Aula 7 – Senado Federal

CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Aula 7 – Senado Federal
Proposições ................................................................................................................................... 2
Proposições simples e compostas ................................................................................................. 6
Modificador ................................................................................................................................... 6
Conjunção p ∧ q .......................................................................................................................... 7
Disjunção Inclusiva p ∨ q ............................................................................................................ 8
Condicional p → q ...................................................................................................................... 9
Bicondicional p ↔ q ................................................................................................................. 10
Argumentos ................................................................................................................................. 18
Condição suficiente e condição necessária ................................................................................. 27
Equivalências lógicas ................................................................................................................... 29
Negação das Proposições Usuais ................................................................................................ 34
Sentenças abertas, quantificadores ............................................................................................ 37
Relação das questões comentadas ............................................................................................. 44
Gabaritos ..................................................................................................................................... 54
1
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Proposições
O conceito de proposição é fundamental para o estudo de toda a lógica
formal.
Chama-se proposição, ou sentença, toda oração declarativa que pode ser
classificada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Letras são usualmente
utilizadas para denotar proposições. As letras convencionais para esse
propósito são p, q, r, s... O valor lógico de uma proposição verdadeira é
representado por V; e o de uma proposição falsa, por F.
Por sinal, esses são os únicos valores lógicos que existem na Lógica
Aristotélica.
São exemplos de proposições:
p : Todo recifense é pernambucano.
q : O Brasil está situado na Europa.
s : Existe vida fora da Terra.
A proposição p é verdadeira (V);
a proposição q é falsa (F);
e a proposição s não sabemos o seu valor lógico, mas ela, apesar de ainda não
sabermos classificá-la, possui um valor lógico V ou F, sendo, portanto, uma
proposição. Ou seja, nós não sabemos se existe ou não vida fora da Terra,
mas com certeza: existe ou não existe. Nós, humanos, é que somos ignorantes
e ainda não sabemos. Posso afirmar apenas uma coisa: “Existe vida fora da
Terra” é uma proposição verdadeira ou falsa – não há outra possibilidade.
Considere as frases:
1.
2.
3.
4.
Qual seu nome?
Leia isto atenciosamente.
X+1=2
Eu sou mentiroso.
As frases acima não são consideradas proposições lógicas. As frases 1 e 2
não são declarativas, são interrogativa e imperativa, respectivamente.
Imagine que a frase 3 seja uma proposição. Qual o seu valor lógico?
Depende!! Depende de que? Do valor de X. Se X for igual a 1, então ela é
verdadeira, caso contrário será falsa!! Portanto, não é verdadeira nem falsa,
pois não foi dado um valor para x (por isso, é chamada de sentença aberta
ou função proposicional).
2
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
A frase 4 não pode ser classificada em V ou F, pois teríamos um paradoxo.
Suponha que tenhamos imposto que seu valor lógico seja V. Seria um
absurdo, pois um mentiroso não declara verdade. Suponha agora que o seu
valor lógico seja F. Se é falso dizer que ele é um mentiroso, concluímos que
ele é veraz. Absurdo novamente, pois a proposição é falsa. A frase 4 não
pode ser verdadeira nem falsa, portanto não é uma proposição lógica.
01. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa
característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
Resolução
A frase I é exclamativa, portanto não é uma proposição lógica. A frase II não
possui verbo, não sendo assim uma proposição. A frase III é interrogativa e a
frase V é imperativa. Não são, portanto, proposições. Portanto a característica
comum entre as frases I, II, III e V é que elas não são proposições. A única
proposição é a frase IV, pois é uma oração declarativa, que podemos
classificar em V ou F, apesar de não sabermos o seu valor lógico.
Letra D
02. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem
sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que
se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças:
1. Tomara que chova!
2. Que horas são?
3. Três vezes dois são cinco.
4. Quarenta e dois detentos.
5. Policiais são confiáveis.
6. Exercícios físicos são saudáveis.
De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação
acima, são sentenças APENAS os de números
(A) 1, 3 e 5.
(B) 2, 3 e 5.
3
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
(C) 3, 5 e 6.
(D) 4 e 6.
(E) 5 e 6.
Resolução
A FCC conceitua sentença como proposição. A frase 1 é exclamativa, a frase 2
é interrogativa, a frase 4 não possui predicado e, portanto, não são sentenças.
As sentenças (proposições lógicas) são as frases 3, 5 e 6.
Letra C
03. (SEFAZ/SP 2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa
característica.
I – Que belo dia!
II – Um excelente livro de raciocínio lógico.
III – O jogo terminou empatado?
IV – Existe vida em outros planetas do universo.
V – Escreva uma poesia.
A frase que não possui esta característica comum é a:
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
Resolução.
A frase I é uma exclamação. Não é proposição.
A frase II contém uma opinião sobre o livro, não sendo possível julgar em
verdadeiro ou falso. Não é proposição.
A frase III é uma pergunta, que também não é proposição.
A frase IV pode ser julgada em verdadeiro ou falso. É uma proposição.
A frase V é uma ordem. Não é proposição.
Só a frase IV é proposição.
Letra D
4
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Um importante tipo de sentença que não é proposição é a chamada sentença
aberta ou função proposicional.
Exemplo:
x−5 = 0
Não podemos julgar esta frase em verdadeiro ou falso, simplesmente porque
não é possível descobrir o valor de x. Se x valer 5, de fato, x − 5 = 0 .
Caso contrário, se x for diferente de 5, a igualdade acima está errada.
“x” é uma variável, pode assumir inúmeros valores.
Quando a sentença possui uma variável, nós dizemos que ela é uma sentença
aberta. Ela tem um termo que varia, o que impede julgá-la em verdadeiro ou
falso. Logo, não é proposição.
Basicamente é isto: sempre que a frase não puder ser julgada em verdadeiro
ou falso, não é uma proposição.
04. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
x+ y
II.
é um número inteiro.
5
III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS:
a) I e II são sentenças abertas.
b) I e III são sentenças abertas.
c) II e III são sentenças abertas.
d) I é uma sentença aberta.
e) II é uma sentença aberta.
Resolução
A frase I é uma sentença aberta, pois “Ele” pode, nesta questão, estar se
referindo a um homem qualquer. Não podemos classificá-la em V ou F, pois
não sabemos sobre quem estamos falando. A frase I seria uma proposição se,
por exemplo, o locutor apontasse para uma pessoa e falasse “Ele foi o melhor
jogador do mundo em 2005”. A frase II é, sem dúvida, uma sentença aberta,
pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira
ou falsa. Já a frase III não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos
verificar o sujeito e classificá-la em V ou F.
Letra A
5
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Proposições simples e compostas
Estudaremos métodos de produzir novas proposições a partir de proposições
simples. Uma proposição é simples quando declara algo sem o uso de
conectivos. Quando “ligamos” duas ou mais proposições simples, obtemos as
denominadas proposições compostas. Os “entes” lógicos que ligam as
proposições são denominados conectivos lógicos.
Exemplos de proposições simples:
p : O número 2 é primo. (V)
q : 15 : 3 = 6 (F)
r : O retângulo é um polígono regular. (F)
A partir de proposições simples dadas podemos construir novas proposições
compostas mediante o emprego de operadores lógicos chamados conectivos,
como “e” (símbolo ), “ou” (símbolo v), os condicionais “se... então”
(símbolo ), “se e somente se” (símbolo ) e o modificador “não” (o
símbolo pode ser ou ¬).
Exemplos:
p : A Lua é um satélite da Terra, e Recife é a capital de Pernambuco.
q : Carlos é solteiro ou Pedro é estudante.
r : Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes, então é um losango.
s : Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango.
O que precisamos saber para resolver questões envolvendo proposições
compostas?
i) A regra que rege cada um dos conectivos lógicos.
ii) Argumentar.
Vamos começar com as regras de cada conectivo e do modificador.
Modificador
6
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição chamada negação de
p pode ser formada escrevendo-se “É falso que...” antes de p ou, se possível,
inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por
~ p ou ¬p .
p
~p
V
F
F
V
Exemplo:
p : Paris está na França.
~ p : É falso que Paris está na França.
~ p : Paris não está na França.
~ p : Não é verdade que Paris está na França.
Conjunção p ∧ q
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “e” para
formar uma proposição composta, que é chamada de conjunção das
proposições originais. Simbolicamente representamos a conjunção de duas
proposições p e q por p ∧ q .
A conjunção p ∧ q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao
menos uma delas for falsa então p ∧ q é falsa.
Exemplo:
p : João é gordo e Mário é alto.
Suponha que a proposição João é gordo seja verdadeira e que Mário não
seja alto. Dessa forma,
7
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
A conjunção “João é gordo e Mário é alto” é falsa, pois a proposição “Mário é
alto” é falsa. A composta só seria verdadeira se ambas as proposições “João é
gordo” e “Mário é alto” fossem verdadeiras.
