Identificaç˜ao (a preencher pelo aluno) Classificaç˜oes (a preencher
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Instituto Superior Técnico Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores (LEIC-A, LEIC-pB) Álgebra Linear 2006/2007 Primeiro exame e segundo teste, 4 de Janeiro de 2007 Duração do teste: 1 hora e 30 minutos Duração do exame: 3 horas Identificação (a preencher pelo aluno) Número: Nome: Classificações (a preencher pelos docentes) Grupo I: Alı́nea 1 2 3 4 5 6a 6b 7 8 9 Classificação Grupo II: Alı́nea 1 2a 2b 2c TOTAL: Classificação Rubrica do docente: Respostas (a preencher pelo aluno) Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea Grupo Pergunta Alı́nea IST, LEIC, Álgebra Linear, Exame 1 + Teste 2, 4/1/2007 Grupo I (17 valores) Perguntas do segundo teste: 6 a 9 Perguntas do primeiro exame: todas 1 1 2 0 Para cada α ∈ R seja A(α) = 1 1 1 e seja ainda Y = 1 . α α 1 1 1. Determine os valores de α para os quais o sistema A(α) X = Y é possı́vel. 2. Determine uma base do espaço linear das matrizes coluna B para as quais o sistema A(1/2) X = B é possı́vel. Diga também que nome se dá usualmente a este espaço. 3. Determine uma base do espaço das linhas de A(1/2) . 4. Determine uma base do núcleo de A(1/2) . 5. Seja T : P2 → P2 a transformação linear (onde P2 é o espaço linear real dos polinómios de coeficientes reais com grau menor ou igual a 2) cuja matriz em relação à base ordenada (1, 1 + x, 1 + x + x2 ) é A(0) . Diga qual é o valor atribuı́do por T ao polinómio 1 + x. 6. a) Calcule os valores próprios de A(0) , indicando as respectivas multiplicidades algébricas e geométricas. b) Diga, justificando, se A(0) é diagonalizável e em caso afirmativo obtenha uma base de R3 constituı́da por vectores próprios de A(0) . 7. Diga, justificando, se a função ϕ : R3 × R3 → R definida por y1 ϕ(x, y) = x1 x2 x3 A(0) y2 y3 é um produto interno em R3 . 8. No espaço vectorial real P2 considere o produto interno definido por ha2 x2 + a1 x + a0 , b2 x2 + b1 x + b0 i = a2 b2 + a1 b1 + a0 b0 e calcule, em relação a este produto interno, a norma do polinómio p(x) = x + 3x2 e o ângulo que p(x) faz com o polinómio q(x) = 1 + 2x. 9. Seja V o subespaço vectorial de R3 gerado pelos vectores (1, 2, 1) e (0, 1, 2). Obtenha uma base ortonormal de V (em relação ao produto interno usual). Grupo II (3 valores) Perguntas do segundo teste: 2 Perguntas do primeiro exame: todas 1. Seja V um espaço linear de dimensão n sobre um corpo K. Mostre que V 2 é um espaço linear sobre K e que dim(V 2 ) = 2n. 2. Seja ϕ : Rn ×Rn → R uma forma bilinear sobre Rn definida pela matriz M: y1 ϕ(x, y) = x1 · · · xn M ... yn a) Mostre que ϕ é uma forma alternante se e só se M é uma matriz anti-simétrica (i.e., M T = −M ). b) Mostre que se ϕ for alternante se tem ϕ(x, y) = n X i−1 X i=2 j=1 xi xj mij yi yj c) Mostre que o conjunto das formas bilineares alternantes sobre Rn é um espaço vectorial real e calcule a dimensão e uma base deste espaço.
