporal do problema (1), obtemos o seguinte
problema transformado para cada região k:
µn
G
N
X
d k
1 X
pk k
k
Ψn,g (p, x) =
Ψki,g0 (p, x)wi + Qkn,g (p, x),
Ψn,g (p, x) + σtg
σsg
0g
dx
2 g0 =1
i=1
pk
k +
na qual Ψkn,g (p, x) denota a transformada de Laplace de Ψkn,g (t, x), t → p, σtg
= σtg
Qkn,g (p, x) =
(5)
p
vg
e
1 k
k
(p, x)
φ (x) + S̄n,g
vg n,g
é o termo fonte. Agora, para aplicarmos o método LTSN , reescrevemos em cada regão k, o
conjunto de equações dado por (5) em sua forma matricial, isto é:
d k
Ψ (p, x) − A(p)Ψk (p, x) = Qk (p, x),
dx
804
(6)
ISSN 1984-8218
onde o vetor fluxo angular transformado Ψk (p, x), o vetor fonte Qk (p, x) e a matriz LTSN A(p)
são dados por:
Ψk (p, x) = Ψk1,1 , Ψk2,1 , . . . , ΨkN,1 , Ψk1,2 , Ψk2,2 , . . . , ΨkN,2 , . . . . . . . . . , Ψk1,G , Ψk2,G , . . . , ΨkN,G
k
Q (p, x) =
Qk Qk Qk
Qk
Qk Qk
Qk
Qk1 Qk1
,
,..., 1 , 2, 2,..., 2 ,........., G, G,..., G
µ1 µ2
µN µ1 µ2
µN
µ1 µ2
µN
ai+N (g−1),j+N (g0 −1) =




σsg0 g wj
2µi
p
σtg
µi
−
σsg0 g wj
2µi



T
,
(7)
!T
,
(8)
e g = g0
se i = j
.
se i 6= j
ou g 6=
(9)
g0
A solução LTSN para a equação matricial (6) é dada por [5]:
k
k−
k
k
Ψkg (p, x) = Bk+
g (p, x − x0 )Ψg (p, x0 ) + Bg (p, x)Ψg (p, 0) + Hg (p, x),
(10)
k−
onde as matrizes Bk+
g e Bg são definidas em cada região k por:
k±
−1
Bk±
g (p, x) = X(p)Eg (p, x)X (p),
(11)
k−
na qual Ek+
g (p, x) e Eg (p, x) são matrizes diagonais cujos elementos da diagonal são dados por
(
Ek+
g (p, x)
=
(
edi x se di > 0
0 se di < 0
Ek−
g (p, x)
e
=
0 se di > 0
.
edi x se di < 0
(12)
Aqui di (p) são os autovalores e X(p) é a matriz dos respectivos autovetores da matriz A(p).
Finalmente o vetor solução particular Hkg (p, x) é dado por:
Hkg (p, x) =
Z
x
x0
k
Bk+
g (p, x − ξ)Qg (p, ξ)dξ +
x
Z
0
k
Bk−
g (p, x − ξ)Qg (p, ξ)dξ.
(13)
Desta forma a solução LTSN , no espaço transformado, em cada placa k é dada pela equação
(10). Agora, para avaliarmos as componentes desconhecidas nos vetores Ψkg (p, 0) e Ψkg (p, x0 ),
aplicamos as condições de contorno e de continuidade nas interfaces (4), e resolvemos o sistema
linear resultante. Desta forma, a solução (10) fica totalmente determinada e, é solução analítica
do sistema de equações SN , no espaço transformado, descrito pela equação (6). Para encontramos
o fluxo angular de partículas dependente do tempo usamos o teorema de inversão da transformada
da Laplace, isto é:
ψgk (t, x, µ) =
1
2πi
Z
c+i∞
c−i∞
Ψkg (p, x, µ)ept dp.
(14)
Aqui é importante ressaltar a existência de uma vasta literatura sobre métodos de inversão
da transformada de Laplace, como a que aparece na equação (14) [17] [6]. Neste trabalho nós
avaliamos a inversão da transformada de Laplace na variável temporal usando o bem conhecido
algoritmo de Gaver-Stefest. Este algoritmo está baseado em um acelerador sobre a sequência dos
funcionais de Gaver, que por sua vez requer a avaliação da integral apenas sobre pontos do eixo
real. De acordo com o trabalho de Abate [1], os funcionais de Gaver são dados por:
αk
fk (t) =
t
2k
k
!
k
X
j
(−1)
j=0
805
k
j
!
F ((k + j)α/t),
(15)
ISSN 1984-8218
onde α = ln(2). Os funcionais de Gaver (fk (t)) também podem ser calculados através do seguinte
algoritmo recursivo
(n)
G0
=
nα ˆ
t f (nα/t),
(n)
Gk = 1 +
n
k
1 ≤ n ≤ 2M
(n)
Gk−1 −
n
k
(n+1)
Gk−1 , k ≥ 1,
n≥k
(16)
(k)
fk (t) = Gk .