Disjunção Inclusiva p ∨ q
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para
formar uma proposição composta que é chamada de disjunção inclusiva das
proposições originais. Simbolicamente, a disjunção das proposições p e q é
designada por p ∨ q .
A disjunção inclusiva
p∨q
é verdadeira se ao menos uma das
proposições p ou q é verdadeira; p ∨ q é falsa se e somente se ambas p e
q são falsas.
Exemplo:
p : Vou à festa ou não me chamo Fulano.
Considere que Fulano afirmou: Vou à festa ou não me chamo Fulano.
Fulano foi à festa. Portanto, a proposição “Vou à festa” é verdadeira.
A proposição “não me chamo Fulano” é falsa, pois quem a disse foi Fulano.
Temos o seguinte esquema:
A disjunção “Vou à festa ou não me chamo Fulano” só seria falsa se ambas as
proposições “Vou à festa” e “Não me chamo Fulano” fossem falsas. Como a
proposição “Vou à festa” é verdadeira, temos que a composta é verdadeira.
Assim,
8
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Condicional p → q
Quando duas proposições são conectadas com a palavra “se” antes da
primeira e a inserção da palavra “então” entre elas a proposição resultante é
composta e é também chamada de implicação. Simbolicamente, p → q . Em
uma proposição condicional, o componente que se encontra entre o “se” e o
“então” é chamado de antecedente e o componente que se encontra após a
palavra “então” é chamado consequente. Por exemplo, na proposição “Se vou
à praia, então tomo banho de mar”, “vou à praia” é o antecedente e “tomo
banho de mar” é o consequente.
O condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa;
caso contrário, p → q é verdadeiro.
Coloquemos um exemplo para resumi-lo.
Se Guilherme é recifense, então Guilherme é pernambucano.
Guilherme é recifense
Guilherme é pernambucano
1º caso
verdadeira
verdadeira
2º caso
verdadeira
falsa
3º caso
falsa
verdadeira
4º caso
falsa
falsa
Analisemos cada um deles.
1º caso antecedente e consequente verdadeiros. Aqui, se efetivamente
Guilherme for recifense e também for pernambucano, não há dúvida, a
proposição condicional é considerada verdadeira.
2º caso antecedente verdadeiro e consequente falso. Nessa situação,
temos Guilherme como uma pessoa que nasceu no Recife e não nasceu em
Pernambuco. A condicional é considerada falsa.
3º caso antecedente falso e consequente verdadeiro. Guilherme não nasceu
no Recife, mas nasceu em Pernambuco. Isso é totalmente permitido, visto que
Guilherme poderia ter nascido em Petrolina, por exemplo. A proposição
condicional é verdadeira.
9
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
4º caso antecedente e consequente falsos. Guilherme não nasceu no Recife
nem em Pernambuco. Situação totalmente aceitável, visto que Guilherme
poderia ter nascido em qualquer outro lugar do mundo.
Bicondicional p ↔ q
Conectando duas proposições p, q através do conectivo bicondicional, obtemos
uma nova proposição
p ↔ q , que se lê “p se e somente se q”. O
bicondicional equipara-se à conjunção de dois condicionais p → q e
q→ p.
Por exemplo, a proposição composta “Hoje é Natal se, e somente se hoje é 25
de dezembro” significa que “Se hoje é Natal, então hoje é 25 de dezembro” e
“Se hoje é 25 de dezembro, então hoje é Natal”.
O bicondicional p ↔ q é verdadeiro quando p e q são ambos verdadeiros ou
ambos falsos, e falso, quando p e q têm valores lógicos diferentes.
IR
A2
2
No nosso exemplo acima,
Podemos resumir tudo o que foi dito com a seguinte tabela-verdade.
p
q
p∧q
p∨q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
p→q
p↔q
10
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Ou ainda, para facilitar o processo mnemônico, podemos memorizar as regras
que tornam as compostas verdadeiras.
Conjunção p ∧ q
As duas proposições p, q devem ser verdadeiras
Disjunção p ∨ q
Ao menos uma das proposições p, q deve ser
verdadeira. Não pode ocorrer o caso de as duas
serem falsas.
Condicional p → q
Não pode acontecer o caso de o antecedente ser
verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não
pode acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem
informal, dizemos que não pode acontecer VF, nesta
ordem.
Bicondicional p ↔ q
Os valores lógicos das duas proposições devem ser
iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são
falsas.
Falei anteriormente que para resolver questões envolvendo proposições
deveríamos saber:
i) A regra que rege cada um dos conectivos lógicos.
ii) Argumentar.
Deixe-me resolver algumas questões sobre os conectivos e em seguida
ensinarei e resolverei questões sobre argumentos.
(TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposições,
e os símbolos ¬ , ∧ e são operadores lógicos que constroem novas
proposições e significam “não”, “e” e “então”, respectivamente. Na lógica
proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições
que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca
ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às
letras proposicionais, na tabela abaixo:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
¬P
F
F
V
V
P∧Q
V
F
F
F
PQ
V
F
V
V
11
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a
proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio.
Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:
05. A sentença “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não
foi à praia” pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q)
06. A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” pode ser corretamente
representada por P ∧ ¬Q
07. Se a proposição “Hoje não choveu” for valorada como F e a proposição
José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P
Q é falsa.
08. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) P é inferior a 9.
Resolução
05. A proposição “Hoje não choveu” é a negação da proposição P e deve ser
representada por ¬P. A sentença “Maria não foi ao comércio” é a negação de R
e, portanto, é representada por ¬R. Analogamente, a proposição “José não foi
à praia” é representada por ¬Q. Concluímos que a composta “Hoje não choveu
então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” é representada por ¬P
(¬R ∧ ¬Q) e o item está certo.
06. Usando o raciocínio do item 1, temos que o item 05 também é certo.
07.
P: Hoje choveu.
¬P: Hoje não choveu.
Q: José foi a praia.
O antecedente (¬P) da condicional ¬P Q foi valorado como F. Sabemos que
quando o antecedente de uma condicional é falso, a composta condicional é
verdadeira. Segue-se que o item está errado. Vale a pena lembrar que uma
composta condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o
consequente é falso, em qualquer outro caso, a condicional é verdadeira.
08. Vale a pena lembrar que o número de linhas de uma tabela-verdade
(valorações) composta de n proposições simples é igual a 2n. Como n=3, temos
que o número de valorações possíveis para a proposição composta (Q ∧ ¬R)
P é igual a 23=8. O item está certo.
09. (Gestor Fazendário-MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:
P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”.
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
12
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
Resolução
A proposição P é a disjunção das proposições A, B (conectivo ou). O texto nos
informou que P é falsa, e sabemos que a disjunção A ou B só é falsa quando
ambas, A e B são falsas. A proposição A é falsa e daí concluímos que Carlos
não é dentista. A condicional B é falsa. Uma proposição condicional só é
falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; donde
Enio é economista (antecedente verdadeiro) e Juca não é arquiteto
(consequente falso).
Lembre-se sempre: uma proposição composta pelo conectivo “se...,então...” só
é falsa quando ocorre VF. E como o enunciado nos disse que B é falsa, então
ocorreu VF.
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
O antecedente é verdadeiro, logo Enio é economista.
O consequente é falso, logo Juca não é arquiteto.
Letra B
10. (TRF-1ª Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não
há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa.
Logo:
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.
Resolução
Vimos que o bicondicional p ↔ q (se e somente se) equipara-se à conjunção
de dois condicionais p → q e q → p .
Letra C
11. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declarações:
− “Sou inteligente e não trabalho.”
− “Se não tiro férias, então trabalho.”
Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que
Paloma
13
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
(A) é inteligente.
(B) tira férias.
(C) trabalha.
(D) não trabalha e tira férias.
(E) trabalha ou é inteligente.
Resolução
O enunciado já informou que as duas proposições são verdadeiras.
“Sou inteligente e não trabalho.”
Esta é uma proposição composta pelo conectivo “e”. Lembra quando uma frase
composta pelo “e” é verdadeira? Quando as duas proposições componentes
são verdadeiras. Desta maneira, concluímos que “Sou inteligente” é verdade
e “Não trabalho” também é verdade.
Se “não trabalho” é verdade, então “trabalho” é falso.
Letra C
Vamos analisar a segunda proposição.
“Se não tiro férias, então trabalho.”
Já sabemos que a proposição “não trabalho” é verdade. Portanto, a sua
negação é falsa.
“Se não tiro férias, então trabalho.”
F
Ora, para que uma proposição composta pelo conectivo “se..., então...” seja
verdadeira, não pode acontecer de o antecedente ser verdadeiro e o
consequente ser falso. Em suma, não pode acontecer VF nesta ordem. Como o
consequente é falso, o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser
falso.
“Se não tiro férias, então trabalho.”
F
F
Conclui-se que a proposição “não tiro férias” é falsa. Isto quer dizer que “tiro
férias” é verdade.
12. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue.
14
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Considere as proposições abaixo:
p: 4 é um número par;
q: A Petrobras é a maior exportadora de café do Brasil.
