cit04-0780 transferência de calor durante o resfriamento e

Proceedings of the 10th Brazilian Congress of Thermal Sciences and Engineering -- ENCIT 2004
Braz. Soc. of Mechanical Sciences and Engineering -- ABCM, Rio de Janeiro, Brazil, Nov. 29 -- Dec. 03, 2004
Paper CIT04-0780
TRANSFERÊNCIA DE CALOR DURANTE O RESFRIAMENTO E
CONGELAMENTO DE PRODUTOS BIOLÓGICOS COM FORMA
PARALEPIPÉDICA VIA MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS
Manassés Mesquita da Silva
Universidade Federal de Campina Grande, Av. Aprígio Veloso, 882, Dpto. Eng. Agrícola/CCT , CEP 58.109-970
[email protected]
Josivanda Palmeira Gomes de Gouveia
Universidade Federal de Campina Grande, Av. Aprígio Veloso, 882, Dpto. Eng. Agrícola/CCT , CEP 58.109-970
[email protected]
Antonio Gilson Barbosa de Lima
Universidade Federal de Campina Grande, Av. Aprígio Veloso, 882, Dpto. Eng. Mecânica/CCT , CEP 58.109-970
[email protected]
Resumo. O resfriamento e o congelamento de produtos biológicos são métodos de preservação usados na indústria de alimentos
com o objetivo de manter os atributos sensoriais e propriedades nutritivas desses produtos. O conhecimento das propriedades de
transporte e a distribuição de temperatura no interior destes produtos é de fundamental importâ ncia para um projeto otimizado de
sistemas de refrigeração. Neste sentido, este trabalho apresenta uma modelagem matemática tridimensional transiente para
descrever a transferência de calor no interior de sólidos com forma paralelepipedal incluindo mudança de fase. A equação
governante foi resolvida numericamente utilizando a técnica dos volumes finitos e uma formulação totalmente implícita. Como
aplicação, a metodologia foi usada para predizer a transferência de calor durante o resfriamento, congelamento e póscongelamento de batata pré-processada. Resultados numéricos da temperatura no centro do produto foram comparados aos dados
experimentais reportados na literatura e um bom ajuste foi obtido. Coeficientes de transporte de calor foram determinados para os
períodos de resfriamento, congelamento e pós-congelamento utilizando-se a técnica do erro quadrático mínimo.
Palavras chave: Calor, Paralelepípedo, Volumes finitos, Batata, Congelamento .
1. Introdução
Materiais biológicos frescos tais como frutas e vegetais, estão respirando, transpirando e secando ao mesmo tempo
(Shewfelt & Phillips, citado por McDonald & Sun, 2000). Em geral, a qualidade destes produtos começa a deteriorar
rapidamente depois da colheita, provocada principalmente pela distribuição de temperatura no seu interior. Nestes
produtos hortifrutigranjeiros torna-se então necessário remover esse calor tão rapidamente quanto possível depois da
colheita, pois o efeito da temperatura no tempo de vida útil desses produtos é dramático. Sendo assim, quase sempre
estes produtos são imediatamente resfriados e/ou congelados para reduzir a taxa respiratória e conseqüentemente, de
degradação da sua qualidade, aumentando sua vida útil. O processo de congelamento combina o efeito favorável de
baixas temperaturas com a transformação de água em gelo. De acordo com Delgado & Sun (2001), em temperaturas
abaixo de -10º C, diminui-se a proliferação de microorganismos, as taxas de reações químicas e as reações metabólicas
celulares. Neste sentido, vários métodos de resfriamento e/ou congelamento, tais como, resfriamento com água, com ar,
com ar-água e a vácuo são usados na prática (Dincer & Genceli, 1994). Para se projetar sistemas de resfriamento
eficientes, engenheiros e pesquisadores, devem fazer uma análise precisa da transferência de calor e massa durante o
resfriamento e/ou congelamento dos produtos biológicos e terem conhecimento das variáveis que interferem no
processo, e que afetam a taxa de resfriamento e de evaporação. Dentre essas varáveis citam-se: densidade,
condutividade térmica, calor específico, coeficiente de transferência de calor e massa convectivo, dimensões e a forma
do produto, bem como, condições de resfriamento. O conhecimento destas informações é essencial para o cálculo da
carga térmica da unidade de refrigeração e para otimização destes sistemas, projetados para minimizar os danos aos
materiais e aumentar sua vida de prateleira. A minimização da energia requerida, o aumento da confiabilidade e da
segurança e qualidade do produto devem também ser considerados.
Vários estudos teóricos e experimentais para estimar importantes parâmetros durante o resfriamento de produtos
alimentícios tais como, tempo de resfriamento, difusividade térmica e coeficiente de transferência de calor têm sido
reportados na literatura (McDonald & Sun, 2000; Dincer & Ginceli, 1994; Ansari et al., 1984; Ansari & Afaq, 1986;
Tang & Johnson, 1989; Lin et al., 1996; Marin et al., 1985; Chau & Gaffney, 1990; LeBlanc et al., 1990a; LeBlanc et
al., 1990b; Teruel Mederos, 2000; Chuntranuluck et al., 1998a; Chuntranuluck et al., 1998b; Chuntranuluck et al.,
1998c). Contudo, os modelos matemáticos usados por estes pesquisadores restringem-se a assumir geometrias uni e
bidimensionais mais simples e/ou propriedades térmicas constantes.
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Durante o congelamento, a água contida no material muda de fase. Desde que as propriedades térmicas do gelo são
diferentes da água líquida, as propriedades do material determinadas acima do ponto de congelamento não são válidas
para as condições de sub-congelamento, nem tão pouco durante o congelamento. Portanto, a determinação das
propriedades térmicas e modelagem do processo sob condições de solidificação requerem explícito conhecimento do
estado físico da água no produto biológico.
Do exposto, objetivou-se com este trabalho, modelar e simular matematicament e a transferência de calor durante o
resfriamento, congelamento e pós-congelamento de sólidos com forma de paralelepípedo. Como aplicação, o modelo
foi utilizado para descrever a variação de temperatura no interior do material, bem como calcular as propriedades de
transporte (coeficientes de condução e convecção) durante o resfriamento e congelamento de fatias de batatas préprocessadas cort adas em forma de paralelepípedo.
2. Materiais e Métodos
2.1. Modelagem matemática
A equação geral de conservação pode ser escrita da seguinte forma (Nascimento, 2002):
(
)
∂
λϕ = ∇. Γ ϕ ∇ϕ + S ϕ
∂t
(1)
em que Ãö, ë são propriedades de transporte; ö é a variável dependente; Sö é o termo fonte ou de geração de energia e∇
é um operador vetorial.
Considerando unicamente a transferência de calor durante o processo e ë = ñcP; ö = T; Ãö= k e Sö = q’’’, a Eq. (1)
pode ser reescrita como segue:
∂
(ρc P T ) = ∇.(k∇T ) + q ' ' ' ,
∂t
(2)
em que ñ é a densidade; T é a temperatura; cP é o calor específico; k é a condutividade térmica e q’’’ é o termo de
geração de energia associado à mudança de fase.
Durante o congelamento, ocorre uma mudança de fase da água do estado líquido para a fase gelo e há
simultaneamente uma liberação de energia. O termo de geração de energia na Eq. (2) representa o calor liberado
durante a mudança de fase do produto (Limeira, 2003):
q ' ' ' = ρLs
∂f s
∂t
(3)
Neste caso, a equação de transferência de calor (incluindo geração de energia interna) aplicada para um sólido
com forma de paralelepípedo (Figura 1) pode ser escrita como segue (Limeira, 2003):
∂
(ρ cP T ) = ∂∂x  k ∂∂Tx  + ∂∂y  k ∂∂Ty  + ∂∂z  k ∂∂Tz  + ρL s ∂∂fts
∂t






