MODELAGEM E IDENTIFICAÇÃO DE CARGAS NO DOMÍNIO TEMPO

MODELAGEM E IDENTIFICAÇÃO DE CARGAS NO DOMÍNIO TEMPO
Dos Reis, F. S., IEEE Member; Ribeiro, P. IEEE Member; Tonkoski Jr., R., IEEE Student Member;
Telló, M.; Canalli, V. M.; Dias, G.A.D.; Lima, J. C. M.; Sarmanho, U. A. S.; Maizonave, G. B.;
Adegas, F. D.; Ceccon, G. B.; Souza, R. R. N.;
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul – PUCRS
Departamento de Engenharia Elétrica
90619-900 Porto Alegre, RS – BRASIL
Email: [email protected]
Abstract – This paper describes the study and
development of an estimation method for the values of
electrical components concerning the input rectifier
present in most of the electronic equipments available in
the market. Through this method, it’s possible to identify
the values of the EMI filter parasitic inductance, the
filtering capacitance Ccc, and the equivalent load
connected to the rectifier. This study will be performed
from the analysis of the voltage and current waveforms
obtained from an oscilloscope in the input of the equipment
under measure. The resulting data will be processed
through a mathematical analysis in the time domain. This
process will permit the subsequent analysis, modeling and
simulation of the complex electrical systems in time domain
employing commercial simulators like PSIM, Matlab and
ORCAD aiming essencially the study of the influence of
this loads over the mains harmonic distortion and power
quality.
Index Terms – Power Quality, Quality Index, Time
Domain
I. INTRODUÇÃO
Este artigo apresenta um método desenvolvido para permitir
a modelagem dos principais tipos de cargas encontradas em
ambientes acadêmicos. Verificou-se, na Faculdade de
Engenharia da PUCRS, a existência de um grande número de
cargas não-lineares monofásicas constituídas, na sua maioria,
por um retificador em ponte completa associado a um
capacitor de filtragem. Assim, surgiu a necessidade de que
fosse desenvolvido um estudo específico para permitir a
modelagem destas cargas. Não foi possível identificar na
bibliografia nenhum trabalho que apresentasse uma solução
completa para este problema envolvendo um modelo e uma
metodologia de identificação de cargas não-lineares no
domínio tempo e que fosse voltada para a utilização de
simuladores comerciais de circuitos eletroeletrônicos.
Em seu trabalho [1], Koval e Carter apenas descrevem o
comportamento das cargas não-lineares e apresentam em [2]
um modelo destas cargas baseado no espectro harmônico da
corrente o qual não descreve o comportamento das mesmas
na presença de distorções harmônicas de tensão da rede.
Reformat apresenta em [3] uma modelagem matemática não
facilmente utilizável em programas de simulação e Karlsson
e Hill, em seu trabalho [4], seguem a mesma linha. Porém,
Karimi e Mong apresentam em [5] um estudo muito próximo
ao que será realizado neste trabalho sem, contudo, abordar o
problema da identificação dos parâmetros do circuito
equivalente que compõem estas cargas.
Este trabalho tem como finalidade principal descrever a
metodologia que foi adotada para permitir a identificação dos
diferentes componentes que constituem as diferentes cargas
em estudo. Para tanto, os dados obtidos mediante o
mapeamento das diversas cargas existentes na Faculdade de
Engenharia (FENG) serão correlacionados com a modelagem
proposta, de forma a possibilitar a identificação dos
elementos passivos do circuito equivalente: resistência,
indutância e capacitância. Posteriormente, o comportamento
das diferentes cargas em análise poderá ser representado
separadamente e em conjunto através de simulação em
ambiente computacional tornando possível a avaliação do
impacto das mesmas sobre o nível de distorção harmônica
resultante e a qualidade de energia da rede.
II. TOPOLOGIAS
BÁSICAS
NÃO-LINEARES MONOFÁSICAS
DE
CARGAS
Atualmente, a grande maioria das cargas, também
conhecidas como cargas eletrônicas, é não-linear uma vez
que representa equipamentos eletrônicos tais como
equipamentos de áudio e vídeo, equipamentos de
entretenimento, computadores pessoais e industriais,
monitores de vídeo, impressoras, comandos numéricos,
reatores eletrônicos para lâmpadas de descarga, projetores
multimídia, e osciloscópios. Estes equipamentos apresentam
como característica em comum a necessidade de operar em
corrente contínua. Uma vez que o sistema de distribuição de
energia se dá em corrente alternada, faz-se necessário a
existência de uma etapa intermediária de conversão de
energia para transformar a tensão alternada em tensão
contínua. Esta conversão é realizada por meio de circuitos
eletrônicos denominados retificadores, os quais, na maioria
das aplicações de baixa potência, são do tipo monofásico. O
circuito retificador mais comumente utilizado nos dias de
hoje é o retificador em ponte com filtro capacitivo. Esta
estrutura constitui o estágio de entrada da grande maioria das
fontes chaveadas do tipo of-the-line que são aplicadas na
conversão da tensão alternada em tensão contínua associada
a um conversor CC-CC, conforme ilustra a Fig. 1. A função
deste conversor é reduzir e estabilizar a tensão retificada a
níveis adequados para alimentar os delicados circuitos
eletrônicos utilizados nos equipamentos eletrônicos.
Na Fig. 1, o indutor L representa as indutâncias parasitas
ou mesmo a presença de um filtro EMI na entrada do
