Geometria Plana II

1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
A área de um triângulo é dada pela fórmula:
BASE × ALTURA
2
Geometria Plana II
Aqui é importante saber que qualquer lado
do triângulo pode ser tomado como base, desde
que se utilize a altura relativa ao respectivo lado
na aplicação da fórmula.
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
Geometria Plana II
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
1.Área do triângulo
2.Área do paralelogramo
3.Área dos paralelogramos notáveis
4.Área do trapézio
5.Área de um quadrilátero qualquer
6.Área do círculo e suas partes
A área de um triângulo não depende do lado
que escolhemos como base.
7.Áreas das figuras semelhantes
S∆ =
a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc
=
=
2
2
2
5
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
1. Área do triângulo
Vamos apresentar as formas de calcular a
área de um triângulo considerando três
possibilidades: (a) Área de um triângulo em função
de um lado e da altura relativa a ele; (b) Área do
triângulo em função de dois lados e do ângulo
compreendido e (c) Área do triângulo em função
dos lados (fórmula de Herão).
A área de um triângulo não depende do lado
que escolhemos como base.
S∆ =
3
a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc
=
=
2
2
2
6
1
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
Os
⌢ ⌢triângulos AHC e BIC são semelhantes,
pois H = I = 90o e ∢C é um ângulo comum aos
dois triângulos. Assim,
A área de um triângulo não depende do lado
que escolhemos como base.
S∆ =
a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc
=
=
2
2
2
7
BC
BI
a h
=
⇒ = b ⇒ a ⋅ ha = b ⋅ hb
AC AH
b ha
10
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
Logo,
a ⋅ ha b ⋅ hb
=
2
2
(1)
De forma análoga, demonstra-se que:
a ⋅ ha c ⋅ hc
=
2
2
Esta propriedade é demonstrada com o
auxílio da semelhança de triângulos, traçando as
alturas ha e hb de um triângulo ABC.
(2)
E de (1) e (2), conclui-se que:
a ⋅ ha b ⋅ hb c ⋅ hc
=
=
2
2
2
11
8
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
Exercício 1: Seja ABC um triângulo isósceles em
que AB = AC = 13 cm e BC = 10 cm.
Calcular:
a) a área desse triângulo;
b) a altura relativa ao lado AC.
Nesta figura, vamos destacar os triângulos
AHC e BIC.
9
12
2
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
Resolução:
Exercício 2: Seja P um ponto interno qualquer de
um triângulo equilátero. Demonstrar que a soma
das distâncias de P aos lados desse triângulo é
igual à sua altura.
a) Para o cálculo da área, convém utilizar o lado BC
como base, já que a altura relativa a ele é também
mediana e, por isso, pode ser facilmente calculada
pelo teorema de Pitágoras.
13
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
16
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
Do triângulo AHC, temos:
Resolução:
Observe a figura. P é um ponto interno
qualquer do triângulo equilátero ABC. Queremos
provar que: x + y + z = h.
h 2 + 52 = 132
h 2 = 169 − 25
h 2 = 144
h = 12 cm
Então, a área do triângulo é:
S △=
10 ⋅ 12
⇒ S△= 60 cm2
2
14
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
17
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
b) Como a área do triângulo é igual a 60 cm2,
temos:
Unindo o ponto P aos vértices do triângulo,
este fica decomposto nos triângulos PBC, PAC e
PAB. A soma das áreas desses três triângulos é
igual à área do triângulo ABC.
S∆PBC + S∆PAC + S∆PAB = S∆ABC
13 ⋅ hc
120
= 60 ⇒ hc =
cm
2
13
l ⋅ x l ⋅y l ⋅Z l ⋅h
+
+
=
2
2
2
2
l
l
( x + y + z) = ⋅ h
2
2
x+y +z=h
15
18
3
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
Exercício 3: Calcule a área do triângulo ABC da
figura abaixo.
Considere um triângulo ABC qualquer e uma
de suas alturas. Por exemplo, a altura AH.
No triângulo retângulo ABH, temos:
19
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
⌢ h
⌢
sen B = ⇒ h = c ⋅ sen B
c
22
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
Exercício 4: Calcule a área de um triângulo
equilátero de lado l.
⌢
Substituindo h por c ⋅ sen B na fórmula da
área do triângulo ABC, obtemos
S∆ABC
⌢
a⋅h
a ⋅ c ⋅ sen B
=
⇒ S∆ABC =
2
2
20
1.1. Área do triângulo em
função de um lado e da altura
23
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
Exercício 5: Calcule x, sabendo que BC = 10 e
AC = 8.