Nesse caso, é possível concluir que a proposição p ∨ q é verdadeira.
Resolução
Temos que a proposição p é verdadeira, enquanto que a proposição q é falsa.
A disjunção p ∨ q só é falsa se ambas p, q são falsas. Se ao menos uma
delas for verdadeira, a composta também será verdadeira. Portanto, a
proposição
p
∨
q
é
verdadeira
e
o
item
está
certo.
p q
V F
p∨q
V
13. (SADPE/2008/FGV) Considere as situações abaixo:
I.
Em uma estrada com duas pistas, vê-se a placa:
Como você está dirigindo um automóvel, você conclui que deve trafegar pela
pista da esquerda.
II. Você mora no Recife e telefona para sua mãe em Brasília. Entre outras
coisas, você diz que “Se domingo próximo fizer sol, eu irei à praia”. No final do
domingo, sua mãe viu pela televisão que choveu no Recife todo o dia. Então,
ela concluiu que você não foi à praia.
III. Imagine o seguinte diálogo entre dois políticos que discutem calorosamente
certo assunto:
- A: Aqui na Câmara tá cheio de ladrão.
- B: Ocorre que eu não sou ladrão.
- A: Você é safado, tá me chamando de ladrão.
Em cada situação há, no final, uma conclusão. Examinando a lógica na
argumentação:
a) são verdadeiras as conclusões das situações I e II, apenas.
b) são verdadeiras as conclusões das situações II e III, apenas.
c) são verdadeiras as conclusões das situações I e III, apenas.
d) as três conclusões são verdadeiras.
e) as três conclusões são falsas.
Resolução
15
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
I. Caminhões Pista da Direita
F
Vimos anteriormente que “se não ocorre p a condicional p → q é verdadeira
qualquer que seja o valor verdade de q.” Ou seja, se o antecedente for falso,
nada podemos concluir a respeito do consequente. A condicional só é falsa
quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso (não pode
acontecer VF). Portanto, se você está dirigindo um automóvel, poderás dirigir
na pista da direita ou da esquerda. O item é FALSO. Da mesma forma, se
houver um veículo na pista da direita (o consequente é verdadeiro), não
podemos concluir que o veículo é um caminhão.
II.
Domingo próximo fizer sol eu irei à praia.
F
A situação é idêntica ao item anterior. Se o antecedente é falso, nada
podemos concluir sobre o consequente. O item é FALSO. Destacamos
novamente que se o consequente for verdadeiro, nada pode afirmar
sobre o antecedente, ou seja, se o indivíduo foi à praia, não podemos
concluir se no domingo fez sol ou não.
III. O terceiro item obviamente é FALSO, pois nem o político A chamou o
político B de ladrão, nem o político B chamou o político A de ladrão. O
político A apenas afirmou que “na Câmara tá cheio de ladrão” e o político
B afirmou que ele próprio não era um dos ladrões.
Letra E
14. (SADPE/2008/FGV) Leonardo disse a Fernanda: – Eu jogo futebol ou você
não joga golfe.
Fernanda retrucou: – isso não é verdade.
Sabendo que Fernanda falou a verdade, é correto concluir que:
a) Leonardo joga futebol e Fernanda joga golfe.
b) Leonardo joga futebol e Fernanda não joga golfe.
c) Leonardo não joga futebol e Fernanda joga golfe.
d) Leonardo não joga futebol e Fernanda não joga golfe.
e) Leonardo não joga futebol ou Fernanda joga golfe.
Resolução
Fernanda nos disse a verdade. Ela afirmou que a proposição enunciada por
Leonardo, que é uma disjunção, é falsa. Vimos que uma disjunção p ∨ q é
falsa se e somente se ambas p e q são falsas.
16
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Temos então o seguinte esquema:
F
Eu jogo futebol ou você não joga golfe
F
F
Conclusão: Leonardo não joga futebol (pois a proposição “Eu jogo futebol” é
falsa) e Fernanda joga golfe (pois a proposição “Você não joga golfe” é falsa).
Letra C
15. (SADPE/2008/FGV) Sejam p, q e r proposições simples cujos valores
lógicos (verdadeiro ou falso) são, a princípio, desconhecidos. No diagrama
abaixo, cada célula numerada deve conter os resultados lógicos das
proposições compostas formadas pelo conectivo condicional (), em que as
proposições nas linhas são os antecedentes e nas colunas, os consequentes.
Os resultados das células 3, 4 e 7 já foram fornecidos.
Com relação à tabela, é correto afirmar que o valor lógico da célula:
a) 1 é falso.
b) 2 é falso.
c) 5 é falso.
d) 6 é verdadeiro.
e) 8 é verdadeiro.
Resolução
A célula 4 nos informa que a proposição composta q → p é falsa. Uma
proposição condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o
consequente é falso (VF nesta ordem). Portanto, a proposição q é verdadeira e
a proposição p é falsa. A célula 7 nos informa que a proposição composta
r → p é verdadeira. Para que a composta r → p seja verdadeira “não pode
acontecer VF, nesta ordem”. Ou seja, não pode ocorrer o fato de o antecedente
ser verdadeiro e o consequente falso. Como o consequente p é falso,
concluímos que o antecedente não pode ser verdadeiro, portanto deve ser
falso. A proposição r é falsa. Completemos então a tabela lembrando que a
proposição p é falsa, ou seja V(p)=F; a proposição q é verdadeira, ou seja ,
V(q)=V e V(r)=F. Lembre-se de que, quando o antecedente é falso, a composta
condicional é sempre verdadeira. Portanto, se o antecedente for a proposição p
ou a proposição r, a composta será verdadeira independentemente de qual
seja o consequente. Logo as células 1,2,3,7,8,9 são todas verdadeiras. Nas
17
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
células 4, 5 e 6, onde o antecedente é a proposição q cujo valor lógico é V, a
composta só será falsa quando o consequente for falso (VF), ou seja, quando o
consequente for a proposição p ou a proposição r.
p
q
r
p
V
F
V
q
V
V
V
r
V
F
V
Letra E
Vamos aplicar esses conhecimentos sobre conectivos e proposições em
questões envolvendo argumentos.
Argumentos
E o que é um argumento?
“A expressão concreta do raciocínio lógico é o argumento. Um argumento se
sustenta ou cai à medida que o raciocínio que incorpora é bom ou ruim. Cada
argumento é composto de dois elementos básicos, dois diferentes tipos de
proposições: uma proposição ‘premissa’ e uma proposição ‘conclusão’. Uma
premissa é uma proposição que sustenta. É o ponto inicial de um argumento
que contém a verdade conhecida, da qual parte o processo inferencial. Uma
conclusão é uma proposição sustentada, a proposição aceita como verdade na
base da premissa.” (D.Q. McInerny)
Argumento é toda afirmação de que uma sequência finita de proposições,
chamadas premissas, P1 , P2 , P3 ,..., Pn tem como consequência uma proposição
final Q, chamada conclusão do argumento. Diz-se que um argumento é válido
se e somente se a conclusão for verdadeira, todas as vezes que as premissas
forem verdadeiras. Desse modo, a verdade das premissas é incompatível com
a falsidade da conclusão. A validade de um argumento depende tão somente
da relação existente entre as premissas e a conclusão. Um argumento não
válido é chamado de sofisma ou falácia. Um argumento composto de duas
premissas e uma conclusão é chamado de silogismo.
Vejamos um exemplo para sedimentar a teoria.
Jair está machucado ou não quer jogar. Mas Jair quer jogar, logo:
a) Jair não está machucado nem quer jogar.
b) Jair não quer jogar nem quer jogar.
c) Jair não está machucado e quer jogar.
18
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
d) Jair está machucado e não quer jogar.
e) Jair está machucado e quer jogar.
O enunciado nada fala sobre a verdade das proposições expostas.
Perguntamo-nos: Quem é Jair? Quem está nos falando que Jair está
machucado? Isto é verdade? Como podemos inferir uma conclusão se não
tenho certeza sobre o valor lógico das premissas? Em suma, como testar a
validade de um argumento? Existe um teste semântico, isto é, um teste que
se baseia nos valores de verdade das suas premissas e conclusão. Um
argumento é válido se, e só se, não for possível ter conclusão falsa e
premissas verdadeiras. Portanto, para termos um argumento válido devemos
supor que as premissas são verdadeiras. Se (e este é um grande se) as
premissas forem verdadeiras, então a conclusão também será.
Ora, se admitimos a proposição “Jair quer jogar” como verdadeira, devemos
assumir a proposição “Jair não quer jogar” como falsa. Temos então o seguinte
esquema:
Perguntamo-nos: Quando é que uma disjunção (proposição composta pelo
conectivo “ou”) p ∨ q é verdadeira? Se ao menos uma das proposições p ou
q é verdadeira; p ∨ q é falsa se e somente se ambas p e q são falsas. No
nosso caso, temos uma disjunção que é verdadeira, e uma das proposições
que a compõe é falsa. Concluímos que a outra proposição “Jair está
machucado” é verdadeira.
