Visualizar PDF - Encontro de Saberes

XXIII Seminário de Iniciação Ciéntifica da UFOP
Teoremas da Função Inversa e Implícita em Espaços de Dimensão Infinita: Uma Aplicação do
Teorema do Ponto Fixo de Banach
Lucas Martins Rocha (Autor), Wenderson Marques Ferreira (Orientador), Eder Marinho Martins (Orientador),
Vinícius Vivaldino Pires de Almeida (Orientador)
Neste trabalho, pretendemos estudar os Teorema da Aplicação Implícita e o Teorema da Aplicação Inversa,
enxergando-os como uma aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Banach. A solução de muitos problemas
em Matemática passa pela obtenção de um ponto que é levado em si mesmo por uma determinada
aplicação f de um conjunto X em si mesmo, ou seja, a resolução de tais problemas tem como etapa
fundamental a obtenção de um ponto x do domínio de f tal que f(x)=x. Tais pontos são denominados
pontos fixos de f e resultados que nos garantam sua existência (e por vezes sua unicidade) são de
interesse em pesquisas Matemáticas. O Teorema do Ponto Fixo de Banach é um resultado da Análise
Matemática que garante a existência de pontos fixos para determinados operadores, denominados
contrações (daí também ser conhecido como Teorema do Ponto Fixo das Contrações). Mais que garantir a
existência, este Teorema é um resultado de Unicidade já que o ponto fixo obtido é único e atrator (aqui
destacamos sua aplicação na prova do Teorema de Existência e Unicidade de Soluções para Equações
Diferenciais). O Teorema da Aplicação Inversa, como indicado por seu próprio nome, trata da possibilidade
de se obter a inversa de uma função, mesmo que localmente, e estabelece resultados acerca da
diferenciabilidade desta inversa.Nos cursos de Cálculo, tal Teorema pode ser observado ao se estudar, por
exemplo, as derivadas das funções trigonométricas inversas. Fortemente relacionado a tal Teorema temos
o Teorema da Aplicação Implícita que determina condições sob as quais uma aplicação F(x,y)=0 define y
em função de x, também em sentido local. Tal Teorema é fundamental, por exemplo, no estudo de
superfícies e variedades diferenciáveis. De modo geral, a importância e aplicabilidade desses Teoremas
está no fato de garantirem a solubilidade de uma grande classe de equações funcionais. Deste modo,
ambos desempenham relevante papel em áreas da Matemática como Equações Diferenciais e Sistemas
Dinâmicos.
Instituição de Ensino: UFOP - Universidade Federal de Ouro Preto
ISSN: 21763410