lista 02 - UNEMAT Sinop

Universidade do Estado de Mato Grosso - Campus de Sinop
Cálculo Diferencial e Integral III - FACET
Lista 2
Profª Ma. Polyanna Possani da Costa Petry
1. Resolva as equações diferenciais:
a)
d)
b)
e)
c)
2. Resolver os seguintes Problemas dos Valores Iniciais:
( )
a)
b)
√
c)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
d)
( )
e)
( )
f)
( )
g)
( )
3. Ache o valor de b que torna a equação abaixo exata. Resolva a equação usando o valor de b encontrado.
(
)
(
)
4. Mostre que as equações abaixo não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator
integrante dado, em seguida resolva as equações.
a)
b)
(
(
)
)
(
)
(
)
5. Verifique se as equações diferenciais são exatas e as resolvam. Caso contrário, encontre o fator integrante
que a torne exata e resolva.
a) (
b) (
)
)
6. Fazendo mudança de variável resolva as equações diferenciais:
a)
b)
7. Resolva as equações diferenciais e os PVI’s quando dados, procurando identificar primeiramente o
método a ser utilizado.
( )
a)
i)
b)
c)
( )
j)
(
)
( )
k)
d)
l)
e)
(
m)
( )
f)
n)
g)
(
)
)
o)
h)
8. Seja
( ) o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do
tempo de treinamento . O gráfico de
é chamado curva de aprendizagem. A derivada
representa a taxa na qual o desempenho melhora, dada pela equação diferencial
[
( )]
onde é uma constante positiva e
é o nível máximo de desempenho. Resolva essa equação e
use sua solução para plotar a curva de aprendizagem.
9. Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de montagem. João processou 25
unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda hora. Marcos processou 35
unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda hora. Usando o modelo do exercício
anterior e assumindo que ( )
, estime o número máximo
de unidades por hora que cada
trabalhador é capaz de processar.
10. Considere um circuito elétrico contendo um capacitor, um resistor e uma bateria. A carga
( ) no
capacitor satisfaz a equação
onde
( )
é a resistência,
a capacitância e
a voltagem constante fornecida pela bateria. Se
, encontre ( ) em qualquer instante .
11. No circuito do exercício anterior, suponha que a resistência seja
e a capacitância,
e a carga inicial seja ( )
pilha forneça uma voltagem constante de
;a
. Encontre a carga
no tempo .
12. Movimento Vertical: Descreva o movimento vertical de um corpo de massa m sob a ação da
gravidade em um meio que oferece resistência proporcional à velocidade do corpo. Deseja-se
conhecer a posição do corpo num instante t.
13. Resfriamento de um corpo: Consideremos um modelo simplificado para o fenômeno de variação de
temperatura num corpo por perda ou ganho de calor para o meio ambiente, fazendo as seguintes
hipóteses:
i. A temperatura é a mesma no corpo todo e depende apenas do tempo.
ii. A temperatura do meio ambiente,
, é constante com o tempo.
iii. O fluxo de calor através das paredes do corpo dado por
é proporcional à diferença entre as
(
temperaturas do corpo e do meio ambiente, isto é,
Newton para resfriamento) onde
) (chamada lei de
é uma constante positiva que depende das propriedades
físicas do corpo. Conhecendo-se que a temperatura ( )
.
a) Determine a equação que fornece a temperatura do corpo no instante .
b) Calcule
tal que
atinge 99% da temperatura ambiente.
14. A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples do tipo
RL (Fig. I), consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma
força eletromotriz (fem) E (em volts) é
Sabendo que um circuito RL tem f.e.m. de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry e,
a corrente inicial é zero. Determine a corrente no circuito no instante t.
15. Um corpo à temperatura de 50°F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de
100°F. Se após 5 min. a temperatura do corpo é de 60°F, determine:
a) O tempo necessário para a temperatura do corpo atingir 75°F;
b) a temperatura do corpo após 20 min.
16. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura
constante de 30°F. Se, após 10 min, a temperatura do corpo é 0°F e após 20 min é 15°F, determine
a temperatura inicial.
17. Um tanque contém inicialmente 100 litros de salmoura com 1 grama de sal. No instante t=0 ,
adiciona-se outra solução de salmoura com 1 grama de sal por litro, à razão de 3 litros por min,
enquanto a mistura resultante se escoa à mesma taxa.
Determine:
a) A quantidade de sal presente no tanque no instante t;
b) O instante em que a mistura restante no tanque conterá 2 gramas de sal.
GABARITO
1. a)
d)
b)
e)
c)
2.
d)
a)
(
b)
f)
( )
c)
e)
)
√
( )
g)
3.
4. a)
| |
b)
(
5. a)
6. a)
b)
b)
7. a)
( )
b)
( )
(
)
)
( )
( )
e)
( )
f)
(
c)
g)
d)
h)
( )
i)
( )
j)
( )
(
(
)
k)
)
l)
|
|
|
m)
| |
n)
(
|
)
)
o)
( )
8.
9.
é o número máximo de unidades por hora que João é capaz de processar e
é o número máximo de unidades por hora que Marcos é capaz de processar .
10.
( )
11.
( )
12.
( )
(
(
)
)
*
13. a) ( )
+
[
]
b)
F
[
b)
14. ( )
15. a)
min
16.
F
17.
a) ( )
b)
min
|
|
|
|]