Cap´ıtulo 2

Capı́tulo 2
Séries numéricas
2.1
Sucessões numéricas
Sucessão de números reais é toda a aplicação do conjunto dos números naturais no conjunto dos números reais, representada do seguinte modo
a : N
−→ R
n
7−→ a(n) = an
.
É costume indicar o termo geral da sucessão por an e a sucessão por (an ). Os números
reais a1 , a2 , . . . representam os termos da sucessão.
Exemplo 2.1
Considere as sucessões de termo geral
an =
1
n
e
bn =
Sobre a monotonia de uma sucessão (an ) tem-se:
(i) A sucessão é crescente em sentido lato se
an+1 − an ≥ 0
para todo o n ∈ N.
(ii) A sucessão é decrescente em sentido lato se
an+1 − an ≤ 0
para todo o n ∈ N.
15
n
1
1+
.
n
Séries numéricas
Exemplo 2.2
A sucessão de termo geral
1
n
é uma sucessão estritamente decrescente. De facto, tem-se
an =
an+1 − an = −
1
<0
n2 + n
para todo o n ∈ N.
Uma sucessão numérica (an ) é limitada se existe um número L ∈ R+ tal que |an | < L
para todo o n ∈ N. Se a condição anterior não é satisfeita, então a sucessão (an ) diz-se
não limitada.
Exemplo 2.3
A sucessão de termo geral
1
n
é uma sucessão limitada. Para confirmar esta afirmação, basta escolher por exemplo o
an =
número L = 2.
Uma sucessão (an ) tem por limite o número real a, isto é,
lim an = a ,
n
se e só se para toda a vizinhança do número a, Vǫ (a) (ǫ > 0), existe (uma ordem) p ∈ N
tal que
an ∈ Vǫ (a) sempre que
n ≥ p.
Do ponto de vista formal, escreve-se
lim an = a
n
Se lim an
n
⇔
∀ ǫ > 0 , ∃ p ∈ N : ∀ n ≥ p ⇒ an ∈ Vǫ (a) .
existe e é finito, então a sucessão (an ) é convergente. Caso contrário, a
sucessão é divergente.
Exemplo 2.4
Ambas as sucessões apresentadas no exemplo 2.1 são convergentes. Tem-se
lim
n
1
=0
n
e
n
1
lim 1 +
= e.
n
n
Os próximos resultados estabelecem algumas ligações entre os conceitos recordados.
16
2.1. Sucessões numéricas
Teorema 2.1
O limite de uma sucessão convergente é único.
Teorema 2.2
Toda a sucessão monótona e limitada é convergente.
Exercı́cio 2.1
Verifique que as seguintes afirmações são verdadeiras.
(a) A sucessão an =
n
X
1
k2
é convergente.
k=1
(b) A sucessão bn =
n
X
1
é divergente.
k
k=1
2.1.1
Progressão aritmética
A sucessão (an ) é uma progressão aritmética de razão r ∈ R se
an+1 = an + r
(isto é, an+1 − an = r)
para todo o n ∈ N. Se r = 0, então todos os termos da sucessão (an ) são iguais ao
primeiro termo a1 . O termo geral da progressão aritmética é
an = a1 + (n − 1) r
e a soma dos k primeiros termos de (an ) é
sk = k
(a1 + ak )
.
2
Esta fórmula permite uma interpretação mais geral. Mostra-se que a soma de k termos
consecutivos da sucessão é dada por
k
(ai+1 + ai+k )
2
qualquer que seja i ∈ N0 .
Exemplo 2.5
A sucessão de termo geral
an = 2n + 3
(5, 7, 9, . . .)
é uma progressão aritmética de razão r = 2.
17
Séries numéricas
2.1.2
Progressão geométrica
A sucessão (an ) é uma progressão geométrica de razão r ∈ R se
an+1
an+1 = an r
= r quando r 6= 0
an
para todo o n ∈ N. Quando r = 0 os termos da sucessão (an ) são todos iguais a zero. O
termo geral da progressão geométrica é
an = a1 r n−1 .
Quando r = 1, a soma dos k primeiros termos da progressão é sk = k a1 . Se r 6= 1, então
a soma dos k primeiros termos da progressão geométrica é igual a
sk = a1
(1 − rk )
.