Note que a última igualdade dá a área do triângulo
ABC em função dos lados a e c e do ângulo B, compreendido
entre esses dois lados. De modo análogo, demonstra-se que
essa fórmula se aplica a quaisquer dois lados do triângulo.
21
⌢
⌢
⌢
b ⋅ c ⋅ sen A a ⋅ c ⋅ sen B a ⋅ b ⋅ sen C
S∆ =
=
=
2
2
2
24
4
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
Exercício 6: Calcular a área do triângulo da figura
abaixo.
Resolução:
Inicialmente observe que BM = 4 e que o
ângulo B é igual a 60o, pois o triângulo ABC é
equilátero. Por outro lado, note que a área S, do
quadrilátero AMNC, é igual à diferença das áreas
dos triângulos ABC e BMN.
25
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
28
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
Resolução:
S = S∆ABC − S∆BMN
6 ⋅ 6 ⋅ sen 60o 4 ⋅ 3 ⋅ sen 60o
−
2
2
3
3
S = 18 ⋅
− 6⋅
2
2
S =9 3 −3 3
S=
S=6 3
S△ =
8 ⋅ 10 ⋅ sen 45o
2
= 40 ⋅
= 20 2 cm2
2
2
26
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
29
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
Exercício 7: Na figura abaixo, ABC é um triângulo
equilátero de lado l = 6. Calcular a área do
quadrilátero AMNC, sabendo que AM = 2 e BN = 3.
Exercício 8: Na figura abaixo, ABC é um triângulo
equilátero de lado l = 4a e AK = BL = CM = a.
Calcule a área do triângulo KLM em função de a.
27
30
5
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
em
Exercício 9: Na figura abaixo,
sabe-se que DE // BC ,
⌢
AD = 4, DB = 2, AE = 6 e A = 45o. Calcule a área do
trapézio BDEC.
Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulos
AHB e AHC, temos:
c 2 = h2 + m2
(1)
b 2 = h2 + (a − m )2
b 2 = h2 + a 2 − 2am + m2
31
1.2. Área do triângulo em
função de dois lados e do ângulo
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
(2)
34
em
Exercício 10: Na figura seguinte, os triângulos
ABC e ECD são equiláteros. Se AB = 6 cm e
ED = 4 cm, calcule a área do quadrilátero ABDE.
Subtraindo membro a membro a igualdade
(1) da igualdade (2), vem:
b 2 − c 2 = a 2 − 2am
E isolando m nesta última igualdade, teremos:
m=
32
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
em
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
a2 − b 2 + c 2
2a
(3)
35
em
Agora, vamos substituir em (1) o valor de m
encontrado em (3).
 a2 − b2 + c 2 
c 2 = h2 + 

2a


c 2 = h2 +
Seja ABC um triângulo qualquer e AH a
altura relativa ao vértice A.
(a
2
− b2 + c 2
)
2
2
4a 2
(
)
= 4a c − ( a − b + c )
= ( 2ac ) − ( a − b + c )
2
4a 2c 2 = 4a 2 h2 + a2 − b2 + c 2
4a 2 h2
2
4a h
33
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
36
6
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
em
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
em
Como ah/2 é a área do triângulo ABC,
concluímos que:
Fatorando a diferença de quadrados do
segundo membro da última igualdade, temos:
4a 2 h2 = (2ac + a 2 − b 2 + c 2 ) ⋅ (2ac − a2 + b 2 − c 2 )
4a 2 h2 = (a2 + 2ac + c 2 − b 2 ) ⋅ (b 2 − a 2 + 2ac − c 2 )
4a 2 h2 = ((a2 + 2ac + c 2 ) − b2 ) ⋅ (b 2 − (a2 − 2ac + c 2 ))
4a 2 h2 = [(a + c )2 − b 2 )] ⋅ [( b2 − (a − c )2 ]
A área de um triângulo de lados a, b e c é
dada pela fórmula:
S∆ = p( p − a )( p − b )( p − c )
37
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
em
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
em
onde p é o semiperímetro do triângulo. Isto é,
Agora, vamos fatorar as diferenças de
quadrados que estão entre o colchetes.
