3a-lista-geo-anal-gabarito

INSTITUTO FEDERAL
DE BRASILIA
3ª Lista
MATEMÁTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
GABARITO
DATA: 14/09/2016
1) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P  (2, 1), e a reta t é tangente a C no
ponto Q  ( 1, 5).
a) Determine o raio da circunferência C.
b) Encontre uma equação para a reta t.
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.
a) Como Q é tangente à circunferência C, então o segmento PQ é igual ao raio. Logo:
r
 2  (1)2  1  52
 9  16  25  r  5
b) Como t é tangente à circunferência em Q, sabe-se então que t é perpendicular ao segmento PQ.
Assim, os coeficientes angulares da reta t e do segmento PQ tem a seguinte relação:
αt  
αPQ 
1
αPQ
5 1
4
3
 αPQ 
 αt 
1  2
3
4
Assim, a reta t é dada pela equação
reta t  y  5 
3
 x  1  3x  4y  23  0
4
c) Se o ponto R intercepta o eixo x, então suas coordenadas são do tipo (a, 0). Para encontrar o valor de
a, basta substituir na equação da reta:
3a  23  0  a  

23
 R 23 ,0
3
3

Assim, a área S do triângulo PQR pode ser escrita como:
1
S 
2
2
1 1
1
5 1 
23
3
0 1
1 
23 115  1 125
125
  10 

 1  
S
2 
3
3
6
 2 3
1
2) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até 25 km do depósito.
Para a distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 20,00
por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma
proporcional em caso de frações de quilômetros.
Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma figura
representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito
ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete C (em
reais), em função de x, para o caso em que C(x)  0.
Considere a figura, em que N denota Norte e L denota Leste.
A região para a qual o consumidor tem direito ao frete gratuito corresponde a um disco de raio 25km
centrado na origem (depósito), isto é,
X2  Y2  252  X2  Y2  625.
Em consequência, para X  20km, tem-se que
202  Y2  625  Y  15km.
Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto
em sua residência é igual a 15km.
Por outro lado, sabendo que o consumidor mora no ponto (20,  x), e que a distância desse ponto ao
depósito é dada por
400  x2 , segue que a resposta é
C(x)  20  ( 400  x 2  25),
com x  15km.
2
3) Considere a circunferência que passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta que passa pelo centro
dessa circunferência, qual a equação das retas tangentes a essa circunferência, que passam pelo ponto
(3,  2),
Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro).
04 60
C
,
 C   2,3 
2 
 2
Cálculo do raio da circunferência.
r
(4  0)2  (6  0)2 2 13

 13
2
2
Equação da reta tangente à circunferência.
y  2  m  x  3   mx  y  3m  2  0
Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o raio, podemos escrever:
2m  3  3m  2
2
m 1


 13  ( m  5)2  13 m2  1  12m2  10m  12  0  6m2  5m  6  0
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:
m
5  169
3
2
m
ou m  
26
2
3
Se m 
3
3
a equação da reta será dada por y  2   (x  3)  3x  2y  13  0
2
2
Se m  
2
2
a equação da reta será dada por y  2    (x  3)  2x  3y  0
3
3
3
4) A circunferência definida pela equação x2  y2  6 x 2y  6 está inscrita em um quadrado. Calcule a
medida da diagonal desse quadrado.
x2  y2  6 x 2y  6  x2  6x  9  y2  2y  1  6  1  9  (x  3)2  (y  1)2  16
Portanto, o centro da circunferência será o ponto (3,  1) e o raio será 4.
Considerando o quadrado a seguir circunscrito nessa circunferência de raio 4cm.
Portanto, a  2  4  8cm
E a diagonal d do quadrado será dada por:
d  a 2  8 2
5) Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência x2  y2  4 e à reta y  2(1  x), então calcule o valor
do cosseno do ângulo POQ .
Considerando que O é o centro da circunferência, iremos determinar os pontos P e Q através da
resolução do seguinte sistema:
 x 2  y 2  4

 y  2  (1  x)
Substituindo a segunda equação na primeira temos:
x 2   2  (1  x)  4  x 2  4  (1  2x  x 2 )  4  5x 2  8x  0  x  0 ou x 
2
Se x  0, então y  2
8
5
Se x  , então y  
6
5