Letra E
Jair está machucado e quer jogar.
Temos então o seguinte argumento VÁLIDO.
19
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Jair está machucado ou não quer jogar.
Mas Jair quer jogar, logo:
Jair está machucado e quer jogar.
Não estamos afirmando que premissas do enunciado são verdadeiras nem que
a conclusão também o seja. Dizemos apenas que, SE as premissas forem
verdadeiras, então a conclusão também será verdadeira.
Proposições são verdadeiras ou falsas. Argumentos são válidos ou inválidos. A
validade de um argumento depende da conexão das premissas com a
conclusão, não do valor lógico das premissas que formam o argumento.
Então,comrminaravalidadedeumargumento?
Admita que as premissas sejam verdadeiras, mesmo que não sejam. Há a
possibilidade de, considerando-se as premissas verdadeiras, a conclusão ser
falsa? Se isso pode acontecer (premissas verdadeiras e conclusão falsa) então
o argumento é inválido, um sofisma, uma falácia. Se não, então o argumento é
válido.
Utilizaremos agora as ferramentas que temos a disposição (proposições,
conectivos e argumentação) para resolver algumas questões de concursos.
16. (Aneel/2004/Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não
estudo. Ora, não velejo. Assim:
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
O que esta questão está nos pedindo? Que escolhamos uma conclusão
adequada para que o argumento seja válido. Devemos então, de acordo com a
teoria exposta, assumir que as premissas são verdadeiras. Temos o seguinte
esquema:
A proposição “Não velejo” é verdadeira. Como a proposição “Velejo” é a sua
negação, temos que seu valor lógico é falso.
20
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
A proposição acima é uma disjunção e, para que seja verdadeira, ao menos
uma das proposições que a compõe deve ser verdadeira. Como a proposição
“Velejo” é falsa, concluímos que “Não estudo” é verdadeira. “Estudo”, que é a
negação de “Não estudo”, é, portanto, falsa.
Analogamente, a proposição “Surfo” é verdadeira e a sua negação “Não surfo”
é falsa.
Da mesma maneira, temos que a proposição “Fumo” é verdadeira.
Conclusão: Surfo, não estudo, fumo, não velejo.
Letra E
Observação: Daqui em diante, por motivos tipográficos, também para evitar
uma “poluição visual”, não colocaremos mais as chaves nas proposições
compostas que assumiremos como verdadeiras. Estará implícito, levando em
consideração a teoria exposta. Simplesmente aplicaremos as regras dos
conectivos para que as compostas sejam verdadeiras. Por exemplo:
Em resumo, as seguintes regras tornam as proposições compostas
verdadeiras.
Conjunção p ∧ q
As duas proposições p, q devem ser verdadeiras
Disjunção p ∨ q
Ao menos uma das proposições p, q deve ser verdadeira.
Não pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.
Condicional
p→q
Não pode acontecer o caso de o antecedente ser
verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, não pode
acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal,
21
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
dizemos que não pode acontecer VF, nesta ordem.
Bicondicional
p↔q
Os valores lógicos das duas proposições devem ser iguais.
Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são falsas.
17. (CGU/2003-2004/Esaf) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se
Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de
Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
Resolução
Relembrando o que falamos a respeito de argumentação. Em um argumento
válido, é impossível ao assumirmos que as premissas sejam verdadeiras que a
conclusão seja falsa. Dessa forma, admitiremos que TODAS as proposições,
simples e compostas, são verdadeiras. Para tal, deveremos aplicar as regras
de cada um dos conectivos. Assim, supomos que a proposição “Jorge é irmão
de Maria” é verdadeira. Ora, uma proposição condicional não pode ter o
antecedente verdadeiro e o consequente falso. De fato, na proposição
condicional “Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto”, o
antecedente é verdadeiro. Para não ocorrer VF, o consequente não pode ser
falso, deve ser verdadeiro. Assim, “Breno não é neto de Beto” é verdade. A sua
negação é falsa. Novamente, na condicional “Se Carlos é filho de Pedro, então
Breno é neto de Beto”, o consequente é falso. Para não ocorrer VF, o
antecedente não pode ser verdadeiro, deve ser falso. Consequentemente
“Carlos é filho de Pedro” é falso. Para que uma disjunção seja verdadeira, ao
menos uma das proposições que a compõe deve ser verdade. Na composta
“Ana é prima de Bia ou Carlos é filho de Pedro”, tem-se que “Carlos é filho de
22
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Pedro” é falsa. Dessa forma, “Ana é prima de Bia” deve ser verdade. Temos
então que Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
Letra E
As questões que seguem apresentam uma peculiaridade em relação às
questões anteriormente resolvidas. Até agora, as questões apresentavam uma
proposição simples, que servia de passo inicial para a nossa estratégia de
argumentação. As próximas questões não apresentam proposições simples. A
solução geral é a seguinte: escolha uma proposição qualquer e dê o seu
palpite: escolha V ou F. Se o seu palpite der certo, ótimo! Caso contrário,
troque-o. Se você escolheu V, troque por F e vice-versa.
18. (CGU/2003-2004/Esaf) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é
honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é
justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
Resolução
Esta questão não apresenta a proposição simples que usualmente aparece em
questões de argumentação. Adotaremos então a estratégia descrita acima.
Escolheremos uma proposição qualquer e arbitrariamente daremos um valor
lógico a ela. Por exemplo, escolheremos a primeira “Homero não é honesto” e
diremos que ela é verdadeira. Não há razão específica para termos feito essa
escolha. Como estamos assumindo que “Homero não é honesto” é uma
proposição verdadeira, a sua negação “Homero é honesto” é falsa. Para que a
disjunção “Beto não é bondoso,ou Homero é honesto” seja verdadeira, a
proposição “Beto não é bondoso” deve ser verdadeira e, consequentemente, a
sua negação “Beto é bondoso” é falsa. Analogamente, “Júlio não é justo” é
verdade, e sua negação “Júlio é justo” é falsa. Dessa forma, “Homero é
honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso” é uma proposição composta
23
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
falsa, pois é uma disjunção em que todas as proposições que a compõem são
falsas. Ora, mas, para testarmos a validade de um argumento, temos que ter
TODAS as premissas verdadeiras. Temos então que trocar a nossa escolha
inicial. Admitiremos então que a proposição “Homero não é honesto” seja falsa.
Construiremos então o seguinte esquema:
Letra C
19. (Técnico/MPU/Administrativa/2004/Esaf) Ricardo, Rogério e Renato são
irmãos. Um deles é médico, outro é professor e o outro é músico. Sabe-se que:
1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;, 2) ou Ricardo é professor, ou
Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério
é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério
e Renato são respectivamente:
a) professor, médico, músico.
b) médico, professor, músico.
c) professor, músico, médico.
d) músico, médico, professor.
e) médico, músico, professor.
Resolução
Utilizando a mesma estratégia da questão anterior, escolhemos uma
proposição qualquer e arbitrariamente damos um valor lógico a ela.
24
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Escolhemos (ao acaso) a proposição “Ricardo é médico” e diremos que ela é
verdadeira. Como cada um deles possui uma única profissão, a proposição
“Ricardo é professor” é falsa. Assim, para que a disjunção seja verdadeira,
“Rogério é músico” tem que ser uma proposição verdadeira (uma disjunção é
verdadeira quando pelo menos uma das proposições que a compõe é
verdadeira). Sendo “Rogério é músico” uma verdade, “Rogério é professor” é
falsa. Portanto, “Renato é professor” é verdade. Não tivemos proposições
compostas falsas, nenhuma contradição. O nosso palpite foi correto, por acaso.
Letra E
20. (Ipea 2004/FCC) Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido.
Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio,
não vejo Lúcia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje,
passeio. Portanto, hoje:
a)vejo,enãoestoudeprimidoenãochove,efazcalor.
b)nãovejo,eestoudeprimido,echove,efazcalor.
c)nãovejo,eestoudeprimido,enãochove,enãofazcalor.
d)vejo,enãoestoudeprimido,echove,efazcalor.
e)vejo,eestoudeprimido,enãochove,efazcalor.
Resolução
“Passeio” é verdade; “não passeio” é falso. Preenchemos as chaves do
esquema acima onde aparecem essas proposições. Olhemos para a quarta
premissa: o consequente é falso, e, assim, o antecedente também o é.
Observe que o consequente da segunda premissa é uma conjunção e uma das
proposições que compõe essa conjunção (não passeio) é falsa. Ora, sabemos
que uma conjunção só é verdadeira quando ambas as proposições simples
componentes são verdadeiras. Como esse fato não ocorre, a conjunção “não
25
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
passeio e fico deprimido” é falsa. Consequentemente o antecedente “chove” é
falso e a sua negação “não chove” é verdade. Coloquemos nossa atenção
agora na quarta premissa. O consequente “não passeio” é falso e assim temos
queoantecedente(queéaconjunção“Nãochovstoudeprimido”)também
é falso.Temos então uma conjunção falsa em que uma das proposições que a
constitui (“não chove”) é verdadeira. Para que a conjunção seja falsa, a outra
componente “estou deprimido” deve ser falsa. Vamos para a primeira premissa.
