Lógica, Matemática e suas Aplicações p

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Aula 01
Lógica, Matemática e suas Aplicações p/ SEFAZ-MA - Auditor e Técnico (Com
videoaulas)
Professores: Arthur Lima, Luiz Gonçalves
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AULA 01 – Lógica de Argumentação
SUMÁRIO
PÁGINA
1. Teoria
02
2. Resolução de exercícios
26
3. Questões apresentadas na aula
74
4. Gabarito
95
Olá!
Nesta aula e na próxima trataremos sobre o tópico “lógica de
argumentação”, presente no seu edital. Trata-se de um tópico muito
cobrado em provas de concursos da área fiscal. Portanto, fique muito
atento, pois há grande chance de você se deparar com uma ou mais
questões deste tema na prova da SECRETARIA DE FAZENDA DO
MARANHÃO!
ATENÇÃO:
se
você
tem
dificuldade
nesses
assuntos,
recomendo começar assistindo os vídeos, ok? Caso contrário,
parta direto para este PDF e economize tempo!
Tenha uma boa aula, e lembre-se de me procurar sempre que tiver
alguma dúvida.
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1. TEORIA
1.1 Introdução
Para começar este assunto, você precisa saber que uma proposição
é uma oração declarativa que admita um valor lógico (V – verdadeiro ou F
– falso). Ex.: A bola é azul. Veja que não existe meio termo: ou a bola é
realmente de cor azul, tornando a proposição verdadeira, ou a bola é de
outra cor, sendo a proposição falsa. Observe que nem toda frase pode ser
considerada uma proposição. Por exemplo, a exclamação “Bom dia!” não
pode ser classificada como verdadeira ou falsa. O mesmo ocorre com as
frases “Qual o seu nome?” ou “Vá dormir”, que também não têm um valor
lógico (V ou F). No estudo de lógica de argumentação, usamos letras
(principalmente p, q e r) para simbolizar uma proposição.
É importante também conhecer alguns princípios relativos às
proposições. O princípio da não-contradição diz que uma proposição não
pode ser, ao mesmo tempo, Verdadeira e Falsa. Ou uma coisa ou outra.
Já o princípio da exclusão do terceiro termo diz que não há um meio
termo entre Verdadeiro ou Falso. Portanto, se temos uma proposição p
(exemplo: “2 mais 2 não é igual a 7”), sabemos que:
- se essa frase é verdadeira, então ela não pode ser falsa, e vice-versa
(não-contradição), e
- não é possível que essa frase seja “meio verdadeira” ou “meio falsa”,
ela deve ser somente Verdadeira ou somente Falsa (exclusão do terceiro
termo).
Uma observação importante: não se preocupe tanto com o
conteúdo da proposição. Quem nos dirá se a proposição é verdadeira ou
falsa é o enunciado do exercício. Ao resolver exercícios você verá que, a
princípio, consideramos todas as proposições fornecidas como sendo
verdadeiras, a menos que o exercício diga o contrário. Se um exercício
disser que a proposição “2 + 2 = 7” é Verdadeira, você deve aceitar isso,
ainda que saiba que o conteúdo dela não é realmente correto. Isto porque
estamos trabalhando com Lógica formal.
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Vejamos duas proposições exemplificativas:
p: Chove amanhã.
q: Eu vou à escola.
Note que, de fato, p e q são duas proposições, pois cada uma delas
pode ser Verdadeira ou Falsa.
Duas
ou
mais
proposições
podem
ser
combinadas,
criando
proposições compostas, utilizando para isso os operadores lógicos. Vamos
conhecê-los estudando as principais formas de proposições compostas.
Para isso, usaremos como exemplo as duas proposições que já vimos
acima. Vejamos como podemos combiná-las:
a) Conjunção (“e”): trata-se de uma combinação de proposições
usando o operador lógico “e”, ou seja, do tipo “p e q”. Por exemplo:
“Chove amanhã e eu vou à escola”. Utilizamos o símbolo ^ para
representar este operador. Ou seja, ao invés de escrever “p e q”,
podemos escrever “ p  q ”.
Veja que, ao dizer que “Chove amanhã e eu vou à escola”, estou
afirmando que as duas coisas acontecem (chover e ir à escola). Em
outras palavras, esta proposição composta só pode ser Verdadeira se as
duas proposições simples que a compõem forem verdadeiras, isto é,
acontecerem. Se chover e, mesmo assim, eu não for à escola, significa
que a conjunção acima é Falsa. Da mesma forma, se não chover e
mesmo assim eu for à escola, a expressão acima também é Falsa.
Portanto, para analisar se a proposição composta é Verdadeira ou
Falsa, devemos olhar cada uma das proposições que a compõem. Já
vimos que se p acontece (p é Verdadeira) e q acontece (q é Verdadeira),
a expressão p e q é Verdadeira. Esta é a primeira linha da tabela abaixo.
Já se p acontece (V), isto é, se chove, e q não acontece (F), ou seja, eu
não vou à escola, a expressão inteira torna-se falsa. Isto também ocorre
se p não acontece (F) e q acontece (V). Estas são as duas linhas
seguintes da tabela abaixo. Finalmente, se nem p nem q acontecem
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(ambas são Falsas), a expressão inteira também será falsa. Veja esta
tabela:
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de p e q
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
(pq)
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
A
tabela
acima
é
chamada
de
tabela-verdade
da
proposição
combinada “p e q”. Nesta tabela podemos visualizar que a única forma de
tornar a proposição verdadeira ocorre quando tanto p quanto q são
verdadeiras. E que, para desmenti-la (tornar toda a proposição falsa),
basta provar que pelo menos uma das proposições que a compõem é
falsa.
b) Disjunção (“ou”): esta é uma combinação usando o operador “ou”,
isto é, “p ou q” (também podemos escrever p  q ). Ex.: “Chove
amanhã ou eu vou à escola”.
Veja que, ao dizer esta frase, estou afirmando que pelo menos uma das
coisas vai acontecer: chover amanhã ou eu ir à escola. Se uma delas
ocorrer, já estou dizendo a verdade, independentemente da outra
ocorrer ou não. Agora, se nenhuma delas acontecer (não chover e,
além disso, eu não for à escola), a minha frase estará falsa. A tabela
abaixo resume estas possibilidades:
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Valor lógico de p ou
Valor lógico de p
Valor lógico de q
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
q
(pq)
Como você pode ver na coluna da direita, a única possibilidade de
uma Disjunção do tipo p ou q ser falsa ocorre quando tanto p quanto q
não acontecem, isto é, são falsas.
Talvez você tenha estranhado a primeira linha da tabela. Na língua
portuguesa, “ou” é utilizado para representar alternativas excludentes
entre si (isto é, só uma coisa poderia acontecer: chover ou então eu ir à
escola). Assim, talvez você esperasse que, caso p fosse verdadeira e q
também fosse verdadeira, a frase inteira seria falsa. Veja que isto não
ocorre aqui. Veremos isso no próximo item, ao estudar a disjunção
exclusiva.
c) Disjunção exclusiva (Ou exclusivo): esta é uma combinação do
tipo “ou p ou q” (simbolizada por p  q
ou então por pvq). Ex.: “Ou
chove amanhã ou eu vou à escola”.
Aqui, ao contrário da Disjunção que vimos acima, a proposição
composta só é verdadeira se uma das proposições for verdadeira e a
outra for falsa. Isto é, se eu digo “Ou chove amanhã ou eu vou à escola”,
porém as duas coisas ocorrem (amanhã chove e, além disso, eu vou à
escola), a frase será falsa como um todo. Veja abaixo a tabela-verdade
deste operador lógico, chamado muitas vezes de “Ou exclusivo”, em
oposição ao “ou” alternativo que vimos acima:
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Valor lógico de Ou p
Valor lógico de p
Valor lógico de q
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
ou q
(p v q)
Marquei em vermelho a única mudança que temos em relação ao
caso anterior.
d) Condicional (implicação): uma condicional é uma combinação do
tipo “se p, então q” (simbolizada por
p  q ). Usando o nosso
exemplo, podemos montar a proposição composta “Se chove amanhã,
eu vou à escola”.
