CM A Resumo Analise Combinatoria

CUFSA - FAFIL
Análise Combinatória
A) CONCEITOS:
•
(Resumo Teórico)
Regras Simples de Contagem: é a maneira de determinar o número de elementos de um
conjunto. Na maioria das vezes é mais importante conhecer a quantidade de elementos de um
determinado conjunto do que descrevê-los a todos. Considerando um conjunto A com número
finito de elementos e enumerável, isto é, que exista um número natural que se possa associar
ao número de elementos deste conjunto, se o número de elementos é p , notamos n(A) = p.
•
Regras da Soma: Considerando os Conjuntos A e B, tais que n(A) = p e n(B) =q.
• Caso I: A ∩B = ∅ : n(A ∪ B) = n(A) + n(B) = p + q ;
• Caso II: A ∩B ≠ ∅ : n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩B ).
Exemplo: Em um grupo de 500 pessoas entrevistadas, 300 assinam “O Estadão” , 200
assinam “A Folha” e 100 assinam ambos os Jornais. Pergunta-se a) quantos assinam
exclusivamente cada Jornal ? e b) quantos não assinam jornal nenhum?
Resolução: Seja A o conjunto dos que assinam “O Estadão” e B dos que assinam “A Folha”.
a) Queremos Calcular n(A – B ) e n(B – A).
n(A–B)=n(A)–n(A ∩B)=300–100= 200 e n(B–A)=n(B)–n(A ∩B)=250–100=150.
Logo 200 assinam só “O Estadão” , 150 assinam só “A Folha” .
b) Como n(A – B ) = 200 , n(B – A) = 150 e n(A ∩B)=100, então 450 pessoas assinam
pelo menos um Jornal. Assim 50 pessoas não assinam nenhum dos Jornais.
Esquematizando em diagrama de Venn - Euler:
A
B
(A-B)
200
•
(A∩B)
100
(B-A)
150
50
Regra do Produto: Considerando a ocorrência de um evento composto por duas ou mais
etapas sucessivas e independentes de modo que p é o número de possibilidades da
primeira etapa e q o número de possibilidades da segunda etapa, então o número total de
possibilidades do evento ocorrer e (p•q).
As etapas dos eventos podem ser representadas pelos conjuntos finitos A e B e, neste caso
o número das possibilidades do evento ocorrer é o número de elementos do Produto
Cartesiano de (A x B).
Exemplo: Suponhamos que uma pessoa pode tomar café, chá ou leite; em qualquer das
opções pode escolher entre quente ou frio. Quais as possibilidades que uma pessoa tem
para beber algo?
Resolução: Estes eventos podem ser representados num esquema que chamaremos de
“Árvore das Possibilidades ou Diagrama de Árvore” :
Esquematizando em Diagrama de Venn-Euler.
Quente
A
B
Café
•
•
Frio
Quente
•
Chá
Frio
•
•
Quente
Leite
n(A)=2, n(B) = 3, n(A x B) =2x3=6
Frio
B) ANÁLISE COMBINATÓRIA
•
I)
Objetivo da Análise Combinatória: Estudar as possibilidades de um evento ocorrer,
calcular o número destas possibilidades e fornecer elementos para diferenciar as possíveis
categorias onde são situados esses eventos. Estas categorias são, conforme a situação do
evento a ser analisado em Permutações, Arranjos e Combinações.
PERMUTAÇÃO : Dados n elementos distintos, definimos como permutações simples, ou
sem repetição desses n elementos, a todos os agrupamentos que se pode formar com os n
elementos, de modo que um agrupamento difira ( é diferente) do outro pela ordem dos
elementos no agrupamento. O numero de permutações de n elementos é dado por Pn = n!
Exemplo: Com os algarismos 2, 5 e 7, desejamos saber quais e quantos são os números
de 3 algarismos que podemos formar, sem repetir o mesmo algarismo no mesmo número.
Resolução: Uma árvore das possibilidades permite visualizar a situação:
2
5
7
257
7
5
275
2
7
527
7
2
572
2
5
725
5
2
752
5
7
II)
Pn = n! ⇒
P3 = 3! = 6
ARRANJO : Definimos como Arranjos Simples de n elementos dados, tomados p a p, aos
agrupamentos sem repetição que se pode formar com p dos n elementos dados, de modo
que um agrupamento difira ( é diferente) do outro pela ordem dos elementos ou pelo
menos por um dos elementos.
n!
O numero de Arranjos de n elementos, tomados p a p é dado por An,p =
(n-p)!
Exemplo: Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, desejamos saber quantos números de 3
algarismos que podemos formar, sem repetir o mesmo algarismo no mesmo número.
