Teoria Cinetica dos gases - Distribuicao de Maxwell

Teoria Cinética dos Gases
Distribuição de velocidades de Maxwell:
Como vimos a função densidade de probabilidade das velocidades na ausência de campos externos
é dada por:
f  x, y , z , v x , v y , v z  
Chamando
3
2
1 m 

 e
V  2 k BT 

v 2x  v 2y  v 2z
k T
2 B
m

 H x L

x
 x   H  y  Ly  y  H  z  Lz  z  
2k BT
 vT reescrevemos essa função na forma:
m
3
1  1 2 
f  x, y , z , v x , v y , v z    2  e
V   vT 
v 2x  v 2y  v 2z
vT2
Daqui podemos encontrar a função densidade de probabilidade para o módulo da velocidade dada
por:
f v 
4
 vT
2
 v 
  e
 vT 
Mudando para a variável adimensional x 
 v 
 
 vT 
2
 v 
H   [Eq1]
 vT 
v
essa distribuição é dada por:
vT
f  x 
4

x 2e  x H  x 
2
A qual possui as propriedades necessárias para uma função densidade de probabilidade, ou seja:
f  x   0 x e

 f  x  dx  1 [Demo1].
0
Notamos que a função cresce com x 2 para x  0 e cai com x 2 e  x para x   . Ela tem apenas
2
um ponto de máximo, por isso é chamada de uma distribuição unimodal. O gráfico da figura Figura
xxx mostra a curva dessa distribuição, juntos com os pontos marcando a moda, a velocidade média
e a velocidade quadrática média.
Figura xxx: gráfico da função densidade de probabilidade de Maxwell f  x  
4

x 2e  x H  x 
2
MODA: O ponto de máximo de uma distribuição unimodal é chamado de MODA, a qual, no
nosso caso, ocorre em xmoda  1 ou v moda  vT 
f 1 
4
e 
2kBT
[Demo2]. Nesse ponto a função vale:
m
.
Distribuição Gama generalizada: a distribuição de Maxwell é um caso partícula da distribuição
gama generalizada definida por:
1
p x
f  x; a, d , p  
 
d  aa
 
 p
d 1
e
 x
 
a
p
H  x
A qual possui as propriedades exigidas para uma distribuição de probabilidade, ou seja,
f  x; a, d , p   0 e

 f  x; a, d , p  dx  1 .
[Demo1a]. Note que os parâmetros a  1 ; p  1 nos
0
remetem de volta à distribuição gamma: f  x;1, d ,1 
1
x d 1e x H  x  . Usando os parâmetros
 d 

4 2 x
 3
temos f  x;1,3, 2  
a  1 ; p  2 e d  3 e sabendo que    
x e H  x  . Assim a
2

2
distribuição de Maxwell pode ser classificada como uma distribuição Gamma Generalizada.
2
Momentos da distribuição Gama Generalizada. Os momentos da distribuição Gama
generalizada são dados por: [Demo1b]
k d

 p  p  1 !
 ak
Mk  
d

 p  1 !


Para o caso da distribuição de Maxwell, a  1 ; p  2 e d  3 , teremos [Demo1c]
Mk 
2  k 1

!
 2 
Notamos que se k for ímpar, aparece um fatorial de um número inteiro e o
 permanecerá no
denominador, enquanto se k for par, o fatorial de um número semi-inteiro conterá um
cancela o
 que
 do denominador. Os momentos ímpares são dados imediatamente por:
M 2 j 1 
Os 3 primeiros momentos ímpares valem: M1 
2

 j  1!
2

; M3 
4

; M5 
12

 2 j  1!!    2 j  1!  para
1
Já para os momentos pares devemos usar o fato de que  j  ! 
2
2 j 1
22 j j ! 2

obter:
M2 j 
 2 j  1!!   2 j  1! [Demo3].
j
2j
2
2 j!
Os 4 primeiros momentos pares são dados por: M 0  1 ; M 2 
esses resultados temos:
3
15
105
; M4 
e M6 
. Juntando
2
4
8
Velocidade média: A esperança de x é dada por E  x   M 1 
2

