Lista 01: Funções Econômicas e Limites – Valor 2 Pontos

GOVERNO FEDERAL
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
CAMPUS JUAZEIRO/BA COLEG. DE ENG. ELÉTRICA
PROF. PEDRO MACÁRIO DE MOURA
MATEMÁTICA APLICADA À ZOOTÉCNIA
Discente _________________________________________ CPF
Turma ZX
Campus Centro – CPNZ
Sala NT 03
Data 20 junho de 2016
Lista 01: Funções Econômicas e Limites – Valor 2 Pontos
Problema 01 Suponha que exista inicialmente 1 bactéria em certa cultura. Sabendo que a
cada hora o número de bactérias duplica, escreva a lei da função que relaciona o número de
bactérias com o tempo em horas.
Problema 02 A tabela abaixo nos dá a população do México no período de 1980-1986:
Ano
1980
1981
1982
1983
1984
População (em milhões) 67,38
69,13
70,93
72,77 74,66
1985
1986
76,60 78,59
Escreva a lei da função que relaciona a população do México em função do tempo.
Problema 03 Suponha que 𝑄 = 𝑓(𝑡) é uma função exponencial de 𝑡. Se 𝑓(4) = 8.100 e
𝑓(7) = 218.700:
a) encontre a base da função.
b) encontre a taxa de crescimento percentual.
c) calcule 𝑓(0) e 𝑓(10).
Problema 04 É dada à reta 𝑟: 𝑋 = (1, 2, 0) + 𝜆(1,1, −3) e os pontos 𝐴(0, 1, 8) e 𝐵(−3, 0, 9).
Determine o ponto 𝐶 de 𝑟 tal que 𝐴, 𝐵 e 𝐶 sejam vértices de um triângulo retângulo.
Problema 05 Uma loja compra camisetas ao custo de R$ 7,00 a unidade. Estima-se que, se
cada camisa for vendida por R$ 𝑥, os consumidores comprarão 100 − 4𝑥 camisas por mês.
a) estabeleça a fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda de cada
camisa.
b) suponha que a loja não considere centavos nos preços de suas mercadorias, por quanto à
loja deveria vender cada camiseta para o lucro ser máximo?
A matemática deve ser útil; mas não nos esqueçamos, porém, de que essa ciência é, acima de tudo, uma
mensagem de Sabedoria e Beleza. Malba Tahan
1
Problema 06 Uma certa máquina desvaloriza de tal forma que, após 𝑡 anos, seu valor é dado
pela função 𝑄(𝑡) = 𝑄𝑜 𝑒 −0,04𝑡 . Após 20 anos, a máquina vale R$ 8.986,58. Qual era seu valor
original?
Problema 07 Suponha que existam inicialmente 2000 bactérias em certa cultura e que
existirão 6000 bactérias 20 minutos depois. Sabendo que o número de bactérias cresce
exponencialmente, determine o número de bactérias que existirão, após uma hora.
Problema 08 Em uma cultura o número de bactérias é dado por 𝑓(𝑡) = 1.000 ∗ 30,5𝑡 (𝑡 é o
tempo em horas). Quando o número de bactérias for 9.000, qual será o valor de 𝑡?
Problema 09 Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de demanda
𝑝 = 10 − 2𝑞 e 𝑝 =
3𝑞
2
+ 1.
Problema 10 Uma empresa produz um único produto com um custo fixo de R$ 20,00 e com
um custo variável médio de R$ 0,20 por unidade. O produto é vendido por R$ 0,50 a unidade.
a) expresse o custo total 𝐶𝑇 em função da quantidade 𝑞 produzida.
b) expresse a receita 𝑅𝑇 em função da quantidade 𝑞 vendida.
c) expresse o lucro 𝐿 em função da quantidade 𝑞 vendida.
d) qual a quantidade 𝑞 de equilíbrio? Qual o ponto de equilíbrio?
e) interprete graficamente. (Esboçar o gráfico das funções custo, receita e lucro no mesmo
plano e identifique os principais pontos das funções). Para isso use: 0 ≤ 𝑞 ≤ 80.