Esta é a proposição composta mais comum em provas de concurso.
Chamamos este caso de Condicional porque temos uma condição (“se
chove
amanhã”)
que,
caso
venha
a
ocorrer,
faz
com
que
automaticamente a sua consequência (“eu vou à escola”) tenha que
acontecer. Isto é, se p for Verdadeira, isto obriga q a ser também
Verdadeira.
Se a condição p (“se chove amanhã”) não ocorre (é Falsa), q pode
ocorrer (V) ou não (F), e ainda assim a frase é Verdadeira. Porém se a
condição ocorre (p é V) e o resultado não ocorre (q é F), estamos diante
de uma proposição composta que é Falsa como um todo. Tudo o que
dissemos acima leva a esta tabela:
P
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de Se p,
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
então q ( p  q )
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
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e) Bicondicional (“se e somente se”): uma bicondicional é uma
combinação do tipo “p se e somente se q” (simbolizada por p  q ).
Ex.: “Chove amanhã se e somente se eu vou à escola”.
Quando alguém nos diz a frase acima, ela quer dizer que,
necessariamente, as duas coisas acontecem juntas (ou então nenhuma
delas acontece). Assim, sabendo que amanhã chove, já sabemos que a
pessoa vai à escola. Da mesma forma, sabendo que a pessoa foi à escola,
então sabemos que choveu. Por outro lado, sabendo que não choveu,
sabemos automaticamente que a pessoa não foi à escola.
Note, portanto, que a expressão p  q só é verdadeira quando
tanto p quanto q acontecem (são Verdadeiras), ou então quando ambas
não acontecem (são Falsas). Se ocorrer outro caso (chover e a pessoa
não for à escola, por exemplo), a expressão p  q é Falsa. Isso está
resumido na tabela abaixo:
Valor lógico de p se
Valor lógico de p
Valor lógico de q
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
e somente se q
(p  q )
Novamente, marquei em vermelho a única coisa que mudou em
relação à condicional p  q .
IMPORTANTE: Saiba que “e”, “ou”, “ou, ... ou...”, “se..., então...”,
“se e somente se” são as formas básicas dos conectivos conjunção,
disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. Entretanto,
várias questões exploram formas “alternativas” de se expressar cada uma
dessas proposições compostas. Ao longo das questões que resolvermos
nessa e na próxima aula, você aprenderá a lidar com estas alternativas.
Veja os casos que considero mais importantes:
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- Conectivo “mas” com idéia de conjunção (“e”). Ex.: Chove, mas
vou à escola. Observe que quem diz esta frase está afirmando que duas
coisas acontecem: 1 = chove, e 2 = vou à escola. No estudo da lógica,
isto é o mesmo que dizer “Chove e vou à escola”. Portanto, o “mas” está
sendo usado para formar uma conjunção.
- Conectivo “ou”
precedido por vírgula, com idéia de
“ou
exclusivo”. Ex.: Chove, ou vou à escola. Aqui a pausa criada pela vírgula
nos permite depreender que apenas uma coisa ocorre: ou chove, ou vou
à escola. Assim, temos uma forma alternativa de representar o “ou ...,
ou...” que estudamos na disjunção exclusiva.
-
Condicional
utilizando
“Quando...”
ou
“Toda
vez
que...”.
Exemplos:
1)Quando chove, vou à escola.
2) Toda vez que chove vou à escola.
Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de
apresentar uma condição (“chove”) que leva a uma consequência (“vou à
escola”). Portanto, estas são formas alternativas ao clássico “se ..., então
...” da condicional.
- Uso do “...ou..., mas não ambos” com idéia de disjunção
exclusiva. Ex.: “Jogo bola ou corro, mas não ambos”. Repare que a
primeira parte dessa frase é uma disjunção comum (inclusiva), mas a
expressão “mas não ambos” exclui o caso onde “jogo bola” é V e “corro”
também é V. Isto é, passamos a ter uma disjunção exclusiva. Alguns
autores entendem que só temos disjunção exclusiva se a expressão “mas
não ambos” estiver presente (ainda que tenhamos “ou..., ou ...”), mas
isso não pode ser considerado uma verdade absoluta. Trabalharemos esse
problema ao longo das questões.
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Sobre proposições compostas, veja uma questão introdutória.
Antes, porém, saiba que ~p significa “negação de p”, ou seja, o valor
lógico oposto ao de p. Isto é, se p é uma proposição Verdadeira, então ~p
é uma proposição Falsa. Vamos lá?
1. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas:
p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.
q: O trabalho enobrece.
A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é
fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA
quando:
a) p é falsa e q é falsa.
b) p é verdadeira e q é verdadeira.
c) p é falsa e q é verdadeira.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) p é falsa ou q é falsa.
RESOLUÇÃO:
Veja que a afirmação dada pelo enunciado é: “Se não-q, então nãop”. Só há 1 forma dessa condicional ser FALSA: se a condição (não-q) for
Verdadeira, porém o resultado (não-p) for Falso.
Para que não-q seja Verdadeira, a sua negação (q) deve ser Falsa.
E para que não-p seja Falsa, a sua negação (p) deve ser Verdadeira.
Assim, p deve ser Verdadeira e q deve ser Falsa.
Resposta: D
1.2 Negação de proposições simples
Representamos a negação de uma proposição simples “p” pelo
símbolo “~p” (leia não-p).Também podemos usar a notação
p , que é
menos usual. Sabemos que o valor lógico de “p” e “~p” são opostos, isto
é, se p é uma proposição verdadeira, ~p será falsa, e vice-versa.
Quando temos uma proposição simples (por ex.: “Chove agora”,
“Todos os nordestinos são fortes”, “Algum brasileiro é mineiro”), podemos
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negar essa proposição simplesmente inserindo “Não é verdade que...” em
seu início. Veja:
- Não é verdade que chove agora
- Não é verdade que todos os nordestinos são fortes
- Não é verdade que algum brasileiro é mineiro
Entretanto, na maioria dos exercícios serão solicitadas outras
formas de negar uma proposição. Para descobrir a negação, basta você se
perguntar:
O que é o mínimo que eu precisaria fazer para provar que essa frase é
mentira?
Se você for capaz de desmenti-la, você será capaz de negá-la.
Se João nos disse que “Chove agora”, bastaria confirmar que não
está chovendo agora para desmenti-lo. Portanto, a negação seria
simplesmente “Não chove agora”.
Entretanto, caso João nos diga que “Todos os nordestinos são
fortes”, bastaria encontrarmos um único nordestino que não fosse forte
para desmenti-lo. Portanto, a negação desta afirmação pode ser, entre
outras possibilidades:
- “Pelo menos um nordestino não é forte”
- “Algum nordestino não é forte”
- “Existe nordestino que não é forte”
Já se João nos dissesse que “Algum nordestino é forte”, basta que
um único nordestino seja realmente forte para que a frase dele seja
verdadeira. Portanto, aqui é mais difícil desmenti-lo, pois precisaríamos
analisar todos os nordestinos e mostrar que nenhum deles é forte. Assim,
a negação seria, entre outras possibilidades:
- “Nenhum nordestino é forte”
- “Não existe nordestino forte”
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A tabela abaixo resume as principais formas de negação de
proposições simples. Veja que, assim como você pode usar as da coluna
da direita para negar frases com as expressões da coluna da esquerda,
você também pode fazer o contrário.