circuito. O capacitor CCC é o capacitor de filtragem do
retificador e normalmente são utilizados capacitores de
elevada capacitância. Assim, a grande desvantagem deste
circuito consiste no fato do mesmo drenar energia da rede
somente durante a etapa de carga do capacitor o que resulta
em elevada distorção harmônica da corrente de entrada.
Como resultado, a circulação das componentes harmônicas
desta corrente através da impedância da rede irá introduzir
distorções harmônicas de tensão na rede elétrica.
Fig.1. Fonte de alimentação típica dos circuitos eletrônicos.
Somente como ilustração, a Fig. 2 apresenta as formas de
onda típicas para este tipo de carga não-linear. Observandose esta figura, fica claro o conceito de carga não-linear
eletrônica, uma vez que não existe uma relação linear entre
as formas de onda de tensão e corrente nos terminais da
carga. De certa forma, a presença da indutância parasita de
entrada L é benéfica para a rede uma vez que aumenta o
tempo de duração da corrente na entrada do conversor.
III. MODELAGEM DO RETIFICADOR EM PONTE COM
FILTRO CAPACITIVO E INDUTOR DE ENTRADA
Atualmente, a maioria das fontes de alimentação
comerciais é do tipo comutada ou chaveada, e apresenta uma
estrutura clássica como a representada na Fig. 1. Devido à
presença do conversor CC-CC operando em alta freqüência,
a inclusão de filtros EMI é praticamente inevitável de forma
que o indutor L não poderá ser considerado desprezível na
maioria das aplicações.
Como resultado da análise destas topologias de
retificação, será apresentado um estudo que visa a criar uma
metodologia para identificar os valores dos componentes
equivalentes: o capacitor equivalente Ceq, o indutor
equivalente Leq e o resistor equivalente Req. A aplicação deste
processo é levada a efeito a partir das medidas das formas de
onda de tensão e corrente de entrada.
Uma vez conhecida a potência consumida pelo retificador
e o valor médio da corrente de saída da ponte retificadora,
vide Fig. 2 (iD out), é possível a determinação do valor do
resistor equivalente Req, uma vez que se pode assumir que
toda componente contínua desta corrente irá circular pela
carga resistiva equivalente, e que a totalidade da componente
alternada é desviada pelo capacitor de filtro CCC. Para a
obtenção direta do valor médio da corrente de saída da ponte
de diodos seria necessária a utilização de processos invasivos
os quais não são permitidos na maioria das situações. Uma
simples análise do circuito representado da Fig. 1 permite
que se observe que a corrente que irá circular na saída da
ponte retificadora iD out corresponde ao valor absoluto da
corrente de entrada i(t). Desta forma, é possível a obtenção
do valor médio da corrente iD out (ID Méd) de forma indireta,
conforme é ilustrado em (1).
1 
(1)
I D Méd ( t ) 
i ( t ) d  t
 0
O valor do resistor equivalente Req pode agora ser
facilmente determinado a partir da lei de ohm. É válido
reforçar que, segundo a análise descrita neste trabalho, está
sendo assumido que a corrente que circula pelo resistor é
constante e isenta de harmônicos, o que resulta em (2),
conforme representado abaixo:
Re q 
Fig. 2. Formas de onda de tensão na carga, tensão na entrada do
retificador e corrente na entrada do retificador circulando na
instalação na presença de indutância parasita.
Os principais problemas associados a esta topologia
podem ser observados a partir da Fig. 2, onde a corrente de
entrada apresenta uma elevada taxa de crescimento (di/dt), a
qual pode ser responsável pela elevação do nível de
interferências eletromagnéticas (EMI) geradas pelo circuito.
Ocorre uma redução do ângulo de condução dos diodos em
relação ao período. Além disso, uma elevação significativa
do valor máximo da corrente de entrada é observada em
relação a uma hipotética corrente senoidal, para uma mesma
potência.
P
I D Méd 2
(2)
Para obtenção das equações de i(t), vC(t) e iC(t), será
utilizada a abordagem clássica da eletrônica de potência que
consiste em estudar o comportamento do circuito nas suas
diversas etapas de funcionamento. Assim, o circuito da Fig. 1
pode ser redesenhado conforme mostrado na Fig. 3, de forma
a representar a primeira etapa de funcionamento do circuito
retificador na qual a tensão da rede é aplicada diretamente ao
circuito via condução dos diodos. Esta etapa se desenvolve
durante o intervalo de tempo no qual ocorre a carga do
capacitor CCC e permanece durante o intervalo tD on. Para o
prosseguimento desta análise, será apresentado o conjunto de
equações diferenciais que descrevem o comportamento do
circuito retificador de entrada. Este circuito é bastante
conhecido do ponto de vista qualitativo ainda que se
verifique na literatura um reduzido acervo de informações do
ponto de vista quantitativo. Neste trabalho, pretende-se
preencher esta lacuna apresentando uma ampla análise
quantitativa que, baseada no equacionamento deste circuito,
permitirá a identificação e a modelagem das diversas cargas
eletrônicas descritas anteriormente.
A corrente de entrada i(t) pode ser obtida conforme
mostrado em (3).
(3)
i t   iC t   iR t 
Fig. 3. Circuito equivalente da etapa de carga do
capacitor CCC para análise linear
iR  t  
d vC  t 
(4)
dt
vC  t 
(5)
R
Desta forma, a corrente de entrada pode ser obtida
substituindo-se (4) e (5) em (3) o que resulta em (6) abaixo
representada.
d vC  t  vC  t 
(6)
i t   C