1−r
Mais geralmente, a expressão
(1 − rk )
,
1−r
qualquer que seja i ∈ N0 , permite obter a soma de k termos sucessivos da progressão
ai+1
geométrica (an ), de razão r 6= 1.
Exemplo 2.6
A sucessão de termo geral
an = 2−n
(1/2, 1/4, 1/8, . . .)
é uma progressão geométrica de razão r = 1/2.
Exercı́cio 2.2
Verifique que:
Se (an ) é uma progressão geométrica de razão r > 0 (com r 6= 1) tal que a1 > 0, então a
sucessão de termo geral bn = log r an é uma progressão aritmética de razão r = 1.
18
2.2. Séries numéricas
2.2
Séries numéricas
Considere o seguinte problema1 :
Imagine um atleta que corre a velocidade constante e que demora m minutos a percorrer
metade do percurso total de uma determinada prova. O tempo que o atleta demora a
concluir a prova pode ser apresentado da seguinte forma
m+
m m m
m
+
+
+ ···+ n + ··· .
2
4
8
2
Parece natural associar ao tempo total da prova o valor 2m, isto é, considerar que
m+
m m m
m
+
+
+ · · · + n + · · · = 2m .
2
4
8
2
Como obter este resultado? E ainda, como efectuar a soma de um “número infinito” de
parcelas? Apresentamos a resposta para estas perguntas nas próximas secções.
2.2.1
Definição e natureza de uma série
Definição 2.1
Seja (an ) uma sucessão de números reais. À expressão matemática
a1 + a2 + a3 + · · ·
representada por
∞
X
an
n=1
chama-se série numérica de termo geral an .
A cada série numérica
∞
X
an
n=1
está associada uma outra sucessão numérica (além de (an )), que é representada por (sn )
e é designada por sucessão das somas parciais. A sucessão (sn ) é definida do seguinte
modo
s1 = a1 ,
s2 = a1 + a2 ,
..
.
sk = a1 + · · · + ak =
k
X
an ,
n=1
..
.
1 Adaptação
do paradoxo de Aquiles e da tartaruga (proposto por Zenão), apresentado no livro “Calculus”de Tom M. Apostol - citado na bibliografia da disciplina.
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Séries numéricas
Definição 2.2
A série numérica
∞
X
an
n=1
diz-se convergente se e só se a sucessão das somas parciais associada é convergente, isto
é, se existe s ∈ R tal que lim sk = s. Ao número s chama-se soma da série e escreve-se
k
∞
X
an = s .
n=1
Definição 2.3
A série numérica
∞
X
an
n=1
diz-se divergente e não tem soma se e só se a sucessão das somas parciais é divergente.
Assim, para uma série numérica
∞
X
an
n=1
podemos pensar em atingir os seguintes objectivos:
• Determinar a natureza da série, isto é, averiguar se é convergente ou divergente.
• Calcular a soma da série quando esta é convergente.
O primeiro objectivo é em geral atingı́vel. O mesmo já não acontece para o segundo
objectivo. De seguida apresentamos duas séries numéricas para as quais é sempre possı́vel
determinar a soma (quando convergentes).
Observação 2.1
Note que a natureza de uma série não depende de um número finito de termos, isto é,
retirar um número finito de termos a uma série não vai alterar a sua natureza.
2.2.2
Série geométrica
Uma série numérica
P
an é geométrica de razão r ∈ R se a sucessão (an ) é
uma progressão geométrica de razão r.
Podemos determinar a natureza de uma série geométrica e, quando convergente, determinar qual a sua soma.
20
2.2. Séries numéricas
Uma série geométrica
∞
X
an
n=1
de razão r ∈ R é convergente se |r| < 1 e a sua soma é
s=
a1
.
1−r
Se |r| ≥ 1 a série é divergente e não tem valor.
Verificação: Seja
∞
X
an
n=1
uma série geométrica de razão r ∈ R. Distinguimos o caso r = 1 do caso r 6= 1. Se (an )
é uma progressão geométrica de razão r = 1 então an = a1 para todo n ∈ N (assumimos
a1 6= 0). A sucessão das somas parciais associada tem termo geral sk = k a1 . A série
geométrica é por isso divergente. Se (an ) é uma progressão geométrica de razão r 6= 1,
então o termo geral da sucessão das somas parciais é
sk = a1 + · · · + ak
=
k
X
an
n=1
= a1
=
Como
k
lim r =
k
1 − rk
1−r
a1
a1 k
−
r .
