CSE-MME 10-02-2012 - LAS
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CSE-MME Revisão de Métodos Matemáticos para Engenharia Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais 10.02.2012 L.F.Perondi Engenharia e Tecnologia Espaciais – ETE Engenharia e Gerenciamento de Sistemas Espaciais 3 – Cálculo Vetorial Sumário 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 – – – – – Vetores Sistemas de coordenadas Campos escalares e vetoriais Gradiente, rotacional e divergente Teoremas de Stokes e Green 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.1 – Conceitos e definições 3.1.1 – Vetores - Elementos que requerem para sua especificação a definição de uma grandeza e de uma direção. 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.1 – Conceitos e definições Representação módulo direção θ forma polar 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.1.2 – Operações com vetores 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.1 – Conceitos e definições 3.1.2 – Operações com vetores adição subtração multiplicação por escalar produto escalar produto vetorial O produto escalar entre dois vetores é igual ao produto dos módulos dos vetores e o cosseno do ângulo ente os eles. 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.1 – Conceitos e definições 3.1.2 – Operações com vetores Representação geométrica O produto escalar entre dois vetores relaciona-se com a projeção de um vetor na direção do outro. O módulo do produto vetorial entre dois vetores é igual à área do paralelograma definido pelos dois vetores. 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.2 – Sistemas de coordenadas 3.2.1 – Curvas em 3D - Uma curva no espaço 3D pode ser representada por um vetor , onde t é um parâmetro (escalar). 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.2.1 – Curvas em 3D 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.2.1 – Curvas em 3D Comprimento de uma curva 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.2.1 – Curvas em 3D Comprimento de uma curva Ex.: 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.2.1 – Curvas em 3D Comprimento de uma curva Ex.: 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.2.1 – Curvas em 3D Vetor tangente vetor tangente velocidade reta tangente 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.2.1 – Curvas em 3D Vetor normal vetor tangente velocidade reta tangente Vetor unitário normal à curva no plano da curva Vetor unitário normal à curva e ao plano da curva 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.3 – Campos escalares e vetoriais 3.3.1 – Definições Campo escalar - f(x,y,z) – função definida em um dado domínio, representando uma dada quantidade física. Ex.: distribuição de temperatura em um corpo sólido, a densidade de um meio não-homogêneo, a pressão em um fluído, o potencial eletrostático em um dado meio, e outros. 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.3.1 – Definições Campo vetorial – vetor definido em um dado domínio, representando uma dada quantidade física. Ex.: distribuição de velocidade em um fluído, os campos elétrico e magnético em um dado meio, entre outros. 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.4 – Gradiente, rotacional e divergente Gradiente Campo vetorial derivado de um campo escalar f(x,y,z) , definido por: O vetor : é perpendicular às superfícies 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial Gradiente -A integral de ao longo de um caminho fechado é sempre zero: - Se em um dado domínio, então neste domínio. 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial Divergente Sejam: Jν fluxo de massa de um fluído na direção ν (massa/área tempo); ρ densidade do fluído (massa / volume; Q fonte por unidade de volume e tempo para o fluído (massa / volume tempo). Equação da continuidade. 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial Rotacional Sejam: campo vetorial; vetor rotacional do campo ; componente do rotacional perpendicular ao plano da curva C. 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial Rotacional 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial Rotacional 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial Rotacional 10.02.2012 CSE-MME Cálculo Vetorial 3.5 – Teoremas de Stokes e Gauss Stokes A integral de um campo sobre uma curva fechada S é igual à integral do rotacional deste campo sobre qualquer superfície A limitada por S. Na expressão ao lado, representa um elemento de área da superfície A. Gauss A integral de um campo sobre uma superfície fechada A é igual à integral do divergente deste campo no volume V limitado por A. 10.02.2012
