Dualidade

Dualidade
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Outubro - 2009
O problema Dual
Certas vezes estamos interessados
em encontrar uma estimativa da
solução ótima em vez de encontrá-la,
utilizando o método Simplex. Isto
pode ser obtido através da procura de
valores limites inferiores (para
maximização) ou superiores (para
minimização).
O problema Dual
Por exemplo:
Por tentativa podemos estabelecer soluções
viáveis para os problemas a seguir:
O problema Dual
Min Z = 5x1 - 2x2
Sujeito a:
x1 ≤ 3
x2 ≤ 4
x1 + 2x2 ≤ 9
x1≥ 0 e x 2 ≥ 0
Max Z = 5x1 + 2x2
Sujeito a:
x1 ≤ 3
x2 ≤ 4
x1 + 2x2 ≤ 9
x1≥ 0 e x 2 ≥ 0
solução (2,2) Z* ≤ 6
solução (1,3) Z* ≤ -1
solução (3,2) Z* ≤ 11
solução (2,2) Z* ≥ 14
solução (1,3) Z* ≥ 11
solução (3,2) Z* ≥ 19
O problema Dual
No
caso
maximização,
quando
consideramos x1 = 2 e x2=2, o valor do
limite
inferior,
Z
=
14,
fica
automaticamente estabelecido, já que,
como desejamos maximizar a função
objetivo, podemos garantir que a função
objetivo não ficará abaixo deste valor.
Não podemos garantir se existe uma
solução com um valor maior, porém
menor não será.
O problema Dual
No caso da minimização, quando x1 = 2 e x2
= 2, o valor do limite superior, Z = 6, fica
estabelecido.
Não podemos garantir que existe uma
solução onde o valor de Z seja menor, porém
maior não será.
O problema Dual
O ideal seria estabelecer um intervalo onde
podéssemos garantir que o nosso valor ótimo
estivesse.
Então vamos através do problema de
maximização tentar estabelecer um limite
superior para a nossa solução.
O problema Dual
Max Z = 5x1 + 2x2
Sujeito a:
x1 ≤ 3
x2 ≤ 4
x1 + 2x2 ≤ 9
x1≥ 0 e x2 ≥ 0
Se multiplicarmos por 5 todos os valores da
3ª restrição, não alteraríamos a sua
identidade e teriamos:
O problema Dual
5x1 + 10x2 ≤ 45
Como os coeficiente da restrição acima são
maiores que os coeficientes da função
objetivo então
5x1 + 2x2 ≤ 5x1 + 10x2 ≤ 45
Logo a função objetivo não poderá alcançar
nenhum valor superior a 45
O problema Dual
Conclusão 1:
a multiplicação de uma restrição por um valor
positivo pode nos ajudar a obter um limite
superior para o nosso problema
O problema Dual
Agora multiplicando a primeira restrição por 6 e a
segunda por 3, e somando os resultados.
6x1 ≤ 18
+ 3x2 ≤ 12
6x1 + 3x2 ≤ 30
Novamente os coeficiente da restrição acima são
maiores que os coeficientes da função objetivo então
5x1 + 2x2 ≤ 6x1 + 3x2 ≤ 30
Logo a função objetivo não poderá alcançar nenhum
valor superior a 30 (novo limite superior)
O problema Dual
Conclusão 2:
Multiplicar cada restrição por uma constante
inteira positiva e somar as novas restrições
pode nos ajudar a obter um limite superior
para o nosso problema
O problema Dual
Generalizando temos:
Max Z = 5x1 + 2x2
Sujeito a:
x1 ≤ 3
x (y1)  y1x1≤ 3y1
x2 ≤ 4
x (y2)  y2x2≤ 4y2
x1 + 2x2 ≤ 9
x (y3)  y3x1 + 2y3x2 ≤ 9y3
x1≥ 0 e x2 ≥ 0
Após multiplicarmos cada restrição por uma
constante positiva, somamos as restrições:
O problema Dual
y1x1 +y2x2 + y3x1 + 2y3x2 ≤ 3y1 +4y2 + 9y3
(y1 + y3)x1 +(y2 + 2y3)x2 ≤ 3y1 +4y2 + 9y3
Como devemos garantir que os coeficientes
da restrição acima são maiores que o
coeficientes da função objetivo, então
temos:
Z = 5x1 + 2x2
Logo:
y1 + y3 ≥ 5
y2 + 2y3 ≥ 2
O problema Dual
Portanto, se encontrarmos um conjunto de
valores {y1, y2, y3} (constantes não
negativos) que satisfaçam o conjunto de
inequações acima, poderíamos substituir estes
valores no lado esquerdo da inequação e
estabelecer um limite superior para o nosso
problema.
O que desejamos na realidade é estabelecer o
menor valor possível para o nosso limite
superior. Isto matematicamente pode ser
representado por:
O problema Dual
Min 3y1 +4y2 + 9y3
S.a: y1 + y3 ≥ 5
y2 + 2y3 ≥ 2
y1, y2 , y3 ≥ 0
O problema Dual
De modo geral, podemos dizer que a todo
problema de maximização de programação
linear na forma padrão corresponde um
problema de minimização denominado
Problema Dual
PRIMAL
DUAL
Max Z = 5x1 + 2x2
Sujeito a:
x1 ≤ 3
x2 ≤ 4
x1 + 2x2 ≤ 9
x1≥ 0 e x2 ≥ 0
Min 3y1 +4y2 + 9y3
S.a: y1 + y3 ≥
5
y2 + 2y3 ≥ 2
y1, y2 , y3 ≥ 0
O problema Dual
De uma forma geral:
Primal
Dual
n
Max
c x
j 1
j
j
Min
m
b y
i 1
n
i
i
s.a :  aij xi  bi
s.a :  aij yi  c j
xj  0
yi  0
(i  1,2,..., m)
(i  1,2,..., m)
j 1
( j  1,2,..., n)
m
i 1
( j  1,2,..., n)
O problema Dual