(4)
onde Ls é o calor latente de solidificação, fs = (TL – T)/( TL – TS) representa a fração de sólido (gelo) formada durante a
fase de congelamento, onde TL é a temperatura de início de congelamento e TS é a temperatura de fim do
congelamento, e t é o tempo.
y
R3
R2
R1
x
z
Figura 1. Esquema do domínio físico do problema em estudo.
Devido à simetria existente num sólido desse tipo, considera-se apenas 1/8 de seu volume no intuito de facilitar a
abordagem e análise do problema. As seguintes condições: inicial, de simetria e de contorno são usadas:
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a) Condição inicial: distribuição uniforme de temperatura em todo corpo.
T(x,y,z,t = 0) = To,
(5a)
b) Condição de simetria: fluxo de calor nulo nas regiões de simetria.
−k
∂T ( x = 0, y, z , t)
=0
∂x
−k
∂T ( x, y = 0 , z , t)
=0
∂y
−k
∂T ( x, y, z = 0 , t)
=0
∂z
(5b-d)
c) Condição de contorno na superfície: transferência de calor por covecção.
−k
∂T ( x , y, z , t )
= h [T ( x, y, z , t ) − Te ] , x = R1;
∂x
−k
∂T ( x , y, z , t )
= h [T ( x, y, z , t ) − Te ] , y = R2;
∂y
−k
∂T ( x , y, z , t )
= h [T ( x, y, z , t ) − Te ] , z = R3;
∂z
(5e-g)
2.2 Procedimento numérico
Várias metodologias numéricas podem ser utilizadas para resolver a Eq. (4), dentre eles, destacam-se: diferenças
finitas, elementos finitos, elementos de contorno e volumes finitos (Patankar, 1980; Maliska, 1995; Fortuna, 2000;
Versteeg & Malalasekera, 1995). Neste trabalho a equação governante foi discretizada utilizando a técnica dos volumes
finitos. Na Fig. 2 encontra-se esquematizado o volume de controle utilizado na discretização da equação governante.
N
äyn
T
äzt
n
W
t
P
w
Äy
äzf
f
s
Äx
äx
E
e
Äzäy
äx
F
S
Figura 2. Volume de controle utilizado neste trabalho.
Integrando a Eq. (4) no volume e no tempo, tem-se:
∫∫
V t
 
