Ex1:
RAZÕES E PROPORÇÕES
1. RAZÕES:
1. 1 RAZÕES DE DOIS NÚMEROS:
Razão de dois números racionais (o segundo
diferente de zero) é o quociente do primeiro pelo
segundo. É representada por uma das seguintes
maneiras:
Exemplo:
18
6
3
OBSERVAÇÕES:
1) A razão a : b é também designada “RAZÃO
POR QUOCIENTE” ou RAZÃO GEOMÉTRICA”.
2) A diferença
a b chama-se “RAZÃO
ARITMÉTICA” entre os números “a” e “b”.
3) Razão por Quociente é um número abstrato.
1. 2 TERMOS DA RAZÃO:
ANTECEDENTE
é o primeiro
CONSEQÜENTE é o segundo termo.
a
b
termo
e
a Antecedente
Conseqüente
b
1. 3 RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS:
É a razão dos números que as exprimem, quando
medidas com a mesma unidade.
Exemplo:
Ex1: A razão entre
6m e 12m é
OBSERVAÇÃO:
A razão de ANTECEDENTE
INVERSA.
zero não tem
1. 5 RAZÕES IGUAIS:
Duas razões são iguais quando as frações que as
representam são equivalentes.
Exemplo:
12 2
12 6 18 3
Ex1:
18 9 6 2
9 3
a
se lê
ou a : b que
" a" está para " b".
b
Ex1: A razão entre 18 e 3 é 6, pois:
4
5
e
São Inversas
5
4
1
:
2
6m
6 1
12m 12 2
2
Ex2: A razão entre 2kg e 3000g é
:
3
2kg
2000 g 2000 2
3000 g 3000 g 3000 3
1. 4 RAZÕES INVERSAS:
Duas
razões
são
inversas
quando
o
ANTECEDENTE de uma é o CONSEQÜENTE da
outra.
Exemplo:
1. 6 PROPRIEDADES DAS RAZÕES:
P. 1) Uma razão não se altera, quando multiplicamos
( ou dividimos) ambos os termos por um mesmo
número diferente de zero.
Exemplos:
2 2 2 4
3 3 2 6
20 20 4 5
Ex2:
48 48 4 12
Ex1:
P. 2) Multiplicando-se (ou dividindo-se) o
Antecedente de uma razão por um número
diferente de zero, a razão fica multiplicada (ou
dividida) por esse número.
Exemplos:
22 4
4
2
é o dobro de
. pois
3
3
3
3
15 3 5
5
15
Ex2:
é a Terça parte de
. pois
8
8
8
8
Ex1:
P. 3) Multiplicando-se (ou dividindo-se) o
Conseqüente de uma razão por um número
diferente de zero, a razão fica dividida (ou
multiplicada) por esse número.
Exemplos:
3
3
3
3
é a metade de
. pois
8
4
4 2 8
1
1
1
1
Ex2:
é o Triplo de
. pois
2
6
63 2
Ex1:
P. 4) SIMPLIFICAÇÃO DE RAZÕES: Quando os
termos de uma razão admitem um divisor (ou
divisores comuns) pode-se substituir esta razão
por outra equivalente. Então, para simplificar
uma razão, basta dividir seu Antecedente e
Conseqüente por um divisor comum. Se este
for o M. D. C a razão assim obtida é a
expressão mais simples ou a forma irredutível
da razão dada.
Exemplo:
27 27 : 3 9
9:3 3
36 36 : 3 12 12 : 3 4
9
3
27
As razões
são equivalentes a
,
e
12
4
36
3
sendo que
é a forma irredutível.
4
B)
INVERTER: É a troca, em cada razão, do
Antecedente pelo Conseqüente.
C) TRANSPOR: É a troca posição das razões.
Exemplo:
Ex1:
2. PROPORÇÕES:
2. 1 DEFINIÇÃO:
Chama-se Proporção a igualdade de duas
razões.
De um modo geral, dados quatro números
diferentes de zero, em uma certa ordem, diz-se
que formam uma proporção quando a razão dos
dois primeiros é igual a razão dos dois últimos.
Uma razão pode ser representada da seguinte
maneira:
a c
b d
ou
a :b c : d
ou
a : b :: c : d
Que se lê: “a” está para “b” , assim como “c”
está para “d”.
