Análise Matemática IIC Ficha 5 - Cálculo integral.

Análise Matemática IIC
Ficha 5 - Cálculo integral.
1. Calcule os seguintes integrais duplos sobre as regiões rectangulares R
indicadas:
RR
(a)
(8 − x + y 2 ) dxdy, com R = [0, 4] × [0, 4];
R RR
(b)
(4 − y 2 ) dxdy, com R = [0, 2] × [0, 2];
R RR 1
dxdy, com R = [1, 2] × [0, 1];
(c)
R (x+y)2
RR
(d)
x sin(xy) dxdy, com R = [1, 4] × [0, π6 ]
R
RR p
(e)
|y − x2 | dxdy, com R = [−1, 1] × [0, 2];
R RR x+y
(f)
e
dxdy, com R = [0, 1] × [0, 1];
R
R R −3 t x
(g)
y e y dxdy, com R = [0, t] × [1, t], t > 1;
R RR
(h)
f (x, y) dxdy, com R = [0, 1] × [0, 1], com
R
f (x, y) =
n 1−x−y
0
2. Calcule os seguintes integrais duplos
Z 1Z x
y dydx ;
(a)
0
Z
0
1
Z
3y
y 2 dxdy ;
(b)
0
Z
0
1
Z
x2
2xey dydx ;
(c)
0
Z
0
2
√
Z
4−x2
x2 + y 2 dydx ;
(d)
0
Z
0
2
Z
4
xy 2 dxdy ;
(e)
y2
0
Z eZ
log(y)
(f)
1
Z
0
1
Z
y
sin(y 2 ) dxdy ;
(g)
0
Z
x
dxdy ;
y
0
2
Z
y
(h)
x
e y dxdy .
1
y3
1
se x + y ≤ 1
.
se x + y > 1
3. Calcule os seguintes integrais duplos sobre as regiões planas R indicadas:
RR
(a)
(x2 + y 2 ) dxdy, com R = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2};
R
RR
√
(b)
xy dxdy, com R = {(x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ x ≤ y ∧ 0 ≤ y ≤ 1};
R
RR
(c)
x − x2 y dxdy , com
R
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ −x ≤ y ≤ 1 + x} ;
(d)
RR
R RR
ex+y dxdy, com R = {(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1};
(x2 − y 2 ) dxdy, onde R é a região plana limitada pelas curvas
de equações y = sin x e y = 0, com x ∈ [0, π];
RR 2 2
1
x y dxdy, onde R é o subconjunto de R2 definido por y ≥ ,
(f)
R
x
2
y ≤ , y ≥ x, e y ≤ 2x;
x
RR
(g)
y dxdy, onde R é a região plana limitada pelas rectas de
R
1
equações y = x, y = 2x e y = −x + 3.
2
(e)
R
4. Supondo que os seguintes integrais existem, determine a região plana
R e troque a ordem de integração:
Z 3 Z √25−y2
RR
(a)
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dxdy;
R
4
y
3
0
(b)
(c)
(d)
Z eZ
RR
R
R
RR
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dydx;
1
Z
RR
log x
0
π
Z
sin x
f (x, y) dxdy =
f (x, y) dydx;
Z
f (x, y) dxdy =
R
− sin
0
2
Z
x
2
4
f (x, y) dydx ;
1
x
5. Calcule os seguintes integrais duplos usando coordenadas polares:
RR
(a)
xy dxdy onde
R
R = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 25} ;
2
(b)
RR
R
ex
2 +y 2
dxdy onde
R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤
√
1 − x2 } ;
RR
xy dxdy onde R é a região definida por x ≥ 0, y ≥ 0 e x2+y 2 ≤
r , com r ∈ R+ ;
y
RR
(d)
dxdy na R região definida por x2 + y 2 ≥ 1,
arctg
R
x√
√
x2 + y 2 ≤ 9, 3y ≥ x e y ≤ 3x;
RR p
(e)
1 − x2 − (1 − y)2 dxdy onde R é a região dada por y ≥ 1,
R
y − x ≤ 1 e x2 + y 2 ≥ 2y;
RR
(f)
xy 2 dxdy onde R é a região plana limitada pelo eixo das
R
ordenadas, pela secção de elipse de equação x2 +4y 2 = 4 (x, y ≥ 0)
e pela secção de circunferência x2 + y 2 = 4, (x ≥ 0, y ≤ 0).