, logo a velocidade média é
dada por:
v
Note que
2

2

vT 
8k BT
m
 1.128  1 e que o x médio está acima do x p de pico, que é uma consequência da
assimetria da distribuição com skewness positivo, assimétrica à direita.
Velocidade RMS [Root Mean Square]: A esperança do quadrado da velocidade pode ser extraída
1
 3
ou diretamente do teorema da equipartição da energia pois E  mv 2   k BT , logo
2
 2
E  v 2  
3k BT 3 2
3
 v T ou através do momento de ordem 2, dado por M 2  , o qual,
m
2
2
consistentemente, fornece os mesmos resultados. A velocidade quadrática média é definida por
3
3k BT
3
e, portanto, v RMS 
v RMS  E  v 2  , logo xRMS  M 2 

vT .
2
m
2
Variância: A variância de x é dada por V  x    x2  M 2  M 12 e vale  x2 
caso o desvio padrão vale  x 
3 4
  0.227 . Nesse
2 
3 4
 ou seja  x  0.476 . Em termos da velocidade então:
2 


 2   3   B  0.453 B e o desvio padrão será   0.476vT  0.673

m

 m
8 kT
kT
kBT
.
m
O gráfico da figura xxx mostra a distribuição de Maxwell junto com a velocidade média e o
intervalo de um desvio padrão para cima e para baixo do valor médio.
Figura xxx. Distribuição de velocidades de Maxwell com esperança e o intervalo de um desvio
padrão para cima e para baixo
Mediana e quartis. Distribuição de probabilidade acumulada:
Podemos mostrar que distribuição cumulativa de probabilidade da distribuição de Maxwell é dada
por: [Demo4]
F  x   2


2x 1 
2

x e x
2
Onde   x  é a distribuição cumulativa da distribuição normal padrão, ou seja:
1
  x 
2
Mediana: A mediana é obtida quando F  xmed  



2 xmed 
x
e

u2
2
du

1
, ou seja, na solução da equação transcendental:
2
2
3 1

xmed e  xmed
4

Colocando no Excel e usando o SOLVER temos que: xmed  1.087652 . Assim a velocidade
mediana é dada por
v med  1.088v T
1
Primeiro e terceiro quartis: O primeiro quartil é dado pela solução de F  x1o quartil   e o terceiro

 4


3
pela solução de F  x3o quartil   . Usando o solver encontramos: x1o quartil , x3o quartil   0.779,1.433 .

 4
Figura xxx mostra a distribuição de probabilidade de Maxwell cumulativa marcando a mediana, o
primeiro e o terceiro quartis.
Figura xxx: Distribuição de Maxwell cumulativa. A curva vermelha foi obtida integrando
numericamente a função densidade de probabilidade e a curva preta superposta através da
expressão xxx obtida acima.
Distribuição da Energia Cinética:
Fazendo uma mudança de variável para  c 
y  g  x  da forma f  y   
k
1 2
mv e usando a regra para a transformação de
2
f  g 1  y  
na distribuição das velocidades de Maxwell obtemos
g   g 1  y  
a função densidade de probabilidade para a energia cinética dada por [Demo5]:
2
1
f  c  
 k BT
c
k BT

e
c
k BT
Novamente, mudando para a variável adimensional x 
f  x 
2

 cin
k BT
caímos na distribuição:
1
2 x
x e H  x
A qual é uma distribuição Gama com   1 e  
3
da forma:
2
1
 3  2 2 x
f gama  x; ,1 
x e H  x

 2 
Então vemos que a distribuição de probabilidade de
 cin
3
segue a distribuição gama com   e
k BT
2
  1 . Sabendo que se trata da própria distribuição Gama é vantajoso por conta de todos os
resultados já conhecidos e tabelados dessa distribuição. Neste caso sabemos que a função
característica é dada por   t   1  it 

3
2
e a função geradora dos cumulantes é dada por
3
C  t    ln 1  it  . Com esse resultado temos de volta o teorema da equipartição da energia
2
  3
 
3
E  cin   M   0     , e a variância c2  V  cin   , que nos fornece a flutuação da energia
2
 kBT  2
 kBT 
cinética dada por V  cin   3  k BT 2 logo:
2
 cin 
3
kBT
2
Velocidade relativa:
Para o cálculo do tempo de colisão e do livre caminho médio vamos precisar da velocidade média
relativa, v rel  E  v1  v 2  entre duas partículas, dada por:
v rel
 m 
 E  v1  v 2   