Ex1:
Dada a razão
6 3
8 4
obteremos as
proporções:
4 3
8 6
6 8
Alternando seus Meios:
3 4
Alternando seus Extremos:
Alternando seus Meios e Extremos:
4 8
3 6
3 6
4 8
8 4
Invertendo as razões:
6 3
Transpondo as razões:
2. 5 CÁLCULO DE UM TERMO DESCONHECIDO:
Um termo desconhecido, em uma proporção ,
pode ser determinado aplicando-se a propriedade
fundamental.
Ex1: Determinar o valor de
x
na proporção
12 36
.
14 x
Solução:
2. 2 TERMOS DE UMA PROPORÇÃO:
São quatro os seus termos: o Antecedente da
primeira e o Conseqüente da Segunda são os
EXTREMOS; o Conseqüente da primeira e o
Antecedente da Segunda são os MEIOS.
Exemplo:
Ex1:
a c
b d
a e
e
b
d EXTREMOS
c MEIOS
2. 3 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual
ao produto dos extremos.
Exemplo:
Ex1:
Ex2:
a c
b d
a d b c
6 3
6 4 83
8 4
2. 4 FORMAS DE ESCREVER UMA PROPORÇÃO:
Dada uma proporção podemos trocar a posição
de seus termos sem modificar a propriedade
fundamental. Essas transformações consistem
em: ALTERNAR, INVERTER e TRANSPOR.
A)
ALTERNAR:
extremos.
É a permuta dos meios ou dos
12 36
14.36
12.x 14.36 x
x 42
14 x
12
2. 6 QUARTA PROPORCIONAL:
É o número que formará, com outros três
números dados, em uma certa proporção.
Exemplo: O número 10 é a Quarta proporcional de
4, 5 e 8, porque forma com esses, uma
proporção:
4 8
5 10
2. 7 PROPORÇÃO CONTÍNUA:
É a proporção que tem
EXTREMOS iguais.
a x
x b
ou
os
MEIOS
ou
x b
a x
A) ELEMENTOS DA PROPORÇÃO CONTÍNUA:
O meio (ou extremo) comum chama-se MÉDIA
PROPORCIONAL OU MÉDIA GEOMÉTRICA.
Exemplos:
Ex1: Na proporção
3 6
, o número 6 é a Média
6 12
proporcional ou geométrica entre 3 e 12.
Ex2: Na proporção
8 16
, o número 8 é a média
4 8
proporcional ou geométrica entre 4 e 16.
OBSERVAÇÃO:
Dados dois números, sendo o segundo a média
geométrica,
chama-se
TERCEIRA
PROPORCIONAL
ao terceiro número que
formará com aqueles, uma proporção contínua.
Exemplo:
Ex1: A terceira proporcional de 5 e 15 é 45.
5 15
5.x 15.15 x 45
15 x
B) CÁLCULO DA MÉDIA GEOMÉTRICA:
A Média Geométrica de dois números é igual à
raiz quadrada do produto desses números.
Exemplo:
Ex1: Calcular a média geométrica dos números 4 e
9.
Solução:
4 x
x.x 4.9 x 2 36 x 6
x 9
Ex2: Calcular a média proporcional dos números 3 e
27.
Solução:
MP 3.27 81 MP 9
2. 8 PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES:
P. 1) DA SOMA OU DIFERENÇA DOS TERMOS:
Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos
dois primeiros termos está para o primeiro, ou
para o segundo, assim como a soma (ou
diferença) dos dois últimos está para o terceiro ou
para o quarto.
a
b
c
d
a b
a
a b
b
c
d
c
c
d
d
P. 2) DA SOMA OU DIFERENÇA DOS
ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES:
Em toda a proporção, a soma (ou diferença) dos
Antecedentes está para a soma (ou diferença)
dos Conseqüentes, assim como qualquer
Antecedente
está
para
o
respectivo
Conseqüente.
a
b
c
d
a c
b d
a
b
c
d
P. 3) DO PRODUTO DOS ANTECEDENTES E
CONSEQÜENTES:
Em toda a proporção, o produto dos
Antecedentes está para o produto dos
Conseqüentes, assim como o quadrado de
qualquer Antecedente está para o quadrado do
respectivo Conseqüente.
a c
b d
a c
b d
2
2
2
2
a c
b d
