RAZÕES E PROPORÇÕES.

Ex1:
RAZÕES E PROPORÇÕES
1. RAZÕES:
1. 1 RAZÕES DE DOIS NÚMEROS:
 Razão de dois números racionais (o segundo
diferente de zero) é o quociente do primeiro pelo
segundo. É representada por uma das seguintes
maneiras:
Exemplo:
18
6
3
OBSERVAÇÕES:
1) A razão a : b é também designada “RAZÃO
POR QUOCIENTE” ou RAZÃO GEOMÉTRICA”.
2) A diferença
a  b chama-se “RAZÃO
ARITMÉTICA” entre os números “a” e “b”.
3) Razão por Quociente é um número abstrato.
1. 2 TERMOS DA RAZÃO:
 ANTECEDENTE
é o primeiro
CONSEQÜENTE é o segundo termo.
a
b
termo
e

a  Antecedente

 Conseqüente

b
1. 3 RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS:
 É a razão dos números que as exprimem, quando
medidas com a mesma unidade.
Exemplo:
Ex1: A razão entre
6m e 12m é
OBSERVAÇÃO:
 A razão de ANTECEDENTE
INVERSA.
zero não tem
1. 5 RAZÕES IGUAIS:
 Duas razões são iguais quando as frações que as
representam são equivalentes.
Exemplo:
12 2

12 6 18 3
Ex1:
 
18 9  6 2

 9 3
a
se lê
ou a : b que

" a" está para " b".
b
Ex1: A razão entre 18 e 3 é 6, pois:
4
5
e
 São Inversas
5
4
1
:
2
6m
6 1


12m 12 2
2
Ex2: A razão entre 2kg e 3000g é
:
3
2kg
2000 g 2000 2



3000 g 3000 g 3000 3
1. 4 RAZÕES INVERSAS:
 Duas
razões
são
inversas
quando
o
ANTECEDENTE de uma é o CONSEQÜENTE da
outra.
Exemplo:
1. 6 PROPRIEDADES DAS RAZÕES:
P. 1) Uma razão não se altera, quando multiplicamos
( ou dividimos) ambos os termos por um mesmo
número diferente de zero.
Exemplos:
2 2 2 4


3 3 2 6
20 20  4 5


Ex2:
48 48  4 12
Ex1:
P. 2) Multiplicando-se (ou dividindo-se) o
Antecedente de uma razão por um número
diferente de zero, a razão fica multiplicada (ou
dividida) por esse número.
Exemplos:
22 4
4
2 
 
é o dobro de
.  pois
3
3 
3
3
15  3 5 
5
15 
 
Ex2:
é a Terça parte de
.  pois
8
8 
8
8
Ex1:
P. 3) Multiplicando-se (ou dividindo-se) o
Conseqüente de uma razão por um número
diferente de zero, a razão fica dividida (ou
multiplicada) por esse número.
Exemplos:
3
3
3
3 
 
é a metade de
.  pois
8
4 
4 2 8
1
1
1
1 
 
Ex2:
é o Triplo de
.  pois
2
6 
63 2
Ex1:
P. 4) SIMPLIFICAÇÃO DE RAZÕES: Quando os
termos de uma razão admitem um divisor (ou
divisores comuns) pode-se substituir esta razão
por outra equivalente. Então, para simplificar
uma razão, basta dividir seu Antecedente e
Conseqüente por um divisor comum. Se este
for o M. D. C a razão assim obtida é a
expressão mais simples ou a forma irredutível
da razão dada.
Exemplo:
27 27 : 3 9
9:3 3




36 36 : 3 12 12 : 3 4
9
3
27
 As razões
são equivalentes a
,
e
12
4
36
3
sendo que
é a forma irredutível.
4
B)
INVERTER: É a troca, em cada razão, do
Antecedente pelo Conseqüente.
C) TRANSPOR: É a troca posição das razões.
Exemplo:
Ex1:
2. PROPORÇÕES:
2. 1 DEFINIÇÃO:
 Chama-se Proporção a igualdade de duas
razões.
 De um modo geral, dados quatro números
diferentes de zero, em uma certa ordem, diz-se
que formam uma proporção quando a razão dos
dois primeiros é igual a razão dos dois últimos.
 Uma razão pode ser representada da seguinte
maneira:
a c
b d
ou
a :b  c : d
ou
a : b :: c : d
Que se lê: “a” está para “b” , assim como “c”
está para “d”.
Ex1:
Dada a razão
6 3

8 4
obteremos as
proporções:
4 3

8 6
6 8
Alternando seus Meios:

3 4
Alternando seus Extremos:
Alternando seus Meios e Extremos:
4 8

3 6
3 6

4 8
8 4

Invertendo as razões:
6 3
Transpondo as razões:
2. 5 CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO:
 Um termo desconhecido, em uma proporção ,
pode ser determinado aplicando-se a propriedade
fundamental.
Ex1: Determinar o valor de
x
na proporção
12 36
.

