PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.

4.2  CONSIDERANDO
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1. DEFINIÇÃO:
 É uma seqüência de números reais onde cada
termo,
a partir do segundo, é obtido
MULTIPLICANDO-SE o TERMO ANTERIOR por
uma CONSTANTE. (chamada razão)
2. FÓRMULA DO TERMO GERAL:
a a q
n
n
y

 , y, y.q,............ 
q

n 1
1
a1 , a2 , a3 ,.........., an 
 Último Termo
q
 Razão
 Número de Termos
Exemplo:
Ex1: Determine
quantos
termos
tem
a
P.G
Em uma P.G., qualquer termo, a partir do
segundo, é a MÉDIA GEOMÉTRICA entre
seus vizinhos.
Solução:
.....a, b, c,..... 
a1  6

q  18  3
 Dados  
6
a n  1458

n  ?
Ex:
 Usando a fórmula a n  a1  q
n 1
, teremos:
1458
 3 n 1  243 
6
5
 3  n 1  5 
n6
1458  6.3 n 1  3 n 1 
 3 n 1
3.1  CRESCENTE, quando:
 q  1 e seus termos são positivos
 0  q  1 e seus termos são
negativos
3.2  DECRESCENTE, quando:

b ac
2,4,8,16,32,64,128,256,512
4  2.8
8  4.16
16  8.32
32  16.64
64  32.128
............
5.2 Em toda P.G. finita, o produto de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual ao produto
dos extremos.
3. CLASSIFICAÇÃO:

a 2 a3 a 4


 .........
a1 a 2 a3
5. PROPRIEDADES:
5.1
6,18,........,1458 ?
y
:
q
OBSERVAÇÃO  A razão de uma P.G. pode ser
calculada , dividindo qualquer termo pelo seu anterior.
a1  Pr imeiro Termo
a
q
n
a1 
q  1 e seus termos são negativos
0  q  1 e seus termos são positivos
( 2, 4, 8,
16,
32,
64, 128, 256, 512 )
16.64  1024
8.128  1024
4.256  1024
2.512  1024
4. REPRESENTAÇÃO DE UMA P.G.:
4.1  CONSIDERANDO
y, y.q, y.q
2
a1  y :

,.............
5.3 Em toda P.G. finita com número ímpar de termos,
o TERMO MÉDIO é a média geométrica dos
extremos.
( 2, 4, 8, 16,
32
, 64, 128, 256, 512 )
TERMO MÉDIO  32  2.512
a a q
S  1 q
1
n
am , an , ar e as ,
de uma P. G., se a soma dos índices m  n é
igual à soma dos índices r  s , então o produto
dos termos a m  a n é igual ao produto dos
termos a r  a s .
5.4 Para quatro termos quaisquer
a1  a13  a 2  a12  1  13  2  12
Ex:
P
n




a1.an 
n

Exemplo:
Ex1: Calcular a soma dos dez primeiros termos da
P.G  3,6,12,24,....... .
Solução:
 Dados  a1  3, q 
6. PRODUTO DOS PRIMEIROS N TERMOS DE
UMA P.G. :
 q  1



n
6
 2 e n  10
3
Sn =


a1 .(1  q n )
 3. 1   210 
 S10 
1 q
1   2
 3.1  1024 
 S10 
S10  1023
3
Sn 
OU
Pn  a1  q
n
8. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. LIMITADA E
CONSTANTE q  1 :

n.n 1
2
 a  a  ..................  a
S  a

n
Exemplo:
Ex1: Calcular o
produto dos
21 primeiros
termos da P.G  4,8,16,32,...... .
Solução:

Pn  a1 .q
n
n ( n 1)
2
 P21  (4) 21 .(2)
 P21  (4) 21.(2)



. 2
2 21
210
 P21  242. 2
210
P21  2
Logo:

