Séries Consideremos uma sequência de termo geral an . A partir dos termos desta sequência formamos uma nova sequência de termo geral sk , onde s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 ... P sk = a1 + a2 · · · ak = kn=1 an . Se a sequência (sk ) tem limite s quando k tende para o infinito, dizemos que a série e k ∞ X X s = lim sk = lim an = an . k→∞ k→∞ n=1 P∞ n=1 an é convergente n=1 P∞ A sequência (sk ) é chamada soma parcial da série n=1 an . E se (sk ) não tem limite quando k tende para P∞ o infinito, dizemos que a série n=1 an é divergente. Exemplos: A série geométrica ∞ X aq n−1 = a + aq + aq 2 + · · · n=1 é convergente se |q| < 1 e sua soma é ∞ X aq n−1 = n=1 a 1−q |q| < 1. Se |q| ≥ 1, a série geométrica é divergente. Exemplos: A série harmônica ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + + ··· n 2 3 4 n=1 é divergente. Teorema: Se a série P∞ n=1 an for convergente, então limn→∞ an = 0. O Critério para P∞ Divergência (ou Critério do termo geral): Se limn→∞ an não existir ou se limn→∞ an 6= 0, então a série n=1 an é divergente. Critério da Integral: R ∞ em [1, ∞) e seja an = P∞Suponha que f seja uma função contı́nua, positiva e decrescente f (n). Então a série n=1 an é convergente se e somente se a integral imprópria 1 f (x)dx for convergente. Em outra palavras: ∞ Z i. Se f (x)dx for convergente, então 1 Z ii. Se ∞ f (x)dx for divergente, então 1 ∞ X an é convergente. n=1 ∞ X an é divergente. n=1 1 Exemplos: A p-série ∞ X 1 é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1. np n=1 Critério da Comparação: Suponha que i. Se ii. Se P∞ n=1 an P∞ e n=1 bn sejam séries com termos positivos. P∞ P∞ n=1 bn for convergente e an ≤ bn para todo n, então n=1 an também será convergente. P∞ P∞ n=1 bn for divergente e an ≥ bn para todo n, então n=1 an será divergente. Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Exemplo: ∞ X (−1)n−1 n=1 n =1− 1 1 1 1 + − + ··· 2 3 4 5 Critério da Série Alternada: Se a série alternada ∞ X (−1)n−1 bn = b1 − b2 + b3 − b4 + b5 − b6 + · · · (bn > 0) n=1 satisfizer i. bn+1 ≤ bn para todo n ii. limn→∞ bn = 0 então a série é convergente. P∞ P Uma série ∞ n=1 |an | for n=1 an é chamada absolutamente convergente se a série de valores absolutos convergente. P Uma série ∞ n=1 an é chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente. Teorema: Se uma série P∞ n=1 an for absolutamente convergente, então ela é convergente. O Critério da Razão: an+1 = L < 1, então a série P∞ an é absolutamente convergente. i. Se limn→∞ n=1 an an+1 P > 1, então a série ∞ an é divergente. ii. Se limn→∞ n=1 an an+1 = 1, o Critério da Razão não é conclusivo. iii. Se limn→∞ an O Critéria da Raiz: p P i. Se limn→∞ n |an | = L < 1, então a série ∞ n=1 an é absolutamente convergente. p P∞ n ii. Se limn→∞ |an | = L > 1, então a série n=1 an é divergente. p iii. Se limn→∞ n |an | = 1, o Critério da Raiz não é conclusivo. 2