Equivalência Lógica Prof. Tiago Semprebom, Dr. Eng. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Santa Catarina - Campus São José [email protected] 28 de maio de 2013 SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 1 / 11 Principais Equivalências Lógicas Duas proposições são equivalentes quando traduzem a mesma ideia, diferindo apenas da forma de apresentar a ideia. Apresenta-se abaixo algumas das principais equivalências de Lógica. Leis da Comutatividade: p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p Exemplo: “Fui ao teatro ou ao cinema” “Fui ao cinema ou ao teatro” SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 2 / 11 Principais Equivalências Lógicas Leis da Associatividade: (p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r ) (p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r ) Leis da Distributividade: p ∧ (q ∨ r ) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) Leis de De Morgan: ∼ (p ∧ q) ⇐⇒∼ p ∨ ∼ q ∼ (p ∨ q) ⇐⇒∼ p ∧ ∼ q Exemplo: “É falso que João tenha ido ao cinema e ao teatro” “Ou João não foi ao cinema ou não foi ao teatro” Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática SANTA CATARINA 28 de maio de 2013 3 / 11 Principais Equivalências Lógicas Propriedade de v: p ∧ v ⇐⇒ v p ∨ v ⇐⇒ v Propriedade de f: p ∧ f ⇐⇒ f p ∨ f ⇐⇒ f Leis da Idempotência: p ∧ p ⇐⇒ p p ∨ p ⇐⇒ p Lei da Negação: ∼ (∼ p) ⇐⇒ p SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 4 / 11 Principais Equivalências Lógicas Lei da Contraposição: p −→ q ⇐⇒∼ q −→∼ p Exemplo: “Se João estudar, será aprovado” “Se João não estudar, não será aprovado” Lei da Absorção: p ∧ (p ∨ r ) ⇐⇒ p p ∨ (p ∧ r ) ⇐⇒ p SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 5 / 11 Principais Equivalências Lógicas São suficientes as operações de negação e uma das duas, conjunção ou disjunção para representar qualquer expressão proposicional. Para isso necessitamos das seguintes equivalências: Definição do bicondicional (←→): p ←→ q ⇐⇒ (p −→ q) ∧ (q −→ p) p ←→ q ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q) Definição do condicional (−→): p −→ q ⇐⇒ (∼ p ∨ q) Definição da disjunção (∨): p ∨ q ⇐⇒∼ (∼ p ∧ ∼ q) Definição da conjunção (∧): p ∧ q ⇐⇒∼ (∼ p ∨ ∼ q) SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 6 / 11 Fórmula Normal Conjuntiva Uma fórmula é normal conjuntiva (FNC) se e somente se: No máximo contém os conectivos ∼, ∧e∨; ∼ só opera sobre as letras proposicionais, isto é, não tem alcance sobre ∨ e ∧; Não aparecem sinais de negação sucessivos como ∼ ∼; ∨ não tem alcance sobre ∧, isto é, não há expressões do tipo p ∨ (q ∧ r ) Exemplos de FNC: p ∨ q ∧ (r ∨ s ∨ p), (∼ p ∨ q), (q∧ ∼ p), (p) SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 7 / 11 Fórmula Normal Conjuntiva Para toda fórmula é possı́vel determinar uma FNC a ela equivalente. Para isto usando as seguintes regras: 1 substituem-se p −→ q por ∼ p ∨ q e p ←→ q por (∼ p ∨ q) ∧ (p ∨ ∼ q); 2 utilizando a lei de De Morgan, elimina-se o conectivo de negação ∼ que precede o parênteses; 3 eliminam-se as negativas múltiplas; 4 substituem-se p ∨ (q ∧ r ) por (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) e (p ∧ q) ∨ r por (p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ), usando as propriedades distributivas. SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 8 / 11 Fórmula Normal Disjuntiva Uma fórmula é normal disjuntiva (FND) se e somente se: No máximo contém os conectivos ∼, ∧e∨; ∼ só opera sobre as letras proposicionais, isto é, não tem alcance sobre ∨ e ∧; Não aparecem sinais de negação sucessivos como ∼ ∼; ∧ não tem alcance sobre ∨, isto é, não há expressões do tipo p ∧ (q ∨ r ) Exemplos de FND: p ∨ (q ∧ r ) ∨ (∼ s ∧ p), p, ∼ p ∧ q, ∼ q, ∼p∨q SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 9 / 11 Fórmula Normal Disjuntiva Para toda fórmula é possı́vel determinar uma FND a ela equivalente. Para isto usando as seguintes regras: 1 substituem-se p −→ q por ∼ p ∨ q e p ←→ q por (∼ p ∨ q) ∧ (p ∨ ∼ q); 2 utilizando a lei de De Morgan, elimina-se o conectivo de negação ∼ que precede o parênteses; 3 eliminam-se as negativas múltiplas; 4 substituem-se p ∧ (q ∨ r ) por (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) e (p ∨ q) ∧ r por (p ∧ r ) ∨ (q ∧ r ), usando as propriedades distributivas. SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 10 / 11 Resolução de execı́cios Exercı́cios sobre Proposições SANTA CATARINA Prof. Tiago (IFSC) Lógica Matemática 28 de maio de 2013 11 / 11