 P21  2252
n
1
Exemplo:
Ex1: Calcular a soma dos trinta primeiros
da P.G  4,4,4,4,....... .
Solução:

termos
4

 1, n  30, S 30  ?
4

S n  a1  n  S 30  4  30  S 30  120
 Dados  a1  4, q 
Logo:
S 30  120
9. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA :
 Uma P. G. é uma seqüência CONVERGENTE
se e somente se sua razão q é tal que:
252
n
1
1
S n a
1 q 1
7. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. LIMITADA
(SN) :
a  1  q 
S  1
q
1

21.20
2
2

1
n
Como  4  2  , podemos escrever:
P21   2
1
n parcelas iguais a a1

21.( 211)
2


OU
 q  1


 Consideremos então uma
P.G. INFINITA
a1 , a 2 , a3 ,...; a soma
CONVERGENTE
e
Sn
dos seus infinitos termos é:
S n  a1  a 2  a3  ..... ,
fórmula:
pode ser calculada pela
b
486
 q 41 
 q 5  243  q 5  35 
a
2
 q3
q k 1 
S
n

a
a
1 q
1
n
 0
Logo:
Exemplo:
Ex1: Calcular a soma dos infinitos termos
da
1 1 1
série 1   
 ......
3 9 27
Solução:
 As parcelas dessa série formam uma P. G infinita,
pois:
1 1
1
3  9  27  1
1
1 1
3
3
9
 Assim:

T E S T E S
1. (FRANCO)
x
a) 1
a1  1 e q 
1
3
S
solução
da
b) 3
c) 10
1215
121
d)
O valor de
x
9 3 1
27
x.(    ........) 
5 5 5
4
é:
a) 1
equação
x x x
 
 ......  15 é:
3 9 27
2. (FRANCO)
a1
1
1
3 3

  1. 
1 q 1 1 2
2 2
3 3
Logo:
A
(constante)
Aplicando a fórmula da soma dos termos, vem:
S
q3
b)
3
5
c)
4
3
d)
e)
45
2
na equação
5
2
45
8
e)
3. (FRANCO) Suponha que a1, ........ , a20 sejam
números reais positivos em P.G.. Sabendo que
3
2
10 , então o
Loga1  Loga 2  .....  Loga 20 é:
a1 = 1 e a20 =
10. INTERPOLAÇÃO:
 Inserir ou interpolar k meios geométricos entre
os números a e b significa obter a P.G. de
k  2 termos de extremos a e b (onde a
é 1 termo e b é o último termo). Para
realizar a interpolação basta determinar qual é a
razão da P. G., logo:
a) 3
b) 4
c) 5
valor
d) 6
de
e) 7
4. (FRANCO) A seqüência (a, ab, 3a) é uma P.G..
Então, o número b é:
q
k 1
b

a
a)
b)
c)
d)
e)
O triplo de a
A Terça parte de a
Racional
Irracional
n. d. a
Onde:
q  Razão
k  Números de meios


b  Último Termo
a  Pr imeiro Termo
Exemplo:
Ex: Inserir quatro meios geométricos entre 2 e 486.
Solução:
 Dados  a  2, b  486 e k  4
5. (FRANCO) A razão da P.G. obtida ao somarmos
um mesmo número a 1, 3, 2, nessa ordem, é:
a) -1
b) 1
c) 2
d)
2
2
e)
1
2
6. (FRANCO) Os três primeiros termos de uma P.G.
são
a1 =
termo é:

a)
1
2
b) 1
2 , a2 =
c)
3
2
3
2 ,
d)
a3 =
9
2
6
2
. O 4
e)
1
2
7. (FRANCO) Para quantos valores de , sendo
0    2, a
seqüência
tg , sec  ,2