1−r 1−r



∄


se
0
se



 +∞ se
r ≤ −1 ,
r ∈ ] − 1, 1[ ,
r > 1,
conclui-se que lim sk só existe e é finito igual a a1 /(1 − r) se |r| < 1. Ou seja, se |r| < 1
k
a série geométrica é convergente e tem soma a1 /(1 − r). Se |r| ≥ 1 a série é divergente.
Exemplo 2.7
Considere a série numérica
∞
X
5 5 5
5
= 5 + + + + ··· .
n
2
2 4 8
n=0
Observa-se que
an+1
1
= = r,
an
2
∀n ∈ N.
21
Séries numéricas
Conclui-se que a série é uma série geométrica convergente de soma
s=
a0
= 10 .
1−r
Ou seja, mostrámos que
5+
5 5 5
+ + + · · · = 10 .
2 4 8
Convém observar que a representação de uma série não é única. A série geométrica do
exemplo anterior pode, por exemplo, reescrever-se da seguinte forma
5+
∞
X
5 5 5
5
+ + + ··· =
.
n−1
2 4 8
2
n=1
Exemplo 2.8
O problema proposto no inı́cio da secção diz respeito à série numérica
∞
X
m
n−1
2
n=1
que é uma série geométrica convergente de soma s = 2m.
2.2.3
Série telescópica
Uma série
∞
X
an
n=1
diz-se telescópica (ou de Mengoli) se
an = un − un+p ,
para algum p ∈ N ,
isto é, se o termo geral da série se pode escrever como a diferença de dois
termos, não necessariamente consecutivos, de uma outra sucessão (un ).
Tal como para a série geométrica, existem resultados globais para a determinação da
natureza de uma série telescópica e, quando convergente, da sua soma.
Se lim un existe e é finito, então a série telescópica é convergente e tem soma
n
s = u1 + · · · + up − p lim un .
n
Se lim un não existe ou não é finito, então a série é divergente e não tem soma.
n
22
2.2. Séries numéricas
Para uma série telescópica com p = 2, a sucessão das somas parciais associada à série
tem termo geral
sk =
k
X
an =
n=1
k
X
(un − un+2 )
n=1
= (u1 − u3 ) + (u2 − u4 ) + (u3 − u5 ) + (u4 − u6 ) + · · ·
+ (uk−3 − uk−1 ) + (uk−2 − uk ) + (uk−1 − uk+1 ) + (uk − uk+2 )
= u1 + u2 − (uk+1 + uk+2 ) .
Para p genérico, podemos concluir que
sk = u1 + · · · + up − (uk+1 + uk+2 + · · · + uk+p ) .
|
{z
}
p primeiros termos
Assim,
lim sk = u1 + · · · + up − lim (uk+1 + uk+2 + . . . + uk+p )
k
k
= u1 + · · · + up − p lim uk .
k
Ou seja, uma série telescópica
∞
X
n=1
an =
∞
X
(un − un+p )
n=1
só é convergente se lim un existir e for finito. A sua soma é u1 + · · · + up − p limn un . A
n
série telescópica é divergente se lim un não existir ou não for finito.
n
Exemplo 2.9
Considere a série numérica
∞
X
1
.
2+n
n
n=1
Observa-se que
an =
1
1
1
1
=
= −
= un − un+1 ,
n2 + n
n(n + 1)
n n+1
onde un =
1
.
n
A série é telescópica e é convergente porque lim un existe e é finito. A sua soma é
n
s = u1 − lim un = u1 = 1 .
n
Ou seja, tem-se
1 1
1
1
+ +
+
+ ··· = 1.
2 6 12 20
23
Séries numéricas
2.2.4
Série de Dirichlet
Uma série numérica da forma
∞
X
1
,
nα
n=1
α ∈ R,
é uma série de Dirichlet.
Chama-se série harmónica à série de Dirichlet com α = 1.
Mostra-se que a série de Dirichlet é:
• convergente se α > 1,
• e divergente se α ≤ 1 (situação que é mais ou menos clara quando α < 0).