O acelerador de Stefehfest por sua vez é dado por
N
ln 2 X
Vi F
f (t) =
t i=1
ln 2
i ,
t
(17)
sendo que N é um número par e Vi é definido por
M in(i,N/2)
Vi = (−1)N/2+i
X
k=[
i+1
2
]
k N/2 (2k)!
.
(N/2 − k)!(k)!(k − 1)!(i − k)!(2k − i)!
(18)
ou ainda conforme Valkó [17] pelo esquema recursivo:
(n)
T0
se n ≥ 0
= fn (t)
(19)
(n)
Tk
3
= 1+
n
k
(n+1)
Tk−1
−
n
k
(n)
Tk−1
se k ≥ 1
Resultados Numéricos
Para mostrarmos a aplicação do método TLTSN na solução de problemas de transporte com
multigrupo de energia e meio heterogêneo, nós mostramos o comportamento assintótico da
solução com o crescimento do tempo e comparamos com o resultado obtido pelo método LTSN
para o problema estacionário. Consideramos um problema estilizado em uma placa composta
de duas regiões com dois grupos de energia, onde a velocidade dos nêutrons rápidos é de v1 =
1 = 1cm−1 ,
107 cm/s e dos térmicos é v2 = 2x105 cm/s, na primeira região temos L1 = 7.8663cm, σt1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
σt2 = 1.2cm , σs11 = 0.9cm , σs12 = 0.2cm , σs21 = 0.05cm , σs22 = 0.8cm , e na se2 = 0.9cm−1 , σ 2 = 1.5cm−1 , σ 2 = 0.75cm−1 , σ 2 = 0.35cm−1 ,
gunda temos L2 = 1.2549cm, σt1
t2
s11
s12
2
−1
2
σs21 = 0.10cm , σs22 = 0.99 cm−1 . Na primeira região a fonte externa é nula e na segunda
região temos uma fonte unitária apenas no grupo 1 e nula no grupo 2. Consideramos ainda uma
condição inicial unitária e condições de contorno reflexivas em x = 0 e x = x0 . Isto é:
ψn,g (0, x) = 1,
1
ψn,g
(t, 0)
=
n = 1, 2, . . . , N
1
(t, 0)
ψn+
N
,g
2
2
2
(t, L2 ) = ψn+
ψn,g
(t, L2 ),
N
,g
2
(20)
n = 1, 2, . . . ,
N
2
Na tabela apresentamos os valores obtidos pelo método TLTSN para o fluxo escalar com a ordem
de quadratura N = 10, para primeira e segunda região, nos instantes t = 10−6 , 10−4 , 10−2 , 1, 10, 100.
806
ISSN 1984-8218
x
0
7.8663
t
10−6
10−4
10−2
1
10
100
LTSN
10−6
10−4
10−2
1
10
100
LTSN
Grupo 1
6.760881942555956E-1
2.267682488494119E-1
2.264048995498734E-1
2.264025314285916E-1
2.264018295612942E-1
2.264052463978362E-1
2.264032561206425E-1
3.210328764452683
4.229963790669918
4.230130771936888
4.230119687791601
4.230117092448044
4.230132320253886
4.230122544624169
Grupo 2
9.542959383600768E-1
1.331866070970184E-1
1.323122490007483E-1
1.323110680669593E-1
1.323105523663717E-1
1.323124352750823E-1
1.323113466877578E-1
1.030556311758454
2.180072441979879
2.180447044069191
2.180445538580784
2.180441971823192
2.180448168628766
2.180444878223420
Tabela 1: Fluxo escalar para primeira região.
x
0
1.2549
t
10−6
10−4
10−2
1
10
100
LTSN
10−6
10−4
10−2
1
10
100
LTSN
Grupo 1
3.210328882655249
4.229964707921835
4.230130580291126
4.230120066080160
4.230118313300132
4.230131717057931
4.230122544624169
4.295245867409935
5.490428233317706
5.490626778830675
5.490615054790278
5.490618713215064
5.490628080930883
5.490621214315709
Grupo 2
1.030556311758454
2.180072392334802
2.180447492923737
2.180446098912643
2.180442158772624
2.180447917434834
2.180444878223419
1.094364499419694
2.879121760987863
2.879535022975963
2.879528816759977
2.879532218000185
2.879532909403221
2.879533108496728
Tabela 2: Fluxo escalar para segunda região.
4
Conclusão
Neste trabalho, pela análise dos bons resultados obtidos e através do caráter analítico da solução,
no sentido que nenhuma aproximação é feita ao longo de sua derivação, mostramos a aptidão do
método TLTSN para resolver problemas de transporte incluindo modelo de multigrupo e meio
heterogêneo. Levando ainda em conta que, conforme mostrado por Gonçalez et al. o método
TLTSN apresenta bons resultados na resolução de problemas unidimensionais de transporte em
meios finito e seminfinito e que usando o lema de Placzek [2] que estabelece que a solução
do problema de transporte dependente do tempo para 0 < x < ∞ está relacionado com a
solução do problema transiente para −∞ < x < ∞, acreditamos que a formulação TLTSN
é uma técnica bastante robusta para a resolução de problemas unidimensionais de transporte
dependente do tempo em geometria cartesiana. Mais ainda, como a convergência do método já
foi provada, garantindo que a solução proposta converge para a solução exata quando N cresce ao
807
ISSN 1984-8218
infinito, podemos gerar resultados “benchmark” para este tipo de problema. Vale ainda salientar
a simplicidade da solução proposta, o que facilita a implementação de códigos computacionais.
