funções - Paulo Mottola

Mottola
FUNÇÕES
1) Se f(x) =
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
6  2 x , então f ( 5 )  f ( 5 ) é igual a
2) (UNIFOR) O gráfico abaixo
0
x
(a) não representa uma função.
(b) representa uma função bijetora.
(c) representa uma função não injetora.
(d) é de uma função crescente.
(e) representa uma função decrescente.
3) Para a função cujo gráfico é dado a seguir podemos dizer que
y
a
x
b
O
(a) o domínio é R - {a}.
(b) a imagem é R - {0}.
(c) o domínio é R - {0}.
(d) a imagem é R - {b}.
(e) o domínio é R.
1
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4) Sejam as funções f1, f2 e f3, de  em , representadas a seguir
y
y
f1
f2
2
1
x
1
x
y
f3
0
x
Considere as afirmações
(I) f1 admite inversa.
(II) f2 é uma função crescente.
(III) f3 é sobrejetora.
Associe a cada uma delas o valor-verdade V, se for verdadeiro, e f, caso seja falso.
(a) VVF
(b) VFV
(c) FVV
(d) VVV
(e) FFF
5) Seja f: RR a função representada no gráfico. O conjunto dos reais x tais que
x . f(x)  0 é
y
(a) (-  ; 0) u (2 ; +)
(b) (2 ; +)
(c) (0 ; 2)
(d) (- ; 0)
2
x
(e) 
2
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6) (UFPI) f é a função real de variável real, representada pelo gráfico abaixo.
2
1
0
2
x
Analisando este gráfico, concluímos que a imagem de f é
(a) {y  R/ y  2}
(b) {y  R/ y > 0}
(c) {y  R/ y  0}
(d) {y  R/ y  0 ou y = 1 ou y  2}
(e) {y  R/ y  0 ou y  2}
7) O gráfico representado na figura é o de uma função que associa, a cada ano t, o
número y de centenas de peixes em um cardume. Analisando o gráfico, podemos
afirmar que o cardume
y
(a) teve uma população inicial de 200 peixes.
(b) está em extinção.
5
(c) no intervalo de tempo de 3 a 4 teve a sua
4
maior taxa de crescimento.
3
(d) no instante t = 3 sofreu alguma alteração
em seu ciclo evolutivo.
(e) em apenas um instante contou com 250 peixes.
1 2 3 4
t
8) Seja A o conjunto formado por 5 irmãs, todas com idades distintas. Seja f: A A a
relação definida por “f(x) é a irmã com idade imediatamente superior a x”. Então, f
(a) é uma função injetora.
(b) é uma função sobrejetora.
(c) é uma relação com domínio A.
(d) é uma função inversível.
(e) não é uma função.
3
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9) (FUVEST) A figura abaixo representa o gráfico de uma função da forma
f ( x) 
xa
, para –1  x  3.
bx  c
y
1/5
-1 -1/3
-1
2
3
x
-3
Pode-se concluir que o valor de b é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
-2
-1
0
1
2
10) (UFRGS) Sejam V = {(P,Q) / P e Q são vértices distintos de um hexágono regular}
e f uma função que associa a cada par (P,Q) V a distância de P a Q. O número de
elementos do conjunto imagem de f é
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 15
(e) 30
11) (FGV) Considere a seguinte função de variável real
1, se x é racional
f ( x)  
0, se x é irracional
Podemos afirmar que:
(a) f(2,3) = 0
(b) f(3,1415) = 0
(c) f[f(a)] = 0
(d) 0  f(a) + f(b) + f(c)  3
(e) f(0) + f(1) = 1
4
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12) (FUVEST) Quantas soluções tem a equação x5 + 6x2 - 3 =  no intervalo [0,1]?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
13) (FUVEST) Das alternativas abaixo, a que melhor corresponde ao gráfico da função
f(x) = 1 – 2-|x| é
(a)
1
y
(d)
y
1
x
x
-1
y
y
(b)
(e)
1
2
1
x
x
(c)
y
1
x
14) Seja f a função que associa, a cada número real, o menor dos números x+3 e –x+5.
Assim, a valor máximo de f(x) é
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 6
(e) 7
5
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15) A equação 2x = -3x + 2, com x real,
(a) não tem solução.
(b) tem uma única solução entre 0 e
2
.
3
2
e 0.
3
(d) tem duas soluções, sendo uma positiva e outra negativa.
(c) tem uma única solução entre 
(e) tem mais de duas soluções.
16) Seja f: R  R, uma função tal que f(2x – 1) – 14x – 8 = 0. Determinar f –1(0).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
 15
7
15
7
7
15
7
13
 13
7
17) Sejam f e g funções tais que f(x) = 2x – 1 e f(g(x)) = g(x). Então, g(x) é
(a) 2x - 1
(b) 2x
(c) x
(d) 1
(e) 2
6
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18) Seja f a função que, a cada x  0, associa a área sombreada sob o gráfico da função
g, de 0 a x, conforme a figura. Se g(x) = 2x, então f(x) é
g(x)
0
(a) 1
x
(b) 2
(c) x
(e) x2
(d) 2x
19) Considere a função f que, a cada altura x, associa a área sombreada da figura:
x
x
A alternativa que contém um possível gráfico para f é
(a)
(b)
(d)
(e)
(c)
7
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20) Uma mercadoria, que à vista custa C reais, é comprada com uma entrada de x reais
