Módulo 12 - Paulo Mottola

Mottola
Módulo 4
FUNÇÕES
QUADRÁTICAS
1. APRESENTAÇÃO
As funções quadráticas são usadas em diversas aplicações:
- Equacionamento do movimento de um ponto com aceleração constante.
- Modelagem de trajetórias na Astronomia.
- Problemas de máximos e mínimos aplicados a todas as ciências.
- Construção de antenas parabólicas.
As funções quadráticas definem parábolas. Mas qual a definição de parábola?
Na figura, F é uma árvore e r a margem de um rio.
É possível o gato se deslocar de forma a sempre estar equidistante da árvore e do
rio?
A trajetória descrita pelo gato é uma curva
chamada de parábola.
A margem do rio é uma reta chamada de
diretriz.
Rio
Rio
O ponto onde a árvore se encontra é chamado
de foco.
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A superfície gerada pela revolução de uma parábola em relação ao seu eixo de
simetria é chamada de parabolóide elíptico.
Eixo
F
As antenas parabólicas são tais que, quando uma onda incide sobre a sua
superfície interna, a mesma é refletida no foco. Um sensor colocado no foco capta um
sinal amplificado.
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“O sapo da figura é real.”
“Está sobre um vidro e se encontra acima da superfície preta.”
Todas as afirmações são falsas.
Esta imagem é formada por um conjunto de pontos de luz que são refletidos no
foco de um espelho parabólico. O sapo real está sobre o parabolóide elíptico, abaixo da
superfície preta. Veja parte dele na parte inferior em posição invertida.
Não há vidro algum e nada, absolutamente nada, acima da superfície preta.
É um holograma. Se tentarmos tocar no sapo, o nosso dedo irá atravessá-lo.
2. FUNÇÃO QUADRÁTICA
Colocando uma parábola em um sistema de eixos cartesianos, com o eixo da
parábola paralelo à OY, cada ponto da curva passa a ser representado por um par de
coordenadas (x, y).
Haverá uma mesma relação
entre x e y para todos os pontos da
parábola.
y
Esta relação será do tipo
y = ax2 + bx + c, para a, b e c reais,
com a≠0, que definirá uma função
quadrática.
x
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Função quadrática é toda função f: RR definida por
f(x) = ax2 + bx + c, com aR* , bR, cR .
EXEMPLOS: a) y = 2x2 - 2x + 1
b) y = x2 - 4
EXERCÍCIO: Esboçar o gráfico da função y = x2 - 4x + 3.
y
x
0
1
2
3
4
y
x
3. INTERPRETAÇÃO DOS COEFICIENTES
A posição da parábola y = a x2 + bx + c depende dos coeficientes a, b, c.
a) INTERPRETAÇÃO DO COEFICIENTE a
a é positivo  a parábola tem concavidade voltada para cima (convexa).
a é negativo  a parábola tem concavidade voltada para baixo (côncava).
a>0
Função convexa
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a<0
Função côncava
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b) INTERPRETAÇÃO DO COEFICIENTE b
Vamos imaginar um ponto, percorrendo a curva de forma que a sua projeção
sobre OX movimente-se no sentido do eixo. Ao cruzar OY, temos:
b é positivo
b é negativo


