Classificação - Estruturas.UFPR

Objetivos
Desenvolver o princípio do impulso e quantidade de
movimento.
Estudar a conservação da quantidade de movimento
para pontos materiais.
Analisar a mecânica de colisões.
Introduzir o conceito de impulso angular e momento
angular.
MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica de um Ponto
Material: Impulso e
Quantidade de Movimento
Cap. 15
Prof Dr. Cláudio Curotto
Adaptado por:
Prof Dr. Ronaldo Medeiros-Junior
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
15.4 Colisão
2
15.4 Colisão
Classificação
Ocorre quando dois corpos entram em contato durante um breve
intervalo de tempo, desenvolvendo forças impulsivas de relativa
alta intensidade.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Quando
as
direções
das
velocidades dos centros de massa
dos corpos em colisão coincidem
com a linha que une esses centros
de massa.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
Quando uma ou ambas as
velocidades dos centros de massa
formam um ângulo com a linha
de colisão
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15.4 * - Colisão Central
15.4 * - Colisão Central
Seja o caso da colisão central de duas esferas lisas A e B.
i Os corpos têm as quantidades de movimento iniciais mostradas na figura.
i Durante a colisão, os corpos devem ser pensados como deformáveis
ou não rígidos. Durante o tempo de deformação, eles exercem
mutuamente impulsos de deformação opostos ∫ Pdt (mesmo módulo,
O que é necessário para
acontecer a colisão?
mesma direção e sentidos opostos).
( vA )1 > ( vB )1 ⇒ ocorrerá uma colisão entre eles.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
6
1
15.4 * - Colisão Central
15.4 * - Colisão Central
i A seguir, ocorre um tempo de restituição, no qual os corpos
retornam às suas formas originais ou ficam permanentemente
i Somente no instante de deformação máxima ambos os corpos
se movem com a mesma velocidade v, pois seu movimento
deformados. Os impulsos de restituição opostos afastam os
corpos um do outro. Sabe-se que o impulso de deformação é
relativo é nulo.
maior que o impulso de restituição ∫ Pdt > ∫ Rdt.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Central
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Central
Em muitos problemas, as velocidades iniciais dos corpos são
conhecidas e é necessário determinar as velocidades finais. Para tal,
usa-se a conservação da quantidade de movimento do sistema
formado pelos dois corpos.
i Imediatamente após a separação, os corpos terão as
quantidades de movimento mostradas pela figura.
-Durante a colisão, os impulsos do sistema (tanto os de deformação
quanto os de restituição) se cancelam.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.3 Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais
Quando a soma dos impulsos externos é nula, a equação
anterior se reduz à equação seguinte, que expressa a
conservação da quantidade de movimento:
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Central
Portanto:
t2
m ( v G )1 + ∑ ∫ Fi dt = m ( v G ) 2
t1
∑m (v ) = ∑m (v )
i
i 1
i
∑m (v ) = ∑m (v )
i 2
i
⇒ a quantidade de movimento total de um sistema
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
i
i 2
mA ( v A )1 + mB ( vB )1 = mA ( v A ) 2 + mB ( vB )2
de pontos materiais permanece constante durante o
intervalo de tempo t1 a t2 .
i 1
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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2
15.4 * - Colisão Central
15.4 * - Colisão Central
Fase de deformação para o corpo A:
Para obter uma segunda equação
que permita encontrar as
velocidades finais, deve-se aplicar
o princípio do impulso e
quantidade de movimento a cada
um dos corpos.
Princípio do impulso e quantidade de movimento
mA ( vA )1 − ∫ Pdt = mAv
t2
m ( v G )1 + ∑ ∫ Fi dt = m ( v G ) 2
t1
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Central
15.4 * - Colisão Central
Fase de restituição para o corpo A:
A razão entre o impulso de restituição e o de deformação é
denominada coeficiente de restituição, cujo símbolo é e.
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Coeficiente de restituição:
eA =
∫ Rdt
∫ Pdt
mA ( v A )1 − ∫ Pdt = mAv
mA v − ∫ Rdt = mA ( v A )2
Princípio do impulso e quantidade de movimento
mA v − ∫ Rdt = mA ( v A )2
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
eA =
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v − ( v A )2
( v A )1 − v
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
15.4 * - Colisão Central
15.4 * - Colisão Central
Fase de deformação para o corpo B:
Fase de restituição para o corpo B:
Princípio do impulso e quantidade de movimento
Princípio do impulso e quantidade de movimento
mB v + ∫ Rdt = mB ( vB ) 2
mB ( vB )1 + ∫ Pdt = mB v
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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3
15.4 * - Colisão Central
15.4 * - Colisão Central
A razão entre o impulso de restituição e o de deformação é
denominada coeficiente de restituição, cujo símbolo é e.
eA =
v − ( v A )2
eB =
( vA )1 − v
( vB ) 2 − v
v − ( vB )1
Coeficiente de restituição:
eB =
∫ Rdt
∫ Pdt
mB ( vB )1 + ∫ Pdt = mB v
Como eA = eB , substituindo o valor de v de uma equação na outra:
mB v + ∫ Rdt = mB ( vB ) 2
( vB ) 2 − v
eB =
v − ( vB )1
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
e=
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15.4 * - Colisão Central
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Central
Coeficiente de restituição e.
e=
( vB ) 2 − ( v A ) 2
( vA )1 − ( vB )1
Em geral e tem um valor entre zero e um.
( vB ) 2 − ( v A ) 2
( vA )1 − ( vB )1
Razão entre:
-Velocidade relativa da separação entre os corpos imediatamente
depois da colisão;
-Velocidade relativa de aproximação imediatamente antes da colisão.
i por experimentos, verificou-se que e varia consideravelmente
com a velocidade da colisão, assim como com os tamanhos e
formas dos corpos que colidem. Naturalmente depende também
Se a colisão entre dois corpos é perfeitamente elástica, o impulso de
deformação é oposto (mesmo módulo, mesma direção e sentido
oposto) ao impulso de restituição. Embora na realidade isso nunca
aconteça.
