Séries – 3. Séries Infinitas

Séries – 3. Séries Infinitas
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Séries
Idéia inicial: Se tentarmos adicionar os termos de uma seqüência infinita
{an}∞
n=1 , obtemos:
a1 + a2 + · · · + an + · · ·
(1)
denominada como série infinita (ou apenas série) e é denotada como:
∞
X
an
ou
X
an
n=1
Atenção: Faz sentido falar em uma soma de termos infinitos ?
• Seria impossı́vel encontrar uma soma finita para a série:
1 + 2 + 3 + ··· + n + ··· =
∞
X
n
n=1
• Por outro lado, se começarmos a adicionar os termos da série
∞
X 1
1
1 1 1
+ + + ··· + n + ··· =
=1
n
2 4 8
2
2
n=1
Somas Parciais
Idéia: Para determinar se uma série geral (1) tem uma soma ou não, usamos
somas parciais:
s1 = a1
s2 = a1 + a2
s3 = a1 + a2 + a3
e, em geral,
sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an =
n
X
ai
i=1
Observação : As somas parciais formam uma nova seqüência {sn}, que pode
ou não ter um limite. Assim, se
lim sn = s
n→∞
existir, então o chamamos de soma da série infinita
P
an.
Definição de Série
Definição: Dada uma série
n-ésima soma parcial:
P∞
sn =
n=1
n
X
an = a1 + a2 + a3 + · · · , denote por sn sua
ai = a1 + a2 + · · · + an
i=1
Se a seqüência
{sn} for convergente e limn→∞ sn = s existir (s ∈ R), então
P
a série
an é denominada convergente e escrevemos:
a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · = s
ou
∞
X
an = s
n=1
O número s é chamado de soma da série. Caso contrário, a série é dita
divergente.
∞
n
X
X
an = lim
Atenção:
ai
n=1
n→∞
i=1
Séries Geométricas
Idéia:
• Cada termo da série geométrica é obtida a partir do seu termo precedente multiplicando-se pelo mesmo número r.
• Processo infinito com relação nos quais os matemáticos estavam relativamente seguros antes do Cálculo.
Forma:
a + ar + ar2 + · · · + arn−1 + · · · =
∞
X
n=1
onde a, r ∈ R fixos e a 6= 0.
Exemplo: A razão pode ser positiva ou negativa:
n−1
1 1
1
• 1 + + + ··· +
+ ···
2 4
2
n−1
1 1
1
• 1 − + − ··· + −
+ ···
3 9
3
arn−1
Série Divergente: Se r = 1:
sn = a + a + a + · · · + a = na → ±∞
e
lim sn =6 ∃
n→∞
Série Convergente: Se |r| < 1:
sn = a + ar + ar2 + · · · + arn−1
rsn =
ar + ar2 + · · · + arn−1 + arn
Subtraindo essas equações, obtemos:
sn − rsn = a − arn
a (1 − rn)
sn =
1−r
Como rn → 0 quando n → ∞:
a (1 − rn)
a
a
a
lim sn = lim
=
−
lim rn =
n→∞
n→∞
1−r
1 − r 1 − r n→∞
1−r
Série Divergente: Se r ≤ −1 ou r > 1, a seqüência é divergente e
lim sn =6 ∃
n→∞
Séries Geométricas – Definição
A série geométrica
∞
X
arn−1 = a + ar + ar2 + · · ·
n=1
é convergente se |r| < 1 e sua soma é:
∞
X
arn−1 =
n=1
Se |r| ≥ 1, a série é divergente.
a
,
1−r
|r| < 1
Séries Geométricas – Exemplo
Encontre a soma da série geométrica:
5−
10 20 40
+
−
+ ···
3
9
27
Solução: Note que:
5−
10 20 40
+
−
+ ··· =
3
9
27
Assim, a = 5, r = |r| =
5−
∞
X
n=1
5· −
2
3
n−1
2
< 1, e portanto, a série é convergente! Sua soma é:
3
10 20 40
5
5
+
−
+ ··· =
=
5 = 3
3
9
27
1 − − 23
3
Séries Geométricas – Graficamente
Séries Geométricas – Mais exemplos
1. A série
∞
X
22n31−n é convergente ou divergente ?
n=1
2. Escreva o número 2.317 = 2.3171717... como uma razão de inteiros.
∞
X
3. Encontre a soma da série
xn, onde |x| < 1.
n=0
4. Mostre que a série
∞
X
n=1
1
é convergente e calcule sua soma.
n(n + 1)
Teorema
Enunciado: Se a série
∞
X
an for convergente, então lim an = 0.
n→∞
n=1
Demonstração: Seja sn = a1 + a2 + · · · + an. Então an = sn − sn−1.
P
Como
an é convergente, a seqüência {sn} é convergente. Seja:
lim sn =
n→∞
lim
(n−1)→∞
sn−1 = s
e
lim an = lim (sn − sn−1) = s − s = 0
n→∞
n→∞
Atenção: A recı́proca deste teorema não P
é verdadeira em geral.
limn→∞ an = 0, não podemos concluir que
an seja convergente.
Se
Teste para Divergência
Teste para Divergência: Se lim an não existir ou se lim an 6= 0, então a
n→∞
n→∞
∞
X
an é divergente.
série
n=1
Exemplo (5): Mostre que a série
∞
X
n=1
n2
diverge.
5n2 + 4
Reindexação:
• Aumentar:
∞
X
an =
n=1
• Diminuir:
∞
X
n=1
an =
∞
X
an−h = a1 + a2 + a3 + · · ·
n=1+h
∞
X
n=1−h
an+h = a1 + a2 + a3 + · · ·
Propriedades de Séries Convergentes
Teorema: Se
P
an = A e
1. Regra da Soma:
∞
X
P
bn = B são séries convergentes e k ∈ R, então:
(an + bn) =
an +
∞
X
∞
X
(an − bn) =
n=1
bn = A + B
n=1
n=1
n=1
2. Regra da Subtração:
∞
X
∞
X
an −
n=1
∞
X
3. Regra da Multiplicação por Constante:
∞
X
bn = A − B
n=1
k · an = k ·
∞
X
n=1
Exemplo (6): Calcule a soma da série
∞ X
n=1
1
3
+ n
n(n + 1) 2
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 30 à 32;
Exercı́cios: Todos!
n=1
an = k · A