O consequente da condicional “Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico
deprimido” é uma disjunção que é falsa, pois ambas as proposições
componentes (“não passeio”, “fico deprimido”) são falsas. Dessa forma, o
antecedente “não vejo Lúcia” deve ser falsa (para que a proposição condicional
seja verdadeira não deve ocorrer VF). Finalmente indo para a terceira
premissa, o consequente “não vejo Lúcia” é falso, logo o antecedente “Não faz
calor e passeio” também é falso. Temos então uma conjunção falsa e uma das
proposições que a constitui (“passeio”) é verdadeira. A outra, “não faz calor”
deve então ser falsa e, consequentemente, a sua negação “faz calor” é
verdadeira.
Letra A
21. (AFRE-MG/2005/Esaf) O reino está sendo atormentado por um terrível
dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se
Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as
palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:
1) Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso
concluir
corretamente
que
Aladim
beijou
a
princesa
ontem?
2) Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã,
posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
3) Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem,
posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?
O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente
corretas para as três perguntas são respectivamente:
a) não, sim, não.
b) não, não, sim.
c) sim, sim, sim.
d) não, sim, sim.
e) sim, não, sim.
Resolução
O dragão desaparecerá amanhã ↔ Aladim beijou a princesa ontem.
26
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Na primeira pergunta, o rei supõe que a afirmação do mago é falsa. Uma
proposição bicondicional só é falsa quando os valores lógicos das proposições
componentes são diferentes. Como ele também supõe que o dragão
desaparecerá amanhã, conclui-se que Aladim não beijou a princesa ontem.
Portanto, a resposta para a primeira pergunta é não.
Na segunda pergunta, o rei supõe que a afirmação do mago é verdadeira. Ora,
uma proposição bicondicional só é verdadeira quando os valores lógicos das
duas proposições são iguais. Ou as duas são verdadeiras, ou as duas são
falsas. O rei supõe também que o dragão desaparecerá amanhã. Portanto,
Aladim beijou a princesa ontem e a reposta para a segunda pergunta é sim.
Na terceira pergunta, a suposição do rei é que a afirmação do mago é falsa (os
valores lógicos das proposições componentes da bicondicional devem ser
diferentes) e que Aladim não beijou a princesa ontem. Portanto, o dragão
desaparecerá amanhã e a resposta para a terceira pergunta é sim.
Letra D
Condição suficiente e condição necessária
Diz-se que p é condição suficiente de (ou para) q sempre que p → q . Em
outras palavras, uma condição suficiente aparece como antecedente de uma
proposição condicional. Usando a mesma expressão, q se diz condição
necessária de (ou para) p. Em outras palavras, uma condição necessária
aparece como consequente de uma condicional. Por exemplo, a proposição
“Se João é pernambucano, então João é brasileiro” pode ser lida das seguintes
maneiras:
João ser pernambucano é condição suficiente para João ser brasileiro.
27
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
João ser brasileiro é condição necessária para João ser pernambucano.
Diz-se que p é condição necessária e suficiente de (ou para) q, ou que q é
condição necessária e suficiente de (ou para) p sempre que p ↔ q . Por
exemplo, a proposição “Uma pessoa é recifense se, e somente se, nasceu no
Recife” pode ser lida das seguintes maneiras:
Ser recifense é condição necessária e suficiente para ter nascido no Recife.
Ter nascido no Recife é condição necessária e suficiente para ser recifense.
Em resumo:
p→q
p↔q
p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p
p é condição necessária e suficiente
para q
q é condição necessária e suficiente
para p
22. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros,
assinale a alternativa logicamente correta:
a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista.
b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser
paranaense.
c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro.
d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro.
e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser
brasileiro.
Resolução
a) Brasileiro ↔ paulista. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser
brasileira e não ser paulista. Contradição, pois os valores lógicos das
proposições componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma
proposição bicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa é
brasileira, então ela é paulista e, se uma pessoa é paulista, então ela é
brasileira.
b) Brasileiro → paranaense. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa
ser brasileira e não ser paranaense. Como vimos, não pode ocorrer VF em
uma condicional.
c) Carioca ↔ brasileiro. Falso, pela mesma razão da alternativa A.
28
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
d) Baiano → brasileiro. Verdadeiro, pois é impossível que uma pessoa seja
baiana e não seja brasileira. Neste caso é impossível ocorrer VF. É impossível
que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.
e) Brasileiro → maranhense. Falso, pela mesma razão da alternativa B.
Letra D
23. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
q: fazer frente ao fluxo positivo.
Se p implica q, então:
a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a
atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é
condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição
necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação
compradora de dólares por parte do Banco Central.
e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição
suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.
Resolução
Dizer que p implica q, significa dizer que Se p, então q. Ou seja, temos uma
proposição do tipo .
Sabemos que:
p é condição suficiente para q.
q é condição necessária para p.
Portanto:
A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição
suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.
Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária para A atuação
compradora de dólares por parte do Banco Central.
Letra E
Equivalências lógicas
29
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Duas proposições são logicamente equivalentes se e somente se p ↔ q é uma
tautologia. E o que é tautologia? É uma proposição que é sempre verdadeira,
independentemente dos valores lógicos das proposições componentes.
Numa linguagem coloquial, podemos dizer que duas proposições são
equivalentes quando dizem “a mesma coisa, de formas diferentes”.
Quando p é equivalente a q escrevemos p ⇔ q .
Voltemos ao conceito de equivalência. Dissemos que Duas proposições são
logicamente equivalentes se e somente se p ↔ q é uma tautologia. E tautologia
é a proposição que é sempre verdadeira. E quando é que uma proposição
bicondicional (se e somente se) é sempre verdadeira? Quando os valores de p
e q são sempre iguais: ou ambas são verdadeiras, ou ambas são falsas.
Vamos mostrar, por exemplo, que a proposição
p↔q
equivalente a
( p → q ) ∧ ( q → p ) . Ou seja, que ( p ↔ q) ⇔ [ ( p → q) ∧ (q → p) ] . Construímos a
tabela-verdade e verificamos se os valores lógicos das duas proposições são
sempre iguais.
p q p → q q → p ( p → q) ∧ (q → p) p ↔ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
Assim, acabamos de mostrar que uma proposição bicondicional equivale à
conjunção de dois condicionais.
Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos.
Vamos enunciar as equivalências, demonstrá-las e aplicá-las.
Teorema: As proposições
p→q,
~ q →~ p e
~ p∨q
são logicamente
equivalentes.
Demonstração:
p q ~ q ~ p p → q ~ q →~ p ~ p ∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
30
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Como os valores lógicos das três proposições são iguais, elas são ditas
logicamente equivalentes.
Em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para
construir essas proposições equivalentes notáveis, dada a proposição
condicional p → q .
~ q →~ p
o
antecedente
e
Negue
consequente, troque a ordem
mantenha o conectivo “se...,então”
~ p∨q
Negue apenas o antecedente e troque
o conectivo por “ou”.
o
e
Por exemplo, dada a proposição “Se bebo, então não dirijo”, temos que as
seguintes proposições são equivalentes a ela:
i) Se dirijo, então não bebo.
ii) Não bebo ou não dirijo.
24. (Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à
afirmação “Se bebo, então não dirijo” é
(A) Se não bebo, então não dirijo.
(B) Se não dirijo, então não bebo.
(C) Se não dirijo, então bebo.
(D) Se não bebo, então dirijo.
(E) Se dirijo, então não bebo.
Resolução
Como foi dito anteriormente, há duas proposições equivalentes (notáveis):
i) Se dirijo, então não bebo.
ii) Não bebo ou não dirijo.
Letra E
25. (Polícia Civil 2007/Ipad) A sentença “Penso, logo existo” é logicamente
equivalente a:
a) Penso e existo.
b) Nem penso, nem existo.
c) Não penso ou existo.
31
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
d) Penso ou não existo.
e) Existo, logo penso
Resolução
Dada a proposição “penso existo”, temos, trivialmente, duas proposições
equivalentes a ela:
i) Se não existo, então não penso. (Nega o antecedente e o consequente, troca
a ordem e mantém o conectivo.)
ii) Não penso ou existo. (Nega o antecedente e troca o conectivo por “ou”).
Letra C
26. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é
engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
Resolução
Dada uma proposição p → q podemos construir uma proposição logicamente
equivalente negando o antecedente e trocando o conectivo por “ou” obtendo a
proposição ~ p ∨ q . Podemos seguir o caminho contrário; dada uma
proposição com o conectivo “ou”, construímos uma equivalente negando a
primeira proposição e trocando o conectivo por “se..., então”. Assim, a
proposição “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é equivalente a “Se
André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”, que, por sua vez, é
equivalente a “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista”.
