Quadriláteros. (Documento de apoio ao PFCM (ESEV)

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PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTÍNUA EM MATEMÁTICA
PARA PROFESSORES DO 1º E 2º CICLOS
Quadriláteros planos
1.
Generalidades
2.
Propriedades dos quadriláteros
3.
Classificação dos quadriláteros
3.1. Trapézios
3.1.1.
Classificação dos trapézios
3.1.2.
Linhas notáveis dos trapézios
3.2. Paralelogramos
4.
3.2.1.
Classificação dos paralelogramos
3.2.2.
Linhas notáveis dos paralelogramos
Relação entre os elementos geométricos de alguns quadriláteros
4.1. Propriedades dos trapézios
4.2. Propriedades dos paralelogramos
5.
Número de eixos de simetria de alguns quadriláteros
1. Generalidades
Quadrilátero é um polígono com quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos
internos.
Notação – Simbolicamente, os quadriláteros representam-se pelas letras dos seus
vértices consecutivos escritos pela sua ordem.
Exemplo:
Quadrilátero [ABCD] com ângulos internos DAB; ABC ; BCD; CDA e lados
[ AB];[ BC ];[CD];[ DA] .
Dois vértices de um quadrilátero que são extremos de uma diagonal dizem-se
opostos; serão consecutivos se pertencem ao mesmo lado.
Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de recta que unem dois vértices
opostos.
No exemplo anterior, A e C, B e D são vértices opostos. Assim, [ AC ] e [ BD]
são diagonais do quadrilátero.
Dois lados com um vértice comum dizem-se consecutivos; caso contrário dizemse opostos.
Programa de Formação Contínua em Matemática
QUADRILÁTEROS CÔNCAVOS E CONVEXOS
Quadrilátero convexo é aquele que define um domínio convexo.
Quadrilátero côncavo é aquele que define um domínio côncavo
Exemplo:
Quadrilátero convexo.
Quadrilátero côncavo.
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2. Propriedades dos quadriláteros
 Dado um quadrilátero [DABC], tem-se
1) [ABCD] = [DCBA]
2) [ABCD] = [BCDA] = [CDAB] = [DABC]
3) Se [ABCD] existe, [ABCD] ≠ [ABDC].
 A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 4 ângulos rectos.
 Se os ângulos de um quadrilátero são iguais, então eles são todos rectos.
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3. Classificação dos quadriláteros
3.1. Trapézios
Trapézios são quadriláteros com dois lados opostos paralelos (a base menor e a base
maior).
3.1.1. Classificação dos trapézios

Trapézio isósceles ou simétrico.


AB  CD e   

Trapézio rectângulo.

  90º
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
Trapézio escaleno.
3.1.2. Linhas notáveis dos trapézios
Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos.
Diagonal de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são dois
vértices opostos do quadrilátero.
Altura de um trapézio é o segmento de recta perpendicular às bases e
compreendido entre elas.
Mediana de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são os
pontos médios dos lados opostos não paralelos.
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3.2. Paralelogramos
Paralelogramos são quadriláteros com os lados paralelos dois a dois.
3.2.1. Classificação dos paralelogramos

Paralelogramo obliquângulo

  
 ,  ,  ,   90º

Rectângulo
–
quadrilátero
com
os
ângulos
internos
geometricamente iguais.

  
 ,  ,  ,   90º

Losango ou rombo – quadrilátero com todos os lados
geometricamente iguais.




AB  BC  CD  DA ;    e   
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
Quadrado – quadrilátero com os ângulos e os lados todos iguais.




AB  BC  CD  DA e         90º
3.2.2. Linhas notáveis dum paralelogramo
Base de um paralelogramo qualquer um dos seus lados.
Diagonal de um paralelogramo é o segmento de recta cujos
extremos são dois vértices opostos do quadrilátero.
Altura de um paralelogramo é o segmento de recta
perpendicular à base e compreendido entre ela e o lado paralelo
oposto.
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4. Relações entre os elementos geométricos de alguns quadriláteros
4.1. Propriedades dos trapézios

Num trapézio, os ângulos adjacentes a um dos lados opostos
oblíquos, são suplementares.




    180º
    180º

Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são
geometricamente iguais.




 
 

As diagonais de um trapézio isósceles são geometricamente
iguais.
AC  BD
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
A mediana de um trapézio é paralela às bases e o seu comprimento
é igual à semi-soma dos comprimentos das bases.
AD  BC
2
EF 
4.2. Propriedades dos paralelogramos

Os paralelogramos são trapézios.

Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais.




  e  

Os ângulos internos adjacentes a cada lado de um paralelogramo
(ângulos internos consecutivos) são suplementares.








    180º
    180º
    180º
    180º
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
Os lados opostos de um paralelogramo são geometricamente
iguais.
AB  DC
BC  AD

Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos
geometricamente iguais.
[ ABC ]  [ ACD]

As diagonais de um paralelogramo bissectam-se uma à outra.
AO  OC
BO  OD

O rectângulo, o losango e o quadrado são paralelogramos.

As diagonais de um losango bissectam-se e são perpendiculares.
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AE  EC
DE  EB
[ AC ]  [ DB ]

As
diagonais
de
um
rectângulo
bissectam-se
e
são
geometricamente iguais.
AE  EC
DE  EB
AC  DB

Um quadrado é um losango e um rectângulo.

As diagonais de um quadrado bissectam-se, são perpendiculares e
geometricamente iguais.
AE  EC
DE  EB
[ AC ]  [ DB ]
AC  BD
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5. Número de eixos de simetria de alguns quadriláteros
QUADRILÁTERO
Nº DE EIXOS DE SIMETRIA
Trapézio não isósceles
0
Trapézio isósceles
1
Paralelogramo
0
Losango
2
Rectângulo
2
Quadrado
4
QUADRADO
4 EIXOS DE SIMETRIA
RECTÂNGULO
2 EIXOS DE SIMETRIA
LOSANGO
2 EIXOS DE SIMETRIA
TRAPÉZIO ISÓSCELES
1 EIXO DE SIMETRIA
E
ESSE
EV
VIISSEEUU
PARALELOGRAMO
NÃO TEM QUALQUER EIXO DE SIMETRIA
TRAPÉZIO RECTÂNGULO
NÃO TEM QUALQUER EIXO DE SIMETRIA
Observação: Repare-se que, em geral, e como foi referido, qualquer trapézio não isósceles não
possui qualquer eixo de simetria.
E
ESSE
EV
VIISSEEUU
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