e mais 4 prestações iguais. Um possível gráfico da função, que a cada entrada x, associa
o valor da prestação, é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
21) (PUC/SP) Representamos a função f, de R em R, no gráfico a seguir:
y
1
-3
-1
1
3
x
-1
É correto afirmar que
(a) Se -1  x 1, então 0 f(x)  1.
(b) f é crescente para todo x 1.
(c) Se x  0, então f(x)  0.
(d) f é sobrejetora.
(e) f é injetora.
8
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22) (UFRGS) Na figura abaixo estão representados o círculo de equação x2 + y2 = 1, um
ponto P qualquer pertencente ao diâmetro AB e a corda do círculo, a qual contém P e é
paralela ao eixo das abscissas.
y
Considere a função f que, à ordenada do ponto P, faz
B
corresponder o comprimento da corda acima citada.
x
Dentre os gráficos abaixo, o que pode representar f é
O
P
A
(a)
y
2
1
-1
1
x
y
(b)
2
1
-1
1
x
1
x
y
(c)
2
1
-1
y
y
2
(d)
(e)
2
1
1
-1
1
x
-1
1
x
9
Mottola
23) (FFFCMPA/2006) Considere a função f, definida por f (x)=|x|/x, para x0. Dados os
números reais a, b, c não nulos, considere as sentenças abaixo.
(I) f (a+b) = f(a) + f(b)
(II) f (ab) = f(a). f(b)
(III) cf(a) = f(ca)
Quais são verdadeiras?
(a) Apenas I
(b) Apenas II
(c) Apenas III
(d) Apenas I e II
(e) Apenas I e III
24) Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x + 1) = 3f(x) - 2.
O valor de f(0) é
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
25) (PUC) Se xR, então podemos expressar a distância de x até o ponto –3 na reta real
através da função f, definida por
(a) f(x) = x - 3
(b) f(x) = x + 3
(c) f(x) = |x|
x + 3, se x  -3
(d) f(x) =
-x - 3, se x<-3
x - 3, se x  0
(e) f(x) =
3 - x, se x<0
10
Mottola
RESOLUÇÃO
1)
f ( 5 )  f ( 5 )  6  2 5  6  2 5  (6  2 5 )  (6  2 5 )  6 2  (2 5 ) 2 
36  20  16  4
2) (a) é F: É função, pois retas verticais cortam o gráfico em um só ponto.
(b) é F: Não é bijetora, pois não é injetora (ver a justificativa da (c)).
(c) é V: Há retas horizontais que cortam a curva em mais de um ponto.
(d) é F: Há intervalos em que está decrescendo.
(e) é F: Há intervalos em que está crescendo.
3) (a) é V: A projeção do gráfico sobre X é R-{a}.
y
a
x
b
(b) é F: A projeção do gráfico sobre Y é (b, 0)  (0, +).
y
a
x
b
(c) é F: o domínio é R-{a}.
(d) é F: a imagem é (b, 0)  (0, +).
(e) é F: o domínio é é R-{a}.
11
Mottola
4) (I) é F: f1 não é injetora, pois há retas horizontais que cortam o gráfico em mais de
um ponto. Logo não é bijetora. Só funções bijetoras têm inversa.
(II) é V: Percorrendo o eixo em seu sentido positivo, o gráfico está sempre em
subida.
(III) é V: A imagem (projeção do gráfico sobre Y) é todos os reais. Logo, a imagem é
igual ao conjunto de chegada , sendo sobrejetora.
5) Queremos saber quando x . f(x)  0, ou seja, quando x e f(x) têm mesmo sinal.
Quais os afastamentos x em que ocorre: afastamento e altura têm o mesmo sinal?
P
R
2
Q
Em P não corre: afastamento negativo e altura positiva.
Em Q não ocorre: afastamento positivo e altura negativa.
Em R ocorre: afastamento e altura positivos.
Assim, x . f(x)0 ocorrerá para afastamentos x maiores do que 2.
6) A projeção do gráfico sobre Y é formada pelos pontos y tais que y2, y=1 ou y2.
Observe que a imagem de todos os números que
estão entre 0 e 2 é 1. Assim, 1 está na imagem,
fazendo parte da resposta.
2
1
0
2
x
12
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7) (a) é F: Se x=0, então y=3. Logo, população inicial é de 300 peixes.
(b) é F: Não está em extinção, pois a função é crescente para x2.
(c) é F: De 3 a 4 cresceu 1 centena, tendo uma taxa de 1 centena por ano.
De 2 a 3 cresceu 4 centenas, tendo uma taxa de 4 centenas por ano.
Logo, de 3 a 4 não ocorreu a maior taxa de crescimento.
(d) é V: De 2 a 3 apresentou um crescimento acelerado. De 3 a 4 apresentou um
crescimento desacelerado. Logo, no instante t = 3 sofreu alguma alteração
em seu ciclo evolutivo.
(e) é F: No gráfico, há dois afastamentos (anos) com altura 2,5 (2,5 centenas).
3
2,5
8) Sejam a, b, c, d, e as irmãs com idades 1, 2, 3, 4 e 5 anos. O diagrama de f é o
seguinte:
A
a
b
c
d
e
9) O ponto (2,0) está no gráfico. Em y 
A
a
b
c
d
e
A irmã mais velha (e) não
tem imagem.
Logo, f não é função.
xa
, substituindo x por 2 e y por 0, temos:
bx  c
2a
0  (2b  c)  2  a 0  2  a a  2
2b  c
x2
Então, temos y 
.
bx  c
x2
O ponto (0,-1) está no gráfico. Em y 
, substituindo x por 0 e y por -1, temos:
bx  c
02
2
c2
1 
1 
b0  c
c
x2
Então, temos y 
.
bx  2
x2
O ponto (3,1/5) está no gráfico. Em, y 
, substituindo x por 3 e y por 1/5, temos:
bx  2
1 32 1
1
5  3b  2 b  1


