nova apostila matemática - téc edificações- orlando

RAZÃO - ARITMÉTICA
A razão entre dois números a e b (b 0) é o quociente a/b, sendo a
quociente b/a.
Assim, o produto entre duas razões inversões entre si é igual a 1.
0, a razão inversa a/b é o
ex: a . b = 1
b a
ex: (CESD) Uma equipe futebol obteve, durante um campeonato, 30 vitórias 18 empates, 12
derrotas. A razão entre os números de vitórias e o número total de partidas disputadas é:
a) 3/2
b) 1/2
c) 3/5
d) 2/5
e) 1/3
ex: No vestibular 2008 da UFPE haviam 140 vagas para o curso de medicina, inscreveram-se
3043 candidatos. Qual a concorrência deste curso?
PROPORÇÃO
É a igualdade entre duas razões.
ex: a = c => a e d são extremos
b d => b e c são meios
ex: (UFPE-98) Quatro irmãos herdaram um total de R$ 45.000,00. Para que os quatro recebessem
a mesma quantia seria necessário reduzir em R$ 2.000,00 a parte do primeiro, aumentar em R$
2.000,00 a do segundo , duplicar a do terceiro e reduzir à metade a do quarto irmão. Podemos
então afirmar que os quatro herdaram, em milhares de reais :
a) 14,10, 6 e 20
b) 12, 8, 5, e 20
c) 12, 8, 5, e 28
d) 14, 10, 6, e 24
e) 13, 9, 5, e 18
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PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
a = c => a.d => b.c
b d
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Envolve apenas duas grandezas.
DIRETA: Quando a grandezas são diretamente proporcionais.
ex: Uma torneira derrama 4 pingos por segundo. Quantas gotas derrama em 50 segundos?
4 ---- 1
X ---- 50
logo, x = 4 x 50 => X= 200
INVERSA: Quando as grandezas são inversamente proporcionais.
ex: Para construir um muro, em seis dias, são necessários trinta operários. Se uma empresa
dispõe de apenas dez operários, em quantos dias o muro será construído?
30 ---- 6
10 ---- d
logo, 10d = 30 . 6 => d=18
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Envolve três ou mais grandezas.
Ex: Um ciclista percorre 200Km em 2 dias, pedalando 4 horas por dia. Em quantos dias,
pedalando 5 horas por dia, percorrerá 500Km?
km
200
Dias
2
500
a
+
horas/dia
4
5
-
Logo, a = 500 . 4 => a = 4
2 200 5
2
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Quando a meta de energia elétrica é de 20%, certa família poderia consumir no máximo
120Kwh por mês. Quanto poderá consumir mensalmente a mesma família, agora, que a meta de
economia é de 12%?
2. Após demitir 15% dos seus empregados, uma empresa de brinquedos verificou que para
concluir a produção dos brinquedos gastaria 20 dias. Se as demissões não tivessem ocorrido,
quantos dias seriam necessários para terminar a produção?
3. Certo trabalho é realizado por 30 homens em 12 dias, trabalhando 20 horas por dia. Adoecendo
6 homens, quantos dias, a 8 horas por dia, deverão trabalhar os restantes para realizar o triplo do
trabalho anterior ?
4. .(UFPE-92) Num banco, 4 caixas atendem 450 clientes durante um expediente de 6 horas. Em
média quanto tempo gastou um caixa para atender cada cliente?
3
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PORCENTAGEM
É uma razão cujo denominador é 100.
Exemplos :
a) 20 = 0,20 = 20%
100
b) 7 =
100
c) 0,2 =
100
d) 38,5 =
100
e) 1,8 =
100
f) 110 =
100
ex1 : Calcular 40% de 180.
ex2: Um trabalhador recebe mensalmente R$ 240. Se 25% do seu salário é gasto com
alimentação e 30% do que resta com transporte. Quanto sobra para as outras despesas?
ex3: Um fabricante de chocolate cobrava R$ 5,00 por uma barra de 250g. Recentemente o peso
da barra foi reduzido para 200g, mas seu preço continuou o mesmo. Qual foi o aumento
percentual do preço do chocolate desse fabricante?
a) 10%
b) 15%
c) 20%
d) 25%
e) 30%
4
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1.(UPE-90) Num determinado país está prevista uma inflação mensal constante de 40%. Então, a
inflação trimestral prevista é?