Ls
∂  ρ c +

T
L − TS
 
∂t
 
T 
 
 
dtdV =
∂  ∂T 
∂  ∂T 
∂  ∂T 
dtdV +
k
dtdV + ∫∫  k
∫∫
∫∫ ∂z  k ∂z dtdV
∂x  ∂x 
∂ y  ∂ y 
V t
V t
V t
(6)
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Utilizando o esquema de interpolação totalmente implícita e reorganizando os termos da Eq. (6) após a integração,
pode-se escrever:
AP TP = AE TE + AW TW + AN TN + AS TS + AF TF + AT TT + APo TPo

Ls  ∆ x∆ y∆ z

A P = AE + AW + A N + AS + AF + AT + ρ P  c P +
+B
TL − TS  ∆t

onde:
AE =
ke
∆y∆z
δxe
AW =
kw
∆y∆z
δxw
AN =
AF =
kf
AT =
kt
∆ x∆ y
δx t

Ls
AoP = ρPo  cPo +
TL − TS

δx f
∆x∆y
kn
δyn
(7)
∆ x∆ z
AS =
 ∆ x∆ y∆ z

 ∆t

ks
δy s
∆ x∆ z
B=0
Esta formulação é válida para todos os pontos internos ao domínio. A formulação matemática para os pontos de
fronteira é obtida por meio de um balanço de energia para cada volume de controle levando-se em consideração as
condições de contorno utilizadas. Os coeficientes da Eq. (7) para os pontos de fronteira são, onde hc é o coeficiente de
convecção térmica na superfície:
AE =
AN =
AF =
0
para os volumes de fronteira
ke
∆ y∆ z
δ xe
para os volumes internos
0
para os volumes de fronteira
kn
∆x∆z
δ xn
para os volumes internos
0
para os volumes de fronteira
kf
∆x∆z
δx f
para os volumes internos
0
B=