p=
4a 2h 2 = (a + c + b ) ⋅ (a + c − b ) ⋅ ( b + a − c ) ⋅ ( b − a + c )
4a 2h 2 = (a + b + c ) ⋅ ( b + c − a ) ⋅ (a + c − b ) ⋅ (a + b − c )
40
(4)
a+b+c
2
Com esta fórmula, denominada fórmula de
Herão, podemos calcular a área de qualquer
Fazendo a + b + c = 2p, podemos representar
os demais fatores do 2o membro de (4) como
segue:
triângulo do qual conhecemos os lados.
b + c − a = a + b + c − 2a = 2p − 2a = 2( p − a)
2p
a + c − b = a + b + c − 2b = 2p − 2b = 2( p − b)
2p
a + b − c = a + b + c − 2c = 2p − 2c = 2( p − c )
38
41
2p
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
1.3. Área do
função dos lados
em
Então, podemos escrever a igualdade (4) da
segunda maneira:
triângulo
em
Exercício 11: Calcule a área de um triângulo de
lados a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.
4a 2h 2 = 2 p ⋅ 2( p − a ) ⋅ 2( p − b ) ⋅ 2( p − c )
4a 2h 2 = 16 p( p − a )( p − b )( p − c )
a 2 h2 = 4 p( p − a )( p − b )( p − c )
Logo,
ah = 2 p( p − a )( p − b )( p − c )
Ou ainda,
ah
= p( p − a )( p − b )( p − c )
2
39
42
7
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
em
1.4. Cálculo do raio
circunferência inscrita
da
Resolução:
Inicialmente, temos:
p=
a+b+c
5+6+7
⇒p=
⇒p=9
2
2
Então,
S△ = p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b ) ⋅ ( p − c )
S∆ = S∆BIC + S∆AIC + S∆AIB
S△ = 9 ⋅ (9 − 5) ⋅ (9 − 6) ⋅ (9 − 7)
S∆ =
ar br cr
+
+
2
2
2
(a + b + c )
S∆ =
⋅ r ⇒ S∆ = pr
2
S△ = 9 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
S△ = 6 6 cm2
1.3. Área do
função dos lados
triângulo
43
em
1.5. Cálculo do raio
circunferência circunscrita
46
da
Exercício 12: Na figura, o ponto P é equidistante
dos lados do triângulo. Calcule a distância de P a
cada um dos lados.
Da lei dos senos, temos:
⌢
a
a
⌢ = 2R ⇒ sen A =
2R
sen A
44
1.4. Cálculo do raio
circunferência inscrita
da
47
1.5. Cálculo do raio
circunferência circunscrita
Seja I o incentro de um triângulo ABC
qualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices do
triângulo, este fica decomposto nos triângulos
BIC, AIC e AIB.
da
Por outro lado, sabemos que a área do
triângulo ABC é dada por
S∆ =
45
⌢
bc sen A
2
48
8
1.5. Cálculo do raio
circunferência circunscrita
da
1.5. Cálculo do raio
circunferência circunscrita
da
Por outro lado,
abc
4R
5⋅ 6 ⋅7
6 6=
4R
4 6 ⋅ R = 35
S△ =
⌢
Substituindo sen A por a/2R nesta fórmula,
obtemos
R=
a
bc
2R ⇒ S = abc
S∆ =
∆
2
4R
35
4 6
⋅
6
6
35 6
R=
cm
24
49
1.5. Cálculo do raio
circunferência circunscrita
da
52
2. Área do paralelogramo
Exercício 13: Calcular os raios das circunferências
inscrita e circunscrita num triângulo de lados
a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.
A área de um paralelogramo qualquer é dada
pela fórmula:
BASE X ALTURA
50
1.5. Cálculo do raio
circunferência circunscrita
53
2. Área do paralelogramo
da
Resolução:
Calculando a área do triângulo pela fórmula
de Herão, obtemos:
S△ = 6 6 cm2
Então,
S△ = p ⋅ r
Do mesmo modo que ocorre com o triângulo,
também no paralelogramo qualquer lado pode ser
tomado como base. A altura será a distância desse
lado ao lado oposto.
6 6 = 9r
r=
2 6
cm
3
51
Sp = a ⋅ h = b ⋅ h '
54
9
3. Área
notáveis
dos
3. Área
notáveis
paralelogramos
Os paralelogramos notáveis são o retângulo,
o losango e o quadrado. Suas áreas também são
dadas pela fórmula base x altura.
dos
paralelogramos
Exercício 14: Na figura abaixo, ABCD é um
paralelogramo. Se a área do triângulo ABM é igual
a 10 cm2, qual é a área do paralelogramo?