5 3b  2 5 3b  2
0
13
Mottola
10) Sejam A, B, C, D, E , F os vértices do hexágono.
A
B
Só há três tipos de distâncias entre pares
de vértices:
F
C
lado, diagonal menor, diagonal maior.
E
D
V = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (A,F), (B,A), ... , (E,F)}
V
(A,B)
R
f
(A,C)
(A,D)
lado
diagonal menor
diagonal maior
(A,E)
...
Logo, a imagem só tem três elementos.
11)
Um número é irracional quando for infinito, sem periódica.
Por exemplo, 2,3; 3,1425; 0; 1 são todos racionais, pois são finitos.
Conforme a função, todos estes têm imagem 1.
(a) é F: A imagem de 2,3 é 1.
(b) é F: A imagem de 3,1415 é 1.
(c) é F: f(a) é 0 ou 1. Seja 0 ou seja 1, f(a) é racional.
f(f(a)) é a imagem de um racional, sendo, portanto, 1.
(d) é V: f(a), f(b), f(c) são iguais a 0 ou 1.
Se todos forem iguais a 0, a soma dá 0.
Se todos forem iguais a 1, a soma dá 3.
f(a)+f(b)+f(c) é no mínimo 0 e no máximo 3.
(e) é F: f(0)+f(1)=1+1=2.
14
Mottola
12) Vamos aproximar  por 3.A equação fica x5 + 6x2 - 3 = 3, ou seja, x5 = -6x2 + 6.
Vamos fazer os gráficos das funções f(x) = x5 e g(x) = -6x2 + 6.
Os gráficos das funções f e g se
interceptam em um único ponto com
abscissa entre 0 e 1.
-1
1
Logo há uma única raiz em [0,1].
13) f(x) = 1 – 2-|x|
Vamos fazer uma tabela:
x
0
±1
±2
f(x)
0
1/2=0,5
3/4=0,75
3/4
1/2
-2
-1
0
1
2
14) Vamos construir uma tabela:
x
-2
-1
0
1
2
3
x+3
1
2
3
4
5
6
-x+5 f(x) = menor valor
7
6
5
4
3
2
O maior valor da imagem da f é 4.
1
2
3
4
3
2
15
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Outro modo:
Seja g(x)=x+3 e h(x)=-x+5.
g é a identidade mais 3 e h é menos a identidade mais 5.
h
g
5
3
x0
f associa, a cada afastamento x, a menor das alturas: g(x) ou h(x).
Até x0, a menor das alturas está no gráfico da g. Após x0, a menor das alturas está no
gráfico da h. O maior valor que esta menor das alturas assume ocorre no ponto x0, ou
seja, quando g(x)=h(x).
g(x)=x+3
Igualando g(x) e h(x): x + 3 = -x + 5
h(x)=-x+5.
g(1) = h(1) = 4
2x = 2
x=1
15) Seja f(x)=2xe g(x)=-3x + 2. Os gráficos da f e g são:
Os gráficos interceptam-se em um único
ponto, com abscissa entre 0 e 2/3.
2
1
Logo, há uma única solução entre 0 e 2/3.
2/3
16) f(2x – 1) – 14x – 8 = 0
f(2x – 1) = 14x + 8
Para se obter f(x), substitui x por
f ( x) 
x 1
:
2
14 x  14
 8  7 x  7  8  7 x  15 .
2
x 1
x 1
)  1)  14(
)8
2
2
x  15 1
 15
f 1 ( x) 
f (0) 
7
7
f (2(
16
Mottola
17) A função da f é multiplicar por 2 e subtrair 1. Assim, f(g(x))=2g(x) – 1.
Mas como f(g(x))=g(x), igualando os segundos membros, temos:
2g(x) – 1 = g(x)
2g(x) – g(x) = 1
g(x) = 1
18) A área do triângulo é calculada por
base altura
.
2
g(x)
g(x)
0
x
x  g ( x) x  2 x