Portanto, os pontos pedidos são P(0, 2) e Q  ,   .
5
5


Temos, então, a seguinte figura:
8
6
No triângulo OQM, temos:
6
3
5
cos α   .
2 5
3
5
Portanto, cos 180  α    .
4
8
5
6) Uma reta r de equação ax  by  c  0 tangencia a circunferência β de equação x2  y2  2x  6y  8  0 no
ponto P  ( 2, 0). Qual é o valor de a  b  c ?
Sendo as coordenadas do centro da circunferência C(α,β), pode-se escrever:
x 2  y 2  2x  6y  8  0
Ax 2  By 2  Cxy  Dx  Ey  F  0
D 2

α  2  2  α  1
C(α,β)  
C(1,3)
β  E  6  β  3

2 2
Assim, pode-se desenhar os gráficos das funções:
Pode-se escrever:
h2  m  n  22  2  n  n  2  Q(0, 2)
Logo, a reta r será do tipo:
y  x  2  x  y  2  0
Portanto, a  b  c  4.
5
7) Na figura tem-se a representação de λ, circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos
pontos A e B.
Se a equação de λ é x2  y2  8x  8y  16  0, então qual a área da região hachurada, em unidades de
superfície?
Determinando o centro e o raio da circunferência.
x2  y2  8x  8y  16  0  x2  8x  16  y2  8y  16  16  (x  4)2  (y  4)2  42
O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4.
Calculando a área do setor de 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos:
AS 
π  42
 4π
4
Calculando, agora, a área do triângulo ABC.
A ΔABC 
44
8
2
Portanto, a área do segmento circular pedida é:
A  A S  A ΔABC  A  4 π  8  A  4   π  2 
6
8) A circunferência de centro (8, 4) que tangencia externamente a circunferência x2  y2  4x  8y  16 possui
qual medida de raio?
Desenvolvendo a equação:
x2  y2  4x  8y  16  0  x2  4x  4  y2  8y  16  16  16  4  (x  2)2  (x  4)2  36, temos então
uma circunferência de centro C(2,  4) e raio R  6.
O raio r será a diferença entre a distância entre os centros P(8, 4) e C(2,  4) e o raio R  6.
r  d(PC)  R
r  (8  2)2  (4  ( 4))2  6
Portanto,
r4
9) Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um
sistema de coordenadas cartesianas. A equação da circunferência externa é obtida e tem a forma
x2  y2  8x  8y  7  0. A distância da circunferência interna para a externa é de 2,5 cm. O furo interno,
que está no meio da arruela, tem qual área?
Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos:
x2  y2  8x  8y  7  0  x2  8x  16  y2  8y  16  7  16  16  (x  4)2  (y  4)2  25
Portanto, o raio da circunferência externa é R  25  5.
5
2
Logo, o raio da circunferência interna é 5  2,5  2,5  .
A área do furo interno será dada por:
2
25  π
5
A  π  
cm2
4
2
7
10) A circunferência C tem equação x2  y2  16. Seja C' uma circunferência de raio 1 que se desloca
tangenciando internamente a circunferência C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C'
rola internamente sobre C.
Define-se o ponto P sobre C' de forma que no início do movimento de C' o ponto P coincide com o ponto de
tangência (4,0), conforme figura a. Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e a reta que une o
centro das circunferências é α, conforme figura b.
a) Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C' em função do ângulo α.
b) Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto P quando α varia no
intervalo [0, 2π ).
a) Se a circunferência C’ deslocou-se α, então ela percorreu uma distância d igual a:
α
d
2 πR
2π
d
α  2π  4
 d  4α
2π
Pode-se escrever:
OP  OO'  O'P   3cos α,3sen α    3cos α, 3sen α  

 3cos α  4cos3 α  3cosα,3sen α  3sen α  4sen3α

Assim, P   x,y   4cos3 α, 4sen3 α

b) Da relação fundamental da trigonometria, tem-se:
sen2α  cos2 α  1
2
2
2
2
 x
 y
3
 3    3   1  x 3  y 3  16
4
4