b>0
o ponto está subindo.
o ponto está descendo.
b<0
b<0
b>0
Obs.:
(1) Para demonstrar esta interpretação geométrica necessitamos do conceito de
derivada.
(2) Para a função y = ax2 + bx + c abaixo, b é positivo ou negativo?
y
V
x
c) INTERPRETAÇÃO DO COEFICIENTE c
Para f(x) = ax2 + bx + c, f(0) vale ................
Quando x=0, temos y=c, ou seja, (0,c) pertence à parábola.
c é o ponto em OY onde a curva o intercepta.
c
c
c0
c0
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Obs.:
(1) Para a função y = a x2 + bx + c, o termo c informa onde o gráfico corta OY e o
termo b informa como corta OY.
(2) Um móvel em movimento retilíneo sobre um eixo, parte do ponto d0, com
velocidade constante v0 e aceleração constante a0. A função que a cada instante t,
associa a posição do ponto neste instante é a função quadrática definida por
d(t) = d0 + v0t + a0t2/2, chamada de equação horária.
0
d0
Comparando com a função y=at2+bt+c, o deslocamento inicial é c, a velocidade
inicial é b e a aceleração é 2a.
EXERCÍCIOS:
1) A curva do gráfico é definida por y = ax2 + bx + c. Determinar o sinal de a×b×c.
y
x
2) Um móvel em movimento retilíneo percorre até o instante t≥0 o espaço
e(t) = t2 -2t + 4 . Qual o deslocamento inicial e a velocidade inicial?
0
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1
2
3
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4. ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Zero de uma função, seja quadrática ou não, é todo elemento do domínio cuja
imagem é zero.
A
B
f
x’
0
x”
EXEMPLO: f definida por f(x) = x2 - 5x + 6.
x = 2 é zero da f, pois f(2) = .............................
Obs.:
(1) f(x) = x2 - 5x + 6 é a lei de uma função e x2 - 5x + 6 = 0 é uma equação.
Se x é um zero da função f, então x é uma raiz da equação f(x) = 0.
As expressões corretas são: "zero da função f" e "raiz da equação f(x)=0".
Mas também é usada a expressão “raiz da função f”.
(2) Para achar os zeros de y = ax2 + bx + c basta, pela fórmula de Báscara, encontrar as
raízes da equação ax2 + bx + c = 0.
(3) =b2 - 4ac (expressão sob a raiz na fórmula de Báscara) é chamado de discriminante.
(4) Vamos ver quantas raízes reais tem a equação x2 – 2x + 1 = 0.
-b  b2 – 4ac
x=
=
2a
Temos:
> 0  há duas raízes reais distintas.
 = 0  há uma raiz dupla.
< 0  não há raiz real.
Como os zeros reais são os “x” que possuem “altura” y nula, estes são os pontos
do eixo OX onde a curva o intercepta.
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Temos as seguintes situações:
1
x’
2
x”
3
x’
>0
2 zeros reais e distintos
ou um zero real duplo
=0
2 zeros reais e iguais
< 0
não tem zeros reais
Obs.:
(a) Quando ∆= 0, a única raiz é a abscissa do vértice:
𝑥𝑉 =
−𝑏±√∆
2𝑎
=
−𝑏±√0
2𝑎
=−
𝑏
2𝑎
(b) A função quadrática, na forma fatorada f(x) = (x-2).(x-3), tem raízes 2 e 3.
f(x) = x2 -3x -2x + 6 = x2 – 5x + 6.
-b = 5 = 2 + 3 e c = 6 = 2×3.
Conclusão:
Se x’ e x” são as raízes da equação quadrática
x’ + x” = -b e x’ . x” = c
1.x + bx + c = 0, então:
EXERCÍCIOS:
1) Determinar as “raízes” de y = x2 + 2x + 1 e esboçar o gráfico.
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2
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5. VÉRTICE
O vértice V(xv, yv) da parábola definida por uma função quadrática
f(x)=ax2+bx+c pode ser obtido por fórmulas ou pela análise gráfica.
As fórmulas são:
xV  
b
2a
e
yV  

4a
Pela análise gráfica, temos:
x’
xV
x”
yV
xv está no ponto médio dos zeros x’ e x” da função quadrática, ainda que imaginários.
yv é a imagem de xv.
xV 
x' x"
2
e
yV  f ( xV )
EXERCÍCIO: Determinar a imagem da função definida por y = x2 - 2x + 2.
y
x
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6. SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
Determinar o sinal de uma função é obter os afastamentos x com y é positivo e
os afastamentos x com y negativo.
f(x)
++++ 
0

2
f é positiva em (0,) e negativa em (,2)
x
Como veremos em trigonometria, no círculo trigonométrico, temos:
/2

