Linearização input-output da EDO no movimento do trem MAGLEV

Linearização input-output da EDO no movimento do trem MAGLEV
Luciano Barbanti**
Conrado R.Silva*
Departamento de Matemática, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira – FE/IS, UNESP.
15385-000, Ilha Solteira, SP
E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]
RESUMO
Dada a E.D.O não-linear que descreve, no geral, o deslizamento de um corpo num campo
magnético, através de sua linearização tipo input-output, podemos obter inúmeras indicações
sobre controlabilidade da E.D.O não-linear original.
Um trem de levitação magnética (Magnetic levitation transport) é um veiculo semelhante a
um trem que transita numa linha elevada sobre o chão e é propulsionado por forças magnéticas
com uso de supercondutores. O trilho é, em geral, um circuito elétrico contendo fios isolados e
alinhados como degraus em uma escada. Conforme o trem se move um campo magnético o
repele, fazendo o trem levitar. Devido á falta de contato entre o veiculo e a linha, a única fricção
que existe, é entre o aparelho e o ar. Por isso, os trens de levitação magnética conseguem atingir
velocidades enormes, com relativo baixo consumo de energia e pouco ruído, (existem projetos
para linhas de MAGLEV que chegariam aos 650 km/h e também projetos como o MAGLEV
2000, que utilizando túneis despressurizados em toda a extensão dos trilhos, chegariam á marca
dos 3200 km/h).
As equações do movimento do trem num deslizamento magnético, usando a equação de
Lagrange (nas variáveis de estado , ) e na variável de controle ,são:
,
(as demais letras são constantes do problema) [1].
A linearização input-output de um processo de controle com um termo forçante , com
variável observável !:
" #"
$"
! %"
,
(1)
consiste no procedimento de através de técnicas de colchetes de Lie, derivar a variável
observável ! até que apareça a variável de controle e com isto usar numa nova expressão de
controle & de tal modo a desaparecer a não linearidade no sistema.
Explicitamente, no nosso caso fazendo " '(() + , teremos:
*
onde
$ $
∆
# , - . $ $ 0,
∆
* Aluno de Iniciação Cientifica
**Orientador
998
$ ,
$ ,
∆ cos ,
$ '(() + 4,
*
% '(() + 5. 7. ,
*
5, 7 8 9.
Com isto se fizermos 5, 7 : 0 , a equação I/O linearizada é neste caso
! <= % '(() + <> % '(() + ,
*
*
onde dada a função M , <? % representa a derivada de Lie de h em relação a M.Visto que
<> % '(() + 7 : 0 temos que a linearização do sistema (1) é
*
! &
sendo a nova variável de controle & definida como
& <= % '(() + <> % '(() + .
*
*
Alem disto vemos que o grau relativo do sistema (1) vale 1 indicando com isto a diferença
do numero de pólos e do numero de zeros nele.
Como dependendo da escolha dos parâmetros em (1) temos o aparecimento de
comportamento caótico, o próximo passo no desenvolvimento da nossa pesquisa será controlar a
situação de caos através do método de retardo nos controles desenvolvido por Pyragas [3]. Este
método usa de maneira essencial a forma de linearização I/O obtida acima.
Palavras-chave: Maglev, supercondutividade, derivadas de Lie, linearização tipo input-output,
EDO.
Referências
[1] H.Yabuno et all, Stabilization for the Parametric Resonance of a Magnetically Levitated
Body, Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers. C vol.65, 631, pp.916-922
(1999).
[2] J-J.E.Slotine,W.Li, “Applied Nonlinear Control”, Prentice Hall,1991.
[3] K.Pyragas, Continuous control of Chaos by Self-controlling Feedback, Phys.Lett.A, 170,
pp.421-428 (1992).
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