14 x
Solução:
2. 2 TERMOS DE UMA PROPORÇÃO:
 São quatro os seus termos: o Antecedente da
primeira e o Conseqüente da Segunda são os
EXTREMOS; o Conseqüente da primeira e o
Antecedente da Segunda são os MEIOS.
Exemplo:
Ex1:
a c
b d

a e

e

b
d  EXTREMOS
c  MEIOS
2. 3 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL:
 Em toda proporção, o produto dos meios é igual
ao produto dos extremos.
Exemplo:
Ex1:
Ex2:
a c
b d
 a d b c
6 3
  6 4  83
8 4
2. 4 FORMAS DE ESCREVER UMA PROPORÇÃO:
 Dada uma proporção podemos trocar a posição
de seus termos sem modificar a propriedade
fundamental. Essas transformações consistem
em: ALTERNAR, INVERTER e TRANSPOR.
A)
ALTERNAR:
extremos.
É a permuta dos meios ou dos
12 36
14.36

 12.x  14.36  x 
 x  42
14 x
12
2. 6 QUARTA PROPORCIONAL:
 É o número que formará, com outros três
números dados, em uma certa proporção.
Exemplo: O número 10 é a Quarta proporcional de
4, 5 e 8, porque forma com esses, uma
proporção:
4 8

5 10
2. 7 PROPORÇÃO CONTÍNUA:
 É a proporção que tem
EXTREMOS iguais.
a x
x b
ou
os
MEIOS
ou
x b
a x
A) ELEMENTOS DA PROPORÇÃO CONTÍNUA:
 O meio (ou extremo) comum chama-se MÉDIA
PROPORCIONAL OU MÉDIA GEOMÉTRICA.
Exemplos:
Ex1: Na proporção
3 6
 , o número 6 é a Média
6 12
proporcional ou geométrica entre 3 e 12.
Ex2: Na proporção
8 16
 , o número 8 é a média
4 8
proporcional ou geométrica entre 4 e 16.
OBSERVAÇÃO:
 Dados dois números, sendo o segundo a média
geométrica,
chama-se
TERCEIRA
PROPORCIONAL
ao terceiro número que
formará com aqueles, uma proporção contínua.
Exemplo:
Ex1: A terceira proporcional de 5 e 15 é 45.
5 15
  5.x  15.15  x  45
15 x
B) CÁLCULO DA MÉDIA GEOMÉTRICA:
 A Média Geométrica de dois números é igual à
raiz quadrada do produto desses números.
Exemplo:
Ex1: Calcular a média geométrica dos números 4 e
9.
Solução:
4 x
  x.x  4.9  x 2  36  x  6
x 9
Ex2: Calcular a média proporcional dos números 3 e
27.
Solução:
MP  3.27  81  MP  9
2. 8 PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES:
P. 1) DA SOMA OU DIFERENÇA DOS TERMOS:
 Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos
dois primeiros termos está para o primeiro, ou
para o segundo, assim como a soma (ou
diferença) dos dois últimos está para o terceiro ou
para o quarto.
a
b

c
d
a  b



a


a  b



b

c
d
c
c
d
d
P. 2) DA SOMA OU DIFERENÇA DOS
ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES:
 Em toda a proporção, a soma (ou diferença) dos
Antecedentes está para a soma (ou diferença)
dos Conseqüentes, assim como qualquer
Antecedente
está
para
o
respectivo
Conseqüente.
a
b

c
d

a c
b d

a
b

c
d
P. 3) DO PRODUTO DOS ANTECEDENTES E
CONSEQÜENTES:
 Em toda a proporção, o produto dos
Antecedentes está para o produto dos
Conseqüentes, assim como o quadrado de
qualquer Antecedente está para o quadrado do
respectivo Conseqüente.
a c
b d
a c

b d
2
2
2
2
a  c
b d