Resolução: Devemos considerar o número de possibilidades de cada posição dos
algarismos no número (Centena, Dezena e Unidade) e o princípio multiplicativo de
contagem. Assim para o algarismo das centenas temos 5 possibilidades, para o algarismo
de dezenas teremos 4 possibilidades e para o algarismo das unidades teremos 3
possibilidades. Como os eventos são sucessivos e independentes, o evento final, composto
pelos 3 eventos parciais (Centenas, Dezenas e Unidades), será dado pelo produto das
possibilidades dos eventos parciais, isto é, 5 x 4 x 3 = 60 números distintos.
n!
Calculando pela fórmula teremos também: An,p =
(n-p)!
5!
⇒ A5,3=
5!
=
(5-3)!
=60.
2!
III)
COMBINAÇÃO: Definimos como Combinações Simples de n elementos dados, tomados p
a p, aos agrupamentos sem repetição que se pode formar com p dos n elementos dados,
de modo que um agrupamento difira ( é diferente) do outro pelo menos por um dos
elementos ou pela natureza dos elementos.
n!
O numero de Combinações de n elementos, tomados p a p é dado por
Cn,p =
P! (n-p)!
Exemplo: Desejamos formar comissões de 5 alunos cada, dispondo para isso de uma
classe de 30 alunos. Quantas comissões diferentes são possíveis de serem formadas com
esses 30 alunos?
Resolução: Devemos considerar o fato que numa comissão de 5 (ou mais) alunos, a ordem
não importa, pois os mesmos 5 alunos formarão sempre a mesma comissão. Assim o
número das comissões será igual ao número de subconjuntos de 5 elementos que
podemos formar com os 30 elementos do conjunto dado.
Estes subconjuntos são de fato o número de Arranjos de 30 elementos tomados 5 a 5,
eliminando os subconjuntos iguais, isto é, aqueles que tem os mesmos elementos em
ordem diferente, ou seja dividindo o número destes Arranjos por 5!
30!
Calculando pela fórmula teremos:C30,5 =
30!
=
5!(30-5)!
=142.506 comissões.
5! 25!
C) APÊNDICE: Números Combinatórios e Binômio de Newton
•
Fatorial de um Número Natural n.:
Seja um número Natural n definimos Fatorial desse número n , notamos por n!, ao número
tal que:
1 se n= 0
n! =
, isto é, n! = 1 • 2 • 3 • - - - - • (n-2) • (n-1) • n
n(n-1) !!! se n>0
Exemplos: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 1 • 2 = 2, 3! = 1 • 2 • 3 = 6, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 •5 = 120
• Coeficientes Binomiais:
Dados n e p naturais e sendo n ≥ p, definimos Coeficiente Binomial de n sobre p, Notamos
n
p
ao número definido por:
n
p
=
1 se p = 0
n • (n-1) • (n-2) • (n-3) • ------- •(n-p+1)
se p
≠ 0.
P!
Nota: Os Coeficientes Binomiais que tem o mesmo Numerador e cuja soma dos Denominadores é
igual ao Numerador são chamados de “Coeficientes Binomiais Complementares.
Isto é, Se numerador é n, os denominadores serão p e (n-p), pois [p + (n-p)] = n.
Propriedades dos coeficientes Binomiais:
n
i)
p
ii)
n!
=
n
p
p! (n-p)!
=
n
n-p
•
Triângulo de Pascal ou de Tartaglia.:
O triângulo de Pascal é uma matriz triangular cujos elementos são coeficientes binomiais de
tal forma que:
a) numa mesma linha estejam os coeficientes de Numeradores iguais;
b) numa mesma coluna estejam os coeficientes de Denominadores iguais. Assim:
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
.
.
.
n-1
0
3
1
.
.
.
n-1
1
3
2
.
.
.
n- 1
2
n
1
n
2
n
0
3
3
.
.
.
n-1 ………..n-1
3……….…n-1
n
3
……. n
….. . n-1
n
n
Numericamente o Triângulo de Pascal ficaria:
Propriedades:
i) Dois Coeficientes Binomiais eqüidistantes dos
extremos são iguais.
ii) A soma dos Coeficientes Binomiais situados numa
p
mesma linha ( de numerador p) é dada por 2
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
………………………………………..
……………………………………………….
•
Binômio de Newton.:
Dados a e b ∈ IR e n ∈ IN, a relação válida:
n
(a+b)n =
n
0
n
a b +
0
n-1
a
n
b+
a
1
n-2
2
n
n-3
b +
2
a
3
3
n
b + ----+
n-p
a
p
n
b + ----+
p
n
0
n
a b .
é denominada “Binômio de Newton” .
Esta expressão fica simplificada se utilizarmos o símbolo de Somatória (Σ), isto é, indicando a
adição de um certo número de termos. Assim:
n
n
(a+b)n =
Σ
a
p=0
n
a
Onde se lê: “Somatória de
n-p
n-p
p
•b
p
p
• b , para p variando de zero até n” .
p
Centro Universitário da FSA – FAFIL
Prof.: Anastassios H.K.