0≈2
3/2
EXERCÍCIO:
Quais os sinais das funções quadráticas?
a)
b)
-1
72
3
2
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2) O conjunto solução de x2 4 é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{xR / x  ± 2}
[-2 , 2]
(- , -2][2 , +)
[2 , +)
(- , -2]
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Exercícios Obrigatórios
1) (UFRGS) Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x – 2x2 -1 e g(x) = 3 -2x. A
soma dos valores de f(x) que satisfazem a igualdade f(x)=g(x) é
(a) -4.
(b) -2.
(c) 0.
(d) 3.
(e) 4.
2) (UFRGS) Se p é um número real, a equação x2 + x + 1 = p possui duas raízes reais
distintas se, e somente se,
(a) p  3/4
(b) p  3/4
(c) p  4/3
(d) p  0
(e) p é um número real qualquer
3) (CESGRANRIO) O valor mínimo do polinômio y = x2 + bx + c, cujo gráfico é
mostrado na figura, é
y
0
3
x
(a) -1
(b) -2
(c) -9/4
(d) -9/2
(e) -3/2
4) (UFRGS/2015) Considere os gráficos das funções f, g e h, definidas por f(x)=2 ,
g(x)= x2- 5x + 6 e h(x) = x2 - 11x + 30 , representadas no mesmo sistema de
coordenadas cartesianas. O número de pontos distintos em que o gráfico de f intercepta
os gráficos de g e h é
(a) 1.
(b) 2.
(c) 3.
(d) 4.
(e) 5.
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5) (UFRGS/2015) Dadas as funções f e g, definidas respectivamente por
f (x) = x2 - 4x + 3 e g(x) = - x2 - 4x - 3 e representadas no mesmo sistema de
coordenadas cartesianas, a distância entre seus vértices é
(a) 4.
(b) 5.
(c) √5.
(d) √10.
(e) 2√5.
6) (UFRGS) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito
pela equação y = -40x2 + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x
segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil
permanece no ar correspondem, respectivamente, a
(a) 6,25 m, 5 s
(b) 250 m, 0 s.
(c) 250 m, 5 s.
(d) 250 m, 200 s.
(e) 10.000 m, 5 s.
7) (PUC) Se uma das raízes reais da equação 2x2 + kx - 2 = 0 é ½ , então a outra raiz é
(a) -4
(b) -2
(c) -1
(d) 2
(e) 4
8) (UFRGS) O domínio da função real de variável real definida por
f(x) = (1 - x)(3 + x) é o intervalo
(a) (-, -3]
(b) [-3, -1)
(c) (-3, 0)
(d) [-3, 1]
(e) [1, +)
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9) (PUC) A função real f é definida por f(x) = √𝑔(𝑥) . A representação gráfica de g
está na figura abaixo:
4
-4
-2
-4
-8
-12
2
4
O domínio da função f é
(a) [-12; 4]
(b) [0; 4]
(c) (0; 4)
(d) (-2; 2)
(e) [-2; 2]
10) (UFRGS) Na figura, estão representados três quadrados. A área do quadrado maior
é 25, e a soma das áreas dos quadrados hachurados é A(x).
x
x
A função A(x) é crescente no intervalo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(0 , 3/2)
(0 , 5/2)
(5/2 , +)
(3/2 , 5)
(5/2 , 5)
11) (UFRGS) Sabendo-se que um polinômio p(x) de grau 2 satisfaz p(1)=-1, p(2)=-2 e
p(3)=-1, é correto afirmar que a soma de suas raízes é
(a) 0.
(b) 1.
(c) 2.
(d) 3.
(e) 4.
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12) (UFRGS-2016) Considere as funções f e g, definidas respectivamente por
f(x) = 10x – x2 – 9 e g(x) = 7, representadas no mesmo sistema de coordenadas
cartesianas. O gráfico da função g intercepta o gráfico da função f em dois pontos.
O gráfico da função f intercepta o eixo das abscissas em dois pontos.
A área do quadrilátero convexo com vértices nesses pontos é
(a) 14.
(b) 28.
(c) 49.
(d) 63.
(e) 98.
13) (CESCEM) A expressão ax2 + bx + c, onde b2 - 4ac > 0 e a < 0, é estritamente
positiva se x for
(a) positivo
(b) não nulo
(c) igual às raízes
(d) exterior às raízes
(e) interior às raízes
14) (UFRGS) Considere, na figura abaixo, a região sombreada limitada por uma reta e
pelo gráfico de uma função quadrática.
As coordenadas dos pontos (x, y) dessa região verificam as desigualdades
(a) x2 - 4x + 1 ≤ y ≤ 1 - x.
(b) x2 - x + 4 ≥ y ≥ 1 - x.
(c) x2 - 2x + 1 ≤ y ≤ 1 - x.
(d) x2 - 4x – 1 ≥ y ≥ 1 - x.
(e) x2 - 2x + 1 ≥ y ≥ 1 - x.
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15) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por f(x)=x 2 + x – 2 e g(x)=6 – x,
representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B,
interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo.
A distância entre os pontos A e B é
(a) 2√2.
(b) 3√2.
(c) 4√2.
(d) 5√2.
(e) 6√2.
16) (UFRGS) A parábola na figura abaixo tem vértice no ponto (-1, 3) e representa a
função quadrática f(x) = ax2 + bx + c.
y
3
2
-1
x
Portanto, a + b é
(a) -3
(b) -2
(c) -1
(d) 0
(e) 1
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17) Dada a função f, definida por f(x)=x2 + 9 – 6x, o número de valores de x que
satisfazem a igualdade f(x)=-f(x) é
(a) 0.
(b) 1.
(c) 2.
(d) 3.
(e) 4.
18) (UFRGS) O gráfico do polinômio de coeficientes reais p(x)=ax2+bx + c está
representado abaixo.
Com base nos dados desse gráfico, é correto afirmar que os coeficientes a, b e c
satisfazem as desigualdades
(a) a > 0; b < 0; c < 0.
(b) a > 0; b < 0; c > 0.
(c) a > 0; b > 0; c > 0.
(d) a > 0; b > 0; e < 0.
(e) a < 0; b < 0; c < 0.
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19) (VUNESP) Sabendo-se que |x| significa “módulo de x” ou “valor absoluto de x”,
as raízes da equação | x | 2  | x | 6  0
(a) são positivas.
(b) têm soma igual a zero.
(c) têm soma igual a 1.
(d) têm produto igual a 6.
(e) têm produto igual a - 6.
20) (MOTTOLA) Com uma corda de 4 m quer-se construir um retângulo com a maior
área possível. Pode-se afirmar que este retângulo
(a) é impossível de ser determinado.
(b) tem um lado medindo o dobro do outro.
(c) tem um lado medindo o triplo do outro.
(d) tem lados adjacentes medindo 0,5 e 1,5.
(e) é um quadrado de lado 1.
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RESPOSTAS
1) C
2) A
3) C
4) C
5) E
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6) C
7) B
8) D
9) E
10)E
11) E
12) C
13) E
14) A
15) E
16) A
17) B
18) A
19) B
20) E