MÉTODOS ESTATÍSTICOS II 3a Prova Presencial

3a
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Prova Presencial - 1o. semestre de 2010
Profa. Ana Maria Farias
1. O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de 350 ml. Suponha que a linha de
produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo
[345, 355].
Solução
f (x) =
½
0, 1 se 345 < x < 355
0 se x ≤ 345 ou x ≥ 355
(a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo superior a 353 ml?
Solução
A probabilidade pedida éa área de um retângulo de base 355 − 353 = 2 e altura 0,1. Logo
P (X > 353) = 0, 2
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo inferior a 346 ml?
Solução
A probabilidade pedida éa área de um retângulo de base 346 − 345 = 1 e altura 0,1. Logo
P (X < 346) = 0, 1
(c) (0,5 ponto) O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de 4 ml do
conteúdo exibido na lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção?
Solução
As latas são aceitas se o o vulome do conteúdo estiver entre os limites 350 − 4 = 346
e 350 + 4 = 354.Esse é um intervalo de comprimento 8 e, portanto, a probabildiade de
aceitçãõ é 0,8. Logo, a proporção de latas rejeitadas é de 20%.
2. Um teste de aptidão para o exercício de uma certa profissão exige uma sequência de operações
a serem executadas rapidamente uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve
completá-lo em, no máximo, 80 minutos. Admita que o tempo, em minutos, para completar a
prova seja uma variável aleatória normal com média 90 minutos e desvio padrão 20 minutos.
(a) (0,5 ponto) Que porcentagem dos candidatos tem chance de ser aprovada?
Solução
Seja T o tempo de execução. Então, T ∼ N (90; 202 ).O problema pede
¶
µ
80 − 90
= Pr(Z < 0, 5) = Pr(Z > 0, 5)
Pr(T ≤ 80) = Pr Z ≤
20
= 0, 5 − tab(0, 5) = 0, 5 − 0, 1915 = 0, 3085
(b) (0,5 ponto) Os 5% melhores receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo
para fazer jus a tal certificado?
Solução
1
Seja t0 o maior tempo que dá direito ao certificado. Queremos que
¶
µ
¶
µ
90 − t0
t0 − 90
= 0, 05 =⇒ Pr Z ≥
= 0, 05 =⇒
Pr(T ≤ t0 ) = 0, 05 =⇒ Pr Z ≤
20
20
µ
¶
90 − t0
90 − t0
tab
= 0, 45 =⇒
= 1, 64 =⇒ t0 = 57, 2 min
20
20
Consulte a tabela da distribuição t de student para responder às perguntas seguintes.
3. (a) (0,5 ponto) Na distribuição t(15) encontre a abscissa t15;0,05 .
Solução
Como o número de graus de liberdade é 15, temos que nos concentrar na linha correspondente a gl = 15. A abscissa t0,05 deixa área 0,05 acima dela; assim, temos que olhar a
coluna referente a α = 0, 05; Logo, t15;0,05 = 1, 753.
(b) (0,5 ponto) Na distribuição t(23) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(23)| > t) = 0, 05.
Solução
Usando as propriedades da função módulo, temos a seguinte equivalência:
Pr(|t(23)| > t) = 0, 05 ⇐⇒
Pr(t(23) < −t) + Pr(t(23) > t) = 0, 05
Pela simetria da densidade t, Pr(t(23) < −t) = Pr(t(23) > t). Substituindo:
Pr(t(23) > t) + Pr(t(23) > t) = 0, 05 ⇐⇒
Pr(t(23) > t) = 0, 025 ⇐⇒
t = 2, 069
Esse último valor foi encontrado na Tabela 2, consultando-se a linha correspondente a 23
graus de liberdade e coluna correspondente à área superior de 0,025.
(c) (0,5 ponto) Na distribuição t(12) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90.
Solução
Das propriedades da função módulo e da simetria da densidade t resultam as seguintes
equivalências
Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90 ⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90 ⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) < 0) + Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90 ⇐⇒
2 × Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90 ⇐⇒
Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 45 ⇐⇒
Pr(t(12) > t) = 0, 05 ⇐⇒
t = 1, 782
4. De uma população normal com desvio padrão 2, extrai-se uma amostra de tamanho 25 com o
objetivo de testar
H0 : μ = 8
H1 : μ > 8
2
(a) (0,5 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste unilateral: z0,05 = 1, 64 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X −8
√2
25
> 1, 64 ⇐⇒ X > 8 + 1.64 ×
2
= 8, 656
5
(b) (0,5 ponto) Se a média amostral é 8,8, estabeleça a conclusão.