 2 k BT 
3      

v1  v 2 e

m
2 k BT
v
1
2
 v2
2

d 3 v1 d 3 v 2
     
A forma mais simples de calcular essa velocidade média é mudar o sistema de coordenadas para
o centro de massa da partícula no qual:
m1
m
v1  2 v 2
M
M
 v1  v 2
VCM 
v rel
Ou, invertendo o sistema:
m2
v rel
M
m1

v rel
M
v1  VCM 
v 2  VCM
Nesse sistema de coordenadas a energia cinética é dada por: [Demo6]
1
2
1
2
2
 cin  MVCM
  v 2rel
Onde M  m1  m2 e  
m1m2
, é a massa reduzida do sistema. No caso das duas massas serem
m1  m2
iguais temos: M  2m e  
m
1
2
 m v 2rel . A grande vantagem dessa troca de
logo  cin  mVCM
4
2
sistemas de coordenadas é o fato de que o elemento de volume não muda, ou seja,
d 3v1 d 3v 2  d 3V d 3v rel [Demo7] que nos permite decompor a integral em duas na forma:
v rel
 m 


 2 kBT 
3
mv
   
      mV

 rel
4 k BT 3
    v rel e
d v rel      e kBT d 3V 
   
    

2
2
Podemos agora usar coordenadas esféricas obtendo:
v rel
 m 


 2 kBT 
3
mv
mV
 
  

 rel

4 k BT
3
2
4  v rel e
dv rel  4  V e kBT dV 
 
  

2
2
Calculando essas integrais, agora facilmente, obtemos a velocidade relativa média: [Demo8]
v rel 
4
16k BT
vT 
m
2
Note que a velocidade relativa média é maior do que a velocidade média, v 
fator de
2 , ou seja:
v rel  2 v
8kBT
, por um
m
Resumo dos parâmetros da distribuição de Maxwell:
Velocidades características
Velocidade de pico [Moda]
Velocidade média
Velocidade Mediana
Velocidade quadrática Média
Desvio Padrão da Velocidade
Resultados
2kBT
vp 
m
8kBT
v
m
2 k BT
v med  1.088
m
6kBT
v RMS 
m
3
4  2kBT
m
   
2  
Velocidade relativa Média
v rel 
16kBT
m
Tempo de colisão:
Como mostra a figura xx a área de colisão entre duas partículas rígidas, ambas com diâmetro d ,
vale A   d 2 . No tempo  todas as moléculas que estiverem dentro do volume de colisão
Vcol   d 2  vrel   sofrerão colisão.
Vcol
N
N   d 2  vrel   colisões. Então o tempo médio
V
V
 1 , ou seja:
Dessa forma, no tempo  existirão N col 
de uma única colisão é dado por Ncol
 col 
1 V 1
 d 2 N vrel
L3 t
N
 t . Chamando a área da seção de choque de    d 2 , n 
2
V
L L
e usando a velocidade relativa média obtemos:
Checando a dimensão:  col  
 col 
O Livre Caminho Médio é definido como:
 v col 
1
4n
m
kBT
 v col . Sabendo que vrel  2 v então:
1 v
ou seja
n vrel

1
2n
Notamos que o tempo de colisão depende da densidade de moléculas e da temperatura enquanto o
livre caminho médio depende apenas da densidade de moléculas. Se a densidade aumenta o tempo
de colisão e o livre caminho médio caem inversamente proporcional, o que faz sentido pois existem
mais moléculas aumentando a chance de colisão. Já o tempo de colisão também cai com a
temperatura pois a velocidade relativa entre as moléculas aumenta. A densidade de moléculas é
mais difícil de medir do que a pressão, assim o melhor é escrever as equações em termos da pressão
P
usando n 
:
k BT
 col 
1
4
 mkBT
P
e

k BT
2 P
Lei dos Gases Ideais através da Teoria Cinética dos Gases:
Vamos calcular o número de moléculas que atravessam uma superfície de área A com a normal
na direção i . Todas as moléculas que estiverem no volume dV  Avi dt mostrado na figura xxx
com velocidade positiva atingirão a superfície no intervalo de tempo dt .
O fluxo de moléculas passando de baixo para cima nessa superfície é dado por:


1  NAdt  1

Ji 

Adt  V   vT2



e


v2j
vT2

dv j  


1
 vT2

e


v2k
vT2
 1
dvk  
   vT2


 ve
i
0

vi2
vT2


dvi  


As integrais nas dimensões perpendiculares à i valem 1 e só sobra a integral:

i
J 
nvT



0
vi2
v z  vT2 v z
nv
e d
 T
vT
vT 2 

u

 e 2udu então J i 
2
0
nvT
2 
1 L 1
Conferindo a dimensão:  J i   3 
, ou se seja, partículas por unidade de área por unidade
L t At
de tempo, como deveria ser. Em termos da temperatura vemos que:
J i  n
kBT
2 m
No equilíbrio o número de moléculas atravessando a superfície na direção oposta é o mesmo e
dado por J i  n
kBT
.
2 m
Teoria cinética dos gases no cálculo da pressão:
Cada molécula que atravessa a superfície de baixo para cima transporta o momento p  m v . Então
o momento total transportado de baixo para cima será dado por:
p 
NAdt
f  v  v i  mv  d 3v
V v z0
Já o momento transportado de cima para baixo será dado por:
p 
NAdt
f  v  v i  mv  d 3v

V vz 0
A força nessa superfície é dada pelo balanço entre os dois momentos:
F

p  p NA 
3
3

  f  v  v i  mv  d v   f  v  v i  mv  d v 
dt
V  v z 0
vz 0

Como para v i  0 vi  vi então:
F

NA 
3
3
  f  v  v i  mv  d v   f  v  v i  mv  d v 
V  v z 0
vz 0

Ou ainda:
F
NA
f  v  v i  mv  d 3v

V
Agora sem qualquer restrição na integral. Dessa forma temos que Fij 
notamos que, no equilíbrio, por simetria vi v j i  0 logo Fij 
NA
mv i v j . Agora
V
NA
mv i2  ij , ou seja, só existem
V
forças normais. Por outro lado:
1 2
1
mv i  k BT
2
2
Logo:
Fii N
 k BT
A V
Ou ainda
P
N
k BT logo PV  Nk BT
V
kBT
garantiu o cancelamento do número
2 m
de partículas que atravessa de um lado ao outro, ou do momento transverso. Entretanto, em
situações de não equilíbrio isso deixa de ser verdade. Por exemplo, suponha uma variação de
temperatura. O número de partículas que atravessa a superfície de um lado agora será diferente do
número que atravessa do lado oposto. O mesmo ocorre se houver um gradiente de concentração.
Por fim pode ocorrer um gradiente de velocidades quando o fluido é forçado em um campo de
velocidades, usualmente muito menores do que as velocidades térmicas. Podemos usar o livre
caminho médio para calcular propriedades de transporte dentro de um modelo simples no qual a
situação é de quase equilíbrio, com valores diferentes de um lado e de outro e supondo que as
partículas não sofrem colisão no livre caminho médio.
Percebemos que no equilíbrio a igualdade J i  J i  n
Suponha uma grandeza intensiva   r  transportada por cada molécula em um gradiente de uma
das variáveis da teoria cinética dos gases, ou T  r  , ou n  r  , ou ainda v  r  . Podemos escolher,
sem perda de generalidade, a direção z na direção do gradiente.


J  nez   f  v  v z   z  cos   d 3 v   f  v  v z   z  cos   d 3 v 
v z 0
 v z 0

Note que o modelo considera que as partículas que possuíam a propriedade   z
planos z
cos  nos
cos  não sofrem mais colisão até atingir o plano z . Agora consideramos o livre
caminho médio muito pequeno e expandimos a função   z  em série de Taylor:
 z
cos      z 
cos 

z
Dessa forma podemos mostrar que: [Demo9]
J  
1

nv
ez
3
z
Condutividade Térmica:
Nesse caso queremos o fluxo de energia  que depende de um gradiente térmico mas em equilíbrio
mecânico, ou seja, à pressão constante. Nesse caso:
1
   

 T  cPT assim J Q   3 nvc P T
z  T  P
Definimos a condutividade térmica como: J Q   K T logo:
2
1
1
K  nvc P ou K  n
cP
3
3  col
Aqui usamos a expressão do livre caminho médio
K
2
3