8

11) Considere a circunferência C : (x  1)2  (y  3)2  9
a) Determine se o ponto A  (4,  3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C.
b) Encontre o(s) valor(es) de a para que a circunferência C e a reta y  ax possuam dois pontos em comum.
a) Considere f(x, y)  (x  1)2  (y  3)2  9. Logo, como f(4,  3)  (4  1)2  (3  3)2  9  0, segue que o
ponto A pertence a C.
b) Para que a circunferência C e a reta y  ax sejam secantes, a equação
(x  1)2  (ax  3)2  9  (a2  1)x2  (6a  2)x  1  0
deve possuir duas raízes reais e distintas, isto é, seu discriminante deve ser positivo. Logo, temos
3

(6a  2)2  4  (a2  1)  1  0  a   a    0

4
3
 a  0 ou a  .
4
9
12) Considere as circunferências
1 : x 2  u2  8x  4y  20
e
 2 : x 2  y 2  2x  8y  8.
O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades:
a) o lado AB coincide com a corda comum a 1 e  2 ;
b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante;
c) o vértice C pertence a 1 e a reta que contém AC é tangente a  2 .
Determine as coordenadas do vértice C.
A circunferência de equação x2  y2  8x  4y  20 possui centro no ponto C1(4,  2) e a circunferência de
equação x2  y2  2x  8y  8 possui centro no ponto C2 (1, 4).
Determinando os pontos A e B (pertencente ao primeiro quadrante) onde as circunferências se
intersectam, temos o seguinte sistema.
2
2
Subtraindo as equações obtemos que:

 x  y  8x  4y  20
x  2y  2.
 2
2

 x  y  2x  8y  8
Substituindo o resultado acima na segunda equação
do sistema, obtemos:
5y2  20y  0.
Resolvendo a equação, temos:
y  0  x  2  A( 2, 0)
y  4  x  6  B(6, 4) (pertencente ao primeiro quadrante)
Temos então a seguinte figura:
Calculando o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e C1,
temos:
40
4
 , portanto, o coeficiente angular da reta que passa
1  (2) 3
pelos pontos A e C será:
3
mAC   ;
4
mAC2 
Determinando agora, a equação da reta AC, temos:
3
y  0    (x  2)
4
Finalmente, resolvendo um sistema com as equações da reta que passa pelos pontos A e C da
circunferência de equação x2  y2  8x  4y  20, encontraremos as coordenadas do ponto C.
Resolvendo o sistema temos os seguintes pontos:
3

y    (x  2)

4

 x 2  y 2  8x  4y  20

 38 36 
( 2, 0) e  ,  
5 
 5

Como o ponto ( 2, 0) já é o ponto A, concluímos que o ponto C é  , 
5
 5
38
10
36 
.

13) Suponha que os pontos A(0, 0), B(3, 3 3) e C(9, 3 3) representam três torres de observação ao longo de
um anel viário circular, representado pelo círculo λ centrado no ponto P(6, 0).
Uma nova torre será construída nesse anel, localizada num ponto D de modo que CD é um diâmetro do círculo
λ. .
Essas torres determinam um quadrilátero ABCD inscrito no circulo λ e, de cada torre, é possível enxergar as
outras três torres segundo um ângulo de visão (ângulo interno do quadrilátero).
Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar:
a) As coordenadas cartesianas do ponto que representa a torre D.
b) Os valores, em graus, dos ângulos de visão DAB, ABC, BCD e CDA.
a) Teremos:
xD  9
 6  xD  3
2
yD  3 3
 0  y D  3 3
2
Portanto, o ponto D será dado por D(3, 3 3).
b) Teremos:
tg
α 3 3
α