Proposição “p”
Proposição “~p”
Meu gato é preto
Meu gato não é preto
Todos gatos são pretos
Algum/pelo menos um/existe gato
(que) não é preto
Nenhum gato é preto
Algum/pelo menos um/existe gato
(que) é preto
Note ainda que ~(~p) = p, isto é, a negação da negação de p é a
própria proposição p. Isto é, negar duas vezes é igual a falar a verdade.
Ex.: “Não é verdade que meu gato não é preto”  esta frase é
equivalente a “Meu gato é preto”.
1.3 Negação de proposições compostas
Quando temos alguma das proposições compostas (conjunção,
disjunção, disjunção exclusiva, condicional ou bicondicional), podemos
utilizar o mesmo truque para obter a sua negação: buscar uma forma de
desmentir
quem
estivesse
falando
aquela
frase.
Vejamos
alguns
exemplos:
a) Conjunção: “Chove hoje e vou à praia”. Se João nos diz essa frase, ele
está afirmando que as duas coisas devem ocorrer (se tiver dúvida,
retorne à tabela-verdade da conjunção). Isto é, para desmenti-lo,
bastaria provar que pelo menos uma delas não ocorre. Isto é, a primeira
coisa não ocorre ou a segunda coisa não ocorre (ou mesmo as duas não
ocorrem). Veja que para isso podemos usar uma disjunção, negando as
duas proposições simples como aprendemos no item anterior: “Não chove
hoje ou não vou à praia”. Da mesma forma, se João tivesse dito “Todo
nordestino é forte e nenhum gato é preto”, poderíamos negar utilizando
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uma disjunção, negando as duas proposições simples: “Algum nordestino
não é forte ou algum gato é preto”.
b) Disjunção: “Chove hoje ou vou à praia”. Essa afirmação é verdadeira
se pelo menos uma das proposições simples for verdadeira.
Portanto,
para desmentir quem a disse, precisamos provar que as duas coisas não
acontecem, isto é, as duas proposições são falsas. Assim, a negação seria
uma conjunção: “Não chove hoje e não vou à praia”. Já a negação de
“Todo nordestino é forte ou nenhum gato é preto” seria “Algum
nordestino não é forte e algum gato é preto”.
c) Disjunção exclusiva: “Ou chove hoje ou vou à praia”.
Recorrendo à
tabela-verdade, você verá que a disjunção exclusiva só é verdadeira se
uma, e apenas uma das proposições é verdadeira, sendo a outra falsa.
Assim, se mostrássemos que ambas são verdadeiras, ou que ambas são
falsas, estaríamos desmentindo o autor da frase. Para isso, podemos usar
uma bicondicional: “Chove hoje se e somente se eu vou à praia”. Veja
que esta frase indica que ou acontecem as duas coisas (chover e ir à
praia) ou não acontece nenhuma delas.
d) Condicional: “Se chove hoje, então vou à praia”. Lembra-se que a
condicional só é falsa caso a condição (p) seja verdadeira e o resultado
(q) seja falso? Portanto, é justamente isso que deveríamos provar se
quiséssemos desmentir o autor da frase. A seguinte conjunção nos
permite negar a condicional: “Chove hoje e não vou à praia”.
e) Bicondicional: “Chove hoje se e somente se vou à praia”. O autor da
frase está afirmando que as duas coisas (chover e ir à praia) devem
ocorrer
juntas,
ou
então
nenhuma
delas
pode
ocorrer.
Podemos
desmenti-lo provando que uma das coisas ocorre (é verdadeira) enquanto
a outra não (é falsa). A disjunção exclusiva nos permite fazer isso: “Ou
chove hoje, ou vou à praia”.
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Veja na tabela abaixo as principais formas de negação de
proposições compostas:
Proposição composta
Negação
Conjunção ( p  q )
Disjunção ( ~ p ~ q )
Ex.: Chove hoje e vou à praia
Ex.: Não chove hoje ou não vou à praia
Disjunção ( p  q )
Conjunção ( ~ p  ~ q )
Ex.: Chove hoje ou vou à praia
Ex.: Não chove hoje e não vou à praia
Disjunção exclusiva (p v q)
Bicondicional ( p  q )
Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia
Ex.: Chove hoje se e somente se vou à
praia
Condicional ( p  q )
Conjunção ( p  ~ q )
Ex.: Se chove hoje, então vou à praia
Ex.: Chove hoje e não vou à praia
Bicondicional ( p  q )
Disjunção exclusiva (p v q)
Ex.: Chove hoje se e somente se vou
Ex.: Ou chove hoje ou vou à praia
à praia.
Outra
forma
de
negar
a
bicondicional
é
escrevendo
outra
bicondicional, porém negando uma das proposições simples. Por exemplo,
p ~ q é uma forma alternativa de negar p  q . Esta negação pode ser
escrita como “Chove se e somente se NÃO vou à praia).
Comece a exercitar a negação de proposições compostas a partir da
questão abaixo:
2. UFG – ISS/Goiânia – 2016) Considere verdadeira a informação “se a
empresa A dobrar seu capital então a empresa B vai triplicar o seu
capital”, e falsa a informação “a empresa A vai dobrar o seu capital e a
empresa B vai triplicar seu capital”. Nessas condições, necessariamente a
empresa
(A) A vai dobrar seu capital.
(B) A não vai dobrar seu capital.
(C) B vai triplicar seu capital.
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(D) B não vai triplicar seu capital.
RESOLUÇÃO:
A proposição “a empresa A vai dobrar o seu capital e a empresa B
vai triplicar seu capital” é uma conjunção do tipo “p e q”. Se ela é falsa,
então a sua negação é verdadeira. Sua negação é dada por “~p ou ~q”,
ou seja,
“a empresa A não vai dobrar o seu capital OU a empresa B não vai
triplicar seu capital”
Ficamos com duas premissas verdadeiras:
P1: “se a empresa A dobrar seu capital então a empresa B vai triplicar o
seu capital”
P2: “a empresa A não vai dobrar o seu capital OU a empresa B não vai
triplicar seu capital”
Repare que se “a empresa A dobrar seu capital” for V, então “a
empresa B vai triplicar o seu capital” precisaria ser V também para P1 ser
verdadeira. Mas isso torna P2 falsa. Assim, precisamos que “a empresa A
dobrar seu capital” seja F. Isto já torna P1 e P2 verdadeiras. Em outras
palavras, podemos dizer que a empresa A não vai dobrar seu capital.
Resposta: B
1.4 Construção da tabela-verdade de proposições compostas
Alguns exercícios podem exigir que você saiba construir a tabelaverdade de proposições compostas. Para exemplificar, veja a proposição
A  [(~ B )  C ] . A primeira coisa que você precisa saber é que a tabela-
verdade desta proposição terá sempre 2n linhas, onde n é o número de
proposições simples envolvidas. Como só temos 3 proposições simples (A,
B e C), esta tabela terá 23, ou seja, 8 linhas.