1
e extraímos que
2n
kBT
c
m P
Viscosidade:
Agora vamos supor um gradiente de velocidades porque o gás se encontra entre duas paredes que
se movem com velocidade entre si. Nesse caso pode ocorrer um stress tangencial no fluido porque
agora não é mais verdade que mvi v j  0 j  i . Vamos fazer a função   mv x sabendo que
v x  z  é uma função de z .
J px  
v
1
nmv x ez
3
z
Suponha duas placas com uma velocidade entre si como mostra a figura xxx. A força entre as
placas é dada por:
F   A
v
z
v
F
p
  x com  sendo a viscosidade. Note que força é F 
A
z
t
F p

e que o fluxo de momento é o stress
. Nesse caso:
A A t
Definimos o stress como  

1
nmv
3
Substituindo a velocidade média e o livre caminho médio:

2
3
mkBT

Coeficiente de Difusão:
Suponha que é a concentração que muda com a posição


J n  ez   f  v  v z n  z  cos   d 3v   f  v  v z n  z  cos   d 3v 
 v z 0

v z 0


f  v  v z n  z  d 3v   f  v  v z n  z  d 3v

 v z 0

v z 0

J n  ez 
n
3
3 
  n
f  v  v z cos  d v 
0 f  v  v z cos d v 
 z v 0

z
v
z
z


n
J n     f  v  v cos2  d 3v  ez

 z
Agora:
1 8kBT v

m
3
 f  v  v cos  d v  3
2
Então J n  
3
v n
n
ez e como J n   D ez tiramos que o coeficiente de difusão é dado por:
3 z
z
D
1
v
3
Esse resultado pode ser escrito de uma forma mais elegante como:
D
1 v col 1 2

3  col
3  col




3

2
 col
Conexão com o Movimento Browniano:
Note que no problema do bêbado se movendo em uma dimensão esse seria o resultado obtido se o
tamanho do passo for:
passo

3
.
Difusividade Térmica:
Na equação da continuidade   J 

 F S
t
Vamos fazer J   K T e Q  ncPT , [note que o cP é dado em termos da energia por molécula
por temperatura, então a densidade deve ser de moléculas por volume] substituindo de volta:
 K 2T  ncP
Logo
T
 F S
t
2T 
ncP T
1
1 T
1
   F  S  ou ainda 2T 
  F  S
K t
K
 t
K
2
K
1
onde  
é a difusividade térmica. Usando K  n
c P temos:
ncP
3  col
2
2
1

n
c P 

K
3  col
3




ncP
ncP
 col
1 



 col  3 
2
Trata-se então do tamanho do passo ao quadrado dividido pelo tempo de colisão.
Apêndice 1. Coordenadas esféricas polares:
x  r sin  cos 
y  r sin  sin 
z  r cos 
 x
 r

x
J  det 
 

 x
 

y
r
y

y

z 
r 
 sin  cos 
z 
 det  r cos  cos 


  r sin  sin 


z 
 
sin  sin 
r cos  sin 
r sin  cos 
cos  
 r sin  
0 
J  r 2 sin  sin 2  sin 2   r 2 sin  cos2  cos2  
 r 2 sin  cos2  sin 2   r 2 sin  sin 2  cos 2  
 r 2 sin  sin 2   r 2 sin  cos2 
J  r 2 sin 
Então dxdydz  r 2 sin  drd d
[volta]
Equação (1):
vx  v y vz
Lx Ly Lz


2
1  1 2 
f  v  dv   2     dv x dv y dv z    dx dy dz e vT
V   vT   v2  v2  v2  v2  v+dv 2 0 0 0
 x y z
3
2
2
2




vx  v y vz


2
1  1 2

f  v  dv   2  Lx Ly Lz
e vT dv x dv y dv z



 v2  v2  v2  v2  v+dv 2
V   vT 
 x y z
3
2
2
2
Mudando para coordenadas esféricas polares [Apêndice1]:
dv x dv y dv z  v2 sin  dvd d
vx v y vz