Problema 11 Um quadro de Vermeer (1632-1675) ainda contém 99,5% do seu carbono-14. A
partir dessa informação, você pode determinar se o quadro é ou não falsificado?
Problema 12 Estima-se que, daqui a 𝑡 anos, a população de um determinado país será dada
por 𝑃(𝑡) = 50𝑒 0,02𝑡 milhões de habitantes.
a) qual é a população atual do país?
b) qual será a população, daqui a 30 anos?
Problema 13 Encontre a função inversa de 𝑓(𝑡) = 50 𝑒 0,1𝑡 .
A matemática deve ser útil; mas não nos esqueçamos, porém, de que essa ciência é, acima de tudo, uma
mensagem de Sabedoria e Beleza. Malba Tahan
2
Problema 14 Uma empresa para produzir 𝑥 unidades de um certo tipo de produto tem como
função de custo total 𝐶(𝑥) = 2𝑥 4 + 12𝑥 3 + 9𝑥 + 30. Determine as funções de custo
fixo, custo variável e custo médio. Calcule o custo para fabricar 10 unidades e o custo para
fabricar a 10ª.
Problema 15 A quantidade 𝑥 e o preço 𝑝 de certo produto estão relacionados pela seguinte
equação de demanda 𝑥(𝑝) = 2.00 − 𝑝 − 0,4𝑝3 . Determine o valor de 𝑝 que dá a receita
máxima.
Problema 16 Se uma cultura é plantada em um solo cujo teor de nitrogênio é 𝑛 , a
𝐴𝑛
produtividade 𝑃 pode ser modelada pela função de Michaelis-Menten 𝑃(𝑛) = 𝐵+𝑛 , 𝑛 ≥ 0.
Onde 𝐴 e 𝐵 são constantes positivas. O que acontece com a produtividade se o teor de
nitrogênio aumentar indefinidamente?
Problema 17 Expresse o comprimento L da corda de um círculo
com raio de 10 𝑐𝑚 como função do ângulo central θ (veja a
figura ao lado).
1
Problema 18 Um arqueólogo encontrou um fóssil no qual 3 do
14
𝐶 existente na atmosfera continua presente. Qual a idade
aproximada do fóssil?
Nos Problemas 19 – 30 utilize os seus conhecimentos sobre limites, para determinar se o
limite ou determine sua tendência.
19. 𝑙𝑖𝑚
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 −𝑥 2 −2
𝑥→0 −𝑥 2 +𝑠𝑒𝑛2 𝑥
22. 𝑙𝑖𝑚+
𝑥→0
25. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
;
ln(𝑠𝑒𝑛𝑥)
ln(𝑡𝑔𝑥)
;
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑡𝑔𝑥
𝑥3
;
28. 𝑙𝑖𝑚𝜋 (1 − 𝑡𝑔𝑥)𝑠𝑒𝑐 (2𝑥);
𝑥→
4
20. 𝑙𝑖𝑚+
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥→𝜋 √𝑥−𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑎𝑡𝑥)
21. 𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑏𝑡𝑥);
;
𝑥→0
23. 𝑙𝑖𝑚𝑥1/(𝑥−1)
24. 𝑙𝑖𝑚+ (𝑡𝑔𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 ;
𝑥→0
𝑥→
26. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
29. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥 2 +3𝑥+1
𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥
cos2 𝑥
27. 𝑙𝑖𝑚𝜋 −1+𝑠𝑒𝑛𝑥;
;
𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝜋
2
𝑥→
;
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥
30. 𝑙𝑖𝑚𝜋 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) .
𝑥→
2
Bom Estudo! Sucesso!
A matemática deve ser útil; mas não nos esqueçamos, porém, de que essa ciência é, acima de tudo, uma
mensagem de Sabedoria e Beleza. Malba Tahan
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