  60  α  120 e β  30
2
3
2
Observando que as retas AB e CD são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente angular:
m AB 
3 3 0
 3
30
m CD 
3 3 3 3
 3
93
DAB  120
ABC  90  30  120
BCD  180  120  60
CDA  180  120  60
11
14) Alice comprou um terreno de forma triangular e solicitou a um engenheiro civil que fizesse a planta da casa
a ser construída, incluindo um gazebo e uma piscina na área de lazer. A proposta do engenheiro foi construir
a casa em formato de L, um gazebo de forma trapezoidal e uma piscina com formato circular.
Considere a seguir, no plano cartesiano, a planta feita pelo engenheiro, na qual constam o esboço do terreno, da
localização da casa, do gazebo e da piscina.
a) Determine a área representada pela região triangular ABC, em m2 , ocupada pelo terreno.
b) Considerando que o ponto L pertence à circunferência do círculo de centro K e que é o ponto de interseção
das retas t e s, em que t é a reta determinada pelos pontos P e O e s é a reta determinada pelos pontos E e
K, determine a equação reduzida da circunferência de centro K, que representa a piscina no plano cartesiano.
a) A área do triângulo ABC é igual a
(ABC) 
1 0 1 32 0

2 2 24 20 2
1
 | 20  64  2  768 |
2
1
  686
2

 343 m2 .
b) A equação da reta t é dada por
y  12 
14  12
 (x  14)  y  x  2.
16  14
A equação da reta s é
y  12 
20  12
 (x  10)  y   x  22.
2  10
Assim, como L é o ponto de interseção de t e s, tem-se que L é a solução do sistema formado pelas
equações dessas retas. Resolvendo o sistema, encontramos L  (12, 10).
Portanto, a equação pedida é dada por
(x  10)2  (y  12)2  d2 (K, L)  (x  10)2  (y  12)2  ( (12  10)2  (10  12)2 )2
 (x  10)2  (y  12)2  8.
12
15) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o
cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras
desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do
sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam
estabelecimentos comerciais desse bairro.
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se
encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x2  y2  2x  4y  31  0.
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou
uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem
ouvir a rádio enquanto os outros não.
Quais estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio?
Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são:
A(5,4)
B( 3,1)
C(4,2)
D( 4, 3)
Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas
coordenadas na equação:
x 2  y 2  2x  4y  31  0
A  52  42  2  5  4  4  31  0  16  0  OK!
B  ( 3)2  12  2  ( 3)  4  1  31  0  19  0  OK!
C  42  22  2  4  4  2  31  0  27  0  OK!
D  ( 4)2  ( 3)2  2  ( 4)  4  ( 3)  31  0  14  0  FALSO!
13
16) No referencial cartesiano ortogonal usual, qual a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são
as interseções de cada uma das retas x  y  1  0 e x  y  1  0 com a circunferência x2  y2  25,
calculada com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano considerado?
Do enunciado deduz-se:
r1  y   x  1 (reta 1)
r2  y   x  1 (reta 2)
x2  y2  25  R  5 onde R é o raio da circunferência
Percebe-se que as retas são paralelas e distam
figura a seguir).
2 entre si, o que representa a largura do quadrilátero (ver
Para encontrar a área do quadrilátero formado pelos pontos de intersecção, é preciso determinar tais pontos.
Para isso basta substituir o valor de y na equação da circunferência. Nesse caso, como as retas são
paralelas e distanciam-se igualmente do centro da circunferência, utilizou-se o valor de y dado na reta 1,
porém poderia ter sido utilizado o valor da reta 2 obtendo-se os mesmos resultados.
x 2  (  x  1)2  25  0
x 2  x 2  2x  1  25  0
2x 2  2x  24  0
x 2  x  12  0
x1  4  y  3   4, 3 
x 2  3  y  4   3,4 
A representação gráfica pode ser vista na figura a seguir.
O comprimento do quadrilátero se dá pela distância entre as duas intersecções da reta 1. Assim, utilizandose a fórmula da distância entre dois pontos, têm-se:
14
d
 x 2  x1 2   y 2  y1 2
d
 ( 3)  4 2   4  ( 3) 2
d  ( 7)2  (7)2
d  98
A área S do quadrilátero, se dá pelo comprimento d multiplicado pela distância entre as retas. Ou seja:
S  98  2
S  196
S  14
Quanto à unidade de comprimento, esta pode ser qualquer uma (metro, centímetro, etc.). Como o
enunciado especifica como u.c ., logo a unidade de área será (u.c)2.
15