2
 1  2 
f  v  dv   2 
e vT dv x dv y dv z



  vT   v2  v2x  v2y  v2z  v+dv 2
3
2
2
2








3
3
v
v
 2

 1  2 v  dv  2  vT2 2
 1  2  v  dv 2  vT2   


f  v  dv   2     e v sin  dvd d   2 
v e dv   sin  d   d 

 0
  vT  v 0 0
  vT   v
 0


2
3
2
v
v
 v  dv

 2
 1  2  v  dv 2  vT2 
4

vT
2

 4
f  v  dv  4  2    v e dv  
v
e
d
v

3
   vT  v

 vT3
  vT   v



2
2
v
 v  dv

 2
vT
2


v
e
d
v
 v



F  x  dx   F  x 
dx  f  x  dx
 f  u  du 
dx
x  dx
x
v2
 2
4
vT
2
f  v  dv 
v
e
dv
3
 vT
2
 v 
2
 v    vT 
f  v 
[volta1]
  e
 vT  vT 
4
Demonstração 1:
4

xe
 
2  x2
dx 
0
4

xe
 
2  x2
2

xe
 
 x2
2 xdx 
0
dx 
0
2
 1
2 t
t
 
e dt 
0
2 1
 !
 2
2  1  1 
2 1
   ! 
    1 OK! [volta2]
  2  2 
 2
Demonstração 2: Moda, encontrando o pico da distribuição.




2
2
2
d
4 d 2  x2
4
8
f  x 
xe

2 xe  x  2 x 3e  x 
xe  x 1  x 2 
dx
 dx


Logo o pico em
Nesse caso v p 
d
f  x   0 ocorre para 1  x 2   0 , ou seja, x  1 .
dx
2kBT
. [volta3]
m
Demonstração 1a: Distribuições Gama Generalizadas
2


0

1
 x
f  x; a, d , p  dx 
p  
d
a
  0
 p
x
t  
a


0
f  x; a, d , p  dx 

1
p  t

d
  0 
 p



0
1
p
1
p



x
tp
a

d 1
e
 1
 t p 
 
 
d 1
e
 x
 
a
x 1
 d  t
a p
p
 x
d 
a
1 p
p
dt
p
1
t
p
1 p
p
1
d 
 
 p
dt 
 d 11 p
t
p
t
e dt 
0
1
d 
 
 p
  d 1


 p  t
t
e dt
0
d 
 
p
f  x; a, d , p  dx     1 C.Q.D.
d 
 
 p
[volta1a]
Demonstração 1b: Momentos da distribuição Gamma generalizada.

1
 x
Mk 
p xk  
d
a
  0
 p

k
ak
 x  x
Mk 
p    
d
a a
  0
 p
x
Mudando a variável para t   
a

ak
Mk 
p  t

d
  0 
 p

1
p



k  d 1
e
d 1
p
 x
d 
a
1
p
 1
 t p 
 
 
e
 x
 
a
d 1

x
tp
a
 d
e
 x
 
a
p
 x
d 
a

ak
 x
p  
d 
a
  0
 p
x 1
 t
a p
1 p
p
k  d 1
e
 x
 
a
p
 x
d 
a
dt então:
p
1
t
p
1 p
p
ak
dt 
d
 
 p
 k  d 11 p
t
p
 k  d 1
t
p
0
0
t
ak
e dt 
d
 
 p
k d 
k d 

 1 !

p  k  p p  k

Mk 
a 
a
d
d 
 
 p  1 !
 p


t
e dt
Daqui podemos extrair os primeiros momentos:
1 d 
 d 1
2 d 
d 2

  1 !

 p  p  1 !



 a   p  a e M   p p  a2   p  a2 e
  M1  
2
d 
d
d 
d

1
!

!
 
p 
 p
 p  1 !


 


 p
 d 2
2 d 
1 d  1 d 
 d 1  
2 


 p  p  1 !
 p  p  1 !  p  p  1 !

p 
p  








2
2
2

m2  M 2   
a 
a 

a
 d
d 
d 
d 
2 d  
   
  
 p  1 !
 p  1 !
 p  1 !






 p 
  p
  1 d   1 d   2 d 
    1 !    1 !    1 !
p p   p p   p p  2
m2  1  
a
 2 d  d   d 
    1 !   1 !    1 !
 p p  p   p 
[volta1b]
No caso da distribuição de Maxwell p  2 e d  3 temos:
 k 3   k 1
 k 1
   1 ! 
!