(c)
2
R
6. Utilizando integrais duplos, calcule a área das seguintes regiões planas
R:
o
n
(a) R = (x, y) ∈ R2 : x2 − 2x ≤ y ≤ 6x − x2 ;
n
3
πo
(b) R = (x, y) ∈ R2 : sin x ≤ y ≤ cos x ∧ − π ≤ x ≤
;
4
4
n
√ o
(c) R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2x ∧ x ≤ y ≤ 3x ;
n
o
x
x
(d) R = (x, y) ∈ R2 : √ ≤ y ≤ − √ ∧ 4 ≤ x2 + y 2 ≤ −4x ;
3
3
7. Determine o volume dos sólidos S indicados:
o
n
(a) S = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2 ;
n
o
(b) S = (x, y, z) ∈ R3 : y ≥ x2 ∧ x ≥ y 2 ∧ 0 ≤ z ≤ 3 ;
n
o
p
(c) S = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 16 − x2 + y 2 ∧ x2 + y 2 ≤ 4 ;
n
o
(d) S = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 2 ∧ x2 + y 2 − z 2 ≤ 1 ;
8. Calcule a área das seguintes superfı́cies:
(a) Porção do plano de equação 6x + 3y + 2z = 12 situada no primeiro
octante;
3
(b) Porção do parabolóide de equação 2z = x2 + y 2 , interior à superfı́cie cilı́ndrica dada por x2 + y 2 = 1;
(c) Porção da superfı́cie cónica de equação x2 − y 2 = z 2 situada no
primeiro octante e limitada pelo plano de equação y + z = a com
a ∈ R+ ;
(d) Porção da superfı́cie de equação x2 + z 2 = r2 interior à superfı́cie
dada por y 2 + z 2 = r2 .
9. Calcule os seguintes integrais
Z 1Z 2 Z 3
(x + 2y + 3z) dxdydz ;
(a)
0
Z
1
−1 0
2y Z y+z
Z
y dxdzdy ;
(b)
0
Z
1+y
3
3y
Z
z
Z
xy
(c)
(x + y + 2z) dzdxdy ;
2
Z
0
2
x
Z
Z
1
x+y
(d)
0
0
(y + 2z)ex dzdydx ;
0
10. Calcule os seguintes integrais triplos sobre as regiões do espaço indicadas:
RRR
(a)
y cos(x + z) dxdydz, onde E√ é a região limitada pela suE
perfı́cie cilı́ndrica de equação y = x e pelos planos de equação
π
y = 0, z = 0 e x + z = ;
2
RRR
(b)
yz dxdydz onde
E
E = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2z ∧ 0 ≤ x ≤ z + 2} ;
RRR p
x2 + y 2 dxdydz, onde E é a região limitada pela folha
superior da superfı́cie cónica de equação z 2 = x2 + y 2 e pelo plano
de equação z = 1;
RRR
1
(d)
dxdydz, onde
E
2
(1 − x − y 2 )3/2
o
n
3
2
2
2
2
E = (x, y, z) ∈ R : x + y ≤ z ≤ 2 − x − y .
(c)
E
4
11. Efectuando as mudanças de variável convenientes, calcule os seguintes
integrais:
R R y−x
(a)
e y+x dxdy onde R é o triângulo definido pelas rectas de equações
R
x = 0, y = 0 e x + y = 2;
RR
(b)
(x−y)2 sin2 (x+y) dxdy onde R é o polı́gono de vértices (π, 0),
R
(2π, π), (π, 2π) e (0, π).
12. Usando a transformação x + y = u e y = uv, mostre que:
Z 1 Z 1−x
y
1
e x+y dxdy = (e − 1).
2
0
0
13. Utilizando integrais triplos, calcule o volume dos seguintes sólidos V :
n
o
(a) V = (x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 9 ∧ 1 ≤ z ≤ 9 ;
(b) V
n é o sólido definido por
o
(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ∧ z 2 ≤ 3(x2 + y 2 ) ∧ y ≥ 0 ;
(c) V é o sólido formado por todos os pontos da esfera dada por
x2 + y 2 + z 2 ≤ 8, exteriores à superfı́cie cónica de equação z 2 =
x2 + y 2 ;
n
o
(d) V = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ x2 + y 2 − 1 ∧ x2 + y 2 ≤ 4 ∧ y ≥ x ;
14. Calcule a massa do sólido situado no primeiro octante e limitado pelas
superfı́cies dadas por 9x2 + z 2 = y 2 e y = 9, sabendo que a densidade
em cada um dos seus pontos é proporcional à distância desse ponto ao
plano xOy.
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