a) 174,4%
b) 274,4%
c) 120,0%
d) 160,0%
e) 320,0%
2.(UPE-91) A política de reposição salarial da “Empresa Pernambucana S/A” é de reajustes
trimestrais. No 1º trimestre o reajuste foi de 20% ; no segundo de 30% ; e no terceiro de 25% e no
quarto trimestre 40%. Então o aumento anual concedido pela empresa foi:
a) 115%
b) 143%
c) 173%
d) 138%
e) 185%
3. (UFPE-90) Um produto que custava R$ 1500 sofreu um aumento de 50%. Com a queda das
vendas, o comerciante passou a dar um desconto de 20% sobre o novo preço. Por quanto está
sendo vendida a mercadoria?
a) R$ 1600
b) R$ 1400
c) R$ 1950
d) R$1800
e) R$ 1530
4.(UFPE-92) O valor do dólar, em real, subiu 10% num dia e 22% no outro dia. No intervalo
desses dois dias o dólar subiu:
a) 32.2%
b) 32.0%
c) 33.2%
d) 34.2%
e) 34.0%
5.(UFPE-93) A concentração de uma determinada substância, após atingir um máximo, num certo
instante, diminui 15% ao fim de cada hora. Podemos dizer que, duas horas após o mencionado
instante, a concentração terá diminuído em:
a) 30.00%
b) 32.25%
c) 27.75%
d) 31.00%
e) 28.00%
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6.(UFPE-96) Um investidor resolveu empregar todo o seu capital da seguinte forma :
Metade na caderneta de poupança que lhe rendeu 30% ao ano.
Um terço na bolsa de valores que lhe rendeu 45% no mesmo período.
O restante ele aplicou em fundos de investimentos que lhe rendeu 24% ao ano.
Ao término de um ano o capital deste investidor foi de:
a) 33%
b) 38%
c) 34%
d) 32%
e) 36%
7.(UFPE-88) Na primeira colheita de algodão de um agricultor, os resultados foram modestos. Na
segunda colheita efetuada após a correção de solo, o referido agricultor conseguiu uma melhora
de 40% em relação à anterior. Na terceira safra, face à seca, a colheita sofreu uma redução de
35% em relação a segunda. A terceira colheita sofreu uma redução em relação a primeira de :
a) 10%
b) 8.2%
c) 6.4%
d) 9%
e) 2%
8. (UFPE-88) No orçamento de um bancário, 1/5 do salário é gasto com moradia, 1/10 com
transporte e 3/5 com alimentação, sobraram R$ 2.000,00 para outras despesas, qual é seu
salário?
a) R$ 15.000,00
b) R$ 18.000,00
c) R$ 13.000,00
d) R$ 20.000,00
e) R$ 17.000,00
9. Dando-se um desconto de 20% e, em seguida, outro de 40%. Qual será o desconto total
acumulado?
a) 60%
b) 50%
c) 52%
d) 56%
e) 45%
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EQUAÇÕES DO 1º GRAU - ÁLGEBRA
Chamamos de equação toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade.
No caso específico, as equações são representadas por um polinômio em X do 1º grau. Daí o
nome equações do 1 grau.
Exemplos:
a) 2(x + 1) + 5 (x – 1) = 7
b) (MACK-SP) A solução da equação :
4y – 10 + y = 18 + 7y é :
a) 14
b) 15
c) -15
d) -14
e) 0
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
É uma relação entre duas equações e duas variáveis, sejam elas as mais comuns “X” e “Y”.
Exemplo:
X = 10 + 5y
3.( 10 + 5y) + y = 14
30 + 15Y + y = 14
15y + y = 14 – 30
16Y = -16
Y=-1
X = 10 + 5 (-1)
X= 10 - 5
X= 5
Ex1:Numa prova de matemática com 30 questões, cada resposta certa vale 0,5 e cada resposta
errada – 0,2. Um candidato resolveu todas as questões e obteve nota 8(oito). Sendo assim, o
número de questões que ele acertou foi:
a) 12
b) 15
c) 20
d) 22
e) 24
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Ex2: A soma de dois números é igual a 23. A DIFERENÇA entre o quádruplo do maior e o triplo do
menor é igual a 22. O quadrado do maior desses dois números é :
a) 100
b) 144
c) 169
d) 196
e) 200
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Uma grande loja está promovendo uma liquidação. João comprou 7 camisas e 3 calças e pagou
280 reais. Sofia comprou 3 camisas e 7 calças e pagou 320 reais. Nessas condições, o preço de
cada camisa e calça são:
a) R$ 20 e R$ 30
b) R$ 20 e R$ 40
c) R$ 25 e R$ 35
d) R$ 30 e R$ 40
2. Numa granja existem galinhas e bodes. No total de 150 cabeças e 440 pés. Sabendo isto, qual
a quantidade de galinhas dessa granja?
