POLÍGONOS REGULARES.

POLÍGONOS REGULARES
1. INTRODUÇÃO:
 Os Polígonos Regulares são bastante aplicados
em várias situações práticas, como por exemplo,
no revestimento de pisos ou paredes, em
calçamento de ruas etc.
2. POLÍGONO REGULAR:
 Um polígono é regular quando tem os lados
congruentes e os ângulos congruentes.
VEJA:
3. 1 GENERALIDADES:
 A inscrição de polígonos regulares baseia-se no
teorema, onde arcos iguais subtendem cordas
iguais;
 Centro de um polígono regular é o centro da
circunferência circunscrita;
 Raio de um polígono regular é o raio da
circunferência circunscrita;
 Apótema de um polígono regular é a distância do
centro a qualquer lado.
QUADRADO : ( REGULAR)

1) Lados Congruentes
2) Ângulos Congruentes

 RETÂNGULO : ( IRREGULAR )

1) Lados Diferentes
2) Ângulos Congruentes

TRIÂNGULO

 EQUILÁTERO : ( REGULAR)

1) Lados Congruentes
2) Ângulos Congruentes

3. POLÍGONO REGULAR INSCRITO E
CIRCUNSCRITO:
 Já vimos que o polígono regular tem os lados
iguais e os ângulos também iguais.
 Polígono inscrito no círculo é o polígono, cujos
vértices ficam na circunferência. Os lados são
cordas. O círculo diz-se circunscrito ao polígono.
APÓTEMA
O Apótema é sempre perpendicular ao lado.
 Ângulo cêntrico do polígono regular é o ângulo
formado por dois raios consecutivos do mesmo
polígono. O valor do ângulo cêntrico é
sendo n o número de lados.
Todos os polígonos regulares são inscritíveis e
circunscritíveis.
4. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLÍGONOS
REGULARES INSCRITO:
1)  QUADRADO:
 Cálculo da medida do lado L4  :
F
O
 No COD , temos:
L24  R 2  R 2
R
E
C
R
L4
L24  2 R 2
L4  2 R 2
L
 Polígono circunscrito ao círculo é o polígono,
cujos lados são tangentes à circunferência. Os
lados são cordas. O círculo diz-se inscrito ao
polígono.
360 0
,
n
4
R 2
D
 Cálculo da medida do apótema  AP4  :
E
C
L4
AP4
F
D
 Na figura, observe que:
L
AP4  4
2
 Como L 4  R 2
 Então :
AP
4

R 2
2
Exemplo:
Ex: Calcular a medida do lado e do apótema do
quadrado inscrito numa circunferência de raio
8cm.
Solução:
3)  TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
 Cálculo da medida do lado L3  :
A
a) L4  R 2
L4
8
L4  8 2
L3
R 2
2
8 2
AP4 
4 2
2
O
b) AP4 
AP4
2R
C
B
R
D
2)  HEXÁGONO REGULAR :
 No ABD ,temos:
2
2
L3  R 2  2 R 
 Cálculo da medida do lado L6  :
L3  R 2  4 R 2
2
 O AOB é
Eqüilátero.
O
R
R
A
B
 Logo:
OA  OB  AB
 Então:
L6  R
L3  3R 2  L3  3R 2
2
L
3
R 3
 Cálculo da medida do apótema  AP3  :
L6
A
 Cálculo da medida do apótema  AP6  :
 No MOB ,
O
temos:
2
R
2
AP6     R 2
2
R2
2
AP6  R 2 
4
O
R
AP6
A
M
B
R
2
3R 2
AP6 
4
AP

6
R 3
2
Exemplo:
Ex: Calcular a medida do lado e do apótema do
hexágono regular inscrito numa circunferência de
raio 12 cm.
SOLUÇÃO:
a)Como
L6  R, então : L6  12
8
R 3 12 3

2
2
AP6  6 3
AP3
B
C
D
 O quadrilátero BCDO é um losango, pois os
lados são congruentes (medem R).
 Logo:
AP3 
OD

2
AP
3

R
2
Exemplo:
Ex: Calcular a medida do lado e do apótema do
triângulo eqüilátero inscrito numa circunferência
de raio 10 cm.
SOLUÇÃO:
b) AP6 
10
a) L3  R 3  L3  10 3
b) AP3 
R 10