 x2
2
2
A base é x e a altura é g(x). Assim, a área é
19)
h
x
x
A área da região sombreada aumenta a medir que x aumenta. Mas, a partir da altura
h, cresce menos.
Cresce mais
Cresce menos
Área
h
x
17
Mottola
20) Se a entrada é x, o valor a parcelar é C – x.
Cx
Cada prestação será de y 
, ou seja,
4
y (prestação)
y
x C

4 4
C
4
C
21)
x (entrada)
y
1
-3
-1
1
3
x
-1
1
(a) Se -1  x 1, então 0 f(x)  1: Verdade.
Se -1  x 1, então este será o domínio e o gráfico fica
-1
1
Projetando-se em Y, obtemos a imagem (0, 1].
Assim, se -1  x 1, então 0 f(x)  1
(b) f é crescente para todo x 1: Falso.
No intervalo (0, 1) a função é decrescente.
(c) Se x  0, então f(x)  0: Falso.
Se x(1, 3), então f(x)<0.
Imagem
(d) f é sobrejetora: Falso.
Como a função é de  em , o conjunto de chegado é .
Projetando-se o gráfico em Y, temos a imagem [-1,).
Como o conjunto de chegada não coincide com a
imagem, a função não é sobrejetora.
-1
(e) f é injetora: Falso.
Há retas horizontais que interceptam o gráfico em mais de um ponto.
Logo, a função não é injetora.
18
Mottola
22)
A cada ordenada de P associa a corda.
f(ordenada)=corda
P
ordenada de P
corda
-1/2
2
-1
a
ordenada: -1
corda: 0
ordenada: -1/2
corda: a
ordenada: 0
corda: 2
ordenada
a
1
1/2
ordenada: 1/2
corda: a
-1
-1/2
0
1/2
1
corda
0
a
2
a
0
ordenada: 1
corda: 0
a
-1 -1/2
1/2
1
19
Mottola
23)
(F) (I)
f (a+b) = f(a) + f(b)
f ( a  b) 
ab
ab
a
f (a)  f (b) 
Queremos saber se
a
ab

ab

b
a

b
a
1 2
Para a=-1 e b=2, temos:
1 2

b
b
1
1

2 1
2 1

1
1

2
2
1 = 1 + 1, que é falso.
(V) (II) f (ab) = f(a). f(b)
Queremos saber se
ab
ab
a


a
b
b
É verdade, pois |ab| = |a|×|b|.
(F) (III) cf(a) = f(ca)
Queremos saber se c 
Para c=2 e a=1, temos: 2 
a
a
1
1


ca
ca
2 1
2 1
2 = 1, que é falso.
24) f(1) = 4 e f(x + 1) = 3f(x) - 2.
x=0  f(0+1) = 3f(0) – 2
f(1) = 3f(0) – 2
4 = 3f(0) – 2
Logo, f(0) = (4 + 2)/3 = 2.
20
Mottola
25) f(x) é a distância de x até -3
d=f(-4)=1
-4
-3
d=f(1)=4
-2
-1
0
1
Se x > -3, a distância d=f(x) é x + 3.
Por exemplo: se x=-2, d=f(-2)=-2+3=1
se x=1, d=f(1)=1+3=4.
Se x < -3, a distância d=f(x) é -x - 3.
Por exemplo: se x=-4, d=f(-4)=-(-4)-3=1
Assim,
x + 3, se x  -3
f(x) =
-x - 3, se x<-3
21
Mottola
RESPOSTAS
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
D
C
A
C
B
D
D
E
D
A
D
A
D
C
B
A
D
E
B
D
A
B
B
C
D
22