Para
montar
a
tabela
verdade
de
uma
expressão
como
A  [(~ B )  C ] , devemos começar criando uma coluna para cada proposição
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e, a seguir, colocar todas as possibilidades de combinações de valores
lógicos (V ou F) entre elas:
Valor
Valor lógico
Valor lógico
lógico de
de B
de C
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
A
Agora, note que em
temos o termo ~B entre
A  [(~ B )  C ]
parênteses. Devemos, portanto, criar uma nova coluna na nossa tabela,
inserindo os valores de ~B. Lembre-se que os valores de não-B são
opostos aos valores de B (compare as colunas em amarelo):
Valor
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
lógico de
de B
de C
de ~B
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
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V
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V
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Agora que já temos os valores lógicos de ~B, e também temos os
de C, podemos criar os valores lógicos da expressão entre colchetes:
[(~ B )  C ] . Observe que se trata de uma conjunção (“e”), que só tem valor
lógico V quando ambos os membros (no caso, ~B e C) são V:
Valor
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
Valor lógico
lógico de
de B
de C
de ~B
de [(~ B )  C ]
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
A
Agora que já temos os valores lógicos de A e também os valores
lógicos de [(~ B )  C ] , podemos analisar os valores lógicos da disjunção
A  [(~ B )  C ] . Lembre-se que uma disjunção só é F quando ambos os seus
membros são F (marquei esses casos em amarelo):
P
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor
lógico
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
de A
B
C
~B
[(~ B )  C ]
A  [(~ B )  C ]
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
A
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P
A
L
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Assim, podemos omitir a 4ª e 5ª coluna, de modo que a tabelaverdade da expressão A  [(~ B )  C ] é:
Valor
Valor
Valor
Valor
lógico
lógico de
lógico de
lógico de
de A
B
C
A  [(~ B )  C ]
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
Veja que essa tabela nos dá os valores lógicos da expressão
A  [(~ B )  C ] para todos os possíveis valores das proposições simples que
a compõem (A, B e C).
1.5 Tautologia, contradição e contingência
Ao construir tabelas-verdade para expressões, como fizemos acima,
podemos verificar que uma determinada expressão sempre é verdadeira,
independente dos valores
compõem.
Trata-se
de
lógicos
uma
das
proposições
tautologia.
Por
outro
simples
lado,
que
a
algumas
expressões podem ser sempre falsas, independente dos valores das
proposições que a compõem. Neste caso, estaremos diante de uma
contradição. Vejamos alguns exemplos:
a) Veja abaixo a tabela-verdade de p  ~ p (ex.: Sou bonito e não sou
bonito). Pela simples análise desse exemplo, já vemos uma contradição
P
A
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A
L
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(não dá para ser bonito e não ser ao mesmo tempo). Olhando na coluna
da direita dessa tabela, vemos que ela é falsa para todo valor lógico de p:
Valor lógico de p
Valor lógico de
Valor lógico de
~p
p ~ p
V
F
F
F
V
F
Obs.: notou que essa tabela-verdade possui apenas duas linhas? Isso
porque temos apenas 1 proposição simples (p), e 21 = 2.
b) Veja abaixo a tabela-verdade de p  ~ p (ex.: Sou bonito ou não sou
bonito). Pela simples análise desse exemplo, já vemos uma tautologia
(essa frase sempre será verdadeira, independente da minha beleza).
Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela é verdadeira
para todo valor lógico de p:
Valor lógico de p
Valor lógico de
Valor lógico de
~p
p ~ p
V
F
V
F
V
V
Vale dizer que a maioria das proposições pode admitir valor V em
algumas linhas da tabela-verdade e F em outras linhas. Assim, elas não
são nem tautologias e nem contradições. Chamamos essas proposições
de contingências. Por exemplo, uma condicional pq é uma contingência,
pois sua tabela-verdade possui valores V e valores F, como já vimos
anteriormente nesta aula:
P
Valor lógico de p
Valor lógico de q
Valor lógico de Se p,
(“Chove amanhã”)
(“Eu vou à escola”)
então q ( p  q )
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
A
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P
A
L
A
Pratique o que discutimos até aqui através da questão a seguir.
3. FCC - SEFAZ/SP – 2006) Seja a sentença aberta A: (~ p  p)    e a
sentença aberta B: “Se o espaço

for ocupado por uma ...(I)..., a
sentença A será uma ...(II)...”. A sentença B se tornará verdadeira se I e
II forem substituídos, respectivamente, por:
a) contingência e contradição
b) tautologia e contradição
c) tautologia e contingência
d) contingência e contingência
e) contradição e tautologia
RESOLUÇÃO:
Inicialmente, observe que (~ p  p ) é uma tautologia. Para qualquer
valor lógico de p (V ou F), esta disjunção é V. Assim, sabemos que na
bicondicional (~ p  p)    , o lado esquerdo é sempre V.
Se o lado direito também for ocupado por uma sentença que seja
sempre V (uma tautologia), a frase inteira será uma tautologia.
Já se o lado direito for ocupado por uma sentença que seja sempre
F (uma contradição), a frase inteira será uma contradição.
Por fim, se o lado direito for ocupado por uma sentença que possa
ser V ou F (uma contingência), a frase inteira será uma contingência.
Temos apenas este último caso na alternativa D.
Resposta: D
1.6 Equivalência de proposições lógicas
Dizemos que duas proposições lógicas são equivalentes quando elas
possuem a mesma tabela-verdade. Como exemplo, vamos verificar se as
proposições p  q e ~ q ~ p são equivalentes.
Faremos isso calculando a tabela verdade das duas, para poder
compará-las. Mas intuitivamente você já poderia ver que elas são
P
A
L
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P
equivalentes. Imagine que p  q
A
L
A
é “Se chove, então vou à praia”.
Sabemos que se a condição (chove) ocorre, necessariamente o resultado
(vou à praia) ocorre. Portanto, se soubermos que o resultado não ocorreu
(não vou à praia), isso implica que a condição não pode ter ocorrido (não
chove). Isto é, podemos dizer que “Se não vou à praia, então não chove”.
Ou seja, ~ q ~ p .
A tabela-verdade de p  q encontra-se abaixo. Calcule-a sozinho,
para exercitar:
Valor
Valor
Valor
lógico
lógico de
lógico de
de p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Já a tabela-verdade de ~ q ~ p foi obtida abaixo:
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor
lógico
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
de p
q
~q
~p
~ q ~ p
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
Repare na coluna da direita de cada tabela. Percebeu que são
iguais? Isso nos permite afirmar que ambas as proposições compostas
são equivalentes.
Veja ainda a tabela verdade de ~p ou q:
P
A
L
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P
A
Valor
Valor
Valor
Valor
lógico de
lógico de
lógico de
lógico de
p
q
~p
~p ou q
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
L
A
Perceba que a tabela-verdade de ~p ou q é igual às duas anteriores
(pq e ~q~p). Assim, essas 3 proposições são equivalentes.
Não usei este exemplo à toa. Ele cai bastante em concursos,
portanto é bom você gravar: ( p  q ), ( ~ q ~ p ) e (~p ou q) são
proposições equivalentes!!!
Veja a questão abaixo para começar a treinar a equivalência lógica:
4. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere a
afirmação: Se Adélia vence a eleição, então Gilmar continua membro da
comissão. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente é:
(A) Gilmar continua membro da comissão e Adélia vence a eleição.
(B) Adélia não vence a eleição ou Gilmar continua membro da comissão.
(C) Se Gilmar continua membro da comissão, então Adélia vence a
eleição.
(D) Ou Gilmar continua membro da comissão ou Adélia vence a eleição.
(E) Se Adélia não vence a eleição, então Gilmar não continua membro da
comissão.
RESOLUÇÃO:
Basta lembrar que p
q é equivalente a ~p ou q. No enunciado
temos pq, onde p = “Adélia vence” e q = “Gilmar continua”. Assim, ~p
é “Adélia não vence”, de modo que “~p ou q” é “Adélia não vence OU
Gilmar continua”, como vemos na alternativa B.
P
A
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P
A
L
A
RESPOSTA: B
1.7 Condição necessária e condição suficiente
Quando temos uma condicional pq, sabemos que se a condição p
acontecer, com certeza o resultado q deve acontecer (para que pq seja
uma proposição verdadeira). Portanto, podemos dizer que p acontecer é
suficiente para afirmarmos que q acontece. Em outras palavras, p é uma
condição suficiente para q.