a) 50 galinhas
b) 80 galinhas
c) 70 galinhas
d) 60 galinhas
3. Em um concurso público, numa prova de 50 quesitos, um candidato obtém 110 pontos.
Sabendo-se que em cada questão correta o candidato ganha 3 pontos, e a cada questão errada
ele perde 2 pontos,podemos afirmar que o número de questões que ele acertou é:
a) 39
b) 40
c) 41
d) 42
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INTERPRETAÇÃO GRÁFICA – ESTATÍSTICA
1. (Unicamp 98) O gráfico a seguir, em forma de pizza(setores), representa as notas obtidas em
uma questão pelos 32.000 candidatos presentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Ele
mostra, por exemplo, que 32% desses candidatos tiveram nota 2 nessa questão. Pergunta-se:
a) Quantos candidatos tiveram nota 3?
2. (UFRN) Numa prova de opnião, feita para verificar o nível de aprovação de um governante,
foram entrevistadas 1000 pessoas, que responderam sobre a administração da cidade,
escolhendo uma – e apenas uma – dentre as possíveis respostas: ótima, boa, regular, ruim e
indiferente. O gráfico abaixo mostra o resultado da pesquisa.
De acordo com o gráfico, pode-se afirmar que o percentual de pessoas que consideram a
administração ótima, boa ou regular é de:
a) 28%
b) 65%
c) 71%
d) 84%
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3. (UF.São Carlos-SP) Num curso de iniciação à informática, a distribuição das idades dos alunos,
segundo o sexo, é dada pelo gráfico ao lado. Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar que:
a) o número de meninas, com no máximo, 16 anos é maior que o número de meninos nesse
mesmo intervalo de idade.
b) o número total de alunos é 19.
c) a média de idade das meninas é 15 anos.
d) o número de meninos é igual ao número de meninas.
e) o número de meninos com idade maior que 15 anos é maior que o número de meninas nesse
mesmo intervalo de idade.
4. Considerando o gráfico, classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F).
a) A mortalidade infantil em alagoas supera a mortalidade infantil verificada nos estados da
região sul juntos.
b) Uma queda de 20% na taxa de mortalidade infantil da Paraíba reduz essa taxa a menos de 50
mortes por 1000 nascidos vivos.
c) A taxa de mortalidade infantil do ceará é aproximadamente o triplo da de São Paulo.
d) A taxa de mortalidade infantil de Pernambuco, expressa em termos percentuais, é maior que
6%.
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ÁREA DE FIGURAS PLANAS – GEOMETRIA PLANA
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PLANA
1. CONCEITOS PRIMITIVOS
Ponto, Reta e Plano são os três entes geométricos fundamentais. É impossível defini-los,
o conceito existente deles é primitivo. Convenciona-se a representação desses entes da seguinte
forma :
PONTO : letras maiúsculas. Ex: A, B, C,...
RETAS : letras minúsculas. Ex: a, b, c,...
PLANOS: letras minúsculas do alfabeto grego. Ex: α, β,
POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS
Coplanares: Estão contidas no mesmo plano. Caso contrário, são ditas reversas.
Concorrentes: São coplanares e possuem um único ponto e, comum.
ÂNGULOS
A união de duas semi-retas distintas não opostas de mesma origem chamamos ângulo.
Considere as semi-retas PA e PB não colineares da figura. O conjunto união dessas duas semiretas é chamado ângulo. As semi-retas PA e PB são chamadas lados desse ângulo. O ponto P é
chamado vértice desse ângulo.
EXTERIOR E INTERIOR DE UM ÂNGULO
Dois semi-planos abertos (semi-plano menos a reta que é a origem) determinados pelas
retas que contém os lados do ângulo, considere aqueles que não contém pontos do ângulo. O
conjunto união desses dois semi-planos é chamado exterior do ângulo.
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O conjunto complementar, em relação ao plano do ângulo, da união desse ângulo com seu
exterior é chamado interior do ângulo.
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
É uma semi-reta interna a esse ângulo que o divide em duas partes iguais.
ÂNGULO RETO
É o ângulo que tem a sua medida valendo 90º e sua representação é dada por duas semiretas perpendiculares.
ÂNGULO AGUDO E OBTUSO
Se um ângulo não nulo for menor que um ângulo reto, ele é chamado ângulo agudo e se
um ângulo não raso (180º ) for maior que um ângulo reto ele é chamado ângulo obtuso.
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ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
É um par de ângulos formados por duas retas concorrentes e por sua vez , possuem a
mesma medida.
TRIÂNGULOS
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
QUANTO AOS LADOS
Triângulo Equilátero: Possui todos os lados congruentes.
Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes.
Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes.
QUANTO AOS ÂNGULOS
Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são agudos.
Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto.
Triângulo Obtusângulo: um de seus ângulos é obtuso.
QUADRILÁTEROS
DEFINIÇÃO
Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, três a três não colineares (não
alinhados), de modo que os segmentos AB , BC ,CD e AD interceptam-se apenas nas
extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero.
PROPRIEDADES DE UM QUADRILÁTERO
_ “A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360º “
_ “A soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é igual a 360º
TRAPÉZIO
Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem dois lados paralelos.
Os lados paralelos são chamados de bases.
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NOMENCLATURA
De acordo com o número n de lados, alguns polígonos convexos recebem nomes
especiais.
Isto é:
Observação: O número de vértices de um polígono é igual ao número de lados.
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada
pela expressão a seguir:
Si = (n - 2)180º
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é dada
por:
Se = 360º
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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
INTRODUÇÃO
Assim como as medidas de segmentos e as medidas de ângulos, a forma rigorosa para se
conceituar áreas é vista em um curso de terceiro grau.
Vamos aqui enunciar algumas propriedades que nos leva às fórmulas de algumas regiões
poligonais. Para simplificar os enunciados muitas vezes quando falarmos polígono estaremos
querendo dizer região poligonal: área de um polígono vai significar, de agora em diante, área da
região poligonal que ele determina.
ÁREA DO TRIÂNGULO
A área do triângulo é dada pela formula:
Aqui, é importante saber que qualquer lado do triângulo pode ser tomado como base,
desde que se utilize a altura relativa ao respectivo lado na aplicação da fórmula.
ÁREA DO PARALELOGRAMO
A área do paralelogramo qualquer é dada pela fórmula:
BASE x ALTURA
Do mesmo modo que ocorre com o triângulo, também no paralelogramo qualquer lado
pode ser tomado como base. A altura será a distância desse lado ao lado oposto.
ÁREAS DOS PARALELOGRAMOS NOTÁVEIS
Os paralelogramos notáveis são o retângulo, o losango e o quadrado. Suas áreas também
são dadas pela fórmula:
BASE x ALTURA
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Porém, como as diagonais do losângo são perpendiculares, é possível expressar sua área
em função de suas diagonais.
ÁREAS DO TRAPÉZIO
A área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula:
Essa fórmula pode ser obtida facilmente decompondo o trapézio em dois triângulos.
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Agora é com você!!!
Ex1: Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB é perpendicular a AD, BC é perpendicular a
CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno é:
Ex2: A área do trapézio ABCD é 7 cm2 e a do quadrado CDEF é 4 cm2 . a medida de base AB é:
Ex3: Considere um trapézio isósceles ABCD, em que AB = BC = CD = 4 cm. Se AD = 8 cm, podese afirmar que a área do trapézio, em cm², é:
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TEOREMA DE PITÁGORAS
Definição: O quadra da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
Ou seja :
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. (UFPE-1988) O quadrilátero abaixo é um trapézio isósceles com as dimensões indicadas.
Calcule a área em cm², do retângulo sombreado na figura.
2. (UFPE-1988) Deseja-se assoalhar uma sala de formato e dimensões abixo, com tábuas de 20
cm de largura por 3,5 m de comprimento. Assinale o número de tábuas necessárias :
3. (UFPE) Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8,
AC e BD são perpendiculares a AB e AB é tangente à circunferência em T.Se AB = 12, calcule
OA.
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4. (Ufal 99) Na figura abaixo têm-se 4 semicírculos, dois a dois tangentes entre si e inscritos em
um retângulo. Se o raio de cada semicírculo é 4 cm, a área da região sombreada, em centímetros
quadrados, é (Use ∏ = 3,1)
5. (Puccamp-97) Na figura tem-se um terreno retangular no qual pretende-se construir um galpão
cujo lado deve medir x metros. Se a área da parte sombreada é 684 m², o lado do galpão mede,
em metros,
6. (UFPE) Na figura a seguir, o quadrado maior foi dividido em dois quadrados e dois retângulos.
Se os perímetros dos dois quadrados menores são 20 e 80, qual a área do retângulo sombreado?
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7.Calcular a área do quadrilátero indicado abaixo
a) 20/36cm²
b) 25/3cm²
c) 5/9cm²
d) 25/81m²
e) 25/9cm²
8. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e
h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro
paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
a) 2x Area1
b) 4x Area1
c) 8x Area1
d)5xArea1
e) 16x Area 1
9. Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro lado para que a
área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm?
a) X = 108cm
b) X = 10,8 cm
c) X = 1,08 cm
d) X = 108,1 cm
e) X = 0,108 cm
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GEOMETRIA ESPACIAL
POLIEDROS
Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas
chamadas faces e a região do espaço limitada por elas. Cada lado de uma dessas regiões
poligonais é também lado de uma única outra região poligonal. A intersecção de duas faces
quaisquer ou é um vértice, ou é vazia.