 1 + δx 
e
 hc


 ke

0
B=
para os volumes internos
∆y∆z
para os volumes de fronteira no lado x
para os volumes internos
∆x∆z




 1 + δx 
n
 hc


 kn

0
para os volumes de fronteira no lado y
para os volumes internos
∆ x∆ y
B=


 1
 hc + δx f

 kf








para os volumes de fronteira no lado z
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A solução do sistema de equações algébricas, gerado a partir da Eq. (7) na forma discret izada, foi resolvido
utilizando o método iterativo de Gauss-Siedel com critério de convergência de |Tn+1 – Tn|
10 -8. Para obtenção dos
®
resultados numéricos, foi desenvolvido um código computacional no ambiente Mathematica , utilizando uma malha de
20x20x20 pontos nodais em um Ät=0,5s. Detalhes sobre a validação e refino de malha e tempo do modelo (sem
mudança de fase) podem ser encontrados em Nascimento (2002).
2.3 Aplicação
Como aplicação, a metodologia foi utilizada para predizer a cinética de resfriamento, congelamento e póscongelamento de fatias de batata. Os dados experimentais de batata pré-processada utilizados na simulação foram os
seguintes (LeBlanc et al., 1990a): ρ=1012 kg.m-3, para o produto congelado; ρ=1069 kg.m-3, para o produto nãocongelado; cp=1870 J.(kg.ºC)-1 para o produto congelado; cp=3420 J.(kg.ºC)-1 para o produto não-congelado;
LS=246888,30 J.kg-1 para TL T TS; LS=0 para T > TL e T < TS; To=31,1 ºC; TL= –0,80 ºC (no centro do sólido em
t=313s); TS = –5,40 ºC (no centro do sólido t=978s); TF = –18,0 ºC (no centro do sólido em t=1188s); Te = –29,1 ºC;
R1=R2=0,005 m; R3=0,030 m e teor de umidade de 73,72% (base úmida).
Os dados numéricos obtidos foram ajustados aos dados experimentais de temperatura no centro do sólido, no
início do processo, no início e no fim do congelamento, e no final do processo, utilizando-se a técnica do erro mínimo
quadrado (Eq. 8a-b) visando obtenção dos coeficientes de condução e convecção do material biológico em estudo. A
técnica do erro quadrático mínimo foi utilizada com segue:
2
n
E=
∑ (T i, pred − Ti,exp )
i =1
(8a-b)
2
S =
E
n−n
2
onde E é o erro médio quadrático, S é a variância, n é o número de dados experimentais e n é o número de
parâmetros ajustados.
Durante a fase de congelamento foram propostas as seguintes equações para a condutividade térmica, calor
específico e massa específica, respectivamente, em qualquer ponto no interior do produto:
k dc = f S k ac + (1 − f S ) k pc
cP dc = f S cP ac + ( 1 − f S )c P pc
(9a-c)
ρ dc = f S ρ ac + ( 1 − f S )ρ pc
onde os índices ac, dc e pc representam antes, durante e depois do congelamento, respectivamente. O mesmo
procedimento foi feito para a densidade e calor específico. Desde que a fração de cristais de gelo formada é variável
neste período, a condutividade térmica e os demais parâmetros térmicos também serão.
3. Resultados e Discussão
Temperaturas típicas no centro do produto durante o processo de resfriamento, congelamento e pós-congelamento
são mostradas na Fig. 3. Verifica-se que o processo de redução de temperatura pode ser dividido em três períodos
distintos: um período de resfriamento em que o material é resfriado de sua temperatura inicial até a temperatura de
congelamento; um período de mudança de fase, que representa a cristalização da água contida no produto; e por fim, o
período de espera em que o produto alcança a temperatura final do processo previamente estabelecida. Observando
atentamente a Fig. 3, verifica-se que a temperatura na fase de congelamento exibe uma linha aproximadamente
horizontal. Isto sugere que a temperatura do material neste período não varia muito para os produtos com alto teor de
umidade. Este fato constitui um forte argumento para se afirmar que alimentos congelam, de maneira aproximada,
similarmente aos líquidos ideais. Sendo assim, as temperaturas de início e fim do congelamento são facilmente obtidas
desta figura.
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40
Batata
Numérico - Centro (Este trabalho)
30
Experimental - Centro (LeBlanc et al., 1990)