CC
dt
R
d i t 
dt
 vC  t 
(7)
Isolando-se a tensão no capacitor CCC, vC(t), pode-se
reescrever (7) resultando em (8):
vC  t   v  t   L
d i t 
(8)
Sendo
A2  B 2
A2  B 2 sen  t   
o valor de pico da tensão da rede e
(11)
B

 A
  tg 1 
o ângulo de defasagem entre a corrente na entrada do
retificador e a tensão da rede. Os coeficientes A e B podem
então ser obtidos conforme expresso em (12) e (13),
respectivamente.
(12)
A  2 V cos( )
(13)
B  2 Vsen( )
Esta modificação na forma de definir a tensão de entrada
v(t) visa a simplificar a solução da equação diferencial
expressa em (10). Assim, substituindo-se (11) em (10),
chega-se a (14).
(14)
d2
L d
LCCC
vC  t  
vC  t   vC  t   A sen  t   B cos  t 
2
R dt
Aplicando-se a transformada de Laplace em (14), obtémse uma solução na forma de uma expressão para a tensão no
capacitor CCC, vc(t) e, através de (6), chega-se à expressão
para a corrente na entrada do retificador, i(t), conforme
representado abaixo (no final deste artigo estas duas
equações são reproduzidas utilizando-se toda a largura da
página):
 b v  0  C3