Cada lado de uma região poligonal, comum a exatamente duas faces, é chamado aresta
do poliedro. E cada vértice de uma face é um vértice do poliedro.
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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
PRISMA
Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas, que vamos estudar com mais
detalhes. Veja alguns exemplos e procure perceber suas características.
De acordo com a região poligonal das bases, o prisma recebe nomes especiais.
Veja alguns exemplos.
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AS PIRÂMIDES
As pirâmides do Egito são um exemplo de arquitetura bastante desenvolvida dos egípcios.
ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UMA PIRÂMIDE
Do mesmo modo que foi visto nos prismas, nas pirâmides também temos :
Superfície lateral: é formada pelas faces laterais (triangulares);
Área lateral(AL) : é a área da superfície lateral;
Superfície total: é formada pelas faces laterais e pela base;
Área total(AT): é a área da superfície total.
CILINDROS E CONES
Passando para os corpos redondos (cilindros e cones), para calcular o seu volume
utilizamos o antigo método de exaustão, baseado nas idéias de Eudoxo, um geômetra grego que
viveu por volta do século IV a.C. Baseado no príncipio de que os polígonos regulares inscritos
fornecem uma aproximação para a circunferência e suas áreas para a área do círculo,
consideramos os prismas e pirâmides regulares para aproximar os volumes do cilindro e do cone,
respectivamente.
Temos, como conseqüência:
Volume do cilindro: V = π R² H
Volume do cone: V = π R² H / 3
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ESFERA
Consideremos um ponto C e um número real positivo R qualquer.
A esfera de centro C e raio R é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma
distância menor ou igual a R do ponto C.
A „‟casquinha‟‟ ou a fronteira da esfera chama-se superfície esférica.
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TRIGONOMETRIA
INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA
1.TRIÂNGULO RETÂNGULO: RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Considere o triângulo abaixo :
Assim, têm-se que :
Sen α =
Sen β =
Cos α =
Cos β =
Tg α =
Tg β =
OBS: como α + β = 90º, sen α = cos β e cos α = sen β
Destas razões, obtém-se as seguintes relações fundamentais :
I)
Sen² α + Cos² α = 1
II)
tg α =
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Ex1: Sabendo que sen α = 3/5, determine cos α e tg α.
SENO, COSSENO E TANGENTE DE 30°, 45° E 60°
ANG/FUNÇÃO
SEN
COS
TG
30°
45°
60°
Ex2: sabendo que o cos α = ½, determine o sen α.
Ex3: sabendo que o cos α é 2/5 e o sen α 1/5, determine a tg α.
AGORA É COM VOCÊ!!!
1. (UFPB) Sabendo que sen α = 3/5, determine cos α e tg α.
a) 2/5 e 3/2
b) 3/8 e 4/5
c) 5/4 e 3/4
d) 4/5 e 4/3
e) 3/2 e 3/4
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2. Através da figura abaixo prove que o sen30°=1/2 ; cos30°=
/2 e tg30°=
3.(UPE-ADAPTADA) Um observador vê um prédio, construído em terreno plano, sob um ângulo
de 60°.Sabendo que este observador está à 30 m do edifício, determine a altura deste prédio.
a) 51m
b) 510m
c) 5,10m
d) 25m
e) 25,1m
4. (UFPE-ADAPTADA) Um navio se aproxima do porto do recife, estando presente nele um
observador que avista um prédio no Recife Antigo, sob o plano horizontal,de um ângulo de 45°.
Sabendo que este navio está à 27 metros do cais e que o prédio está à 13 metros do cais,
determine a altura deste edifício.
a) 40m
b) 41m
c) 42m
d) 43m
e)44m
5. . (UFPE-1ª FASE) A 100 metros da base, um observador avista a extremidade de uma torre dos
um ângulo de 60° com a horizontal. Qual a altura dessa torre, em metros?
a)
b)
c) 100
d)
e)
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6. (Afa) O acesso ao mezanino de uma construção deve ser feito por uma rampa plana, com 2m
de comprimento. O ângulo que essa rampa faz com o piso inferior, conforme a figura, para que
nela sejam construídos 8 degraus, cada um com 0,216 m de altura é aproximadamente, igual a:
(Considere a
= 1,728)
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