Desta forma, estimulados pelos bons resultados obtidos iremos, em trabalhos futuros, focar nossa
atenção na aplicação desta metodologia na solução de problemas de cinética de reatores nucleares.
Referências
[1] J. Abate, P. P. Valkó. Multi-precision Laplace transform inversion, International Journal
for Numerical Methods in Enginnering, 60 (2004) 979-993.
[2] K. M. Case, F. Hoffmann, G. Placzek, “Introduction to the theory of Neutron Diffusion”.
Vol 1, US Govenment Printing Office, Washington DC, 1953.
[3] A.M. Cohen, “Numerical Methods for Laplace Transform Inversion”, Springer, New York,
pp 37, 2007.
[4] D. P. Gaver, Jr., Observing stochastic processes and approximate transform inversion, Operations Research, 14 (1966) 444-459.
[5] G. A. Gonçalves, M. T. Vilhena, C. F. Segatto, The LTSN Particular Solution in a Slab for
an Arbitrary Source and Large Order of Quadrature. Journal of Quantitative Spectroscopy
and Radiative Transfer, 66 (2000) 271-276.
[6] H. Hassanzadeh, M. Pooladi-Daarvish, Comparison of different numerica Laplace inversion methods for engeering applications, Applied Mathematics and Computation, 189 (2007)
1966-1981.
[7] E. B. Hauser, R. P. Pazos, M. T. Vilhena, An error bound estimate and convergence of the
Nodal-LTSN solution in a rectangle. Annals of Nuclear Energy, 32 (2005) 1146-1156.
[8] E. B. Hauser, M. T. Vilhena, R. C. Barros, A Laplace transform exponential method for
monoenergetic three-dimensional fixed source discrete ordinates problems in Cartesian geometry. International Journal of Nuclear Energy, Science and Technology 5 (2010) 80-89.
[9] C. F. Segatto, M. T. Vilhena, M. G. Gomes, The One-Dimensional LTSN Solution In a Slab
With High Degree of Quadrature, Annals of Nuclear Energy, 26 (1999) 925-934.
[10] C. F. Segatto, M. T. Vilhena, R. C. Barros, A Laplace transform method for energy multigroup hybrid discrete ordinates slab lattice calculations. Il Nuovo Cimento C, 33 (2010)
231-238.
[11] C. F. Segatto, R. M. F. Vargas, M. T. Vilhena, B. E. J. Bodmann, A solution for the
non-linear SN radiative conductive problem in a grey plane-parallel participating medium.
International Journal of Thermal Sciences, 49 (2010) 1493-1499.
[12] C. F. Segatto, M. T. Vilhena, T. T. Gonçalez, On the analytical solution of the neutron
Sn equation in a rectangle assuming an exponential exiting angular flux at boundary ,
International Journal of Nuclear Energy Science and Technology , (2012) (in press)
[13] C. F. Segatto, M. T. Vilhena, T. T. Gonçalez, An Analytical Integral Formulation for TimeDependent SN Transport Equation in a Slab by Double Laplace Transform Technique.
Kerntechnik, 73 (2008) 176-178.
[14] C. F. Segatto, T. T. Gonçalez, M. T. Vilhena, An analytical solution for the one-dimensional
time-dependent SN transport equation for bounded and unbounded domain in cartesian
geometry. Kerntechnik, 75 (2010) 53-57.
808
ISSN 1984-8218
[15] H. Stehfest, Algorithm 368, Numerical Inversion of Laplace Transforms. Communications
of the ACM, 13 (1970) 47-49.
[16] H. Stehfest, Algorithm 368, Numerical Inversion of Laplace Transforms. Communications
of the ACM, 13 (1970) 624.
[17] P. P. Valkó, J. Abate, Comparison of Sequence nAccelerators for the Gaver Method of
Numerical Laplace Inversion. Computers and Mathematics with Applications, 48 (2004) 629636.
[18] R. M. F. Vargas, C. F. Segatto, M. T. Vilhena, On the Analytical Solution of the SN Radiative Transport Equation in a Slab for a Space-dependent Albedo Coefficient, EUROTHERM
2012, Nancy, França 2012.
[19] M. T. Vilhena, R. P. Pazos, Convergence of the LTSN method: approach of C0 semigroups,
Progress in Nuclear Energy, 34 (1999) 77-86.
[20] J. R. Zabadal, L. B. Barichello, M. T. Vilhena, Solution of the three-dimensional one-group
discrete ordinates problems by the LTSN method. Annals of Nuclear Energy, 22 (1995)
131-134.
809
Download