 AP3  5
2 2
 FÓRMULAS MACETE PARA POLÍGONOS
INSCRITOS:
 Cálculo do apótema:
 1800 

L  2.R.sen

 n 
 1800 

AP  R. cos

 n 
n
 180 0


R
.
cos
AP 6
 6
 
Onde:
n  número de lados
OBSERVE:
A) QUADRADO : n  4
 Cálculo do lado:
 180 0 
0
L4  2.R.sen 4   2.R.sen45 
 
Sendo : sen 45 0
2

; então :
2
2
L4  2.R. 2 
L
4
 R. 2

  R. cos 45 0

 
 
2
; então :
2
2
R. 2
AP 4  R. 2  AP 4  2
Sendo : cos 45 0 
B) HEXÁGONO REGULAR : n  6
 Cálculo do lado:
 180 0 

  2.R.sen 30 0 

2
.
R
.
sen
L6
 6 
 
Sendo : sen 30
L
6
0
1
 2.R. 
2
1
 ; então :
2
L
4
R
6
3
2
 R.
C ) TRIÂNGULO EQUILÁTERO : n  3
 Cálculo do lado:
 180 0 
0
L3  2.R.sen 3   2.R.sen60 
 
3
; então :
2
Sendo : sen 60 0 
L
3
3

2
 2.R.
L
4
 R. 3
 Cálculo do apótema:
 180 0 

  R. cos 60 0

R
.
cos
AP 3
 3 
1
Sendo : cos 60 0  ; então :
2
1
R
AP 3  R. 2  AP 3  2
 
 Cálculo do apótema:
 180 0


R
.
cos
AP 4
 4
AP
 
3
; então :
2
Sendo : cos 30 0 
n

  R. cos 30 0

 
5. RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLÍGONOS
REGULARES CIRCUNSCRITO:
1)  QUADRADO:
L
4
 2.R
AP
4
R
2)  HEXÁGONO REGULAR:
L
6

2.R. 3
3
AP
6
R
3)  TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
L
3
 2.R. 3
AP
3
9. (FRANCO) O lado de um quadrado inscrito em
R
 FÓRMULAS MACETE PARA POLÍGONOS
CIRCUNSCRITOS:
 180
 n