B
B
B
C B 
vC  t    2  C1  sen  t    C1 
C2  cos  t    C
 
 2 C1  bC2  ebt sen (at )   vC  0   C1 
C2  ebt cos (at )
A 
a Aa 
A 
 A 


 a



(15)
i t  
vc  t 
R


 


  b sin  a t 

B 
B 
B
B
 CCC   C2 
C1  cos  t     C1  C2  sin  t    bVco  C3 
 2 C1  b C2  ebt 
cos  a t    Vco  C1 
C2  e bt b cos  a t   a sin  a t   


A
A 
A
a
A 



 
 




(16)
dt
Onde:
Substituindo-se (6) em (8), obtém-se (9):
d vC  t  vC  t  
d 
vC  t   v  t   L  CCC


dt
dt
R 
(10)
Solucionando-se esta equação diferencial, é possível a
determinação da tensão no capacitor CCC durante o intervalo
de carga e, posteriormente, a determinação da expressão da
corrente de entrada i(t) através de (6).
É de fundamental importância recordar que o circuito em
análise não representa um circuito linear, mas sim um
circuito não-linear, porém linear por partes. Portanto, é
necessário expressar corretamente o momento em que ocorre
esta etapa de funcionamento, a qual tem início quando a
tensão no capacitor CCC torna-se igual à tensão da rede
depois de transcorrido o intervalo (tD off) e termina quando a
corrente de entrada se anula (i(t)=0).
Para representar a tensão de entrada no início da
condução, a tensão da rede não será expressa como uma
simples onda senoidal, mas como uma composição de duas
ondas operando na mesma freqüência sendo uma senoidal e
outra co-senoidal, conforme representado em (11).
dt
Uma expressão para tensão de entrada pode ser obtida
aplicando-se a lei das malhas ao circuito representado na Fig.
3, o que resulta em (7).
v t   L
d2
L d
vC  t  
vC  t   vC  t   v  t 
d t2
R dt
A sen  t   B cos  t  
Sendo as correntes no capacitor e no resistor obtidas a
partir dos conceitos básicos de circuitos elétricos, (4) e (5)
descrevem a evolução destas variáveis.
iC  t   CCC
LCCC
(9)
O desenvolvimento apresentado conduz a uma equação
diferencial ordinária linear de segunda ordem nãohomogênea, cuja saída é a tensão no capacitor Vc(t),
conforme representado em (10):
C1  A 