Existe uma série de relações entre o Primal e o Dual,
entre as quais podemos citar:
Os termos constantes da restrições do Dual são os
coeficientes das variáveis da função objetivo do Primal;
Os coeficientes das variáveis da função objetivo do Dual
são os termos constantes das restrições do Primal;
As restrições do Dual são do tipo maior ou igual, ao
passo que as do Primal são do tipo menor ou igual (na
forma padrão);
O número de variáveis do Dual é igual ao número de
restrições do Primal;
O número de restrições do Dual é igual ao número de
variáveis do Primal
A matriz dos coeficientes do Dual é a transposta da
matriz dos coeficientes do Primal
O problema Dual
Existem algumas razões parra o estudo
dos problemas duais. A primeira e mais
importante são as interpretações econômicas
que podemos obter dos valores das varáveis
do Dual na solução ótima, tais como variações
marginais. A segunda está ligada ao número
de restrições. Computacionalmente falando é,
algumas vezes, mais eficiente resolver o
problema Dual.
O problema Dual

Teorema I
O dual do dual é o primal.

Teorema II
Se a k-ésima restrição do primal é uma igualdade,
então a k-ésima variável do dual (yk) é sem restrição
de sinal, isto é, pode ter valor positivo, zero ou
negativo.

Teorema III
Se a p-ésima variável do primal é sem restrição de
sinal, então a p-ésima restrição do dual é uma
igualdade.
O problema Dual

Propriedade Fraca da Dualidade
Se o problema Primal e o Dual tiverem soluções
compatíveis finitas, então Z ≤ D para qualquer
solução compatível do Primal e qualquer solução
compatível do Dual.
Matematicamente
n
m
j 1
i 1
Z   c j x j   bi yi  D
O problema Dual
Propriedade Forte da Dualidade
Se tanto o Primal quanto o Dual tiverem soluções
compatíveis finitas, então existe uma solução
ótima finita para cada um dos problemas, tal que
Z* = D*
Matematicamente

n
m
j 1
i 1
Z *   c j x j *   bi yi *  D *
O problema Dual
Teorema da Dualidade
Dual
Primal
Tem Soluções Viáveis
Ótima
Sem
Soluções
Viáveis
Ilimitada Inviável
Tem
Ótima
Possível
Impossível Impossível
Soluções
Ilimitada Impossível Impossível Possível
Viáveis
Sem
Soluções Inviável
Viáveis
Impossível Possível
Possível
Exercício

Dado o problema abaixo, ache o seu dual e
resolva o dual através do método tablausimplex (use o método da função objetivo
artificial).
Max Z = 5x1 + 6x2
sa: x1 + 2x2 ≤ 14
x1 + x 2 ≤ 9
7x1 + 4x2 ≤ 56
x1 e x 2 ≥ 0
Referências

LACHTERMACHER,
G.
Pesquisa
Operacional na Tomada de Decisões:
modelagem em Excel. São Paulo: Campus,
2006.