Letra D
27. (Aneel/2006/Esaf) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo:
a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.
Resolução
32
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Temos que:
i) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa não estudar.
ii) Elisa não estudar é condição necessária para Elaine não ensaiar.
Como não há alternativas com essas proposições, procederemos da seguinte
maneira. Construiremos uma proposição equivalente à proposição dada e em
seguida escreveremos na linguagem de condição suficiente e condição
necessária.
A proposição “Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda” é equivalente a “Se
Elisa estuda, então Elaine ensaia”. Temos que:
i) Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar.
ii) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.
Letra E
28. (TCE/MG/2007/FCC) São dadas as seguintes proposições:
(1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
(2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente.
(3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente.
(4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.
É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de
números
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 2, 3 e 4
d) 1, 2 e 3
e) 1, 3 e 4
Resolução
Chamando de p : “Jaime trabalha no Tribunal de Contas” e de q : “Jaime é
eficiente”, as proposições (1), (2), (3) e (4) podem, simbolicamente, ser
reescritas das seguintes maneiras:
(1) p → q
(2) ~ p →~ q
(3) ~ ( p ∧ ~ q )
(4) q ∨ ~ p
Vamos então construir a tabela-verdade e verificar quais são equivalentes.
p q ~ p ~ q p ∧ ~ q (1): p → q (2): ~ p →~ q (3): ~ ( p ∧ ~ q ) (4): q ∨ ~ p
33
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
V V F F
F
V
V
V
V
V F F V
V
F
V
F
F
F V V F
F
V
F
V
V
F F V V
F
V
V
V
V
Observe que as proposições (1), (3) e (4) possuem as mesmas valorações e,
portanto, são equivalentes.
Letra E
29. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição:
“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho,
então ela não melhora o seu desempenho profissional.”
Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:
(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou
faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento
profissional e não melhora o seu desempenho profissional.
(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não
faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
Resolução
Temos, trivialmente, duas proposições equivalentes a ela:
i) Se a pessoa melhora o seu desempenho profissional, então ela faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho. (Nega o antecedente e o
consequente, troca a ordem e mantém o conectivo.)
ii) Uma pessoa faz cursos de aperfeiçoamentos na sua área de trabalho ou ela
não melhora o seu desempenho profissional. (Nega o antecedente e troca o
conectivo por “ou”).
O que a FCC fez foi trocar a ordem das proposições no caso ii. Isto é
perfeitamente permitido, já que a o conectivo “ou” permite a troca da ordem das
frases sem alterar o seu sentido.
Letra E
Negação das Proposições Usuais
34
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Dada uma proposição p qualquer, uma outra proposição, chamada negação de
p, pode ser formada escrevendo-se “É falso que ...” antes de p ou, se possível,
inserindo a palavra “não”. Simbolicamente, a negação de p é designada por
~ p ou ¬p . Para que ~ p seja uma proposição, devemos ser capazes de
classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar)
o seguinte critério de classificação: A proposição ~ p tem sempre o valor
lógico oposto de p , isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa e ~ p é
falsa quando p é verdadeira.
p
~p
V
F
F
V
Exemplo:
p : Paris está na França.
~ p : É falso que Paris está na França.
~ p : Paris não está na França.
~ p : Não é verdade que Paris está na França.
Para evitar dúvidas, enunciaremos as “fórmulas” de negação das proposições
compostas e, em seguida, aplicaremos nas diversas questões de concurso.
Negação das proposições usuais
Afirmação
Negação
p
~p
p∧q
~ p∨ ~ q
p∨q
~ p∧ ~ q
p→q
p∧ ~ q
p↔q
( p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~ p)
~
~ 35
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
pvq
Como você pode observar, existem várias maneiras de negar uma proposição
composta pelo “se e somente se”. Sinceramente, não acho que você deva
perder tempo com essa negação.
Poderíamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor
entendimento do leitor iniciante.
Afirmação
Negação
p∧q
Negue as duas proposições e troque o conectivo
“e” pelo conectivo “ou”
p∨q
Negue as duas proposições e troque o conectivo
“ou” pelo conectivo “e”
p→q
Afirme o antecedente, troque o conectivo
condicional pelo conectivo “e” e negue o
consequente.
As fórmulas de negação do conectivo “e” e do conectivo “ou” são comumente
denominadas “Leis de De Morgan”.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Conjunção ~ ( p ∧ q ) ⇔ ~ p ∨ ~ q
Afirmação: Vou ao cinema e vou ao teatro.
Negação: Não vou ao cinema ou não vou ao teatro.
Exemplo 2: Disjunção ~ ( p ∨ q ) ⇔ ~ p ∧ ~ q
Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Guilherme.
Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Guilherme.
Exemplo 3: Condicional ~ ( p → q ) ⇔ p ∧ ~ q
36
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Afirmação: Se for beber, então não dirija.
Negação: Bebo e dirijo.
Sentenças abertas, quantificadores
Observe as seguintes expressões:
a) 2 x + 6 = 0
b) x − 3 > 0
Elas contêm variáveis e seus valores lógicos (verdadeira ou falsa) dependem
do valor atribuído à variável.
a) 2 x + 6 = 0 é verdadeira se trocarmos x por −3 e é falsa para qualquer outro
valor atribuído a x
b) x − 3 > 0 é verdadeira, por exemplo, para x = 8 e falsa, por exemplo, para
x =1.
Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou
funções proposicionais. Como já comentamos no início da aula, tais
expressões não são proposições, pois seus valores lógicos dependem dos
valores atribuídos às variáveis. Entretanto, temos duas maneiras de
transformar funções proposicionais em proposições: atribuir valor às variáveis
ou utilizar quantificadores.
Quantificadores são palavras ou expressões que indicam que houve
quantificação. São exemplos de quantificadores as expressões: existe, algum,
todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionários, de modo geral,
não registram “quantificador”. Esse termo, no entanto, é de uso comum na
Lógica.
Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada por um quantificador
seguido por uma classe ou de atributos,um elo e outra classe de atributos.
Vejamos exemplos de proposições quantificadas.
Proposição universal afirmativa
Todo recifense é pernambucano.
Proposição universal negativa
Nenhum
recifense
pernambucano.
é
37
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Proposição particular afirmativa
Algum recifense é pernambucano.
Proposição particular negativa
Algum recifense não é
pernambucano.
Observe que a proposição universal negativa “Nenhum recifense é
pernambucano” equivale a dizer que “Todo recifense não é pernambucano”.
Dessa forma, a expressão “nenhum” pode ser substituída pela expressão
“todo... não ...”.
O quantificador universal é indicado pelo símbolo ∀ , que se lê: “todo”,
“qualquer que seja”, “para todo”.
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃ , que se lê: “algum”,
“existe”, “existe pelo menos um”, ”pelo menos um”, “existe um”.
Note que uma função proposicional (ou sentença aberta) quantificada é uma
proposição. Então, como proposições, podem ser negadas.
Negação de proposições quantificadas
Em resumo, temos o seguinte quadro para negação de proposições
quantificadas.
Afirmação
Negação
Particular afirmativa (“algum...”)
Universal negativa (“nenhum...” ou
“todo... não ...”)
Universal negativa (“nenhum...” ou
“todo... não...”)
Particular afirmativa (“algum...”)
Universal afirmativa (“todo...”)
Particular negativa (“algum... não”)
Particular negativa (“algum... não”)
Universal afirmativa (“todo...”)
Vejamos alguns exemplos:
p : Algum político é honesto.
p : Existe político honesto.
~ p : Nenhum político é honesto.
~ p : Todo político não é honesto.
38
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
q : Nenhum brasileiro é europeu.
q : Todo brasileiro não é europeu.
~ q : Algum brasileiro é europeu.
~ q : Existe brasileiro que é europeu.
r : Todo concurseiro é persistente.
~ r : Algum concurseiro não é persistente.
~ r : Existe concurseiro que não é persistente.
t : Algum recifense não é pernambucano.
t : Existe recifense que não é pernambucano.
~ t : Todo recifense é pernambucano.
Observação: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação?
De três maneiras:
i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada.
ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa.
iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.
30. (AFC/2002/Esaf) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é
alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Resolução
Comentamos que quando uma questão nos fornece uma proposição falsa e
nos pede uma verdadeira, deveremos assinalar a negação da proposição
dada. Assim, quando a questão fala que “não é verdade que Pedro é pobre e
Alberto é alto”, temos que a proposição “Pedro é pobre e Alberto é alto” é falsa.
Para assinalarmos uma proposição verdadeira, deveremos negar a proposição
dada. Lembremos: para negar uma proposição composta pelo conectivo “e”,
negamos as duas proposições constituintes e trocamos o conectivo “e” pelo
conectivo “ou” (Lei de De Morgan). Dessa forma, a negação de “Pedro é pobre
e Alberto é alto” é “Pedro não é pobre ou Alberto não é alto”.