2 b a 2  2 b3
a  b  2 a    2 a 2  b2  2 a    2
2

2
a 4  a 2  2  2 a 2 b2   2 b2  b4
C2  A  2 2
a  b  2 a    2 a 2  b2  2 a    2

C3  A 

a  a   b   b
a  b  2 a    2 a 2  b2  2 a    2
4

2
2
2
4

2
b
1
2 Re qCcc
2
2



(17)
(18)
(19)
(20)
a 2  b2 
1
LCcc
(21)
O valor obtido para CCC a partir das expressões acima
corresponderá ao capacitor equivalente Ceq e o valor obtido
para L corresponderá ao indutor equivalente Leq. Desta
forma, de posse destas expressões, é possível montar um
sistema de equações que permita a determinação dos
parâmetros de circuito desejados: resistor equivalente Req,
capacitor equivalente Ceq e indutor equivalente Leq.
Observando-se (17), (18) e (19), é possível constatar que o
conjunto de coeficientes C1, C2 e C3 dependem dos
parâmetros a e b definidos em (20) e (21) que, por sua vez,
são função dos parâmetros de circuito que se deseja
determinar. O sistema de equações pode ser definido pela
utilização dos valores obtidos a partir dos resultados
experimentais. Para montar este sistema de equações, foram
eleitos alguns pontos de interesse de fácil obtenção através
de ensaios de campo não invasivos.
A partir do momento em que se estabelece a condução dos
diodos (t=0), sabe-se que a tensão vC(0) é igual à tensão de
entrada da rede (vC(0) = v(0)) e que a corrente de entrada é
nula (i(0) =0). Este momento pode ser identificado como o
instante no qual a corrente de entrada do retificador começa a
evoluir a partir de zero. A tensão da rede no instante inicial
v(0) é obtida a partir das medidas realizadas com o
osciloscópio.
No instante em que ocorre o pico da corrente de entrada
(tp), a derivada da corrente e a tensão no indutor L são nulos
e, portanto, toda a tensão da rede é aplicada ao capacitor CCC.
Em resumo, i(tp) = Ip e vC(tp) = Veip, sendo os valores de tp,
Veip e Ip obtidos a partir das aquisições de dados realizadas
experimentalmente ou a través de uma simulação para
validação do método.
Sabe-se que, depois de transcorrido o intervalo de
condução dos diodos tD on, a corrente de entrada volta a ser
nula. Em resumo, i(tD on) = 0 sendo o valor de tD on obtido a
partir das medidas realizadas.
Como se pode observar foi estabelecido um sistema de
equações para determinar três incógnitas (Req, Leq e Ceq).
Convém ressaltar que se trata de um conjunto de equações
transcendentais e, portanto, sem solução analítica. Por esta
razão, utilizou-se um maior número de equações do que
aquele necessário para obtenção da resposta. Para facilitar a
convergência do algoritmo de solução do conjunto de
equações, optou-se por determinar o valor do resistor
equivalente conforme expresso em (2). Esta alternativa
viabilizou a convergência do algoritmo para valores de
indutor equivalente Leq e capacitor equivalente Ceq, uma vez
que não existe uma única combinação destes componentes
que solucione o conjunto de equações descrito anteriormente.
Portanto, a solução encontrada depende muito das condições
iniciais empregadas (valores iniciais de Req, Leq e Ceq).
mostra o as formas de onda de tensão, corrente, módulo da
corrente e potência dividida por 50. Observando-se as formas
de onda da corrente, é fácil constatar a sua característica nãolinear.
Fig. 4. Formas de Onda de Tensão, Corrente, Módulo da
Corrente e Potência/50 na Entrada do Retificador.
Os resultados mostrados na Fig. 4 são típicos de um
retificador monofásico com filtro capacitivo. Os
componentes utilizados na simulação foram os seguintes:
indutor de entrada L de 1 mH, capacitor CCC de 3300 F e
resistor equivalente de carga R de 11 .
Os parâmetros sintetizados na tabela I foram obtidos a
partir das formas de onda de tensão, corrente de entrada,
módulo da corrente de entrada e potência de entrada obtidos
a partir da simulação realizada e mostrados na Fig. 4.
TABELA I
Medições
Vo = 125,00 VRMS
f = 60,00 Hz
VCO = 149,40 V
P = 2242,22 W
Ip = 50,90 A
Imed = 14,26 A
tD on = 4,16 ms
tp = 2,70 ms
Veip = 159,00 V
Onde:
Vo
f
VCO
P
Ip
Imed
tp
IV. PROCESSO DE CÁLCULO
Para exemplificar o processo de cálculo e estimação de
parâmetros RLC do modelo equivalente para uma carga nãolinear, conforme o procedimento acima descrito foi simulado
o comportamento de uma carga não linear monofásica de 2,2
kW alimentada a partir de uma rede de 125 VRMS. A Fig. 4
tD on
Veip
- Tensão eficaz da rede elétrica
- Freqüência da rede elétrica
- Tensão instantânea da rede no momento inicial de
condução
- Potência de entrada
- Máxima corrente de entrada
- Valor médio da corrente na saída da ponte
retificadora
- Intervalo entre o inicio da corrente e o pico da
mesma
- Intervalo de condução da corrente
- Tensão de entrada no instante de pico da corrente
Para a solução numérica do sistema de equações obtido
através de vC(t) e i(t), é necessário que valores iniciais sejam
atribuídos a Req_ini, Leq_ini e Ceq_ini. Para tanto, foi
desenvolvido um método para a determinação inicial
aproximada de Req_ini, Leq_ini e Ceq_ini. O método que será
apresentado conduz a valores aproximados uma vez que não
considera a existência do indutor e aproxima a tensão do
capacitor a trechos de retas.
Um valor inicial para o resistor equivalente pode ser
encontrado através de (2), conforme já mencionado. Para a
determinação de um valor inicial de capacitor equivalente,
foi aplicada a expressão mostrada a seguir:
2 tdoff  V max 2  V max .V min  V min 2 
Ceq _ ini 
.

