- Forma-te

Exercícios sobre Complexos
Michael Fowler
1. Localize no plano complexo os números
e escreva-os na forma
2. Escreva a regra de multiplicação de dois números complexos da forma
calcular o inverso de um número complexo, isto é, exprima
como
3. Descubra como inverter um número na outra notação: se
termos de
e
. Dica: multiplique
por
.
e descubra como
.
, exprima
e
em
.
4. Mostre, num diagrama, onde está a raiz cúbica de -1, chamemos-lhe . Quantas raízes cúbicas
tem -1? Mostre todas as possibilidades no diagrama. De seguida, faça o mesmo para as raízes
cúbicas de 1. (Nota:
é usualmente usado para a raiz cúbica de -1; nós também a usamos para
frequência angular, claro. Tenha cuidado e não os confunda.)
5. Desenhe um número complexo
como um vector (apontando da origem para
desenhe no mesmo diagrama os vectores
6. Usando
e
(sendo
), e depois
a raiz cúbica de -1).
deduza as fórmulas para
7. Suponha que o ponto
se move no plano complexo de um modo tal que no instante
com
real e
. Onde está em
? E em
?E
?E
? Descreva o movimento no tempo. Como é que se alteraria a sua resposta se A fosse
um imaginário puro em vez de real?
8. Considere novamente
. Derive ambos os lados para encontrar uma
expressão para a velocidade
à medida que o ponto se move ao longo da sua trajectória.
Qual a relação entre o vector velocidade e o vector posição? Derive novamente para achar o
vector aceleração, e comente a sua direcção e sentido.
9. Descreva brevemente o comportamento de
no tempo se
para
real. Como se
alteraria este comportamento se
tivesse uma pequena parte imaginária,
, com
pequeno? Esboce o movimento de no plano complexo para positivo e negativo.
10. Considere a equação quadrática
. Para
, ambas as raízes são iguais a 1.
Esboce (no plano complexo) o movimento da raiz maior quando varia de 1.2 até 0.8 passando
por 1. Repita para a outra raiz, de preferência com uma cor diferente.
Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009