Em particular, saliente-se que a série
∞
X
1 1
1
= 1 + + + ···
2
n
4 9
n=1
é convergente, enquanto que
∞
X
1
1 1
= 1 + + + ···
n
2 3
n=1
é uma série divergente.
2.2.5
Propriedades das séries numéricas
Antes de mais, note que, se
bn = ap+n−1 ,
então a análise da natureza da série
∞
X
∀n ∈ N,
an
(2.1)
bn .
(2.2)
n=p
é equivalente à analise da natureza da série
∞
X
n=1
De facto, (2.1) e (2.2) são representações distintas da mesma série numérica. Por este
motivo, uma série genérica é sempre representada por
∞
X
an .
n=1
Também pelo mesmo motivo é costume representar uma série apenas por
X
an .
24
2.2. Séries numéricas
Observação 2.2
Duas séries numéricas
P
an e
P
bn são idênticas se an = bn para todo o n.
Teorema 2.3
P
P
Se
an e
bn são duas séries convergentes de soma a e b respectivamente, então:
(i) A série soma
(ii) A série
P
P
(an + bn ) é convergente e tem soma a + b, isto é,
X
(an + bn ) =
X
an +
X
bn .
(α an ) é convergente para todo o α ∈ R e tem soma α a, isto é,
X
(α an ) = α
X
an .
Corolário 2.1
O teorema anterior permite deduzir que:
(i) Se
P
an é convergente e
P
bn é divergente, então a série soma
X
(an + bn )
é divergente.
(ii) Nada se pode concluir sobre a natureza da série
X
quando
P
an e
Demonstração -
P
(an + bn )
bn são séries divergentes.
(do corolário)
Ponto (i):
P
P
Por hipótese tem-se que
an é convergente e
bn é divergente. Suponhamos então
P
P
que
(an + bn ) é convergente. Porque
an é convergente também é convergente a
P
P
série
(−an ). Daqui resulta que a série
bn também tem de ser convergente pois
P
P
bn =
(an + bn + (−an )), facto que contradiz a hipótese inicial. Ou seja, conclui-se
P
que a série
(an + bn ) tem de ser divergente.
Ponto (ii):
A demonstração deste ponto consiste na apresentação de dois exemplos.
P
P
1) As séries
an e
bn com an = bn = 1 são divergentes. O mesmo acontece para a
P
P
série soma
(an + bn ) = 2.
P
P
2) As séries
an e
bn com an = 1 e bn = −1 são divergentes e no entanto a série
P
(an + bn ) é convergente.
25
Séries numéricas
2.2.6
Condição necessária de convergência
Teorema 2.4 (condição necessária de convergência)
P
Se
an é uma série convergente, então lim an = 0.
n
Demonstração -
Considere a série convergente
∞
X
an
n=1
e seja
sk =
k
X
an
n=1
o termo geral da sucessão das somas parciais associada à série. Note que ak = sk − sk−1 .
Porque a série é convergente, existe s ∈ R tal que lim sk = s. Logo,
k
lim ak = lim (sk − sk−1 ) = s − s = 0 .
k
k
A condição enunciada no teorema anterior não é uma condição suficiente. Por isso, na
prática, acaba por não ser muito útil na determinação da natureza de uma série. Recorde
por exemplo que
∞
X
1
n
n=1
é uma série divergente e que
∞
X
1
2
n
n=1
é uma série convergente. No entanto, tem-se
1
1
lim = lim 2 = 0 .
n n
n n
O seguinte corolário é claramente mais importante do ponto de vista prático.
Corolário 2.2
Se lim an 6= 0 ou não existe então a série
n
P
an é divergente.
Exemplo 2.10
(a) A série numérica
∞
X
2n + 1
n
n=1
é uma série divergente porque
lim
n
2n + 1
= 2 6= 0 .
n
(b) A série numérica
∞
X
(−1)n = −1 + 1 − 1 + · · ·
n=1
é uma série divergente.
26
2.2. Séries numéricas
2.2.7
Critérios de comparação
para séries de termos não negativos
Os resultados que apresentamos nesta secção são válidos para séries numéricas de termos
não negativos
∞
X
an
onde
n=1
an ≥ 0 para todo o n ≥ 1 .
