Aula no. 06 - Educacional

Aula n.o 06
MATEMÁTICA
01. Um terreno tem o formato hexagonal da figura abaixo
lado. Estabelecido um sistema de coordenadas ortogonais, como é mostrado na figura determina-se as
medições dos pontos A, B, C, D e E em metros.
Pode-se afirmar que a área do terreno é
y(m)
D(0, 20)
–2x + y ≥ 0
C(10, 20)
E( 2, 10)
O(0, 0)
03. (UFF – RJ) – A Segunda Guerra Mundial motivou o
estudo de vários problemas logísticos relacionados
com o transporte e a distribuição de recursos. Muitos
destes problemas podem ser modelados como um
programa linear. Como um exemplo de programa
linear, considere o problema de encontrar o par
ordenado (x, y) que satisfaz simultaneamente as
condições
B(12, 10)
A(10, 0)
x(m)
x≥0
x – y ≥ –2
e cuja a soma das coordenadas x + y é máxima.
Se (x0, y0) é a solução deste programa linear, é correto afirmar que:
a) x0 + y0 = 7
b) x0 + y0 = 6
c) x0 + y0 = 8
d) x0 + y0 = 2
e) x0 + y0 = 0
a) 580 m2
b) 320 m2
c) 240 m2
d) 300 m2
e) 295 m2
02. (UFRJ – RJ) – Sejam a um número real positivo e S a
região do plano cartesiano dada por
S = {(x,y) ∈ IR2 x ≤ a; y ≥ – a; y ≤ x}
Considere, como de costume, que o quadrado
U = {(x,y) ∈ IR2 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}
Tem área de medida 1.
Determine o valor de a para que a medida da área da
região S seja igual a 18.
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04. (UFF – RJ) – A adição do biodiesel ao óleo diesel
promove pequenas modificações nas propriedades
do combustível as quais, apesar de causarem redução na quantidade de energia fornecida ao motor,
promovem um aumento na eficiência com que esta
energia é convertida em potência de saída.
O gráfico a seguir, representado por um segmento
de reta que une o ponto (30, – 8) à origem (0, 0),
apresenta a variação V da energia fornecida ao
motor com relação ao padrão diesel (em %) como
função da proporção P de adição de biodiesel na
mistura (em %).
V (em %)
05. (UFF – RJ) – Embora não compreendam plenamente as bases físicas da vida, os cientistas são
capazes de fazer previsões surpreendentes. Freeman J. Dyson, por exemplo, concluiu que a vida
eterna é de fato possível. Afirma que , no entanto,
para que tal fato se concretize o organismo inteligente precisaria reduzir a sua temperatura interna e
a sua velocidade de processamento de informações.
Considerando-se v a velocidade cognitiva (em pensamentos por segundo) e T a temperatura do organismo (em graus Kelvin), Dyson explicitou a relação
entre as variáveis x = logT e y = log v por meio do
gráfico abaixo:
y
x
30
P (em %)
5
2
Adaptado de Scientific American, Ano 5, Número 53, outubro de
2006
Assinale a única opção correta.
a) V((22) = [V(2)]2
b) V(2) < V(8)
c) V(8) = 4V(2)
V(8) – V(2)
15
d)
=–
8– 2
4
e) V(8) = V(2) . V(4)
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B (– 15, – 17)
Adaptado de O Destino da Vida, Scientific American Brasil,
nº 19, dez. 2003.
Sabendo-se que o gráfico da figura está contido em
5 
uma reta que passa pelos pontos A =  , 0  e
2 
B = (–15, –17), assinale a alternativa que contém a
equação que descreve a relação entre x e y.
34
17
a) y =
x–
35
7
5
b) y = x –
2
34
17
c) y =
x–
30
5
5
17
d) y = x –
2
5
34
5
e) y =
x+
35
2
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06. (IBMEC – SP) – Um agente secreto precisa escapar
de uma de suas investidas no trigésimo andar de um
prédio. Ele pretende fazer isso por meio de uma
corda pendurada num helicóptero que sobrevoa o
prédio a alguns metros de onde ele está. O objetivo
do agente é pendurar-se na extremidade inferior da
corda, balançar-se como um pêndulo até o topo do
prédio vizinho, por onde ele poderá escapar. A figura
abaixo ilustra as posições dos elementos envolvidos
nessa missão. O ponto A representa a posição do
helicóptero, o ponto B a posição inicial do agente, o
ponto C o topo do prédio vizinho (por onde ele pretende escapar) e a linha tracejada DE representa o
nível do chão. Considerando que o helicóptero não
irá se mover e que a corda é inextensível, ao saltar
de B, agarrado à extremidade inferior da corda, o
agente
a) irá bater no chão num ponto de abscissa negativa,
o que irá interromper seu movimento e impedi-lo
de chegar em C.
