Séries – 4. Séries de Termos N˜ao-Negativos

Séries – 4. Séries de Termos Não-Negativos
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Motivação
•
∞
X
an =? – Difı́cil de encontrar solução exata :(
n=1
1
: Temos como avaliar a sua soma
n(n + 1)
exatamente porque obtemos uma fórmula simples para a n-ésima soma
parcial sn.
• Séries Geométricas e a série
P
• Em geral, é complicado calcular lim sn.
n→∞
• Logo, desenvolveremos testes que nos permitam determinar se uma série é
convergente ou divergente, sem encontrar sua soma explicitamente.
Séries de Termos Não-Negativos: Corolário
Questões: Dada uma séria
P
an, pergunta-se:
1. A série converge ?
2. Se converge, qual a sua soma ?
Caso de estudo:
• an ≥ 0;
• Somas parciais formam uma seqüência crescente pois sn+1 = sn + an e
an ≥ 0. Assim:
s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ · · · ≤ sn ≤ sn+1 ≤ · · ·
P
• Se a seqüência acima é limitada superiormente,
an convergirá.
∞
X
Corolário: Uma série
an, com an ≥ 0, converge se suas somas parciais são
n=1
limitadas superiormente.
Teste da Integral – Exemplo (1)
Ferramenta: Integrais Impróprias!
Exemplo (1): Mostre que a série abaixo converge.
∞
X
1
1
1
1
1
=
+
+
+
·
·
·
+
+ ···
2
2
2
2
2
n
1
2
3
n
n=1
1
Resolução: A área abaixo da função f (x) = 2 no intervalo [1, ∞) é calculada
x
como:
b
Z ∞
Z b
1
1
1
1
A=
dx = lim
dx = lim −
= lim − + 1 = 1
2
2
b→∞
b→∞
b→∞
x
x
x
b
1
1
1
Note que:
1
1 1
+ ··· < 1 +
1+ + +
4 9 16
Z
1
∞
1
dx = 1 + 1 = 2.
x2
∞
X
1
A série
é limitada superiormente =⇒ é convergente!
2
n
n=1
Teste da Integral: Figuras para os exemplos (1) e (2)
Teste da Integral – Exemplo (2)
Exemplo (2): A série abaixo é convergente ?
∞
X
1
1
1
1
1
√ = √ + √ + √ + ··· + √ + ···
n
n
1
2
3
n=1
1
Resolução: A área abaixo da função f (x) = √ no intervalo [1, ∞) é calcux
lada como:
!
√
√ b
Z ∞
Z b
1
x
b−1
1
√ dx = lim
A=
=∞
x− 2 dx = lim
= lim
b→∞
b→∞
b→∞
2
2
x
1
1
1
∞
X
1
√ não é limitada superiormente =⇒ é divergente!
A série
n
n=1
O Teste da Integral
Teste: Suponha que f seja uma função contı́nua, positiva e decrescente em
∞
X
an é:
[1, ∞) e seja an = f (n). Então a série
n=1
Z
∞
X
∞
• Se
f (x) dx for convergente, então
1
Z
• Se
∞
f (x) dx for divergente, então
an é convergente.
n=1
∞
X
1
an é divergente.
n=1
Exemplo (3): Teste a série abaixo para convergência ou divergência:
∞
X
n=1
Exemplo (4): Determine se a série
1
n2 + 1
∞
X
ln n
n=1
n
converge ou diverge.
A p-série
p-série: Seja p ∈ R. A p-série
∞
X
1
1
1
1
1
=
+
+
+
·
·
·
+
+ ···
p
p
p
p
p
n
1
2
3
n
n=1
é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1.
Demonstração: Já vimos que:
Z
∞
1
1
dx
xp
converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
Exemplo (5): Analise as séries abaixo:
∞
X
1
1.
n3
n=1
∞
X
1
√
2.
3
n
n=1
Teste da Comparação
P
P
Teste: Sejam
an e
bn séries com termos positivos.
P
P
bn for convergente e an ≤ bn para todo n, então
an também
1. Se
será convergente.
P
P
2. Se bn for divergente e an ≥ bn para todo n, então an também será
divergente.
Exemplo (6): Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes:
1.
∞
X
n=1
5
2n2 + 4n + 3
2.
∞
X
ln n
n=1
n
Casos Especiais
Séries Convergentes
Séries Divergentes
Série Geométrica com |r| < 1 Série Geométrica com |r|≥ 1
Série telescópica
∞
X
n=1
1
n(n + 1)
∞
X
1
Série
n!
n=1
A série harmônica
∞
X
1
n=1
Qq série
P
n
an tq lim an =6 ∃
n→∞
ou lim an 6= 0
n→∞
∞
X
1
p-série
, com p > 1
p
n
n=1
∞
X
1
p-série
, com p ≤ 1
p
n
n=1
Teste de Comparação no Limite
Teste: Suponha que an > 0 e bn > 0 para ∀n ≥ N (N ∈ Z+).
P
P
an
1. Se lim
= c, 0 < c < ∞, então tanto
an quanto
bn convergem
n→∞ bn
ou ambos divergem.
P
P
an
=0e
bn converge, então
an converge.
2. Se lim
n→∞ bn
P
P
an
3. Se lim
=∞e
bn diverge, então
an diverge.
n→∞ bn
Exercı́cios (7): Teste as séries para a convergência ou divergência.
1.
∞
X
n=1
1
2n − 1
∞
X
2n2 + 3n
√
2.
5 + n5
n=1
Teste da Razão
Teste: Seja
P
an uma série de termos positivos e suponha que:
an+1
=ρ
n→∞ an
lim
Então:
1. a série converge se ρ < 1;
2. a série diverge se ρ > 1 ou ρ for infinito;
3. o teste é inconcludente se ρ = 1.
∞
X
nn
Exemplo (8): Teste a convergência da série
.
n!
n=1
O Teste da Raiz
Teste: Seja
P
an uma série com an ≥ 0 para n ≥ N e suponha que:
√
lim n an = ρ
n→∞
Então:
1. a série converge se ρ < 1;
2. a série diverge se ρ > 1 ou ρ for infinito;
3. o teste é inconcludente se ρ = 1.
n
∞ X
2n + 3
Exemplo (9): Teste a convergência da série
.
3n
+
2
n=1
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 42 e 43;
Exercı́cios: 1 à 79