Por exemplo, se dissermos “Se chove, então o chão fica molhado”,
é suficiente saber que chove para afirmarmos que o chão fica molhado.
Chover é uma condição suficiente para que o chão fique molhado. Por
outro lado, podemos dizer que sempre que chove, o chão fica molhado. É
necessário que o chão fique molhado para podermos afirmar chove.
Portanto, “o chão fica molhado” é uma condição necessária para
podermos dizer que chove (se o chão estivesse seco, teríamos certeza de
que não chove). Ou seja, q é uma condição necessária para p.
Resumidamente, quando temos uma condicional pq, podemos
afirmar que p é suficiente para q, e, por outro lado, q é necessária para p.
Por outro lado, quando temos uma bicondicional p  q , podemos
dizer que p é necessária e suficiente para q, e vice-versa. Para a
proposição “Chove se e somente se o chão fica molhado” ser verdadeira,
podemos dizer que é preciso (necessário) que chova para que o chão
fique molhado. Não é dada outra possibilidade. E é suficiente saber que
chove para poder afirmar que o chão fica molhado. Da mesma forma, é
suficiente saber que o chão ficou molhado para afirmar que choveu; e a
única possibilidade de ter chovido é se o chão tiver ficado molhado, isto é,
o chão ter ficado molhado é necessário para que tenha chovido.
1.8 Sentenças abertas
Sentenças abertas são aquelas que possuem uma ou
variáveis, como o exemplo abaixo (do tipo pq):
“Se 2X é divisível por 5, então X é divisível por 5”
P
A
L
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P
A
L
A
Temos a variável X nessa frase, que pode assumir diferentes
valores. Se X for igual a 10, teremos:
“Se 20 é divisível por 5, então 10 é divisível por 5”
Esta frase é verdadeira, pois p é V e q é V. Se X = 11, teremos:
“Se 22 é divisível por 5, então 11 é divisível por 5”
Esta frase é verdadeira, pois p é F e q também é F. Já se X = 12.5,
teremos:
“Se 25 é divisível por 5, então 12.5 é divisível por 5”
Agora a frase é falsa, pois p é V e q é F!
Portanto, quando temos uma sentença aberta, não podemos afirmar
de antemão que ela é verdadeira ou falsa, pois isso dependerá do valor
que as variáveis assumirem. Assim, uma sentença aberta não é uma
proposição (só será uma proposição após definirmos o valor da variável).
Trabalhe o conceito de sentenças abertas na questão a seguir.
5. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x+y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em
2000.
É verdade que APENAS:
a) I é uma sentença aberta
b) II é uma sentença aberta
c) I e II são sentenças abertas
d) I e III são sentenças abertas
e) II e III são sentenças abertas
RESOLUÇÃO:
P
A
L
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P
A
L
A
Uma sentença aberta é aquela que possui uma variável cujo valor
pode tornar a proposição V ou F. O caso clássico é aquele presente na
alternativa II. Dependendo dos valores atribuídos às variáveis x e y, a
proposição pode ser V ou F. Entretanto, a alternativa I também é uma
sentença aberta. Isto porque, dependendo de quem for “Ele”, a
proposição pode ser V ou F. Precisamos saber quem é a pessoa referida
pelo autor da frase para atribuir um valor lógico.
Resposta: C
Agora é hora de praticar tudo o que vimos até aqui, resolvendo uma
bateria de questões.
P
A
L
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A
L
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
Vejamos uma série de exercícios de lógica proposicional para você
praticar bastante.
6. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009)Considere a seguinte proposição:
“Se chove ou neva,
então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
RESOLUÇÃO:
Sendo p = “chove”, q = “neva” e r = “chão fica molhado”, temos no
enunciado a frase (p ou q)  r.
Equivalente a ela é a frase ~r  ~(p ou q), que por sua vez é
equivalente a ~r  (~p e ~q). Escrevendo esta última frase:
“Se o chão não fica molhado, então não choveu e não nevou”
Admitindo que “o chão está seco” é equivalente a “o chão não fica
molhado”, temos a alternativa E.
Resposta: E
7. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere a
afirmação: Estudei muito e passei no concurso, ou minha preguiça foi
maior. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação
anterior é
P
A
L
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A
L
A
(A) Não estudei muito ou não passei no concurso, e minha preguiça não
foi maior.
(B) Se não estudei muito então minha preguiça foi maior e não passei no
concurso.
(C) Minha preguiça foi maior e não passei no concurso, e não estudei
muito.
(D) Não estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi
maior.
(E) Estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi maior.
RESOLUÇÃO:
Estamos diante da disjunção:
(estudei e passei) OU (preguiça foi maior)
A sua negação é:
(não estudei ou não passei) E (preguiça não foi maior)
Temos isso na alternativa A.
RESPOSTA: A
8. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo
prefeito de uma grande capital.
Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço
das passagens de ônibus será reajustado.
Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é:
(A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o
preço das passagens de ônibus não será reajustado.
(B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço
das passagens de ônibus não será reajustado.
(C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação
não terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado.
(D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a
inflação terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado.
P
A
L
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A
L
A
(E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a
inflação terá caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado.
RESOLUÇÃO:
Temos a proposição condicional que pode ser sintetizada assim:
(inflação não cair ou diesel aumentar)  passagem reajustada
Essa proposição é do tipo (P ou Q)  R, onde:
P = inflação não cair
Q = diesel aumentar
R = passagem reajustada
Essa proposição é equivalente a ~R~(P ou Q), que por sua vez é
equivalente a ~R (~P e ~Q), onde:
~P = inflação cair
~Q = diesel NÃO aumentar
~R = passagem NÃO SER reajustada
Escrevendo ~R-->(~P e ~Q), temos:
passagem não ser reajustada  (inflação cai e diesel não aumenta)
Temos isso na alternativa E.
RESPOSTA: E
9. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Antes da rodada final do campeonato
inglês de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das
duas únicas equipes com chances de serem campeãs, por meio da
seguinte afirmação:
“Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida
e que o Chelsea perca ou empate a sua.”
Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta
informação é: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele
P
A
L
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P
A
L
A
(A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida e o Chelsea empate a sua.”
(B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida ou o Chelsea empate a sua.”
(C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida e o Chelsea não vença a sua.”
(D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua
partida e o Chelsea empate a sua.”
(E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua
partida ou o Chelsea empate a sua.”
RESOLUÇÃO:
A proposição do enunciado pode ser resumida assim:
Arsenal vença E (Chelsea perca OU Chelsea empate)
Sabemos que a proposição composta "p E (q OU r)" é equivalente a
"(p E q) OU (p E r)". Escrevendo essa última, teríamos algo como:
(Arsenal vença E Chelsea perca) OU (Arsenal vença E Chelsea empate)
Temos isso na alternativa A.
RESPOSTA: A
10. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação:
Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será
tomada.
Para que essa afirmação seja FALSA:
a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas
decisões tenham sido tomadas.
b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma
decisão tenha sido tomada.
c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada,
independentemente da participação de ministros na reunião.
P
A
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L
A
d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas
decisões tenham sido tomadas.
e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e
nenhuma decisão tenha sido tomada.
RESOLUÇÃO:
Essa afirmação do enunciado é uma disjunção (“ou”). Ela só será
falsa se ambas as proposições que a compõem sejam falsas. Vamos,
portanto, obter a negação de cada uma delas separadamente:
p: Pelo menos um ministro participará da reunião
Como negar uma proposição com “Pelo menos um”? Basta usar
“Nenhum”. Assim, temos: Nenhum ministro participará da reunião.
q: nenhuma decisão será tomada.
Podemos negar essa proposição dizendo: “Pelo menos uma decisão
será tomada”.