Retângulo
Losango
Quadrado
SR = a ⋅ b
SL = l ⋅ h
SQ = a ⋅ a = a2
55
3. Área
notáveis
dos
58
3. Área
notáveis
paralelogramos
dos
paralelogramos
Exercício 15: Calcule a área do quadrado MNPQ
em função de a.
Porém, como as diagonais do losango são
perpendiculares, é possível expressar sua área em
função de suas diagonais.
Pelos vértices de um losango traçamos as
retas paralelas às diagonais, obtendo um retângulo
de lados congruentes a essas diagonais.
3. Área
notáveis
dos
56
59
3. Área
notáveis
paralelogramos
dos
paralelogramos
Exercício 16: M e N são os pontos médios dos
lados AB e BC de um quadrado ABCD. Se MN = 5,
calcule a área do quadrado.
Os lados e as diagonais do losango
decompõem o retângulo em 8 triângulos retângulos
congruentes, dos quais 4 formam o losango. Então,
a área do losango é a metade da área do retângulo.
Isto é, é o semiproduto das diagonais.
SL =
SR
D⋅d
⇒ SL =
2
2
57
60
10
3. Área
notáveis
dos
4. Área do trapézio
paralelogramos
Exercício 17: O perímetro de um losango é igual a
40 cm e sua diagonal maior é D = 16 cm. Calcule a
área desse losango.
A área de um trapézio qualquer é dada pela
fórmula:
(BASE MAIOR + BASE MENOR ) × ALTURA
2
61
3. Área
notáveis
dos
64
4. Área do trapézio
paralelogramos
Exercício 18: Um retângulo de área igual a
540 cm2 está inscrito num círculo e tem seus lados
proporcionais a 5 e 12. a) Calcule as medidas dos
lados do retângulo. B) Calcule o raio do círculo.
Essa fórmula pode ser facilmente obtida
decompondo o trapézio em dois triângulos por meio
de uma de suas diagonais.
ST = S∆ABD + S∆BCD
62
3. Área
notáveis
dos
ST =
ah bh
(a + b ) ⋅ h
+
⇒ ST =
2
2
2
65
5. Área de um quadrilátero
qualquer
paralelogramos
Exercício 19: Na figura abaixo, ABCD é um
retângulo, MN // AB , KL // BC , LDMO é um quadrado
e as áreas dos retângulos OLCN e OKAM são iguais
a 15 e 6, respectivamente. Se x + y = 7, calcule a
área do retângulo OKBN.
SQ = S1 + S2
SQ = S1 + S2 + S3 + S4
A área de um quadrilátero qualquer
geralmente é calculada decompondo-o em
triângulos, por meio de suas diagonais.
63
66
11
5. Área de um quadrilátero
qualquer
5. Área de um quadrilátero
qualquer
Exercício 20: Num trapézio de altura h = 5 cm a
base média mede 6 cm. Calcule a área desse
trapézio.
Exercício 23: Na figura, AB = AC = BC = 10 e
CD = 6. Calcule a área do quadrilátero ABCD.
67
5. Área de um quadrilátero
qualquer
70
5. Área de um quadrilátero
qualquer
Exercício 21: Na figura abaixo, M e N são os
pontos médios dos lados AD e BC do trapézio
ABCD. Calcule a área desse trapézio, sabendo que
a área do trapézio MABN é igual a 18.
Exercício 24: A figura seguinte mostra a planta de
um terreno. Para calcular a sua área o proprietário
dispõe das seguintes medidas.
a = 22 m b = 24 m c = 18 m α = 30o
β = 45o
68
5. Área de um quadrilátero
qualquer
71
6. Área de um círculo e de
suas partes
Exercício 22: Se BE // CD , calcule a área do trapézio BCDE.
A área de um círculo de raio r é dada pela
fórmula
SC = π r 2
69
72
12
6. Área de um círculo e de
suas partes
6.1. Área da coroa circular
Pi (π) é o número irracional que representa a
razão entre o comprimento de uma circunferência
e seu diâmetro. Assim sendo, sendo C o
comprimento de uma circunferência de diâmetro d,
então:
C
=π
d
A área da coroa circular é:
Scoroa = π R 2 − π r 2
Scoroa = π (R 2 − r 2 )
73
76
6.1. Área da coroa circular
6. Área de um círculo e de
suas partes
Exercício 25: Calcule a área do círculo inscrito
num triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm.