Letra A
Afirmação
Negação
Pedro é pobre
Pedro não é pobre
e
ou
Alberto é alto
Alberto não é alto
39
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
31. (Fiscal Trabalho/1998/Esaf) A negação da afirmação condicional "se estiver
chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
Resolução
Para negar uma proposição condicional: afirme o antecedente, troque o
conectivo condicional pelo conectivo “e” e negue o consequente. Assim, a
negação de “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é “está chovendo e
eu não levo o guarda-chuva.
Letra E
Afirmação
Negação
Se estiver chovendo
Está chovendo
então
e
eu levo o guarda-chuva
eu não levo o guarda-chuva
32. (TRT/9ª Região/2004/FCC) A correta negação da proposição "todos os
cargos deste concurso são de analista judiciário. é:
a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.
b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.
c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário.
d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário.
e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário.
Resolução
A negação de uma proposição universal afirmativa (“todo...”) é a particular
negativa (“algum... não”). Lembrando que o quantificador existencial “algum”
equivale à expressão “existe”. Dessa forma, a correta negação da proposição
dada é “existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário”.
Para negar uma proposição com a expressão “todo...”, troca-se o quantificador
por “algum/existe” e modifica-se o verbo, nega-se o verbo.
Letra B
Afirmação
Negação
Todos
Existem
Os cargos deste concurso são de analista judiciário.
Cargos deste concurso que não são de analista judiciário.
40
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
33. (TJ/PE/2007/FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários
públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade
que:
a) nenhum funcionário público é eficiente.
b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público.
c) todo funcionário público é eficiente.
d) nem todos os funcionários públicos são eficientes.
e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.
Resolução
Como vimos, quando o enunciado nos fornece uma proposição falsa e nos
pede uma proposição verdadeira, devemos obter a sua negação. Assim, a
negação de uma proposição particular negativa (”algum... não”) é a proposição
universal afirmativa (todo...). Temos então que a negação de “Existem
funcionários públicos que não são eficientes” é “todo funcionário público é
eficiente”. Em outras palavras, para negar uma proposição com a expressão
“existe/algum”, trocamos o quantificador por “todo” e modificamos o verbo,
negamos o verbo. Como a negação de “não ser eficiente” é “ser eficiente”,
temos o resultado acima.
Letra C
Afirmação
Negação
Existem
Todo
funcionários públicos que não são eficientes.
funcionário público é eficiente.
34. (Bacen) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentença: “Nenhum
pescador é mentiroso”.
a) Algum pescador é mentiroso.
b) Nenhum pescador é mentiroso.
c) Todo pescador não é mentiroso.
d) Algum mentiroso não é pescador.
e) Algum pescador não é mentiroso.
Resolução
A negação de uma proposição universal negativa é a proposição particular
afirmativa. Em outras palavras, para negar uma proposição com a expressão
“nenhum”, troque o quantificador por “algum” e mantenha o verbo. Assim, a
negação de “nenhum pescador é mentiroso” é “algum pescador é mentiroso”.
Observe que a proposição “nenhum pescador é mentiroso” equivale a “todo
pescador não é mentiroso”; vimos na questão 3 que, para negar uma
proposição com a expressão “todo”, trocamos o quantificador por
“algum/existe” e modificamos o verbo.
41
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Letra A
Afirmação
Negação
Nenhum
Algum
Pescador é mentiroso.
Pescador é mentiroso.
Afirmação
Negação
Todo
Algum
Pescador não é mentiroso.
Pescador é mentiroso.
35. (Agente de Estação – Metro – SP 2010/FCC) Considere as proposições
simples:
p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel
A negação da proposição composta p ∧ ~ q é:
(A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel.
(B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel.
(C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir
automóvel.
(D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de
dirigir automóvel.
(E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel.
Resolução
Lembre-se que o símbolo ∧ representa o conectivo “e”. Para negar uma
proposição composta pelo “e”, negue as duas proposições e troque o conectivo
“e” pelo conectivo “ou”.
Desta forma, a negação de p ∧ ~ q é ~ p ˅ q.
~p : Maly não é usuária do Metrô.
q: Maly gosta de dirigir automóvel.
~ p ˅ q: Maly não é usuária do Metrô ou Maly gosta de dirigir automóvel.
Letra A
36. (METRO-SP 2009/FCC)São dadas as seguintes proposições simples:
p : Beatriz é morena;
q : Beatriz é inteligente;
r : Pessoas inteligentes estudam.
Se a implicação ~
~ é FALSA, então é verdade que
(A) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes estudam.
(B) Pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é uma morena não inteligente.
(C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam.
(D) Pessoas inteligentes não estudam mas Beatriz é inteligente e não morena.
(E) Beatriz não é morena e nem inteligente, mas estuda.
42
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Resolução
O enunciado fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. Devemos
negar a proposição dada. E como negamos uma proposição composta pelo
“se..., então...”?
Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo “e”
e negue o consequente.
Na proposição ~
~ o antecedente é ~
e o consequente é ~.
Afirmamos o antecedente ~
. Colocamos o conectivo “e”.
~
Negamos o consequente ~. Ora, a negação de ~ é a proposição .
~
: Beatriz é morena;
~: Pessoas inteligentes não estudam.
q: Beatriz é inteligente;
~
: Beatriz é morena e pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é
inteligente.
(C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam.
37. (SAD/PE/2008/FGV) A negação da frase “Todos os homens dirigem bem”
é:
a) todos os homens dirigem mal.
b) todas as mulheres dirigem bem.
c) todas as mulheres dirigem mal.
d) nenhum homem dirige bem.
e) existem homens que dirigem mal.
Resolução
A negação de uma proposição universal afirmativa (“todo...”) é a particular
negativa (“algum... não”). Lembrando que o quantificador existencial “algum”
equivale à expressão “existe”. Dessa forma, a correta negação da proposição
dada é “existem homens que não dirigem bem (dirigem mal)”. Para negar uma
proposição com a expressão “todo...”, troca-se o quantificador por
“algum/existe” e modifica-se o verbo, nega-se o verbo.
Letra E
Afirmação
Todos
os homens dirigem bem.
43
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Negação Existem
Homens que não dirigem bem (dirigem mal)
Relação das questões comentadas
01. (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa
característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
02. (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem
sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que
se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças:
1. Tomara que chova!
2. Que horas são?
3. Três vezes dois são cinco.
4. Quarenta e dois detentos.
5. Policiais são confiáveis.
6. Exercícios físicos são saudáveis.
De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação
acima, são sentenças APENAS os de números
(A) 1, 3 e 5.
(B) 2, 3 e 5.
(C) 3, 5 e 6.
(D) 4 e 6.
(E) 5 e 6.
03. (SEFAZ/SP 2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa
característica.
I – Que belo dia!
II – Um excelente livro de raciocínio lógico.
III – O jogo terminou empatado?
IV – Existe vida em outros planetas do universo.
44
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
V – Escreva uma poesia.
A frase que não possui esta característica comum é a:
a) I
b) II
c) III
d) IV
e) V
04. (ICMS-SP/2006/FCC) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
x+ y
II.
é um número inteiro.
5
III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS:
a) I e II são sentenças abertas.
b) I e III são sentenças abertas.
c) II e III são sentenças abertas.
d) I é uma sentença aberta.
e) II é uma sentença aberta.
(TCU/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q e R representam proposições,
e os símbolos ¬ , ∧ e são operadores lógicos que constroem novas
proposições e significam “não”, “e” e “então”, respectivamente. Na lógica
proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições
que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca
ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às
letras proposicionais, na tabela abaixo:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
¬P
F
F
V
V
P∧Q
V
F
F
F
PQ
V
F
V
V
Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a
proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio.
Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:
05. A sentença “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não
foi à praia” pode ser corretamente representada por ¬P (¬R ∧ ¬Q)
45
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
06. A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” pode ser corretamente
representada por P ∧ ¬Q
07. Se a proposição “Hoje não choveu” for valorada como F e a proposição
José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P
Q é falsa.
08. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) P é inferior a 9.
09. (Gestor Fazendário-MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:
P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”.
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
10. (TRF-1ª Região/2006/FCC) Se todos os nossos atos têm causa, então não
há atos livres. Se não há atos livres, então todos os nossos atos têm causa.
Logo:
a) alguns atos não têm causa se não há atos livres.
b) todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
c) todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
d) todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
e) alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.
11. (ALESP 2010/FCC) Paloma fez as seguintes declarações:
− “Sou inteligente e não trabalho.”
− “Se não tiro férias, então trabalho.”
Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que
Paloma
(A) é inteligente.
(B) tira férias.
(C) trabalha.
(D) não trabalha e tira férias.
(E) trabalha ou é inteligente.
12. (Petrobras/2007/Cespe) Julgue o item que se segue.
Considere as proposições abaixo:
p: 4 é um número par;
q: A Petrobras é a maior exportadora de café do Brasil.