Como queremos que ambas as proposições sejam falsas, basta que
a conjunção abaixo seja verdadeira:
“Nenhum ministro participará da reunião e pelo menos uma decisão será
tomada”.
Portanto, se sabemos que nenhum ministro participou da reunião e,
mesmo assim, 1 ou mais decisões foram tomadas, isto é suficiente para
podermos afirmar que a afirmação é FALSA. A alternativa A cita o caso
em que sabemos que nenhum ministro participou e, ainda assim, 2
decisões foram tomadas, o que é suficiente para desmentir a afirmação
do enunciado.
Resposta: A
11. ESAF – ISS/RJ – 2010) Por definição, um triângulo equilátero é o
que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: “Um triângulo
é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”.
P
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P
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A
Uma conclusão falsa desta proposição é:
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja
equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então
o triângulo não é equilátero.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes
uns dos outros.
RESOLUÇÃO:
Temos a bicondicional: “Um triângulo é equilátero se e somente se
os três ângulos são iguais”. Vejamos qual das alternativas de resposta
não é condizente com esta proposição:
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja
equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais
CORRETA, pois em uma bicondicional A  B sabemos que A é
condição necessária e suficiente para B, e B é condição necessária e
suficiente para A.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
CORRETAS. De uma bicondicional A
 B, podemos obter as
condicionais AB e BA.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então
o triângulo não é equilátero.
CORRETA. Para uma bicondicional A  B ser verdadeira, quando A é
falsa é preciso que B também seja falsa.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes
uns dos outros.
ERRADO. Se um triângulo não é equilátero, é preciso que seus
ângulos não sejam todos iguais entre si. Mas pode ser que 2 sejam iguais
e somente 1 seja diferente.
RESPOSTA: E
P
A
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12. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a seguinte proposição:
“Se
um
Auditor-Fiscal
Tributário
não
participa
de
projetos
de
aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira.”
Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:
(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na
carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.
(B)
Se
um
Auditor-Fiscal
Tributário
participa
de
projetos
de
aperfeiçoamento, então ele progride na carreira.
(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de
projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira.
(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele
participa de projetos de aperfeiçoamento.
(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento
e progride na carreira.
RESOLUÇÃO:
Considere as duas proposições simples abaixo:
p = Auditor-Fiscal Tributário não participa de projetos de aperfeiçoamento
q = Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira.
Sendo assim, a frase do enunciado é a condicional pq. Esse é o
caso mais “manjado”, e você deve lembrar que as proposições ~ q ~ p e
~p ou q são equivalentes a ela. Vamos escrever, portanto, essas duas
últimas. Antes disso, precisamos saber as negações simples ~p e ~q:
~p  Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento
~q  Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira
Desse modo, temos:
~ q ~ p  Se um Auditor-Fiscal Tributário progride na carreira, então ele
participa de projetos de aperfeiçoamento.
~p ou q  Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de
aperfeiçoamento ou não progride na carreira.
P
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Analisando as alternativas, veja que a letra D se aproxima da frase
que escrevemos acima:
(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele
participa de projetos de aperfeiçoamento.
Aqui você poderia dizer: a letra D tem uma disjunção exclusiva, e
não a disjunção inclusiva (~p ou q) que vimos acima. Muito cuidado
com a disjunção exclusiva. Analisando as demais alternativas de
resposta, você não encontraria nenhuma parecida com
~ q ~ p ou com
(~p ou q). Assim, só resta “aceitar” que a FCC está considerando que a
expressão “ou..., ou...” da letra D refere-se a uma disjunção inclusiva, e
não à bicondicional.
Resposta: D
13. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra
em relação a seus funcionários:
Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo
ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a
gripe.
Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir
que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa:
a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe,
então ele tem mais de 45 anos de idade.
b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos
anualmente ou não toma a vacina contra a gripe.
c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele
não tem 50 ou mais anos de idade.
d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame
médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe.
e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos
dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade.
RESOLUÇÃO:
A condicional do enunciado é:
P
A
L
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P
A
L
A
Funcionário tem 45 ou mais  faz exame E toma vacina
Para essa frase ser verdadeira, todos os funcionários com 45 ou
mais anos devem fazer exame e tomar vacina todo ano. Já quanto aos
funcionários com menos de 45 anos, nada foi afirmado: eles podem fazer
ou não exame, e tomar ou não a vacina.
Se uma pessoa não fez exame, ela não pode ter mais de 45 (pois se
tivesse, deveria obrigatoriamente ter feito exame). Portanto, você deve
concordar que a frase abaixo é correta:
"Se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 45 ou mais
anos".
(da mesma forma, poderíamos dizer que "se um funcionário não tomou
vacina, então ele não tem 45 ou mais anos").
Entretanto, essa alternativa não aparece entre as opções de
respostas. Mas temos uma parecida na letra C:
"se um funcionário não realizou exame, então ele não tem 50 ou mais
anos"
Se você concordou com a frase anterior, deve concordar com essa
também. Isso porque se alguém não tem 45 ou mais anos, esse mesmo
alguém também não tem 50 ou mais anos. Isto é, podemos garantir que
uma pessoa que não fez exame TEM MENOS DE 50 ANOS, até porque
poderíamos garantir que esta pessoa tem menos de 45 anos.
Resposta: C.
14. FCC – SEFAZ/SP – 2006)Se p e q são proposições, então a
proposição p  (~ q ) é equivalente a:
P
A
L
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P
A
L
A
RESOLUÇÃO:
Observe que p  (~ q ) é justamente a negação da condicional pq.
Isto é, podemos dizer que p  (~ q ) é equivalente a ~(pq). Assim, já
podemos marcar a alternativa D.
Que tal praticarmos a resolução mais tradicional? Basta escrever a
tabela-verdade das proposições. Teremos apenas 22 = 4 linhas, pois só
temos 2 proposições simples:
P Q ~p ~q
p  (~ q)
~ ( q ~ p )
~ ( p  q)
~ ( p ~ q)
~ ( p  q)
~ q ~ p
V V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
Repare que apenas a coluna de
~ ( p  q) é
igual à de p  (~ q) .
Resposta: D
15. FCC – SEFAZ/SP – 2006)Na tabela-verdade abaixo, p e q são
proposições.
A
proposição
composta
que
substitui
corretamente
o
interrogação é:
P
A
L
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ponto
de
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P
A
L
A
RESOLUÇÃO:
Observe que a proposição composta que buscamos só é verdadeira
quando p é V e q é F. Lembrando que pq só é falsa neste mesmo caso,
fica claro que a proposição que buscamos é a negação de pq, ou seja:
~(pq)
Temos isto na alternativa E.
Resposta: E
16. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Das proposições abaixo, a única que é
logicamente equivalente a pq é:
RESOLUÇÃO:
Questão “manjada”, na qual você não pode perder tempo, mas
também não pode errar. Sabemos que pq é equivalente a “~p ou q” e
também a ~q~p. Temos esta última na alternativa C.
Resposta: C
17. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere as afirmações abaixo.
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10  10)  (8  3  6) ” é falsa.
P
A
L
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P
A
L
A
III. Se p e q são proposições, então a proposição “  p  q   (~ q ) ” é uma
tautologia.
É verdade o que se afirma APENAS em:
a) I e II
b) I e III
c) I
d) II
e) III
RESOLUÇÃO:
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
O número de linhas de uma tabela verdade é 2n, onde n é o número
de proposições simples. Isto é, 2x2x2...x2, n vezes. Este número
certamente é divisível por 2, isto é, é par. Item VERDADEIRO.
II. A proposição “ (10  10)  (8  3  6) ” é falsa.
Temos uma bicondicional onde a primeira parte é falsa (pois 10 é
maior que a raíz quadrada de 10), e a segunda parte também é falsa
(pois 8 – 3 = 5). Na tabela-verdade da bicondicional, veja que esta
proposição composta é verdadeira quando temos F  F. Item FALSO.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “  p  q   (~ q ) ” é uma
tautologia.