!
2  k 1
2 2   2 
2 


Mk 




!
2 
3 
1
 1  1 


  1 !
 !
    !
2 
2
 2  2 
[volta1c]
Demonstração 3:
Para k par, k  2 j então: M 2 j 
2 
1
 j   ! . Agora:
2

1 
1
1 
1



 j   !   j   0   j   1  j   2 
2 
2
2 
2



1
1


 j   j  1  j  
2
2


1


j   j   j  1 !
2


Notamos que temos  j  1 termos do primeiro ao penúltimo pois começa em j  0 e termina em
1
j  j e que o último termo será    !   . Assim podemos desenvolver:
 2
1   2 j 1 2 j 1 2 j  3 

 j  !  



2   2  2  2 

 3  1 
   
 2  2 
1   2 j  1!!


 j  ! 
2
2 j 1

Podemos modificar ainda essa expressão usando o fato que
 2 j  1!   2 j  1!! 2 j !!
 2 j !!   2 j    2 j  2   2 j  4 
 2  2 j  j    j 1   j  2  1  2 j j !
Logo:
 2 j  1!   2 j  1!!2 j j ! então  2 j  1!!  
2 j  1!
e
2 j j!
 2 j  1! 
1   2 j  1 !!

  2j
 j  ! 
j 1
2
2
2 j! 2

Logo:
M2 j 
2

 2 j  1!!    2 j  1!!
j 1
j
2
M0  1; M2 
M1 
2

2
3
15
105
; M4 
e M6 
2
4
8
; M3 
4

; M5 
12

[volta4]
Demonstração 4:
F  x 
4

x
lim  t 2et dt  
2
 1
0
2

e t dt

  1  0
4
x
lim
x
2 t


  1
4
  1
2
F  x  
lim
e
d
2

t


lim



  1   2 0
2  1   

4
2
2 x

0
e

u2
2

du 

  1  1
F  x   4lim 

 1
    2
1
2
2 x

e

u2
2
0
2 x

e

u2
2
0
1
du 
2
0
e

  1
du 

   2
2 x
1
u2
2

2 x
1
du 
2

e


e

u2
2
0
u2
2

du 


du

Então:
2 x
1
2

e

u2
2
0
2 x
1
2

e



 2
F  x   lim 
 1  


u2
2
du  

e

u2
2
du 



2 x 
0
1

F  x   4lim  
 1
 2 
 2
F  x   lim 
 1  

2 x
1
du 
2
1
2
1 1 
2 x   

2
 


1 4 
2 x   
 u 
2
 u
u





 2
F  x   lim 
 1  




1
2


1  4 2x
2 x   

2




F  x   2


F  x   2



2x
e x
2x  1  2 2x
2

2



2x 1 
2

x e x
Checando:
1
F  0   2  0   1  2  1  0
2
F   2    1  2  1  1
2



2 x 


 2 x 

 
2 x
2 x
1 2 2
2 x   
x
2 
2 x  1  2 2 x
F  x   2



  


2 x 


[volta5]
Demonstração 5: a função densidade de probabilidade de Maxwell é dada por
f v 
Para  c 
4
m 1 2
 mv  e
2 k BT k BT  2

1 2
mv
2
k BT
H v
1 2
mv obtemos:
2
2 c
d c
2 c
 mv ;
 v2 e v 
dv
m
m

 c
4
m
f  c  
 c e k BT H   c 
2 k BT k BT
f  c  
2
1
 k BT
c
k BT

e
c
k BT
1
2 c
m
m
H  c 
volta6
Demonstração 6: A energia cinética é dada por:
1
2
1
2
 cin  m1v12  m2 v 22
2
2
m
m 
1 
 1 
 cin  m1  VCM  2 v r   m2  VCM  1 v r  
2 
M  2 
M 
2
m
m2
1
2 m1m2
1
1
2 m1m2
1
2
2
 m1VCM

v r VCM  m1 22 v r2  m2VCM

v r  VCM  m2 12 v r2 
2
2 M
2 M
2
2 M
2
M
m
m
m
m
1
1
1
1
2
2
1 2
1 2
 m1VCM
 m2VCM

m2 v 2r 
m1v 2r
2
2
2
2
2 M
2 M
 cin 
1
1 m m m  m 
 m1  m2 VCM2  1 2 1 2 vr2
2
2 M
M
1
2
1
2
2
 cin  MVCM
  v r2
[volta7]
Demonstração 7: O sistema de coordenadas para uma direção é dado por:
1
v1i  Vi  v ri
2
1
v 2i  Vi  v ri
2
Com o qual podemos calcular facilmente o Jacobiano que transforma os diferenciais da forma:
 v1i
 V
i
dv1i dv 2i  det 
 v 2i