Ln  2.R.tg
0
Resp: 10 3 cm
10. (FRANCO) O lado de um quadrado inscrito numa




circunferência mede 12 2 cm. Calcular o lado
do quadrado circunscrito ao mesmo círculo.
Resp: 24 cm
AP  R
11. (FRANCO) Em um círculo, estão inscritos um
quadrado e um triângulo eqüilátero. Se o lado do
triângulo mede 12cm, quanto mede o lado do
quadrado?
n
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (FRANCO) Calcule o apótema de um quadrado
inscrito numa circunferência de raio
Resp: 7 cm
7 2 cm.
2. (FRANCO) O lado de um quadrado inscrito numa
circunferência mede
circunferência.
Resp: 10 cm
10 2 cm. Calcule o raio da
3. (FRANCO) A medida do apótema de um quadrado
inscrito numa circunferência é 25 cm. Calcule o
raio da circunferência.
Resp:
uma circunferência mede 10 2 cm. Calcule a
medida do lado do triângulo eqüilátero inscrito na
mesma circunferência.
25 2 cm
Resp:
4 6 cm
12. (FRANCO) O perímetro de um quadrado inscrito
mede 32 2 cm. Calcular a medida do raio do
círculo de inscrição.
Resp: 8 cm
13. (FRANCO) Determine o perímetro de um
hexágono regular inscrito numa circunferência de
5cm de raio.
Resp: 30 cm
14. (FRANCO) O apótema de um hexágono regular
inscrito numa circunferência mede 15cm. Quanto
mede o seu lado?
Resp:
10 3 cm
4. (FRANCO) Calcule o apótema de um quadrado
inscrito numa circunferência de raio
Resp: 8 cm
8 2 cm.
5. (FRANCO) O lado de um quadrado inscrito numa
circunferência mede 4cm. Calcule o raio da
circunferência.
Resp:
2 2 cm
6. (FRANCO) Um quadrado tem o apótema medindo
5cm. Calcule o perímetro desse quadrado inscrito
na circunferência.
Resp: 40 cm
7.
(FRANCO) Calcular a medida do raio e do
apótema
no
quadrado
inscrito
numa
circunferência, cujo o lado mede 12cm.
Resp:
6 2 cm e 6 cm
8. (FRANCO) A diagonal de um quadrado inscrito em
uma circunferência mede 5cm. Calcule o lado do
hexágono regular inscrito nessa mesma
circunferência.
Resp: 2,5 cm
15. (FRANCO) O apótema de um hexágono regular
inscrito numa circunferência mede
Determine o perímetro do hexágono.
Resp: 84 cm
7 3 cm.
16. (FRANCO) O raio de um hexágono regular
inscrito numa circunferência mede 5cm. Calcule o
perímetro do hexágono.
Resp: 30 cm
17. (FRANCO) O lado de um hexágono regular
inscrito numa circunferência mede 26cm. Quanto
mede o seu apótema?
Resp:
13 3 cm
18. (FRANCO) Achar o lado do hexágono regular,
inscrito num círculo, onde a diagonal do quadrado
circunscrito mede 8cm.
Resp: 2,828 cm
19. (FRANCO) Em um círculo está inscrito, um
quadrado e um hexágono regular. Se o apótema
do hexágono mede 12cm, quanto mede o lado do
quadrado?
Resp:
8 6 cm
20. (FRANCO) Num círculo estão inscritos um
hexágono regular e um triângulo eqüilátero. A
soma do quadrado do número que representa a
medida do apótema do hexágono com o número
que representa o apótema do triângulo, vale 310.
Calcular o lado do hexágono e o do triângulo.
Resp: 20 cm e 34,6 cm
21. (FRANCO) Em um mesmo círculo está inscrito,
um triângulo eqüilátero, um quadrado e um
hexágono regular. Calcule o raio do círculo,
sabendo-se que L3  L4  L6 mede 33,12cm.
a)
5 2cm
b)
5 3cm
c)
10 2cm
d)
10 3cm
5. (FRANCO) O perímetro de um hexágono regular
cujo apótema mede
a) 58cm
22. (FRANCO) Calcule o apótema de um triângulo
eqüilátero inscrito numa circunferência de raio 28
cm.
Resp: 14 cm
inscrito numa circunferência mede
Quanto mede o seu lado?
Resp: 6 cm
3 cm.
24. (FRANCO) Num círculo estão inscritos um
quadrado, um triângulo eqüilátero e um hexágono
regular cuja soma de seus perímetros vale
168,3m. Calcular os apótemas das três figuras.
Resp: AP4  7,05m / AP3  5m / AP6  8,65m
b) 12cm
c) 14cm
d) 16cm
2. (FRANCO) O perímetro de um hexágono regular
inscrito numa circunferência de 14cm de diâmetro
é:
a) 36cm
b) 42cm
c) 48cm
d) 54cm
3. (FRANCO) A medida do diâmetro de uma
circunferência é 36cm. A medida do lado de um
quadrado inscrito nessa circunferência é:
a) 9cm
b)
12 2cm
c)
12 3cm
d)
18 2cm
d) 64cm
3
b)
3
2
c)
3
4
d)
7. (FRANCO) O perímetro de um quadrado inscrito
numa circunferência cujo apótema mede 3
1
cm
2
é:
a) 24cm
b) 26cm
c) 28cm
d) 30cm
8. (FRANCO) O lado do quadrado inscrito numa
circunferência mede 4cm. O lado do triângulo
eqüilátero inscrito na mesma circunferência
mede:
a)
2 3
b)
2 6
c)
3 2
d)
6 2
9. (FRANCO) A distância entre dois lados paralelos
de um hexágono regular inscrito numa
circunferência é definida por a  2. 3m . Assim
sendo, o raio dessa circunferência tem por
expressão:
TESTES
1. (FRANCO) Numa circunferência está inscrito um
triângulo eqüilátero cujo apótema mede 3cm. A
medida do diâmetro dessa circunferência é:
c) 62cm
6. (FRANCO) O raio de uma circunferência onde se
inscreve um triângulo eqüilátero de 3cm de lado
é:
23. (FRANCO) O apótema de um triângulo eqüilátero
a) 10cm
b) 60cm
a) 1
Resp: 8 cm
5 3cm é:
a)
2 3m
c)
a  2m
a 3m
a2
m
d)
2
b)
10. (FRANCO) Numa circunferência inscreve-se um
triângulo eqüilátero cujo lado mede 10 3m . Em
seguida, no interior do triângulo constrói-se outro
triângulo, também eqüilátero, cujos lados ficam
afastados 1m dos lados do primeiro. O apótema
do triângulo menor mede:
a) 4m
b)
4. (FRANCO) O perímetro de um quadrado inscrito
numa circunferência é 40cm. Então, o raio da
circunferência mede:
2 3m
c)
3 2m
GABARITO
1. B
3. D
5. B
7. C
9. C
d)
5 3m
2. B
4. A
6. B
8. B
10. A