Para avaliar se temos uma tautologia, vamos construir a tabela
verdade desta proposição. Repare que temos 2 proposições simples (p e
q), de modo que a tabela-verdade da proposição composta terá 2 2 = 4
linhas. A tabela, construída da esquerda para a direita, fica assim:
P
A
L
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P
Valor
Valor lógico
Valor
lógico de
de q
lógico de
p
Valor lógico
de
A
L
Valor lógico
 p  q
de
 p  q   (~ q)
~q
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
De fato a proposição
 p  q   (~ q)
A
possui valor lógico V para
qualquer valor das proposições simples p e q. Isto é, temos uma
tautologia. Item VERDADEIRO.
Resposta: B
18. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a
correta.
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente
equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
c) As proposições ~ ( p  q ) e (~ p  ~ q ) não são logicamente equivalentes
d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o
tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente
se, o tempo não está bom”.
e) A proposição ~ [ p  ~ ( p  q )] é logicamente falsa.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada alternativa:
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente
equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
Sendo p = “está quente” e q = “usa camiseta”, temos:
pq
~p e q
P
A
L
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P
A
L
A
Sabemos que pq é equivalente a “~p ou q”, mas não a “~p e q”.
Veja que se tivermos p e q Verdadeiras, teríamos pq com valor lógico V
e “~p e q” com valor lógico F. Item FALSO.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
Aqui devemos apelar aos nossos conhecimentos para afirmar que
“Terra é quadrada” e “Lua é triangular” são duas informações incorretas,
isto é, Falsas. Mas, em uma condicional, FF tem valor lógico verdadeiro,
ao contrário do que afirma este item. Item FALSO.
c) As proposições ~ ( p  q ) e (~ p  ~ q ) não são logicamente equivalentes
Sabemos que a negação da conjunção p  q , isto é, ~ ( p  q ) , é
justamente a disjunção (~ p  ~ q) . Portanto, é correto falar que ~ ( p  q ) é
equivalente a (~ p  ~ q) , ao contrário do que o item afirma. Item FALSO.
d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o
tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente
se, o tempo não está bom”.
Sabemos que a negação de uma bicondicional (“se e somente se”) é
feita com um “ou exclusivo” (“ou..., ou...”). Item FALSO.
e) A proposição ~ [ p  ~ ( p  q )] é logicamente falsa.
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
p
q
pq
~ ( p  q)
p ~ ( p  q)
~ [ p  ~ ( p  q )]
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
De fato temos uma contradição, isto é, uma proposição que
somente possui valor lógico F. Item VERDADEIRO.
P
A
L
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P
A
L
A
Resposta: E
19.
FCC
–
SEFAZ/SP
–
2006)
Seja
a
sentença
~ {[( p  q )  r ]  [q  (~ p  r )]} .
Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:
a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F.
b) faltou informar o valor lógico de q e de r
c) essa sentença é uma tautologia
d) o valor lógico dessa sentença é sempre F
e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.
RESOLUÇÃO:
Observe que, se p for F, podemos afirmar que a condicional pq é
V. Com isto, a disjunção ( p  q )  r certamente é V. Por outro lado, ~p
será V. Com isso, a disjunção ~ p  r certamente é V, de modo que a
condicional q  (~ p  r ) também é V.
Pelo que vimos acima, a bicondicional [( p  q )  r ]  [ q  (~ p  r )] é V
pois ela tem os valores lógicos V  V . E a negação desta bicondicional,
isto é,
~ {[( p  q )  r ]  [q  (~ p  r )]} , é Falsa.
Isto nos permite afirmar que, quando p é F, a sentença é F. Temos
isto na letra A.
Resposta: A
20. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Dada a sentença
complete o espaço

  ~ (~ p  q  r ) ,
com uma e uma só das sentenças simples p, q, r
ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma
tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição.
a) Somente uma das três: ~p, q ou r
b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r
c) Somente q
P
A
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P
A
L
A
d) Somente p
e) Somente uma das duas: q ou r
RESOLUÇÃO:
Como se trata de uma condicional, devemos focar a análise no caso
onde o resultado ~ (~ p  q  r ) é F, pois se ocorrer de a condição

ser V,
a condicional será falsa, deixando de ser uma tautologia.
Para ~ (~ p  q  r ) ser F, (~ p  q  r ) precisa ser V. E para a conjunção
(~ p  q  r ) ser V, é preciso que tanto ~p, q e r sejam V.
Neste caso, p, ~q e ~r seriam todas F. Se qualquer uma dessas três
estivesse no lugar de
 ,
teríamos uma tautologia, pois FF tem valor
lógico Verdadeiro:
p  ~ (~ p  q  r )
~ q ~ (~ p  q  r )
~ r  ~ (~ p  q  r )
Resposta: B
21. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm
uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não
tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo
V. Escreva uma poesia
A frase que não possui essa característica comum é a:
a) IV
b) V
c) I
d) II
e) III
RESOLUÇÃO:
P
A
L
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P
A
L
A
Note que a frase IV é uma proposição, pois pode assumir os valores
lógicos V ou F. Entretanto, é impossível atribuir esses valores lógicos às
demais frases, pois temos pergunta (III), ordem ou pedido (V), e
expressão de opiniões (I e II). Ou seja, todas elas não são proposições.
Portanto, a única frase diferente é a da letra IV, por ser uma
proposição, ao contrário das demais.
Resposta: A
22. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere como conjunto universo o
conjunto dos números inteiros positivos menores ou iguais a vinte e
quatro.
Neste universo, assinale o conjunto verdade da sentença aberta:
x2 < 30 ou x - 1 é divisor de 30
a) V = {1, 2, 4, 5, 6, 11, 16}
b) V = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 16}
c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
d) V = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15, 30}
e) V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
RESOLUÇÃO:
Temos uma disjunção formada por duas sentenças abertas simples:
x2 < 30  para isto, é preciso que x seja 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, afinal 6 2 =
36, que é maior do que 30.
x - 1 é divisor de 30  os divisores de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.
Portanto, os valores que x pode assumir são 2, 3, 4, 6, 7, 11, 16 e 31, de
modo que x – 1 seja divisor de 30.
Unindo os conjuntos-verdade de cada sentença simples, temos:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16 e 31}
P
A
L
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P
A
L
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Como o enunciado disse para considerar apenas os números inteiros
positivos menores ou iguais a vinte e quatro, devemos cortar o 0 e o 31,
ficando com:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
Resposta: C
23. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere as proposições a e b e
assinale a expressão que é logicamente equivalente a (a^b)v(a^¬b)
a) ¬a^¬b
b) ¬av¬b
c) ¬avb
d) av¬b
e) a
RESOLUÇÃO:
Caso “a” seja V, b pode ser V ou F e ainda assim (a^b) será V ou
então (a^¬b) será V, e com isso a disjunção será V. Quando “a” é F,
então tanto (a^b) como (a^¬b) serão F, e com isso a disjunção será F.
Portanto,
repare
que
a
tabela-verdade
desta
proposição
é
simplesmente a tabela-verdade de “a”, o que temos na alternativa E.
Resposta: E
24. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere as proposições x e y e
assinale a expressão que corresponde a uma tautologia.
a) x^¬x
b) [¬(xy)]^y
c)
d)
e)
RESOLUÇÃO:
Vejamos cada alternativa, em busca de uma tautologia:
P
A
L
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P
A
L
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a) x^¬x
Repare que temos uma contradição (x e não-x).
b) [¬(xy)]^y
Podemos reescrever a negação ¬(xy) com a expressão (x^¬y).