 Vi
v1i 
v rel i 
 dV dv
i
rel i
v 2i 

v rel i 
Assim:
1 

1 2 
1 1
dv1i dv 2i  det 
 dVi dv rel i    dVi dv rel i  dVi dv rel i
2 2
 1  1 
2

Então d 3 v1 d 3 v 2  d 3V d 3 v r
[volta8]
Demonstração 8: Queremos calcular:
v rel
 m 


 2 kBT 
3
mv
mV
 
  

 rel

4 k BT
3
2
4  v rel e
dv rel  4  V e kBT dV 
 0
  0

2
2
3 
mv
mV
  


16 2  m   3  4 kBrelT
k BT
2





v
e
d
v
V
e
d
V


rel
rel
0
8 3  kBT   0





2
v rel
v rel
Agora:
2 m 
 
  kBT 
3
2
mv
mV
 
  

 rel

4 k BT
3
2
  v rel e
dv rel    V e kBT dV 
 0
  0

2
2



3
rel
v e
mv 2rel
4 k BT
0
v
3
rel

e
mv 2
 m  3  4 kBTr
m
 4k T 

d
vr   B 
 vr e
2  
4 k BT
 m 
 m  0  4 k BT 
 4k T 
 B 
1
dv rel

3
2

mv 2rel
4 k BT
dv rel
0
1  4k T 
  B 
2 m 

v
3
rel

e
2 
ue
2  u2
0
mv 2rel
4 k BT
1  4k T 
2udu   B 
2 m 
k T 
 8 B 
 m 
dv rel
0
2 
 te
2 
t
3 u
 u e du
2
0
dt
0
2
Além disso:

V
2

e
mV 2
k BT

1
dV 
3
 m 2
k T 
 B 
0

2
V e

mV 2
k BT
0
0
3
1  k T 2
dV   B 
2 m 

V

2

e
mV 2
k BT
0
3
mV 2

m 2  k B T  m   k BT  2
2  u2
V e
d
V  
  u e du
k BT
 k BT   m  0
3

u
 ue
0
2
1  k T 2
2udu   B 
2 m 
3
1  k T 2  1 
dV   B    ! 
2 m  2
 1
2 t
t
0
3
1  k BT  2

 
4 m 
Substituindo obtemos:
v rel
3
3
2 

2  m    k BT    1  k BT  2
 

8

  k BT    m    4  m 



3
v rel
4   m   k BT 

  k BT   m 
v rel 
16kBT
m
[volta9]
3
k BT
m
e dt
Demonstração 9: Fluxo de uma grandeza através de uma superfície.




J  nez   f  v  v z   z  d 3 v   f  v  v z   z  d 3 v 
f  v  v z cos  d 3 v 
f  v  v z cos  d 3v 


z v z 0
z v z 0
 v z 0

v z 0
Ou seja:
J   n

 
ez   f  v  v z cos  d 3 v   f  v  v z cos  d 3 v 
z  v z 0

v z 0
J   n
v2


ez  f  v  z d 3 v   n
ez f  v  v cos 2  d 3 v
z
v
z 
3

v
  2 
 1  2    vT2 3   
v 2z 3
f  v  d v   2    e v dv    cos 2  sin  d    d 
v
 0
  vT   0
 0


2
v



v 2z 3
2 vT   vT2 v3  v   
 e
f  v d v 
d      cos 2  sin  d 
3
v
vT  v T    0
  0



2

Chamando
 
u  cos 
 du   sin  d 
,
quando
  0  u  1
 u  1 , portanto:

 cos
0

Já  e
0

v2
vT2
1
2
1
 sin  d    u du  2 u 2 du 
2
1

0
2
3


2
2
v3 v
1
1
1
d
  eu u 3du   u 2eu 2udu   tet dt 
3
vT vT 0
20
20
2
Substituindo temos:

f  v
v 2z 3
2 vT 1 8kBT v
d v


v
 3 3 m 3
Logo:
J  
1

nv
ez
3
z
[volta10]
e
quando