Nestes casos, constata-se que a sucessão das somas parciais associada é sempre uma
sucessão crescente.
Teorema 2.5
P
Considere a série numérica
an , onde an ≥ 0 para todo o n ≥ 1. A série é convergente
se e só se a sucessão das somas parciais é limitada superiormente.
Exercı́cio 2.3
Recorra à série geométrica
∞
X
1
n
2
n=2
para mostrar que a série numérica
∞
X
1
n!
n=2
é convergente.
Teorema 2.6 (primeiro critério de comparação)
P
P
Sejam
an e
bn duas séries de termos não negativos tais que 0 ≤ an ≤ bn qualquer
que seja n ∈ N. Nestas condições, tem-se:
P
P
(i) Se
bn é uma série convergente então a série
an também é convergente.
P
P
(ii) Se
an é uma série divergente então a série
bn também é divergente.
Observação 2.3
O resultado anterior mantém-se válido quando:
(a) A condição an ≤ bn é verdadeira apenas a partir de uma certa ordem p ∈ N.
(b) an ≤ c bn qualquer que seja a constante c ∈ R+ .
Exemplo 2.11
Considere a série numérica de termos não negativos
∞
X
3n
.
3+3
2n
n=1
Observe que 0 < n3 < 2n3 + 3. Daqui resulta
0<
1
1
< 3
+3
n
2n3
27
Séries numéricas
e consequentemente
0<
3n
3n
3
< 3 = 2.
3
2n + 3
n
n
Logo, porque
∞
X
3
2
n
n=1
é uma série convergente, conclui-se, pelo primeiro critério de comparação, que
∞
X
3n
2n3 + 3
n=1
também é convergente.
Teorema 2.7 (critério de comparação limite)
P
P
Considere duas séries numéricas
an e
bn tais que an ≥ 0 e bn > 0 (pelo menos a
partir de uma ordem p ∈ N) e suponha que o limite
λ = lim
n
an
bn
existe. Tem-se:
(a) Se 0 < λ < +∞, então as séries
P
an e
P
bn têm a mesma natureza.
(b) Se λ = 0 (ocorre an << bn , pelo menos a partir de uma certa ordem), então
P
bn for convergente então
an também será convergente,
P
P
(ii) se
an for divergente então
bn também será divergente.
(i) se
P
(c) Se λ = +∞ (ocorre bn << an , pelo menos a partir de uma certa ordem), então
P
an for convergente então
bn também será convergente,
P
P
(ii) se
bn for divergente então
an também será divergente.
(i) se
P
Observação 2.4
O resultado anterior permanece válido, mesmo quando as séries envolvidas têm termos
não negativos somente a partir de uma certa ordem.
Para utilizar eficazmente os critérios de comparação, é preciso recorrer a algumas séries
numéricas cuja natureza seja conhecida. É costume recorrer a séries geométricas e com
frequência à série de Dirichlet. Vale a pena referir que a função real de variável real
definida como
∞
X
1
ζ(s) =
, s > 1,
s
n
n=1
é conhecida como a função zeta de Riemann.
28
2.2. Séries numéricas
Exemplo 2.12
Considere a série
∞
X
n=1
n2
1
.
+n
Aplicando o critério de comparação limite e utilizando a série de Dirichlet, tem-se
λ = lim
n
1
n2 +n
1
nα
.
Escolhendo α = 2 obtém-se λ = 1. Logo, as séries
∞
X
1
2+n
n
n=1
e
∞
X
1
n2
n=1
têm a mesma natureza, ou seja, a série
∞
X
n=1
n2
1
+n
é convergente.
Nota: A série numérica é também uma série Telescópica. Esta série foi objecto de estudo
num exemplo anterior.
2.2.8
Outros critérios para séries de termos não negativos
Critério do integral
O estudo de integrais impróprios em intervalos não limitados (cuja função integranda é
contı́nua e limitada no intervalo de integração) permite, em certas ocasiões, determinar
a natureza de uma série.
Teorema 2.8 (critério do integral)
Se f : [1, +∞[→ R é uma função contı́nua, decrescente e positiva, então a série
numérica
∞
X
f (n)
n=1
e o integral impróprio
Z
+∞
f (x) dx
1
têm a mesma natureza.
