Oscilações_ Física II

Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Estudos Básicos e
Instrumentais
5 – Oscilações
Física II
Prof. Roberto Claudino Ferreira
1
ÍNDICE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Algumas Oscilações;
Movimento Harmônico Simples (MHS);
Pendulo Simples;
Velocidade MHS;
Aceleração MHS;
Energia MHS;
MHS amortecido;
Oscilações Forçadas e Ressonância.
Prof. Roberto Claudino
2
OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento das leis,
princípios, grandezas e unidades de
medidas que envolvem o estudo da
oscilações, assim como suas aplicações
práticas,
através
de
abordagens
conceituais, históricas e demonstrações
matemáticas.
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3
O que é Oscilação
Efeito exprimível como uma quantidade
que repetidamente e regularmente flutua acima
e abaixo de algum valor médio.
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4
Algumas Oscilações
As principais formas de oscilação podem ser reduzidas
a sistemas do tipo.
O Pêndulo.
Massa - Mola.
Ondas.
Ondas de superfície.
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5
Generalidade das Oscilações
Movimento Harmônico Simples (MHS)
É possível explicar o
(MHS) fazendo uma
analogia com o sistema
de pendulo simples.
C

B
h
A
As oscilações de um corpo se
caracterizam pelo período que apresentam e
pela amplitude que alcançam.
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7
Movimento Harmônico Simples (MHS)
O
período
(T)
C
B

corresponde ao intervalo
de
tempo
de
uma
oscilação
completa h
(vaivém).
A
O seu valor também pode ser medido
pela frequência (f), conhecendo o número
de oscilações por unidade de tempo
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8
Movimento Harmônico Simples (MHS)
O período (T) tem unidade de medida no SI em
segundos (s). E a frequência (f) em hertz, onde
T = 1/f.
x(t )  xm cos(t   )
(1)
Ângulo de Fase
tempo
Frequência Angular   2f
Amplitude
Deslocamento
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(2)
9
Movimento do Pêndulo Simples
B
vC  0
vB  0
EC  0
EC  0
E P max
E P max
C
B
h
A
A
EMA  EMB  EMC  cte
A v max
E C max
EP  0
Num sistema conservativo, a energia
mecânica total permanece constante.
Analogia: Pendulo e Oscilador
Massa - Mola
O movimento executado pelo pêndulo
simples é semelhante ao do sistema
massa-mola.
0
0
0
0
0
0
0
0
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11
Velocidade do MHS
Derivando (1) obtemos a expressão da
velocidade de uma partícula em movimento harmônico
simples.
dx(t ) d
v(t ) 
 [ xm cos(t   )]
dt
dt
v(t )  xm sen(t   )
Velocidade
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(3)
(4)
12
Aceleração do MHS
Derivando (4) obtemos a expressão da
aceleração de uma partícula em movimento harmônico
simples.
dv(t ) d
a(t ) 
 [xm sen(t   )]
dt
dt
a(t )   ² xm cos(t   ) Aceleração
(5)
(6)
Combinando (1) com (6), temos:
a(t )   ² x(t )
(7)
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13
A lei do MHS
Conhecendo como a aceleração de uma
partícula varia com o tempo, podemos substituí-la na
2ª lei de Newton:
F  ma
(8)
(9)
(10)
F  m( 2 x)
F  (m ) x
2
A equação (10) é uma força restauradora proporcional
ao deslocamento, (Que é a Lei de Hooke).
(11)
F  kx
k  m 2
(12)
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14
A lei do MHS
A equação (10) pode ser uma definição alternativa
para o MHS:
O (MHS), é um movimento executado por uma
força proporcional ao deslocamento da partícula e de
sinal oposto.
Isolando a frequência angular em (12):
k

