Quadriláteros. (Documento de apoio ao PFCM (ESEV)
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PROGRAMA DE FORMAÇÃO CONTÍNUA EM MATEMÁTICA PARA PROFESSORES DO 1º E 2º CICLOS Quadriláteros planos 1. Generalidades 2. Propriedades dos quadriláteros 3. Classificação dos quadriláteros 3.1. Trapézios 3.1.1. Classificação dos trapézios 3.1.2. Linhas notáveis dos trapézios 3.2. Paralelogramos 4. 3.2.1. Classificação dos paralelogramos 3.2.2. Linhas notáveis dos paralelogramos Relação entre os elementos geométricos de alguns quadriláteros 4.1. Propriedades dos trapézios 4.2. Propriedades dos paralelogramos 5. Número de eixos de simetria de alguns quadriláteros 1. Generalidades Quadrilátero é um polígono com quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos internos. Notação – Simbolicamente, os quadriláteros representam-se pelas letras dos seus vértices consecutivos escritos pela sua ordem. Exemplo: Quadrilátero [ABCD] com ângulos internos DAB; ABC ; BCD; CDA e lados [ AB];[ BC ];[CD];[ DA] . Dois vértices de um quadrilátero que são extremos de uma diagonal dizem-se opostos; serão consecutivos se pertencem ao mesmo lado. Diagonais de um quadrilátero são os segmentos de recta que unem dois vértices opostos. No exemplo anterior, A e C, B e D são vértices opostos. Assim, [ AC ] e [ BD] são diagonais do quadrilátero. Dois lados com um vértice comum dizem-se consecutivos; caso contrário dizemse opostos. Programa de Formação Contínua em Matemática QUADRILÁTEROS CÔNCAVOS E CONVEXOS Quadrilátero convexo é aquele que define um domínio convexo. Quadrilátero côncavo é aquele que define um domínio côncavo Exemplo: Quadrilátero convexo. Quadrilátero côncavo. Programa de Formação Contínua em Matemática 2. Propriedades dos quadriláteros Dado um quadrilátero [DABC], tem-se 1) [ABCD] = [DCBA] 2) [ABCD] = [BCDA] = [CDAB] = [DABC] 3) Se [ABCD] existe, [ABCD] ≠ [ABDC]. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 4 ângulos rectos. Se os ângulos de um quadrilátero são iguais, então eles são todos rectos. Programa de Formação Contínua em Matemática 3. Classificação dos quadriláteros 3.1. Trapézios Trapézios são quadriláteros com dois lados opostos paralelos (a base menor e a base maior). 3.1.1. Classificação dos trapézios Trapézio isósceles ou simétrico. AB CD e Trapézio rectângulo. 90º Programa de Formação Contínua em Matemática Trapézio escaleno. 3.1.2. Linhas notáveis dos trapézios Bases de um trapézio são os lados opostos paralelos. Diagonal de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero. Altura de um trapézio é o segmento de recta perpendicular às bases e compreendido entre elas. Mediana de um trapézio é o segmento de recta cujos extremos são os pontos médios dos lados opostos não paralelos. Programa de Formação Contínua em Matemática 3.2. Paralelogramos Paralelogramos são quadriláteros com os lados paralelos dois a dois. 3.2.1. Classificação dos paralelogramos Paralelogramo obliquângulo , , , 90º Rectângulo – quadrilátero com os ângulos internos geometricamente iguais. , , , 90º Losango ou rombo – quadrilátero com todos os lados geometricamente iguais. AB BC CD DA ; e Programa de Formação Contínua em Matemática Quadrado – quadrilátero com os ângulos e os lados todos iguais. AB BC CD DA e 90º 3.2.2. Linhas notáveis dum paralelogramo Base de um paralelogramo qualquer um dos seus lados. Diagonal de um paralelogramo é o segmento de recta cujos extremos são dois vértices opostos do quadrilátero. Altura de um paralelogramo é o segmento de recta perpendicular à base e compreendido entre ela e o lado paralelo oposto. Programa de Formação Contínua em Matemática 4. Relações entre os elementos geométricos de alguns quadriláteros 4.1. Propriedades dos trapézios Num trapézio, os ângulos adjacentes a um dos lados opostos oblíquos, são suplementares. 180º 180º Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são geometricamente iguais. As diagonais de um trapézio isósceles são geometricamente iguais. AC BD Programa de Formação Contínua em Matemática A mediana de um trapézio é paralela às bases e o seu comprimento é igual à semi-soma dos comprimentos das bases. AD BC 2 EF 4.2. Propriedades dos paralelogramos Os paralelogramos são trapézios. Os ângulos opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais. e Os ângulos internos adjacentes a cada lado de um paralelogramo (ângulos internos consecutivos) são suplementares. 180º 180º 180º 180º Programa de Formação Contínua em Matemática Os lados opostos de um paralelogramo são geometricamente iguais. AB DC BC AD Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em dois triângulos geometricamente iguais. [ ABC ] [ ACD] As diagonais de um paralelogramo bissectam-se uma à outra. AO OC BO OD O rectângulo, o losango e o quadrado são paralelogramos. As diagonais de um losango bissectam-se e são perpendiculares. Programa de Formação Contínua em Matemática AE EC DE EB [ AC ] [ DB ] As diagonais de um rectângulo bissectam-se e são geometricamente iguais. AE EC DE EB AC DB Um quadrado é um losango e um rectângulo. As diagonais de um quadrado bissectam-se, são perpendiculares e geometricamente iguais. AE EC DE EB [ AC ] [ DB ] AC BD Programa de Formação Contínua em Matemática 5. Número de eixos de simetria de alguns quadriláteros QUADRILÁTERO Nº DE EIXOS DE SIMETRIA Trapézio não isósceles 0 Trapézio isósceles 1 Paralelogramo 0 Losango 2 Rectângulo 2 Quadrado 4 QUADRADO 4 EIXOS DE SIMETRIA RECTÂNGULO 2 EIXOS DE SIMETRIA LOSANGO 2 EIXOS DE SIMETRIA TRAPÉZIO ISÓSCELES 1 EIXO DE SIMETRIA E ESSE EV VIISSEEUU PARALELOGRAMO NÃO TEM QUALQUER EIXO DE SIMETRIA TRAPÉZIO RECTÂNGULO NÃO TEM QUALQUER EIXO DE SIMETRIA Observação: Repare-se que, em geral, e como foi referido, qualquer trapézio não isósceles não possui qualquer eixo de simetria. E ESSE EV VIISSEEUU