3 Re q _ ini 
V max 2  V min 2

Onde:
Vmax
Vmin
Como na maioria dos casos não é possível ter acesso a tensão
de saída os valores de Vmax e Vmin podem ser estimados
conforme mostrado a continuação.
V max  R P  0,95 VCO
(23)
V min  0,95 VCO
(24)
Por fim, para a determinação de uma expressão para o
cálculo do valor inicial para o indutor equivalente, foi
considerado o intervalo de condução da corrente de entrada
ao qual está associada a freqüência de oscilação amortecida.
Esta freqüência, que corresponde ao módulo da parte
imaginária das raízes do polinômio característico associado a
(10), pode ser representada conforme indicado abaixo:
1
1



Leq _ ini Ceq _ ini  2 Re q _ ini Ceq _ ini 
2
TABELA III
Coeficientes
A = 94,497
B = 149,4
Os valores iniciais já calculados para os parâmetros RLC e
aplicados em (20) e (21) permitem a determinação dos
seguintes valores iniciais para a e b, que serão aplicados
diretamente no sistema de equações:
TABELA IV
Parâmetros
a =754,646
b= -23,313
Como resultado da aplicação do processo interativo
desenvolvido em ambiente Mathcad® a partir dos valores
iniciais aproximados determinados acima, obtém-se os
seguintes valores finais para os parâmetros RLC:
Valores Reais
R = 11,0 Ω
C = 3300,0 F
L = 1000,0 H
TABELA V
Valores Calculados
Req = 11,027 Ω
Ceq = 3347,0 F
Leq = 1003,0 H
(25)
Aproximando-se o intervalo de condução da corrente à
metade do período associado à freqüência de oscilação
amortecida, pode-se estimar o valor da indutância
equivalente através de (26):
tdoff 2
(26)
Leq _ ini  4Ceq _ ini Re q _ ini 2 .
tdoff 2  4 2Ceq 2 Re q 2
Os valores iniciais obtidos para os parâmetros de
resistência, indutância e capacitância equivalentes a partir da
aplicação do critério de cálculo apresentado acima foram os
seguintes:
TABELA II
Valores Iniciais
Req_ini = 11,027 Ω
Ceq_ini = 1945 F
Leq_ini = 901,9 H
Ao instante no qual ocorre o início da condução, está
associado um ângulo de fase
de acordo com (27).
(27)
Através da aplicação de (12) e (13), e usando-se o valor
de referência já apresentado para a tensão eficaz da rede,
bem como o valor para o ângulo de fase obtido através de
(25), foram determinados os seguintes valores para os
coeficientes A e B:
(22)
- Tensão máxima de saída
- Tensão mínima de saída
a
 Vco 