b) irá apenas encostar no chão num ponto de abscissa zero e, mesmo que isso não interrompa seu
movimento, ele atingirá uma altura menor do que
a de C quando a abscissa de sua posição for 3.
c) irá apenas encostar no chão num ponto de abscissa zero e, se isso não interromper seu movimento, ele atingirá precisamente o ponto C
quando a abscissa de sua posição for 3.
d) ficará acima do nível do chão em toda sua trajetória, mas quando a abscissa de sua posição for 3,
ele atingirá um ponto mais alto do que C.
e) ficará acima do nível do chão em toda sua trajetória e atingirá precisamente o ponto C quando a
abscissa de sua posição for 3.
y
A
–5 –4
–3 –2 –1
1
2
3
–1
4
x
–2
–3
B
07. (UFRJ) – Considere uma escada com infinitos
degraus, de alturas a1, a2, a3, ..., definidas conforme
a figura a seguir.
a3
a2
a
a1
b
c
b>c
Calcule a altura da escada em função de a, b e c.
08. (FGV – SP) – Uma empresa fabrica uma peça de
precisão em dois modelos A e B. O custo de produção de uma unidade de A é R$ 200,00 e o de B é
R$ 150,00. Por restrições de orçamento, a empresa
pode gastar por mês no máximo R$ 45.000,00. A
mão de obra disponível permite fabricar por mês no
máximo 250 peças. Seja x a quantidade produzida
por mês de A e y a de B. Represente graficamente
os possíveis valores de x e y. Admita, para simplificar, que x e y assumam valores reais não negativos.
Para que valor de x e y tem-se a produção máxima?
–4
C
–5
D
E
–6
–7
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09. (UnB – DF) – Os animais A e B, de duas espécies
distintas, coexistem em determinada planície. O animal A é predador de B, que, por sua vez, é herbívoro. Sobre essa planície, é posicionado um sistema
de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em
que as unidades são dadas em metros. No instante
t = 0, o animal B está na origem desse sistema, e o
animal A, sobre o eixo Oy, no ponto de coordenadas
(0, 240). Nesse instante, B detecta a presença de A
e foge sobre o eixo Ox, no sentido positivo, com velocidade constante vB = 10 m/s, sendo sua posição
descrita pelos pontos de coordenadas
(xB, 0) = (vB x t, 0), para t ≥ 0, dado em segundos. No
mesmo instante t = 0, o animal A parte em perseguição a B, sendo sua posição descrita pelos pontos de
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coordenadas (xB,
– 2). Com base nessas
1 + xB
informações, julgue os itens subsequentes.
I. O animal A alcançará B em 10 s.
II. Suponha que, em t = 0, um animal C, predador de
A, posicionado no ponto de coordenadas (0, 0),
parta, com velocidade constante vc, em direção a
um ponto em que possa capturar A, antes que
este capture B. Suponha, ainda, que a trajetória
de C seja retilínea e faça um ângulo α com o eixo
Ox, tal que tg α = 2. Nessa situação, para que C
capture A antes que A capture B, será necessário
que vc seja igual ou superior a 10 5 m/s. Podemos afirmar que:
a) Somente 1 é verdadeira.
b) I e II são verdadeiras.
c) Somente II é verdadeira.
d) As duas são falsas.
10. (FGV – SP) – A figura mostra uma semicircunferência de centro na origem. Se o ponto A é(– 2, 2),
então o ponto B é
y
B
A
x
O
a) (2, 2)
b) ( 2, 2)
c) (1, 5)
d) ( 5, 1)
e) (2, 5)
Gabarito
01. c
05. a
08. x = 150 e y = 100
02. a = 3
06. e
09. c
03. b
07. A altura da escada, em função
ab
de a, b e c, é
b–c
10. a
04. c
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