Equivalência Lógica

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Equivalência Lógica
Prof. Tiago Semprebom, Dr. Eng.
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia
Santa Catarina - Campus São José
[email protected]
28 de maio de 2013
SANTA CATARINA
Prof. Tiago (IFSC)
Lógica Matemática
28 de maio de 2013
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Principais Equivalências Lógicas
Duas proposições são equivalentes quando traduzem a mesma ideia,
diferindo apenas da forma de apresentar a ideia.
Apresenta-se abaixo algumas das principais equivalências de Lógica.
Leis da Comutatividade:
p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p
p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p
Exemplo:
“Fui ao teatro ou ao cinema”
“Fui ao cinema ou ao teatro”
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Principais Equivalências Lógicas
Leis da Associatividade:
(p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r )
(p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r )
Leis da Distributividade:
p ∧ (q ∨ r ) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
p ∨ (q ∧ r ) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r )
Leis de De Morgan:
∼ (p ∧ q) ⇐⇒∼ p ∨ ∼ q
∼ (p ∨ q) ⇐⇒∼ p ∧ ∼ q
Exemplo:
“É falso que João tenha ido ao cinema e ao teatro”
“Ou João não foi ao cinema ou não foi ao teatro”
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Principais Equivalências Lógicas
Propriedade de v:
p ∧ v ⇐⇒ v
p ∨ v ⇐⇒ v
Propriedade de f:
p ∧ f ⇐⇒ f
p ∨ f ⇐⇒ f
Leis da Idempotência:
p ∧ p ⇐⇒ p
p ∨ p ⇐⇒ p
Lei da Negação:
∼ (∼ p) ⇐⇒ p
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Principais Equivalências Lógicas
Lei da Contraposição:
p −→ q ⇐⇒∼ q −→∼ p
Exemplo:
“Se João estudar, será aprovado”
“Se João não estudar, não será aprovado”
Lei da Absorção:
p ∧ (p ∨ r ) ⇐⇒ p
p ∨ (p ∧ r ) ⇐⇒ p
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Principais Equivalências Lógicas
São suficientes as operações de negação e uma das duas, conjunção
ou disjunção para representar qualquer expressão proposicional. Para
isso necessitamos das seguintes equivalências:
Definição do bicondicional (←→):
p ←→ q ⇐⇒ (p −→ q) ∧ (q −→ p)
p ←→ q ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)
Definição do condicional (−→):
p −→ q ⇐⇒ (∼ p ∨ q)
Definição da disjunção (∨):
p ∨ q ⇐⇒∼ (∼ p ∧ ∼ q)
Definição da conjunção (∧):
p ∧ q ⇐⇒∼ (∼ p ∨ ∼ q)
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Fórmula Normal Conjuntiva
Uma fórmula é normal conjuntiva (FNC) se e somente se:
No máximo contém os conectivos ∼, ∧e∨;
∼ só opera sobre as letras proposicionais, isto é, não tem alcance sobre
∨ e ∧;
Não aparecem sinais de negação sucessivos como ∼ ∼;
∨ não tem alcance sobre ∧, isto é, não há expressões do tipo p ∨ (q ∧ r )
Exemplos de FNC:
p ∨ q ∧ (r ∨ s ∨ p),
(∼ p ∨ q),
(q∧ ∼ p),
(p)
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Fórmula Normal Conjuntiva
Para toda fórmula é possı́vel determinar uma FNC a ela equivalente.
Para isto usando as seguintes regras:
1
substituem-se p −→ q por ∼ p ∨ q e p ←→ q por (∼ p ∨ q) ∧ (p ∨ ∼ q);
2
utilizando a lei de De Morgan, elimina-se o conectivo de negação ∼ que
precede o parênteses;
3
eliminam-se as negativas múltiplas;
4
substituem-se p ∨ (q ∧ r ) por (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) e
(p ∧ q) ∨ r por (p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ), usando as propriedades distributivas.
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Fórmula Normal Disjuntiva
Uma fórmula é normal disjuntiva (FND) se e somente se:
No máximo contém os conectivos ∼, ∧e∨;
∼ só opera sobre as letras proposicionais, isto é, não tem alcance sobre
∨ e ∧;
Não aparecem sinais de negação sucessivos como ∼ ∼;
∧ não tem alcance sobre ∨, isto é, não há expressões do tipo p ∧ (q ∨ r )
Exemplos de FND:
p ∨ (q ∧ r ) ∨ (∼ s ∧ p),
p,
∼ p ∧ q,
∼ q,
∼p∨q
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Fórmula Normal Disjuntiva
Para toda fórmula é possı́vel determinar uma FND a ela equivalente.
Para isto usando as seguintes regras:
1
substituem-se p −→ q por ∼ p ∨ q e p ←→ q por (∼ p ∨ q) ∧ (p ∨ ∼ q);
2
utilizando a lei de De Morgan, elimina-se o conectivo de negação ∼ que
precede o parênteses;
3
eliminam-se as negativas múltiplas;
4
substituem-se p ∧ (q ∨ r ) por (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) e
(p ∨ q) ∧ r por (p ∧ r ) ∨ (q ∧ r ), usando as propriedades distributivas.
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Resolução de execı́cios
Exercı́cios sobre Proposições
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