 2.Vo 
  asen 
 o qual pode ser determinado
Como se pode observar, os valores obtidos são extremamente
próximos aos parâmetros originais do circuito retificador
utilizado neste estudo.
V. CONCLUSÃO
Neste artigo, foi apresentado um estudo completo que
conduziu a um processo de modelagem e identificação no
domínio tempo para representar, através de simuladores
comerciais, o comportamento de cargas não-lineares
constituídas pelas fontes de alimentação chaveadas de
equipamentos como PCs, monitores de vídeo, equipamentos
de áudio e reatores eletrônicos. Um árduo trabalho foi
necessário para a elaboração da metodologia proposta uma
vez que, na bibliografia disponível, não foram identificados
outros métodos de análise no domínio tempo que fossem
voltados para a estimação dos componentes dos circuitos
equivalentes para estes tipos de carga. Assim, o método de
identificação proposto neste artigo se constitui em uma
contribuição original deste trabalho.
Simples manipulações de expressões algébricas foram
utilizadas para a identificação dos valores equivalentes destes
componentes. A identificação dos componentes que
compõem os equipamentos é realizada através da associação
de um levantamento de cargas e do sistema de equações
proposto.
A partir da identificação dos parâmetros do circuito
equivalente proposto, é possível realizar simulações no
domínio tempo dos diversos equipamentos eletrônicos
existentes em uma instalação elétrica qualquer, já os circuitos
equivalentes para máquinas elétricas e cargas RL e R podem
ser facilmente identificados a partir da aquisição das formas
de onda de tensão e de corrente e da utilização da teoria
clássica de circuitos. A análise quantitativa das formas de
onda resultantes da simulação, a partir do levantamento de
uma série de parâmetros descritivos como fator de potência,
fator de deslocamento, potência aparente, potência reativa e
nível de distorção harmônica, conduz ao dimensionamento
da influência de um determinado agrupamento de cargas de
uma instalação em análise, na qualidade de energia fornecida
pela rede.
Os resultados obtidos a partir das medições realizadas
mostram a precisão do método proposto, porém a limitação
deste quanto a exatidão esta associada à idealização da forma
de onda da tensão a qual na maioria das instalações apresenta
importantes componentes harmônicas, a dificuldade de se
determinar com exatidão os valores das grandesas escolhidas
nos instantes estabelicidos e as incertezas associadas aos
instrumentos e as sondas. Para minimizar estes problemas
uma nova metodologia encontra-se em desenvolvimento em
nosso laboratório.
REFERÊNCIAS
[1] Power quality characteristics of computer loads, Koval,
D.O.; Carter, C.; Industry Applications, IEEE Transactions
on Volume 33, Issue 3, May-June 1997, Page(s): 613 – 621.
[2] Modelling the power quality characteristics of computer
loads Liang Jiao; Koval, D.; Salmon, J.; Xu, W.; Electrical
and Computer Engineering, 1999 IEEE Canadian Conference
on Volume 3, 9-12 May 1999 Page(s): 1283 - 1288 vol.3.
[3] Non-linear load modeling for simulations in time domain,
Reformat, M.; Woodford, D.; Wachal, R.; Tarko, N.J.;
Harmonics And Quality of Power, 1998. Proceedings. 8th
International Conference on Volume 1, 14-16, Oct. 1998,
Page(s) 506 - 510 vol.1.
[4] Modelling and identification of nonlinear dynamic loads
in power systems, Karlsson, D.; Hill, D.J.; Power Systems,
IEEE Transactions on Volume 9, Issue 1, Feb. 1994, Page(s):
157 – 166.
[5] Modeling nonlinear loads for aerospace power systems,
Karimi, K.J.; Mong, A.C.; Energy Conversion Engineering
Conference, 2002. IECEC '02. 2002 37th Intersociety, 29-31,
July 2004, Page(s): 33 – 38.
 b v  0  C3





B
B
B
C B 
vC  t    2  C1  sen  t    C1 
C2  cos  t    C
 
 2 C1  bC2  ebt sen (at )   vC  0   C1 
C2  ebt cos (at )

A
A

a
a
Aa

A











(15)
i t  
vc  t 
R


 


  b sin  a t 

B 
B 
B
B
 CCC   C2 
C1  cos  t     C1  C2  sin  t    bVco  C3 
 2 C1  b C2  ebt 
cos  a t    Vco  C1 
C2  e bt b cos  a t   a sin  a t   


A
A
A

a
A





 

 




(16)