46
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Nesse caso, é possível concluir que a proposição p ∨ q é verdadeira.
13. (SADPE/2008/FGV) Considere as situações abaixo:
I.
Em uma estrada com duas pistas, vê-se a placa:
Como você está dirigindo um automóvel, você conclui que deve trafegar pela
pista da esquerda.
II. Você mora no Recife e telefona para sua mãe em Brasília. Entre outras
coisas, você diz que “Se domingo próximo fizer sol, eu irei à praia”. No final do
domingo, sua mãe viu pela televisão que choveu no Recife todo o dia. Então,
ela concluiu que você não foi à praia.
III. Imagine o seguinte diálogo entre dois políticos que discutem calorosamente
certo assunto:
- A: Aqui na Câmara tá cheio de ladrão.
- B: Ocorre que eu não sou ladrão.
- A: Você é safado, tá me chamando de ladrão.
Em cada situação há, no final, uma conclusão. Examinando a lógica na
argumentação:
a) são verdadeiras as conclusões das situações I e II, apenas.
b) são verdadeiras as conclusões das situações II e III, apenas.
c) são verdadeiras as conclusões das situações I e III, apenas.
d) as três conclusões são verdadeiras.
e) as três conclusões são falsas.
14. (SADPE/2008/FGV) Leonardo disse a Fernanda: – Eu jogo futebol ou você
não joga golfe.
Fernanda retrucou: – isso não é verdade.
Sabendo que Fernanda falou a verdade, é correto concluir que:
a) Leonardo joga futebol e Fernanda joga golfe.
b) Leonardo joga futebol e Fernanda não joga golfe.
c) Leonardo não joga futebol e Fernanda joga golfe.
d) Leonardo não joga futebol e Fernanda não joga golfe.
e) Leonardo não joga futebol ou Fernanda joga golfe.
15. (SADPE/2008/FGV) Sejam p, q e r proposições simples cujos valores
lógicos (verdadeiro ou falso) são, a princípio, desconhecidos. No diagrama
abaixo, cada célula numerada deve conter os resultados lógicos das
proposições compostas formadas pelo conectivo condicional (), em que as
proposições nas linhas são os antecedentes e nas colunas, os consequentes.
Os resultados das células 3, 4 e 7 já foram fornecidos.
47
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Com relação à tabela, é correto afirmar que o valor lógico da célula:
a) 1 é falso.
b) 2 é falso.
c) 5 é falso.
d) 6 é verdadeiro.
e) 8 é verdadeiro.
16. (Aneel/2004/Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não
estudo. Ora, não velejo. Assim:
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
17. (CGU/2003-2004/Esaf) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se
Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de
Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
18. (CGU/2003-2004/Esaf) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é
honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é
justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
c) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
19. (Técnico/MPU/Administrativa/2004/Esaf) Ricardo, Rogério e Renato são
irmãos. Um deles é médico, outro é professor e o outro é músico. Sabe-se que:
1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;, 2) ou Ricardo é professor, ou
Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério
48
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
é professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério
e Renato são respectivamente:
a) professor, médico, músico.
b) médico, professor, músico.
c) professor, músico, médico.
d) músico, médico, professor.
e) médico, músico, professor.
20. (Ipea 2004/FCC) Quando não vejo Lúcia, não passeio ou fico deprimido.
Quando chove, não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio,
não vejo Lúcia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje,
passeio. Portanto, hoje:
a)vejo,enãoestoudeprimidoenãochove,efazcalor.
b)nãovejo,eestoudeprimido,echove,efazcalor.
c)nãovejo,eestoudeprimido,enãochove,enãofazcalor.
d)vejo,enãoestoudeprimido,echove,efazcalor.
e)vejo,eestoudeprimido,enãochove,efazcalor.
21. (AFRE-MG/2005/Esaf) O reino está sendo atormentado por um terrível
dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se
Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as
palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:
1) Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso
concluir
corretamente
que
Aladim
beijou
a
princesa
ontem?
2) Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã,
posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?
3) Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem,
posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?
O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente
corretas para as três perguntas são respectivamente:
a) não, sim, não.
b) não, não, sim.
c) sim, sim, sim.
d) não, sim, sim.
e) sim, não, sim.
22. (MEC/2008/FGV) Com relação à naturalidade dos cidadãos brasileiros,
assinale a alternativa logicamente correta:
a) Ser brasileiro é condição necessária e suficiente para ser paulista.
b) Ser brasileiro é condição suficiente, mas não necessária para ser
paranaense.
49
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
c) Ser carioca é condição necessária e suficiente para ser brasileiro.
d) Ser baiano é condição suficiente, mas não necessária para ser brasileiro.
e) Ser maranhense é condição necessária, mas não suficiente para ser
brasileiro.
23. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposições:
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
q: fazer frente ao fluxo positivo.
Se p implica q, então:
a) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a
atuação compradora de dólares por parte do Banco Central.
b) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é
condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição
necessária para fazer frente ao fluxo positivo.
d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação
compradora de dólares por parte do Banco Central.
e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição
suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.
24. (Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à
afirmação “Se bebo, então não dirijo” é
(A) Se não bebo, então não dirijo.
(B) Se não dirijo, então não bebo.
(C) Se não dirijo, então bebo.
(D) Se não bebo, então dirijo.
(E) Se dirijo, então não bebo.
25. (Polícia Civil 2007/Ipad) A sentença “Penso, logo existo” é logicamente
equivalente a:
a) Penso e existo.
b) Nem penso, nem existo.
c) Não penso ou existo.
d) Penso ou não existo.
e) Existo, logo penso.
26. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é
engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
50
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
27. (Aneel/2006/Esaf) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo:
a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.
d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.
e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.
28. (TCE/MG/2007/FCC) São dadas as seguintes proposições:
(1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.
(2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente.
(3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente.
(4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.
É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de
números
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 2, 3 e 4
d) 1, 2 e 3
e) 1, 3 e 4
29. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição:
“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho,
então ela não melhora o seu desempenho profissional.”
Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:
(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou
faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento
profissional e não melhora o seu desempenho profissional.
(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não
faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de
aperfeiçoamento na sua área de trabalho.
51
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
30. (AFC/2002/Esaf) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é
alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
31. (Fiscal Trabalho/1998/Esaf) A negação da afirmação condicional "se estiver
chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
32. (TRT/9ª Região/2004/FCC) A correta negação da proposição "todos os
cargos deste concurso são de analista judiciário. é:
a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário.
b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário.
c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário.
d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário.
e) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário.
33. (TJ/PE/2007/FCC) Considere a afirmação abaixo. Existem funcionários
públicos que não são eficientes. Se essa afirmação é FALSA, então é verdade
que:
a) nenhum funcionário público é eficiente.
b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público.
c) todo funcionário público é eficiente.
d) nem todos os funcionários públicos são eficientes.
e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos.
34. (Bacen) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentença: “Nenhum
pescador é mentiroso”.
a) Algum pescador é mentiroso.
b) Nenhum pescador é mentiroso.
c) Todo pescador não é mentiroso.
d) Algum mentiroso não é pescador.
e) Algum pescador não é mentiroso.
52
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
35. (Agente de Estação – Metro – SP 2010/FCC) Considere as proposições
simples:
p: Maly é usuária do Metrô e q: Maly gosta de dirigir automóvel
A negação da proposição composta p ∧ ~ q é:
(A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel.
(B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel.
(C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir
automóvel.
(D) Não é verdade que, se Maly não é usuária do Metrô, então ela gosta de
dirigir automóvel.
(E) Se Maly não é usuária do Metrô, então ela não gosta de dirigir automóvel.
36. (METRO-SP 2009/FCC)São dadas as seguintes proposições simples:
p : Beatriz é morena;
q : Beatriz é inteligente;
r : Pessoas inteligentes estudam.
Se a implicação ~
~ é FALSA, então é verdade que
(A) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes estudam.
(B) Pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é uma morena não inteligente.
(C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam.
(D) Pessoas inteligentes não estudam mas Beatriz é inteligente e não morena.
(E) Beatriz não é morena e nem inteligente, mas estuda.
37. (SAD/PE/2008/FGV) A negação da frase “Todos os homens dirigem bem”
é:
a) todos os homens dirigem mal.
b) todas as mulheres dirigem bem.
c) todas as mulheres dirigem mal.
d) nenhum homem dirige bem.
e) existem homens que dirigem mal.
53
www.pontodosconcursos.com.br
CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO – SENADO
PROFESSOR: GUILHERME NEVES
Gabaritos
01. D
02. C
03. D
04. A
05. Certo
06. Certo
07. Errado
08. Certo
09. B
10. C
11. C
12. Certo
13. E
14. C
15. E
16. E
17. E
18. C
19. E
20. A
21. D
22. D
23. E
24. E
25. C
26. D
27. E
28. E
29. E
30. A
31. E
32. B
33. C
34. A
35. A
36. C
37. E
54
www.pontodosconcursos.com.br