Ou, ainda,
C = d ⋅π
E como d = 2r, temos:
C = 2r ⋅ π ⇒ C = 2π r
77
74
6.1. Área da coroa circular
6.1. Área da coroa circular
Exercício 26: Calcule a área da coroa circular
limitada
pelas
circunferências
inscrita
e
circunscrita num mesmo quadrado de lado l = 4 cm.
Considere dois círculos concêntricos, isto é,
de mesmo centro, de raios R e r, R > r. Chama-se
coroa circular o conjunto de todos os pontos que
pertencem ao círculo maior e que não estão no
interior do círculo menor.
75
78
13
6.1. Área da coroa circular
6.2. Área do setor circular
Exercício 27: Qual é a razão entre as áreas dos
círculos inscrito e circunscrito num mesmo
triângulo equilátero?
Ver slides 66 e 67.
Aula: Geometria Plana I
isto é, estão sendo tomadas α partes de um total
de 360. Assim, como a área do círculo é igual a πr2,
a área desse setor será:
Ssetor =
79
6.2. Área do setor circular
α
360o
⋅πr 2
82
6.2. Área do setor circular
Se a medida α do ângulo do setor estiver
expressa em radianos, basta, na fórmula da área,
substituir 360o por 2π. Isto é, para α em radianos
Chama-se setor circular a intersecção de um
círculo qualquer com um ângulo também qualquer
que tenha seu vértice no centro do círculo.
O setor circular é uma fração do círculo.
Desse modo, para calcular a área de um setor
circular basta descobrir qual é a fração que ele
representa do círculo.
Ssetor =
80
6.2. Área do setor circular
α
αr 2
⋅ π r 2 ⇒ Ssetor =
2π
2
83
6.3. Área do segmento circular
Chama-se segmento circular qualquer uma
das partes em que um círculo fica dividido por uma
corda qualquer.
Suponha, então, que seja conhecida a medida
α, em graus, do ângulo que define o setor. Nesse
caso, perceba que a fração que ele representa do
círculo é:
α
360
o
81
A área de um segmento circular é calculada
a partir das áreas de um setor circular e de um
triângulo, segundo dois casos possíveis.
84
14
6.3. Área do segmento cir-
6.3. Área do segmento cir-
cular
cular
Resolução: Como o triângulo é equilátero, cada um
de seus ângulos mede 60o. Assim, a área S
procurada é igual à área do triângulo subtraída das
áreas de dois setores circulares de 60o.
S = S∆ABC − 2 ⋅ SSETOR
S=
1o Caso: O segmento circular não contém o centro
do círculo.
2 ⋅ 2 ⋅ sen 60o
60o
− 2.
.π .12
2
360o
S= 2⋅
Sseg = Ssetor − S∆AOB
3
1
− 2 ⋅ ⋅π
2
6
S= 3−
85
6.3. Área do segmento cir-
π
3
88
6.3. Área do segmento cir-
cular
cular
Exercício 29: ABCD é um quadrado de lado 2a. Os
arcos de circunferência têm centros em A e C.
Calcular a área da região indicada.
2o Caso: O segmento circular contém o centro do
círculo.
Sseg = Ssetor + S∆AOB
86
6.3. Área do segmento cir-
89
6.3. Área do segmento cir-
cular
cular
Exercício 28: Na figura abaixo, ABC é um
triângulo equilátero de lado l = 2. Os arcos de
circunferência têm centros em A e B e ambos têm
raio r = 1. Calcular a área da região indicada.
Resolução: A área procurada é o dobro da área S
do segmento circular da figura abaixo. Por sua vez,
a área desse segmento circular é igual à diferença
entre as áreas do setor circular de 90o e do
triângulo BCD.
S = SSETOR − S∆BCD
90o
2a ⋅ 2a
⋅ π ⋅ (2a )2 −
2
360o
1
2
2
S = ⋅ π ⋅ 4a − 2a
4
S = π a 2 − 2a 2
S=
S = a 2 (π − 2)
87
2S = 2a 2 (π − 2)
90
15
6.3. Área do segmento cir-
7. Áreas das figuras semelhantes
cular
Exercício 30: Na figura abaixo, ABC é um
triângulo equilátero de lado l = 4. As semicircunferências têm centros nos pontos médios dos
lados, são tangentes duas a duas e têm raios iguais.
Calcule a área da região indicada.