Observação 2.5
O critério do integral permite estudar a natureza de qualquer série de Dirichlet.
29
Séries numéricas
Exemplo 2.13
Considere a série Harmónica
∞
X
1
n
n=1
(série de Dirichlet com α = 1) .
Considere a função
f : [1, +∞[ −→ R
x 7−→ f (x) = 1/x .
Observe que esta é contı́nua, decrescente e positiva. Como o integral impróprio
Z
+∞
1
1
dx
x
é divergente, podemos concluir que a série harmónica também é divergente.
Critério da razão
Teorema 2.9 (critério da razão ou critério de D’Alembert)
Considere a série numérica
∞
X
an
onde
an > 0 para todo o
n=1
e seja
λ = lim
n
n ∈ N,
an+1
.
an
Se λ existe, então:
(i) A série numérica é convergente quando λ < 1.
(ii) A série numérica é divergente quando λ > 1.
(iii) Nada se pode concluir sobre a natureza da série numérica quando λ = 1.
Critério da raiz
Teorema 2.10 (critério da raiz ou critério de Cauchy)
Considere a série numérica de termos não negativos
∞
X
an
n=1
e seja
λ = lim
n
√
n
an .
Se o limite existe, então:
(i) A série numérica é convergente quando λ < 1.
30
2.2. Séries numéricas
(ii) A série numérica é divergente quando λ > 1.
(iii) Nada se pode concluir sobre a natureza da série numérica quando λ = 1.
Observação 2.6
Alguns limites que são bastante úteis na aplicação deste último critério:
• lim
n
• lim
n
• lim
n
√
n
a = 1 sempre que a > 0.
√
n
n = 1.
√
n
n! = +∞.
Observação 2.7
Para confirmar a alı́nea (iii) nos critérios da razão e da raiz, é suficiente considerar as
séries de Dirichlet com α = 1 e α = 2.
Exemplo 2.14
(a) Considere a série numérica
∞
X
2n
.
n2
n=1
Aplicando o critério da raiz, obtém-se
n
r
2n
n
n2
√
n
lim 2n
n
√ √ = 2.
=
lim n n n n
√
λ = lim n an = lim
n
n
Tem-se λ = 2 > 1. Logo, a série é divergente.
(b) Considere a série numérica
∞
X
n!
.
nn
n=1
Note-se que
an =
n!
> 0,
nn
∀n ∈ N .
31
Séries numéricas
Aplicando o critério da razão, obtém-se
λ = lim
n
an+1
(n + 1)!
nn
= lim
n (n + 1)(n+1) n!
an
(n + 1) n!
nn
= lim
n (n + 1)n (n + 1) n!
nn
= lim
n (n + 1)n
1
=
(n + 1)n
lim
n
nn
1
n
=
n+1
lim
n
n
1
1
n = .
=
e
1
lim 1 +
n
n
Ou seja, λ = 1/e < 1 e portanto a série é convergente. Note que a obtenção do
mesmo resultado pelo o critério da raiz não parece ser, à primeira vista, uma tarefa
simples.
2.2.9
Convergência absoluta e convergência simples
Seja
X
an
uma série de termos de sinal qualquer. Considere a série dos módulos
X
|an | .
A série dos módulos é uma série de termos não negativos. Para determinar a sua natureza
podemos aplicar qualquer um dos critérios apresentados anteriormente.
Exemplo 2.15
Considere série numérica
∞
X
(−1)n
n=1
1
= −1 + 1/4 − 1/9 + · · · .
n2
A série dos módulos é neste caso
∞
X
1
= 1 + 1/4 + 1/9 + · · · .
2
n
n=1
Teorema 2.11
P
P
Se a série dos módulos |an | é uma série convergente, então a série an é também uma
P
P
série convergente e | an | ≤ |an |.
32
2.2. Séries numéricas
Demonstração -
Antes de mais, observe que
0 ≤ |an | + an ≤ 2|an | .
P
Daqui resulta, pelo critério de comparação, que
(|an | + an ) é uma série convergente.
P
P
P
P
Logo, porque
an =
(|an | + an ) +
(−|an |), conclui-se que
an é convergente.