m
(13)
1º Problema: Mostre que: Combinando (13) com a
frequência, encontramos o período do oscilador linear:
(14)
m
T  2
k
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15
2º Problema: Um bloco cuja massa m é 680g
está preso a uma mola cuja constante elástica k
é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície
sem atrito por uma distância x = 11cm a partir da
posição de equilíbrio em x = 0 e liberado a partir
do repouso no instante t = 0. (a) Quais são a
frequência angular, a frequência e o período do
movimento resultante?
(b) Qual a amplitude das oscilações?
(c) Qual a velocidade máxima (vm) do bloco e
onde se encontra o bloco quando tem essa
velocidade?
(d) Qual o módulo (am) da aceleração máxima do
bloco?
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16
A Energia do MHS
1
Energia Potencial: U (t )  kx²
2
(15)
Substituindo (1) em (15):
1
1 2
U (t )  kx²  kxm cos ²(t   )
2
2
1
Energia Cinética: k (t )  mv²
2
(16)
(17)
Substituindo (4) em (16):
1
1
K (t )  mv²  m 2 xm2 sen²(t   )
2
2
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(18)
17
A Energia do MHS
Substituindo (13) em (18):
1k
K (t ) 
mxm2 sen²(t   )
2m
(19)
Energia Mecânica é dado por: E = K + U, substituindo
(16) e (19), temos:
1 2
1 2
2
2
E  kxm cos (   )  kxm sen (   )
2
2
1 2
E  kxm [cos 2 (   )  sen 2 (   )]
2
1 2
1
E  kxm
2
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(20)
(21)
(22)
18
Pendulo Simples

F

T

F
S

P
F P

x L
Eixo horizontal
Do movimento
m  g  x Sendo:
F 
L
gx
a g
a
 
L
x L
2
T
g
L

P
Como θ é muito
Pequeno h = L
S
F  ma
T
2

T  2 
P  mg
m g  x
ma  
L
a   x
2
a
 
x
L
g
(7)
(22)
Período do Pêndulo Simples
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19
MHS Amortecido
Ocorre quando uma força externa reduz seu
movimento. Ex: Um pendulo tende a perder seu
movimento com o passar do tempo, devido aos
efeitos da força de atrito do ar que “rouba”
energia do pendulo.
Para um sistema massa mola com uma força
amortecedora, como o atrito com a água, temos:
Fa  bv Força de amortecimento
(23)
Fm   Kx Força exercida pela mola no bloco
(24)
b = Constante de amortecimento.
v = velocidade do bloco.
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20
MHS Amortecido
A força resultante no sistema fica:
 bv  kx  ma
(25)
d ²x
dx
m
 b  kx  0
dt ²
dt
(26)
Substituindo (v) e (a) por suas derivadas:
A solução desta equação fica:
x(t )  xme
bt / 2 m
cos( t   )
'
(27)
Onde ω’ é a frequência angular que é dada por:
k
b²
' 

m 4m ²
Se b=0 eq.(27) se torna eq. (1).
E (t )  1 kxm2 e bt / m
A energia
2
(28)
(29)
21
3º Problema: Para um oscilador amortecido
composto de um sistema massa mola fixado num
teto e amortecido por uma palheta que fixada no
bloco, mergulha em um recipiente de água a qual
causa resistência ao movimento. Sendo m =
250g, k = 85 N/m e b = 70 g/s.
(a) Qual o período do movimento?
(b) Qual é o tempo necessário para que a
amplitude das oscilações amortecidas se reduza
à metade do valor inicial?
(c) Quanto tempo é necessário para que a
energia mecânica se reduza à metade do valor
inicial?
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Oscilações Forçadas e Ressonância
Ocorre quando uma força externa aumenta seu
movimento. Ex: Uma criança no balanço sem que
ninguém o empurre, constitui uma oscilação livre.
Porém se alguém o empurra temos uma
oscilação forçada. x(t )  xm cos(et   ) (29)
A ressonância ocorre quando a frequência
angular natural (ω) coincide com a frequência
angular da força externa (ωe). (ω=ωe). Dando
valores máximos para a velocidade e a
amplitude.
Efeitos da ressonância.
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23
Simulação computacional do efeito do
vento na estrutura de uma ponte.
Efeito do vento na estrutura de
uma ponte incorretamente projetada.
Ponte de Tacoma (1940)
Resumo das
equações