'
Se
∆ABC ∼ ∆A'B 'C '
com
a b c
h
= = = =…= k
a' b' c ' h'
então
S∆ABC
= k2
S∆A'B'C '
91
6.3. Área do segmento cir-
94
7. Áreas das figuras semelhantes
cular
Exercício 31: As três circunferências da figura
têm o mesmo raio r e são tangentes duas a duas.
Calcule a área da região indicada.
'
Por hipótese, temos:
Então,
a
=k
a'
e
h
=k
h'
ah
S∆ABC
S
ah
a h
= 2' ' = ' ' = ' ⋅ ' = k ⋅ k ⇒ ∆ABC = k 2
S∆A'B'C' a h
ah a h
S∆A'B'C '
2
92
7. Áreas das figuras semelhantes
95
7. Áreas das figuras semelhantes
'
Se dois triângulos são semelhantes e a razão
de semelhança entre eles é igual a k, então a razão
entre suas áreas é igual a k2.
Assim, se S e S’ são as áreas de dois
triângulos semelhantes, sendo k a razão de
semelhança, temos:
93
S
= k 2 ⇒ S = k 2 ⋅ S'
S'
96
16
7. Áreas das figuras semelhantes
7. Áreas das figuras semelhantes
Considere, agora, dois polígonos semelhantes
P e P’ quaisquer, e seja k a razão de semelhança
entre eles. Vamos provar que a razão entre as
áreas de P e P’ é igual a k2. Para tanto, observe que
os polígonos podem ser decompostos em pares de
triângulos semelhantes.
97
7. Áreas das figuras semelhantes
S1 + S2 + S3 + … = k 2 (S1' + S2 ' + S3 ' + …)
Logo,
S1 + S2 + S3 + …
= k2
S1' + S2 ' + S3 ' + …
100
7. Áreas das figuras semelhantes
( ABCD … ∼ A'B 'C 'D ' …) ⇒ ∆1 ∼ ∆1' , ∆ 2 ∼ ∆ 2 ' ,…
É de imediata verificação que a razão de
semelhança entre cada um desses pares de
triângulos semelhantes é igual a k. Representando
suas áreas por S1, S2, S3, … e S1’, S2’, S3’ …,
98
teremos:
7. Áreas das figuras semelhantes
A última igualdade mostra que a razão entre
as áreas dos polígonos é igual a k2.
101
7. Áreas das figuras semelhantes
Exercício 32: Os quadriláteros da figura abaixo
são semelhantes. Calcular os lados do quadrilátero
maior, sabendo que sua área é o dobro da área do
menor.
S1 = k 2 ⋅ S1'
S2 = k 2 ⋅ S2 '
S3 = k 2 ⋅ S3 '
⋮
Somando essas
membro, obtemos:
⋮
igualdades
membro
a
99
102
17
7. Áreas das figuras semelhantes
7. Áreas das figuras semelhantes
Resolução: Seja S a área do quadrilátero menor.
Então, a área do quadrilátero maior é igual a 2S e
como a razão entre suas áreas é k2, temos:
k2 =
x
3
y
4
u
7
v
6
2S
⇒ k2 = 2 ⇒ k = 2
S
Exercício 34: Os triângulos ABC e DEF da figura
são semelhantes. a) Calcule a razão de semelhança
e a razão entre as áreas desses dois triângulos. b)
Se a área do triângulo ABC é igual a S, qual é a
área do triângulo DEF?
= 2⇒x =3 2
= 2⇒y =4 2
= 2 ⇒u =7 2
= 2 ⇒v =6 2
103
7. Áreas das figuras semelhantes
106
7. Áreas das figuras semelhantes
Exercício 33: Na figura abaixo DE // BC . Calcular x
em função de h, sabendo que a área do trapézio
BDEC é o dobro da área do triângulo ADE.
Exercício 35: Na figura DE // BC . Calcule x em
função de h, sabendo que o triângulo ADE e o
trapézio BDEC são equivalentes.
104
107
7. Áreas das figuras semelhantes
Exercício 33: Como DE // BC , sabemos que os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Seja k a razão
de semelhança entre eles. Se a área do triângulo
ADE é S, a área do trapézio BDEC é igual a 2S e a
área do triângulo ABC é 2S + S = 3S. Logo,
S∆ADE
S
= k2 =
S∆ABC
3S
1
3
⇒k =
3
3
Assim,
k2 =
x
3
h 3
=
⇒x=
h
3
3
105
18