Colisão Elástica ⇒ e = 1 ⇒ ∫ Rdt = ∫ Pdt
dos materiais e da rugosidade da superfície dos corpos.
Em geral e tem um valor entre zero e um.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Central
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
15.4 * - Colisão Central
Em geral e tem um valor entre zero e um.
No caso em que não há impulso de restituição, após a colisão, ambos
os corpos se unem, movendo-se portanto com a mesma velocidade. A
colisão é denominada plástica ou inelástica e e = 0.
O princípio do trabalho e energia não pode ser usado na análise
de problemas de colisão, pois não é possível saber como as
forças internas de deformação e restituição variam ou deslocam
seus pontos de aplicação durante o processo de colisão;
Todavia, a perda de energia durante a colisão pode ser
calculada com base na diferença das energias cinéticas,
imediatamente antes e imediatamente após a colisão.
Colisão Plástica ⇒ e = 0 ⇒ ∫ Rdt =0
∑U
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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1− 2
= ∑ T2 − ∑ T1
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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4
15.4 * - Colisão Central
∑U
15.4 – Procedimento para Análise (Colisão Central)
1− 2
Sendo conhecidos o coeficiente de restituição, as massas e as velocidades
= ∑ T2 − ∑ T1
iniciais de cada corpos imediatamente antes da colisão central, pode-se
determinar as velocidades finais imediatamente após esta colisão através
das seguintes equações:
Essa perda de energia, ocorre porque alguma energia cinética
inicial se transforma em energia térmica, assim como gera som
e produz deformações do material.
i Aplica-se ao sistema de dois corpos a conservação da quantidade de
movimento, mA ( v A )1 + mB ( vB )1 = mA ( vA )2 + mB ( vB )2 .
Em particular, se a colisão é perfeitamente elástica, nenhuma
energia é perdida na colisão; se por outro lado, a colisão é
plástica, a energia perdida durante a colisão é máxima.
i O coeficiente de restituição, e =
( vB ) 2 − ( v A ) 2
, relaciona as velocidades
( vA )1 − ( vB )1
relativas dos corpos ao longo da linha de colisão, imediatamente antes e
após a colisão.
Arbitra-se o sentido das velocidades desconhecidas nas equações acima,
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Oblíqua
resultados
positivos
o sentido e negativos indicam sentido oposto.
TC027
- Mecânicaconfirmam
Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Oblíqua
Dados os vetores das velocidades iniciais, após a colisão os corpos se
afastam entre si com velocidades desconhecidas (módulo, direção e
sentido), num total de 4 incógnitas, módulos das velocidades e ângulos
Estabelecidos os eixos x, ao longo da linha de colisão e y, no plano
de contato, as forças impulsivas de deformação e restituição agem
somente na direção x.
ou as componentes x e y das velocidades.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Oblíqua
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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15.4 * - Colisão Oblíqua
Decompondo os vetores velocidade e quantidade de movimento
nas direções x e y, é possível escrever quatro equações escalares
independentes para se determinarem as quatro componentes das
i A quantidade de movimento do corpo A é conservada ao longo do eixo y,
do plano de contato, perpendicular à linha de colisão, pois nenhum impulso
age no corpo A nessa direção. Ou seja a componente da velocidade em y
velocidades finais (imediatamente após a colisão oblíqua) a partir
das velocidades iniciais (imediatamente antes da colisão oblíqua)
e do coeficiente de restituição.
do corpo A, não se altera.
i A quantidade de movimento do sistema é conservada ao longo da
linha de colisão, eixo x, portanto m A ( v Ax )1 + mB ( vBx )1 = mA ( v Ax )2 + mB ( vBx )2 .
i O coeficiente de restituição, e =
( vBx )2 − ( vAx )2
, relaciona as componentes
( vAx )1 − ( vBx )1
das velocidades relativas dos corpos ao longo da linha de colisão, eixo x,
imediatamente antes e após a colisão.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Problema 15.57
15.4 * - Colisão Oblíqua
i A quantidade de movimento do corpo B é conservada ao longo do eixo y,
do plano de contato, perpendicular à linha de colisão, pois nenhum impulso
Um disco A de 2kg deslizando numa superfície lisa,
age no corpo B nessa direção. Ou seja a componente da velocidade em y
com velocidade de 5m/s, encontra um disco B de 4kg
deslizando em sentido oposto, com velocidade de 2m/s,
do corpo B, não se altera.
de modo que ocorre uma colisão central. Se o coeficiente
de restituição entre os discos é e = 0,4, calcule as velocidades de A e B imediatamente após a colisão.
resposta :
( vA )2 = −1,53 m/s
( vB )2 = 1, 27 m/s
Arbitra-se o sentido das velocidades desconhecidas nas equações acima,
resultados positivos confirmam o sentido e negativos indicam sentido oposto.
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica
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Exemplo 15.9
Abandona-se, a partir do repouso e na posição horizontal
0
(θ = 0 ), um saquinho A de 6 lb, mostrado na figura.
Após cair até a posição vertical (θ = 900 ), o saquinho
atinge uma caixa B de 18 lb. Se o coeficiente de
restituição entre o saquinho e a caixa é e = 0, 5,
determine as velocidades de ambos os corpos
resposta :
( vA )2 = −1, 739 ft / s
( vB )2 = 5, 217 ft / s
∑U
1− 2
= −10,1 pés.lb
imediatamente antes e após a colisão. Determine
também a perda de energia durante a colisão.
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