Temperatura do ar - Experimental/Numérico
Temperatura (ºC)
20
10
0
0
200
400
600
-10
800
1000
1200
T e m p o (s )
-20
-30
-40
Figura 3. Comparação entre as temperaturas no centro do produto obtidas numérica e experimentalmente durante o
processo de transferência de calor e mudança de fase.
Ainda em relação à Fig. 3, verifica-se que a taxa de resfriamento no período de pré-congelamento é maior do que
no período de pós-congelamento, e muito maior do que no período de congelamento. Isto é devido ao fato de que no
início de processo, existe uma grande diferença entre as temperaturas do material e do fluido refrigerante. A
comparação entre os dados numéricos e experimentais permite afirmar que um bom ajuste foi obtido, apresentando um
erro quadrático mínimo de 0,0046 (ºC)2 e uma variância de 0,0028 (ºC)2. Deste ajuste foram determinadas
condutividades térmica de 0,47 W.(m.ºC) -1 no período de pré-congelamento e de 0,98 W.(m.ºC)-1 no período de póscongelamento, e um coeficiente de transferência de calor de
52,0 W.(m2.ºC)-1. Na Tabela 1 encontram-se alguns
valores de condutividade térmica determinados para batata reportados na literatura, considerando as condições de
temperatura e teor de umidade. Nota-se que os valores reportados encontram-se próximos dos valores numéricos
obtidos neste trabalho.
Tabela 1. Valores de condutividade térmica da batata reportados na literatura.
k (W.(m.º C) -1)
0,50 ± 0,04
1,00 ± 0,12
1,39a
1,25b
Região
resfriamento
pós-congelamento
congelamento
congelamento
Ta (º C)
-29
-29
–
–
M (b.u.)
0,7372
0,7372
0,8000
0,7372
0,438
resfriamento
–
0,8500
0,479
–
2,2
–
5,0
35,0
40 – 50
–
0,6 – 0,7
0,749
0,454
resfriamento
0,47± 0,05
–
0,552
–
M - teor de água; a valor experimental; b valor estimado;
Referência
LeBlanc et al. (1990a)
LeBlanc et al. (1990a)
Marin et al. (1985)
Marin et al. (1985)
Listov & Kalugina citados por
Mohsenin (1980)
Dickerson & Read, citados por
Ashrae (1993)
Ansari & Afaq (1986)
López -Ramos et al. (1993)
Buhri & Singh (1993)
A Figura 4a-b-c-d ilustra a distribuição de temperatura no interior do material nos planos y=0 e z=0, em t=150, 313,
978, e 1188s. A distribuição de temperatura no plano y=0 é idêntica ao plano x=0. Verifica-se que a distribuição é
praticamente uniforme dentro do produto e que o congelamento da água ocorre da superfície para o centro do material,
particularmente iniciando em y=R2 e z=R3 (plano x=0) e em x=R1 e y=R2 (plano z=0), onde ocorrem os maiores
gradientes de temperatura. Estes resultados estão de acordo com os dados experimentais de determinados por LeBlanc
et al. (1990).
A mudança de fase água-gelo tem a vantagem de fixar a estrutura do tecido e separar a fração de água na fronteira
dos cristais de gelo de tal maneira que ambos não estão disponíveis como solvente ou componentes reativos. Desta
forma, a difusão de outros solutos no tecido celular é muito lenta, fato que aliado à redução de temperatura, ajuda na
diminuição da taxa de reação. Contudo, o tamanho e a localização dos cristais de gelo podem danificar as membranas
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celulares e romper a estrutura física do material. Nestas condições, a cristalização da água e algumas vezes do soluto,
não é desejável, uma vez que causa modificações físico-químicas durante o congelamento (Delgado & Sun, 2001).
Do exposto, pode-se dizer que a qualidade do produto congelado é fortemente dependente da taxa de congelamento
a que o mesmo está submetido durante o processo. Congelamento lento produz cristais de gelo em áreas extracelulares
apenas, enquanto que o congelamento rápido produz pequenos cristais de gelo uniformemente distribuídos sobre todo
tecido celular. Desde que existe um gradiente de temperatura no material, os cristais formados nas proximidades da
superfície são menores, aumentando em direção ao centro do sólido. Vale ressaltar que a cristalização de gelo,
ocorrendo a uma mesma temperatura, é diferente de um tecido para outro, isto é causado, principalmente, pela diferença
de mobilidade da água no interior dos diversos tecidos.