uma P.G. 
constitui
a) nenhum
d) 4
c) 2
b)
61
32
65
32
c)
a)
e) n. d. a
9. (FRANCO)
Se
a1, a2,
1
1
,
, a5, a6, a7, a8
4
2
formam nesta ordem uma P.G., então os
de a1 e a8
são, respectivamente:
1
e 16
8
1
c)
e4
4
valores
1
2
b)
a)
50
90
e) n. d. a
b)
3
2
c) 1
b)
x
a)
b)
3
x .3
3 3
3 x
1
2
5
2
1 5
d)
2
b)
2
c)
5
d) 2
e)
1
2
2
; -1;
2
22
b) - 8.
a)
9
c)
86 2
6
2
d) -16 2
2
a
4
90
d)
6
10
e)
8
3
e a soma dos termos
4
. Calcular o 1 termo dessa
3
1
2
b) 8
d) 1
e)
1
729
e)
5 1
2
2 ; ..... é:
e) 16
infinita
3
5
d)
1
8
e)
4
3
( 3,
6 12 24
,
,
, ....... )
5 25 125
b) 3
c)
1
3
d)
5
3
e) 5
19. (FRANCO) Dada a P.G. ( -313; 312; -311; ........ ),
determinar o produto dos 29 primeiros termos:
a) 3-29
b) – 329
c) 329
d) – 3-29
e) 29-3
12. (FRANCO) Inserir 4 meios geométricos entre 2
e 486. Determine a razão:
a)
1
3
b) – 3
c)
1
3
d) 35
e) 3
13. (FRANCO) Sabe-se que x – 16; x – 10 e x + 14
são os três primeiros termos de uma P.G..
Calcular o seu 14 termo.
a) 272
2
c) 2
18. (FRANCO) Calcular a soma dos termos da P.G.
a)
13. (FRANCO) O produto dos seis primeiros termos
da progressão
58
90
c)
uma P.G. infinita é
a)
12. (FRANCO) Em uma P.G. de termos positivos,
qualquer termo é igual à soma dos dois termos
seguintes. A razão da P.G. é:
a) 1
e)
P.G.:
x ......, obtêm-se:
c)
e) 65
Calcular a geratriz da dízima
68
90
11. (FRANCO) Simplificando a expressão
A  3 x .3
d) 2a2
c) 2a
de ordem par é
x  2 2 2 2 2 ........
2
a
2
b)
16. (FRANCO)
0,6444.........
10. (FRANCO) Determinar o valor de
a)
d) - 64
17. (FRANCO) A soma dos termos de ordem ímpar de
1
e8
16
11
d)
e2
16
a)
c) 64
15. (FRANCO) É dado um quadrado de lado a. Com
vértices nos pontos médios de seus lados,
constrói-se um novo quadrado e, procedendo
assim sucessivamente, constroem-se infinitos
quadrados. Calcular a soma das infinitas áreas
assim obtidas.
8. (FRANCO) A soma dos inversos dos divisores
positivos de 32 é:
63
32
59
d)
32
b) – 46
a) 46
b) 1
e) infinitos
a)
14. (FRANCO) Numa P.G., a1 . a10 = 64 . Qual é o
valor de a6 . a5 
b) 225
c) 216
d) 226
e) 227
14. (FRANCO) A soma de três números em P.G. é
21 e o produto é 216. Escrever a P.G.:
a) (3,6,12) e (12,6,3)
b) (4,8,16) e (3,6,12)
c) (12,6,3) e (3,6,12)
d) (6,12,24) e (3,6,12)
e) (24,12,6) e (12,6,3)
15. (FRANCO)
O 1 termo
de uma P.G.
decrescente é 16 e o 5 termo é 9. Qual o
valor do 7 termo
a)
27
25
b)
4
27
c)
3
2
d)
27
4
e)
5
27
16. (FRANCO) Determine quantos termos tem a P.G.
( 6, 18, ........... , 1458 ) 
a) 2
b) 6
c) 4
d) 5
e) 7
17. (FRANCO) Achar o 10 e 17 termos da P.G.
( 1, 3, 9, 27, ........ ) .
a) 36 e 78
c) 39 e 316
e) 39 e 87
b) 78 e 316
d) 316 e 39
GABARITO
1. C
2. D
3. C
4. D
5. E
6. B
7. C
8. A
9. B
10. D
11. A
12. E
13. D
14. C
15. D
16. C
17. E
18. E
19. D
20. E
21. E
22. A
23. D
24. B
25. C