Solução
O valor observado da estatística de teste é
8.8 − 8
2
5
= 2, 0 > 1, 64
Como o valor observado da estatística de teste ou da média está na região crítica (2, 0 >
1, 64 ou 8, 8 > 8, 656), devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as evidências amostrais
indicam que a média é maior que 8.
(c) (0,5 ponto) Calcule o valor P.
Solução
Como o valor observado da estatística é 2, 0 e o teste é unilateral, o valor P é
Pr(Z ≥ 2, 0) = 0, 5 − tab(2, 0) = 0.5 − 0.47725 = 0, 02275
e, portanto, rejeitamos a hipótese nula a qualquer nível de significância α ≥ 0, 02275 ( o
que inclui o nível de 5%). Em termos da média amostral:
Ã
!
8.8 − 8
= Pr(Z > 2, 0) = 0, 02275
Pr(X > 8, 8) = Pr Z >
2
5
(d) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade,
a média populacional for μ = 8, 2?
Solução
Se μ = 8, 2, decisão errada equivale a aceitar a hipótese nula. Essa probabilidade é
¶¸
µ
¶
µ
∙
8, 656 − 8, 2
4
= Pr Z ≤
= Pr(Z ≤ 1, 14) = 0, 37286
Pr X ≤ 8, 656 | X ∼ N 8, 2;
25
0.4
5. (a) (1,0 ponto) Qual deve ser o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo
de confiança de 90% para uma proporção populacional, se o erro máximo tolerável é de
8%?
Solução
1 − α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64
Como não temos qualquer informação, trabalhamos com o pior caso:
r
0, 5 × 0, 5
=⇒ n ≥ 106
0, 08 = 1, 64 ×
n
3
(b) (1,0 ponto) Refaça a questão anterior, sabendo que a proporção populacional é de, no
máximo, 30%.
Solução
1 − α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64
Com a informação dada, trabalhamos com o pior caso que é 0,30
r
0, 3 × 0, 7
=⇒ n ≥ 89
0, 08 = 1, 64 ×
n
6. (2,0 pontos) Uma indústria vende um repelente de insetos e alega ser o mesmo eficiente por
pelo menos 40 horas. Uma amostra de 9 tubos, tomados aleatoriamente, acusou uma média de
38 horas e desvio padrão de 6 horas. Com 5% de siginificância, teste a alegação do fabricante.
Certifique-se de explicitar todas etapas do procedimento de teste de hipótese, indicando as
hipóteses feitas.
Solução
Temos que supor que o tempo de atuação possa ser aproximado por uma distribuição normal
N (μ; σ 2 ). A alegação do fabricante é que μ ≥ 40.Logo, nossas hipóteses são
H0 : μ = 40
H1 : μ < 40
√ X −μ
∼ t(n − 1).Sob H0, o valor da estatística de teste é
n
S
√
38 − 40
t0 = 8 ×
= −0, 94281
6
A abscissa da distribuição t de Student com 7 graus de liberdade que deixa 5% na cauda
inferior é t7;0,95 = −1, 8946 e, portanto, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os dados
indicam que a alegação do fab ricante é verdadeira.
e a estatística de teste é T =
Resultados importantes e fórmulas
¡
¢
X ∼ N μ; σ 2 =⇒
⎧
X −μ
⎪
⎪
⎪
⎪
σ ∼ N (0; 1)
⎪
⎪
√
⎪
⎪
n
⎨
⎪
⎪
X −μ
⎪
⎪
∼ t(n − 1)
⎪
⎪
S
⎪
⎪
⎩ √
n
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = Pb ≈ N
¶
µ
p(1 − p)
p;
n
(amostra grande)
"
#
P
∙n
¸
n ¡
n
¢2
P 2
P
1
1 P
1
( Xi )2
2
2
S =
X − nX =
X −
Xi − X =
n − 1 i=1
n − 1 i=1 i
n − 1 i=1 i
n
2
4