Aula 16 - Forma Mista de Dualidade

Programação Linear
Prof°. Moretti
Aula 15 - Forma Mista de Dualidade
Relações entre o Dual e o Primal
Forma Mista da Dualidade:
Considere o primal dado por:
Min z p = c 1 x1 + c 2 x 2 + c 3 x 3
sa
A11 x 1 + A12 x 2 + A13 x 3 ≥ b1
A21 x 1 + A22 x 2 + A23 x 3 ≤ b2
A31 x 1 + A32 x 2 + A33 x 3 = b3
x1 ≥ 0
x2 ≤ 0
x 3 irrestrito em sinal
Vamos colocar o problema na forma canônica:
Min z p = c 1 x 1 − c 2 x 2' + c 3 x 3' − c 3 x 3''
sa
A11 x 1 − A12 x 2' + A13 x 3' − A13 x 3'' ≥
b1
− A21 x 1 + A22 x 2' − A23 x 3' + A23 x 3'' ≥ − b2
A31 x 1 − A32 x 2' + A33 x 3' − A33 x 3'' ≥ b 3
− A31 x 1 + A32 x 2' − A33 x 3' + A33 x 3'' ≥ − b3
x 1 , x 2' , x 3' , x 3'' ≥ 0
As variáveis duais serão dadas por w1 , − w 2 , w '3 e w '3' e o problema dual
torna-se:
Max z d = b1t w1 − b2t w '2 + b3t w '3 − b3t w '3'
sa
t
t
t
t
A11
w1 − A 21
w '2 + A 31
w '3 − A 31
w '3' ≤
c1
− A w1 + A w − A w + A w ≤ − c 2
t
12
t
22
'
2
t
32
'
3
t
32
''
3
t
t
t
t
A13
w1 − A 23
w '2 + A 33
w '3 − A 33
w '3' ≤ c 3
t
t
t
t
− A13
w1 + A 23
w '2 − A 33
w '3 + A 33
w '3' ≤ − c 3
w1 , w '2 , w '3 , w '3' ≥ 0
Fazendo w 2 = − w '2 e w 3 = w '3 − w '3' , temos:
Max z d = b1t w1 + b2t w 2 + b3t w 3
sa
t
t
t
A11
w1 + A 21
w 2 + A 31
w 3 ≤ c1
t
t
t
A12
w1 + A 22
w 2 + A 32
w 3 ≥ c2
t
t
t
A13
w1 + A 23
w 2 + A 33
w 3 ≤ c3
w1 ≥ 0
w2 ≤ 0
w 3 irrestrito em sinal
restrições
≤ 0
irrestrito
≥
≤
=
=
≥
≤
irrestrito
variáveis
≥ 0
Max
restrições
variáveis
Min
≤
≥
Tabela: Primal x Dual
Relações entre Primal e Dual
1) Entre funções objetivos.
Sejam x 0 e w 0 duas soluções factíveis quaisquer para o primal e dual,
respectivamente.
Então temos: Ax 0 ≥ b
A w0 ≤ c
t
x0 ≥ 0
w0 ≥ 0
(1 )
(2)
Pré-multiplicando ( 1 ) por w 0 e pós-multiplicando ( 2 ) por x 0 , temos:
w 0 Ax 0 ≥ w 0 b
e w 0 Ax 0 ≤ c t x 0
de onde tiramos: b t w 0 ≤ w 0 Ax 0 ≤ c t x 0 , que é chamada "Propriedade Fraca
da Dualidade".
Corolário 1: Se x 0 e w 0 são duas soluções factíveis quaisquer para o
primal e o dual respectivamente, e c t x 0 = b t w 0 , então temos
que são soluções ótimas para os seus respectivos problemas.
Prova: Seja x uma solução factível qualquer para o problema primal
(minimização). Pela Propriedade Fraca da Dualidade, temos que
c t x ≥ bt w 0 = c t x 0 .
Como x é uma solução factível qualquer, temos que x 0 é solução
ótima para o primal.
Corolário 2: Se um dos problemas ( primal ou dual ) tem z → ± ∞ então o
outro problema não tem solução factível.
Prova: Considere as seguintes equações básicas do problema primal:


j = m +1


 ( P)
n
x i + ∑ y ij x j = bi , i = 1, ..., m

j = m +1

xj ≥ 0
, j = 1, ..., n 
Min z p = z p −
sa
∑(z
n
j
− c j )x j
onde (s.p.g) as VNB são as variáveis x m +1 , x m + 2 , ..., x n .
(z
Suponha que a VNB x m +1 seja candidata a entrar na base, i.e.,
m +1
− c m +1 ) > 0 e suponha que y m +1 ≤ 0 , isto é, o primal é ilimitado.
O dual de ( P ) é:
m
Max z d =
∑b w
sa
wi ≤ 0
i =1
i
m
∑y
i =1
ij
i
, i = 1, ..., m
w i ≤ − ( z j − c j ) , j = ( m + 1), ..., n
wi ≤ 0
Mas, as restrições
, i = 1,..., m com
y
w ≤ −(z
− c ) ⇒ Inconsistente
∑1
23 { 1442443
m
i =1
i , m +1
i
≤0
≤0
14
24
3
m +1
m +1
<0
≥0
Portanto, o dual é infactível.
Observação: Esta propriedade não é simétrica, isto é, a infactibilidade de um
problema não implica necessariamente que z → ± ∞ no outro problema ( quer
dizer, ele poder ser infactível também).
Exercício: Verifique esta observação no problema abaixo:
Min z p = − x1 − x 2
sa
x1 − x 2 ≥ 1
− x1 + x 2 ≥ 1
x1 , x 2 ≥ 0
Lema: Se um dos problemas possui uma solução ótima, então ambos
problemas possuem soluções ótimas e c t x ∗ = b t w ∗ .