P
P
Para mostrar que | an | ≤ |an | basta observar que
|a1 + a2 + · · · + ak | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |ak | ,
isto é, que
k
k
X X
an ≤
|an |
n=1
para todo o k ∈ N. Logo,
n=1
k
k
X X
lim an ≤ lim
|an | ,
k k
n=1
isto é,
n=1
k
k
X
X
an ≤ lim
|an |
lim
k
k
n=1
e portanto
|
X
n=1
an | ≤
X
|an | .
Definição 2.4 (convergência absoluta e convergência simples)
P
P
(a) A série
an diz-se absolutamente convergente se a série
|an | é convergente.
(b) A série
P
an diz-se simplesmente convergente se é convergente e
Observação 2.8
P
|an | é divergente.
Uma série simplesmente convergente tem um número infinito de termos de sinal negativo
e um número infinito de termos de sinal positivo.
Os critérios da razão e da raiz permitem uma adaptação natural a séries de termos
de sinal qualquer. A formulação do critério da razão é a seguinte.
Teorema 2.12 (critério da razão para séries de termos de sinal qualquer)
Considere a série numérica
∞
X
an
n=1
e seja
Se o limite existe, então:
onde
an 6= 0
para todo o n ∈ N ,
an+1 .
λ = lim n
an 33
Séries numéricas
(i) A série numérica é absolutamente convergente quando 0 ≤ λ < 1.
(ii) A série numérica é divergente quando λ > 1.
(iii) Nada se pode concluir sobre a natureza da série numérica quando λ = 1.
2.2.10
Séries alternadas
Estudamos um exemplo simples de uma série de termos de sinal qualquer. Considere a
série numérica
∞
X
(−1)n−1 an = a1 − a2 + · · ·
onde
n=1
an > 0 para todo o n ≥ 1 .
A uma série com estas caracterı́sticas chama-se série alternada.
Critério de Leibniz para séries alternadas
Teorema 2.13
Considere a série alternada
∞
X
(−1)n−1 an .
n=1
Se a sucessão (an ) é decrescente e lim an = 0, então a série alternada é convergente. E
n
ainda, se s é a soma da série e sk é a soma parcial de ordem k, então
|s − sk | < ak+1
para todo o k ∈ N.
Observação 2.9
A condição
|s − sk | < ak+1 ⇔ |s − (a1 − a2 + · · · + (−1)k−1 ak )| < ak+1
indica que o erro cometido, quando se aproxima a soma s pela soma parcial sk , é sempre
inferior ao termo ak+1 .
A determinação da natureza de uma série alternada envolve os seguintes passos:
1. Determina-se a natureza da série dos módulos
∞
X
n=1
|(−1)n−1 an | =
∞
X
an
n=1
Se a série dos módulos é convergente, então a série alternada é absolutamente
convergente.
2. Aplica-se o critério de Leibniz quando a série dos módulos é divergente.
34
2.2. Séries numéricas
Exemplo 2.16
Considere a série alternada
∞
X
(−1)n−1
n=1
A série dos módulos
1
= 1 − 1/2 + · · · .
n
∞
X
1
n
n=1
é uma série divergente (série de Dirichlet com α = 1).
Como an+1 − an < 0 para todo o n ∈ N e lim an = 0, conclui-se, aplicando directamente
n
o critério de Leibniz, que a série alternada é simplesmente convergente.
2.2.11
Reordenação dos termos de uma série numérica
Apresentamos algumas propriedades finais das séries numéricas. Em geral, não podemos
manipular os termos de uma série numérica, tal como fazemos com os termos de uma
soma finita. Por exemplo, a aplicação da propriedade comutativa aos termos de uma
série numérica pode, em certos casos, alterar a sua soma.
Teorema 2.14
P
P
Seja
an uma série absolutamente convergente de soma s. Toda a série numérica
bn
P
obtida por reordenação dos termos da série
an , é também absolutamente convergente
e tem soma s.
O teorema anterior indica que a aplicação da propriedade comutativa aos termos de uma
série absolutamente convergente, não altera a sua natureza nem a sua soma.
Teorema 2.15 (de Riemann)
P
Seja
an uma série simplesmente convergente e seja b um número real qualquer. Existe
P
P
uma outra série
bn , que resulta de uma reordenação dos termos da série
an , que é
simplesmente convergente e tem soma b.
35