Para finalizar, embora o congelamento afete um produto alimentício menos que outros métodos de preservação, o
produto poderá sofrer alguma desidratação (perda de água) que geram perdas na qualidade do mesmo e, portanto perdas
econômicas. Então, a transferência de água do produto deve ser minimizada para manter sua qualidade até o final do
processo. Desde que no período de resfriamento, as temperaturas no interior do sólido são maiores, a perda de água por
evaporação, neste período é maior.
0.03
31.00
28.00
25.00
22.00
19.00
z (m)
Plano y=0
16.00
13.00
10.00
7.00
4.00
1.00
-2.00
-5.00
-8.00
-11.00
-14.00
-17.00
-20.00
-23.00
-26.00
-29.00
0.00
Plano z=0
x (m)
0.005
0.000
x (m)
0.005
0.000
x (m)
0.005
0.000
x (m)
0.005
0.000 x (m)
0.005
0.000
x (m) 0.005
0.000
x (m) 0.005
y (m)
0.000
0.005
0.000
0.000 x (m) 0.005
(a) tempo=150 s;
(b) tempo=313 s;
(c) tempo=978 s;
(d) tempo=1188 s
Figura 4. Perfis de temperatura no interior da batata.
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4. Conclusões
De acordo com os resultados obtidos conclui-se que: (a) a modelagem matemática e a técnica usada na resolução da
equação governante foram adequadas e têm grande potencial, verificado pela comparação entre as temperaturas
calculadas com aquelas medidas experimentalmente. Desta forma, podem ser utilizadas para estimar a condutividade e
difusividade térmica de qualquer material, sem restrições à natureza, estrutura, teor de umidade e outras características;
(b) Os coeficientes de transporte obtidos para fatias de batata foram: k=0,47 W.(m.ºC) -1 no período de précongelamento e de 0,98 W.(m.ºC)-1 no período de pós-congelamento, e h=52,0 W.(m2.ºC) -1, para uma temperatura do ar
refrigerante de –29,1 oC; (c) os maiores gradientes de temperatura foram encontrados próximo a superfície do material e
em torno do vértice do paralelepípedo, região esta onde inicia o congelamento da água no sólido avançando para o
centro do mesmo.
5. Agradecimentos
Os autores agradecem a CAPES, CNPq e FAPESP pelo suporte financeiro a esta pesquisa, e aos pesquisadores
referenciados que com seus estudos ajudaram no melhoramento deste trabalho.
6. Referências
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HEAT TRANSFER DURING COOLING AND FREEZING OF BIOLOGICAL
PRODUCT WITH PARALLELEPIPED FORM THROUGH
FINITE VOLUMES METHOD
Manassés Mesquita da Siva
Universidade Federal de Campina Grande, Av. Aprígio Veloso, 882, Dpto. Eng. Agrícola/CCT, CEP 58.109-970
[email protected]
Josivanda Palmeira Gomes de Gouveia
Universidade Federal de Campina Grande, Av. Aprígio Veloso, 882, Dpto. Eng. Agrícola/CCT, CEP 58.109-970
[email protected]
Antonio Gilson Barbosa de Lima
Universidade Federal de Campina Grande, Av. Aprígio Veloso, 882, Dpto. Eng. Mecânica/CCT, CEP 58.109-970
[email protected]
Abstract. The cooling and freezing of biological products are preservation methods used in the food industry with the objective of
maintaining the sensorial attributes and nutritious properties of those products. The knowledge of the transport properties and the
temperature distribution inside these products are of fundamental importance for an optimized project of refrigeration systems. In
this sense, this work presents a transient three-dimensional mathematical modelling to describe the heat transfer inside solids with
parallelepiped shape including phase change. The governing equation was solved numerically using the finite-volumes technique
and a implicit fully formulation. As application, the methodology was used to predict the heat transfer during the cooling, freezing
and post-freezing of pre-processed potato. Numerical results of the temperature in the center of the product were compared to the
experimental data reported in the literature and a good agreement was obtained. The heat transport coefficients were calculated for
the cooling, freezing and post-freezing periods being used the least square error technique.
Keywords: Heat, Parallelepiped, Finite-volume, Potato, Freezing.