radiciação - Liceu Albert Sabin

RADICIAÇÃO
1 – Definição
Considere a como um número real e n um número natural não-nulo. O número x recebe o nome de raiz enésima de a,
somente se for elevado ao expoente n reproduz a.
2 – Observações
a) A significação no símbolo
:
√ é o radical;
a é o radicando;
n é o índice da raiz.
Na raiz quadrada, o índice não é mencionado. Escreve-se
3 – Exemplos
2
O número 4 é uma raiz quadrada de 16, pois 4 = 16
2
O número -4 é uma raiz quadrada de 16, pois (- 4) = 16
3
O número 2 é uma raiz cúbica de 8, pois 2 = 8
3
O número -3 é uma raiz cúbica de -27, pois (-3) = -27
4 – Existência e notação em R
Sabemos que determinar todas as raízes enésimas de a significa determinar as soluções da equação xn = a.
Portanto, podemos concluir que:
a) a = 0 e n ∈ N*
existe apenas uma raiz enésima de zero que é o próprio zero. Simbolizada por
.
b) a > 0 e n par (e não – nulo)
As duas raízes enésimas do número a se tornam raízes simétricas.
A raiz enésima positiva de a é denominada Raiz Aritmética de a, sendo simbolizada por
Quando se refere à raiz enésima negativa de a, essa é simétrica da primeira, simbolizada por
.
.
Exemplo:
O número 27 tem duas raízes terceiras. A raiz terceira positiva de 27 é representada pelo símbolo
A raiz terceira negativa de 27 é representada pelo símbolo
e vale 3.
e vale -3.
Pois, se 3 elevado a 3 é igual a 27, logo temos: 3 é uma raiz cúbica de 27.
c) a < 0 n par (e não- nulo)
Só podemos encontrar raízes com índice par de números positivos.
Exemplo:
Não existe raiz quadrada de -2, pois não existe nenhum número real x, tal que xy = -2.
d) a ≠ 0 e n ímpar
O número a possui apenas uma raiz enésima, a raiz tem o sinal igual de a, simbolizada por
.
Exemplos:
I) O número 8 tem apenas uma raiz cúbica, simbolizada por
II) O número – 8 tem apenas uma raiz cúbica, simbolizada por
e vale 2.
e vale – 2.
5 – Propriedades
Sendo a e b números reais positivos e n um número natural não nulo, valem as seguintes propriedades:
n
a . n b = n a.b
n
a : n b = n a : b , com b ≠ 0
n
am
n m
n
=
a
=
am
=
 a
n
m
, com m  Z
n.m
a , com m  N *
n. p
a m. p
, com m  Z e p 
N*
6- Potência de expoente racional
Considere a como um número real positivo, n um número natural não-nulo e
um número racional na forma irredutível.
A potência de base a e expoente racional
são determinadas por:
As mesmas propriedades valem tanto para as potências de expoente racional quanto para as potências de expoente inteiro.
7 – Racionalização de denominadores
Racionalizar o denominador de uma fração é o mesmo que eliminar todos os radicais que existem no denominador, sem
modificar o seu valor.
Exemplo: