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MATEMÁTICA A
12º ano
CONCEITOS
1. Introdução ao cálculo de probabilidades
Experiência aleatória é uma experiência com as seguintes características:



São conhecidos os resultados possíveis;
Não é possível prever/determinar o resultado de cada uma das experiências;
Pode ser repetida em condições idênticas.
Conjunto de resultados ou espaço amostral de uma experiência aleatória é o conjunto de
resultados possíveis que lhe está associado e representa-se habitualmente por S, E ou Ω.
Dada uma experiência aleatória em que o espaço amostral é Ω, chama-se acontecimento a
todo o subconjunto de Ω.
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A: “ O número da face voltada para baixo é par”
B: “ O número da face voltada para baixo é múltiplo de 5”
C: “ O número da face voltada para baixo é múltiplo de 9”
D: “ O número da face voltada para baixo é divisor de 840”
A= {2,4,6,8}




B={5}
C={ }
D={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
O acontecimento C é o conjunto vazio. Significa que não pode ocorrer, ou seja, é um
acontecimento impossível;
O acontecimento D é igual ao espaço amostral. Significa que ocorre sempre, ou seja, é
um acontecimento certo;
O acontecimento B é um conjunto que tem um e só um elemento do espaço amostral.
Diz-se que é um acontecimento elementar;
Os acontecimentos A e D são conjuntos com mais do que um elemento do espaço
amostral. Dizem-se acontecimentos compostos.
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Acontecimento união (reunião)
A união dos acontecimentos A e B representa-se por AUB (lê-se “A ou B”) e é o acontecimento
que se realiza se e só se, pelo menos um dos acontecimentos se realiza.
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MATEMÁTICA A
12º ano
Acontecimento interseção
A interseção dos acontecimentos A e C representa-se por A ∩ C (lê-se “A e C”) e é o
acontecimento que se realiza se e só se A e C se realizam simultaneamente.
Acontecimento complementar (ou contrário)
O acontecimento complementar (ou contrário) do acontecimento A representa-se por Ā ou Ac
e é o acontecimento que se realiza sempre que A não se realiza.
Acontecimento diferença
O acontecimento diferença entre A e C representa-se por A – C (ou por A\C), e é o
acontecimento resultante quando A se realiza e C não se realiza.
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REUNIÃO
INTERSEÇÃO
AUΩ=Ω
A∩Ω=A
AU{}=A
A∩{}={}
DIFERENÇA
A\B = A∩B
=
A–B
A∩Ā={}
AUĀ=Ω
LEIS DE DE MORGAN
A∩B = A U B
A U B = A∩B
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Operações com acontecimentos
Sejam A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória em que o espaço de
resultados é Ω:



A e B são acontecimentos incompatíveis se e só se A∩B = { }
A e B são acontecimentos compatíveis se e só se A∩B ≠ { }
A e B são acontecimentos contrários se e só se A∩B= { } e AUB = Ω
Aproximações conceptuais para a probabilidade
Se uma experiência é realizada n vezes e o acontecimento A ocorre m vezes (m≤n). Define-se
frequência relativa do acontecimento A como sendo mn
Fr(A)= mn
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MATEMÁTICA A
12º ano
Propriedades da frequência relativa de um acontecimento




Se A é um acontecimento impossível, então fr(A)= 0
Se A é um acontecimento certo, então fr(A)= 1
Se A é um acontecimento qualquer, então 0 ≤ fr(A) ≤ 1
Se A é um acontecimento composto, A={a,b,c…}, então.
fr(A) = fr({a}) + fr({b}) + fr({c}) +…


A soma das frequências relativas de todos os acontecimentos elementares é 1
Se A e Ā são acontecimentos contrários, então fr(A) + fr(Ā) = 1
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Probabilidade de um acontecimento A representa-se por P (A) e corresponde ao valor para
que tenda a estabilizar a frequência relativa da realização desse acontecimento, à medida que
aumenta o número de repetições da experiência aleatória.
Nota: quando maior é o número de vezes que a experiência é repetida, melhor será a
estimativa obtida para a probabilidade.
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Lei de Laplace
Considere-se uma experiência aleatória em que o espaço amostral Ω é constituído por n
elementos, sendo equiprováveis os n acontecimentos elementares.
Se um acontecimento A é constituído por m acontecimentos elementares, sendo m≤n, a
probabilidade de A é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis e o número de
casos possíveis:
P (A) = mn
Regra do Produto
Quando é necessário realizar k escolhas sucessivas, em que na primeira há n1 alternativas, na
segunda há n2, …, e na escolha de ordem k há nk alternativas, então o número total de
alternativas é dado por:
n1 x n2 x … x nk
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Chama-se probabilidade a toda a aplicação P de domínio S e conjunto de chegada IR tal que, a
todo o acontecimento A é associado um número real P(A), que se designa de probabilidade do
acontecimento A:
P: S  IR
A P(A)
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12º ano
Axioma 1: A probabilidade do acontecimento certo é 1
P(Ω) = 1
Axioma 2: A probabilidade de qualquer acontecimento A é não negativa
P(A) ≥ 0
Axioma 3: Se A e B são acontecimentos incompatíveis, a probabilidade do acontecimento AUB
é a soma das probabilidades de A e de B
A∩B = { }  P (AUB) = P (A) + P (B)
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Teorema 1: Se A é um acontecimento impossível, P(A) = 0
Teorema 2: Se Ā é o acontecimento contrário ao acontecimento A, então
P(Ā) = 1 – P(A)
Teorema 3: Se A e B são acontecimentos tais que B⊂A, então P(B) ≤ P(A)
Teorema 4: Para qualquer acontecimento A, tem-se 0≤ P(A) ≤ 1
Teorema 5: Se A e B são dois acontecimentos compatíveis, então:
P (AUB) = P (A) + P (B) - P (A∩B)
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Probabilidade condicionada
No caso geral, sendo A e B dois acontecimentos associados a uma experiência aleatória e tais
que P(B)≠ 0, chama-se probabilidade condicionada de A, dado B, e representa-se por:
P(A|B) =P(A∩B)P(B)
Da igualdade resulta que P(A∩B) = P(A|B) x P(B)
__________________________________________
Dois acontecimentos, A e B, associados a uma experiência aleatória, são independentes se e
só se:
P(A∩B) = P(A) x P(B)
Generalizando: Se A1, A2, …, An são n acontecimentos independentes, verifica-se: P(A1 ∩ A2 ∩…
∩ An) = P(A1) x P(A2) x … x P(An)
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MATEMÁTICA A
12º ano
2. Análise combinatória
Princípio fundamental da contagem
Quando é necessário realizar k escolhas sucessivas, em que na primeira há n1 alternativas, na
segunda há n2 alternativas…, e na escolha de ordem k há nk alternativas, então o número total
de alternativas é dado por n1 x n2 x … x nk.
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Dado um conjunto de n elementos, chama-se arranjos completos (ou com repetição) de n
elementos tomados p a p às diferentes combinações que se podem formar com p elementos,
repetidos ou não.
O número de arranjos com repetição de n elementos tomados p a p representa-se por nA’p.
n
A’p = n x n x … x n = np
p fatores
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Dado um número natural n, chama-se fatorial de n (ou n fatorial) ao produto dos n primeiros
números naturais e representa-se por n!
n! = n x (n-1) x (n-2) x … x2 x1
Nota: por convecção 0! = 1.
___________________________________________
Dado um conjunto com n elementos, dá-se o nome de permutações de n aos grupos que se
podem formar tais que:


Todos os grupos têm n elementos;
Dois ou mais grupos diferem entre si pela ordem de colocação dos elementos.
O número de permutações de n é representado por Pn e o valor é dado por:
Pn = n x (n-1) x (n-2) x … x2 x1 , ou seja, Pn= n!
___________________________________________
Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjos simples (ou arranjos sem repetição)
de n elementos tomados p a p (p≤n) às diferentes sequências que se podem formar com p
elementos tais que:


Em cada sequência há p elementos não repetidos;
Duas ou mais sequências são diferentes se diferem em algum elemento ou na ordem
dos elementos.
O número de arranjos sem repetição de n elementos, tomados p a p, representa-se por nAp e o
seu valor é dado por:
Ap = n x (n-1) x (n-2) x … x (n – (p-1)), ou seja, nAp = n!n-p !
n
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12º ano
Combinações (ou ou combinações sem repetição) de n elementos tomados p a p (p≤n)
representa-se por nCp e é o número de subconjuntos com p elementos que se podem obter a
partir de um conjunto com n elementos, tais que:


Cada subconjunto tem p elementos;
Dois subconjuntos são distintos se diferem em algum elemento, não interessando a
ordem da sua disposição.
nC
p
= nAp ou
nC
p
= n!p!n-p!
p!
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Permutações com repetição
O número de permutações com repetição de n elementos, dos quais n1 são repetidos, n2 são
repetidos, …, nk são repetidos, é dado pela expressão:
n!
__
n1! x n2! X … x nk!
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Propriedades do triângulo de Pascal



n
Cp = nCn-p, com n Є IN0, com p Є IN0 e p ≤ n.
n
Cp + nCn+p = n+1Cp+1 , com n Є IN0, p Є IN0 e p ≤ n.
n
C0 + nC1 + nC2 + … + nCn = 2n , com n Є IN0.
___________________________________________
Binómio de Newton
O desenvolvimento da n-ésima potência de (a + b), a que se dá o nome de desenvolvimento do
Binómio de Newton, é dado pela expressão:
(a + b)n = nC0an + nC1an-1b + nC2an-2b2 + … + nCn-1abn+1 , n Є IN0
___________________________________________
No desenvolvimento de (a + b)n, se designarmos o termo de ordem p + 1 por Tp+1 , com 0≤p≤n,
tem-se:
Tp+1 = nCp an-p bp
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3. Distribuição de frequências relativas e distribuição de probabilidades
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MATEMÁTICA A
12º ano
Dada uma experiência aleatória à qual corresponde um espaço de resultados Ω, chama-se
variável aleatória X a uma função que a cada elemento do espaço de resultados associa um
número real.
X: Ω  IR
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Nota: atendendo à Lei dos Grandes Números, à medida que o número de experiências
aumenta, a frequência relativa tende para a probabilidade.
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Dada uma variável aleatória discreta X, que toma os valores x1, x2 , … , xk, as probabilidades
pi=P (X = x1) satisfazendo as seguintes condições:


0 ≤ pi ≤ 1, i = 1, 2, … , k
p1 + p2 + … + pk = 1
Chama-se função de probabilidade de X (ou função massa de probabilidade) à função que a
cada xi faz corresponder P (X =xi). Os pares (xi, pi); i = 1, 2, …, k constituem a distribuição de
probabilidade da variável aleatória discreta X.
___________________________________________
Formulário:
(média amostral) x = i=1nxifi
(desvio padrão amostral) s= i=1nfi (xi-x)2
(valor médio populacional) μ= i=1n xipi
(desvio padrão populacional) σ= i=1npi (xi-μ)2
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Seja X uma variável aleatória que toma os valores x1, x2, … ,xn com probabilidades p1, p2, …, pn
Chama-se valor médio (ou esperança matemática) da variável aleatória X ao valor μ, obtido da
seguinte forma:
μ=X1P1+X2P2+…+XnPn
Chama-se desvio padrão da variável aleatória X ao valor σ, obtido da seguinte forma:
σ= p1 (x1- μ)2++ p2 (x2- μ)2 + … + pn (xn- μ)2
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Modelo binomial
Considere-se uma experiência aleatória em que apenas interessa observar a ocorrência do
acontecimento A (sucesso) e a do seu contrário Ā (insucesso).
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MATEMÁTICA A


12º ano
Estabelece-se o número n de provas a repetir;
A probabilidade de p de sucesso em cada prova é fixa.
A variável aleatória X, que representa o número de sucessos nas n provas, chama-se variável
aleatória com distribuição Binominal de parâmetros n e p representa-se por B (n ; p).
___________________________________________
Em n provas repetidas de Bernoulli, seja A o acontecimento considerado sucesso.
Em cada prova P (A)= p e P(Ā)= 1 - p = q.
Seja ainda X a variável aleatória binominal que representa: “Número de sucessos em n provas”
A probabilidade de se obter exatamente k sucessos em n provas é dada por:
P (X = k)= nCk pk qn-k ; 0≤ k ≤ n
___________________________________________
Uma função y = f(x) é uma função densidade de probabilidade (ou função de probabilidade)
de uma variável aleatória contínua de X se:



f (x) ≥0, para todo o x do intervalo em que está definida a variável aleatória;
a área abaixo da curva é 1;
a probabilidade de que a variável tome valores do intervalo (xi ; xj) é igual à área abaixo
da curva e correspondente ao intervalo (xi ; xj).
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Modelo normal: propriedades da curva normal
- É simétrica em relação ao valor médio da variável, μ, tomando, para este, o valor máximo.
- Quanto maior for o desvio padrão, σ, mais achatada é a curva.
- A área limitada
ao intervalo [μ-σ
igual a 0,683.
pela curva e correspondente
, μ+σ] é, aproximadamente,
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MATEMÁTICA A
12º ano
P (μ-σ≤ X ≤ μ+σ) ≈0,683
- A área limitada pela curva correspondente ao intervalo [μ-2σ , μ+2σ] é, aproximadamente,
igual a 0,954.
P (μ-2σ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,954
Se uma variável contínua segue uma distribuição normal de valor médio μ e o desvio-padrão σ,
representa-se por N (μ,σ).
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