Assim, a expressão desta alternativa é:
(x^¬y)^y
x^¬y^y
Como ¬y^y é uma contradição, então não temos uma tautologia.
c)
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
x
y
xy
x^(xy)
[x^(xy)]y
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
Temos uma tautologia.
d)
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
x
y
xy
y^(xy)
[y^(xy)]x
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
Temos uma contingência.
P
A
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P
A
L
e)
Vejamos a tabela-verdade desta proposição:
x
y
x^y
¬y
(x^y)¬y
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
Temos uma contingência.
Resposta: C
25. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Em relação à afirmação
Se x = 16 e y ≥ 7 então x∙y ≥ 112
pode-se concluir que:
a. ( ) Se x∙y < 112 então x ≠ 16 ou y < 7.
b. ( ) Se x∙y = 112 então x ≠ 16 e y < 7.
c. ( ) Se x∙y ≥ 112 então x = 16 e y ≥ 7.
d. ( ) x∙y ≥ 112 e x ≠ 16 e y < 7.
e. ( ) Nada se pode concluir.
RESOLUÇÃO:
Temos uma condicional do tipo (p e q)  r no enunciado, onde:
p: x = 16
q: y ≥ 7
r: x∙y ≥ 112
Sabemos que uma proposição equivalente a esta é a condicional:
~r  ~(p e q)
P
A
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A
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Por sua vez, a expressão ~(p e q) pode ser reescrita como (~p ou
~q). Assim, ficamos com a condicional:
~r  (~p ou ~q)
Repare que:
~p: x ≠ 16
~q: y < 7
~r: x∙y < 112
Escrevendo a condicional ~r  (~p ou ~q), temos:
Se x∙y < 112, então x ≠ 16 ou y < 7
Resposta: A
26. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Analise a afirmação abaixo.
"Nenhum número natural é primo e é par".
Assinale a alternativa que indica a negação dessa afirmação.
a) Existe um número natural primo que é par.
b) Todo número natural não é primo e não é par.
c) Existe um número natural que é primo ou é par.
d) Nenhum número natural é par ou não é primo.
e) Existe um número natural ímpar que não é primo ou não é par.
RESOLUÇÃO:
Para desmentir quem afirma que "Nenhum número natural é primo
e é par", basta encontrar um número natural primo e par. Ou seja, a
negação desta proposição é algo como:
Algum / Pelo menos um número natural primo é par
Existe número natural primo é par
Resposta: A
P
A
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A
27. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Considere a afirmação:
“Se você trabalha, então alcança.”
A negação dessa afirmação é:
a) Você trabalha e não alcança
b) Você não alcança ou não trabalha
c) Se você não trabalha, então não alcança
d) Se você não trabalha, então alcança
e) Se você não alcança, então não trabalha
RESOLUÇÃO:
A melhor forma de buscar a negação de uma afirmação é pensando
em como fazer para desmentir o autor daquela frase.
Se um amigo nos afirma “Se você trabalha, então alcança”, como
faríamos se quiséssemos desmenti-lo? Ora, bastaria mostrar que você
trabalhou (isto é, cumpriu a condição dada), mas mesmo assim não
alcançou (isto é, o resultado da condicional não se concretizou). Portanto,
a negação seria: “Você trabalha e não alcança”.
Você poderia se lembrar que a negação de uma condicional pq é p
e ~q.
Resposta: A
28. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2012) Considere a afirmação:
“Toda cobra preta e amarela é venenosa”.
A negação dessa afirmação é:
A) Uma cobra é preta e amarela e não é venenosa.
B) Toda cobra preta ou amarela não é venenosa.
C) Uma cobra é preta ou amarela e é venenosa.
D) Toda cobra venenosa não é preta nem amarela.
E) Uma cobra não é venenosa ou é preta e amarela.
P
A
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A
RESOLUÇÃO:
Observe que a proposição do enunciado nada mais é que a seguinte
condicional: “Se uma cobra é preta e amarela, então ela é venenosa”.
Sabemos que para negar uma condicional pq, basta escrevermos
“p e ~q”. Ou seja: Uma cobra é preta e amarela e não é venenosa.
Resposta: A
29. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2010) Em uma pequena cidade, só há
ônibus verdes e amarelos. Considere a afirmação:
Qualquer ônibus verde não passa pela prefeitura
Pode-se concluir que:
a) Todo ônibus amarelo passa pela Prefeitura
b) Todo ônibus que passa pela Prefeitura é amarelo
c) Um ônibus que não passa pela Prefeitura é certamente verde
d) Alguns ônibus que passam pela Prefeitura são verdes
e) Alguns ônibus verdes passam pela Prefeitura
RESOLUÇÃO:
A frase do enunciado também pode ser lida assim: “Todo ônibus
verde não passa pela prefeitura”. Como só existem 2 tipos de ônibus
(verde e amarelo), fica claro que os ônibus que passam pela Prefeitura só
podem ser amarelos.
Repare que não podemos afirmar a alternativa C, pois é possível
que alguns ônibus amarelos também não passem pela Prefeitura.
Resposta: B
30. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Uma proposição equivalente a “Se o
peru gruguleja, então opombo arrulha” é
(A) Se o peru grugulejou foi porque o pombo arrulhou.
P
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A
L
A
(B) Se o pombo não arrulha, então o peru não gruguleja.
(C) O pombo não gruguleja porque o peru não arrulha.
(D) O peru gruguleja porque o pombo arrulha.
(E) Se o peru não gruguleja, então o pombo não arrulha.
RESOLUÇÃO:
A proposição do enunciado é p  q, onde p = “peru gruguleja” e q
= “pombo arrulha”. Trata-se de uma proposição “manjada”, e sabemos
que uma equivalente é ~q  ~p, ou seja, “Se o pombo não arrulha,
então o peru não gruguleja”. Letra B.
Resposta: B
31. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere a proposição “Paula estuda,
mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) condicional
b) bicondicional
c) disjunção inclusiva
d) conjunção
e) disjunção exclusiva
RESOLUÇÃO:
Vimos logo acima que o “mas” pode ser utilizado para representar o
conectivo conjunção (“e”). Do ponto de vista lógico, a frase “Paula estuda
e não passa no concurso” tem o mesmo valor da frase do enunciado. Isto
porque o autor da frase quer dizer, basicamente, que duas coisas são
verdadeiras:
- Paula estuda
- Paula não passa no concurso
Portanto, temos uma conjunção (letra D).
Ao estudar Português, você verá que o “mas” tem função
adversativa. Isto é, o autor da frase não quer dizer apenas que as duas
coisas são verdadeiras. Ele usa o “mas” para ressaltar o fato de que essas
coisas são, em tese, opostas entre si (espera-se que quem estuda seja
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aprovado). Por mais importante que seja este detalhe semântico naquela
disciplina, aqui na Lógica Proposicional devemos tratar estas proposições
como sendo equivalentes.
Resposta: D
32. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009) A afirmação: “João não chegou
ou Maria está atrasada” equivale logicamente a:
a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.
RESOLUÇÃO:
A frase do enunciado pode ser escrita como “~p ou q”, onde:
p = João chegou
q = Maria está atrasada
Novamente estamos diante de uma proposição “manjada”, pois
sabemos que ~p ou q é equivalente a pq e também a ~q~p. Essas
duas últimas frases são, respectivamente:
- Se João chegou, então Maria está atrasada.
- Se Maria não está atrasada, então João não chegou.
Veja que a primeira das duas frases acima é similar à alternativa D,
sendo este o gabarito.
Resposta: D
33. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
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d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
RESOLUÇÃO:
Vejamos cada alternativa:
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
Temos uma conjunção (p e q) onde p é F e q é F. Proposição FALSA.
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
Temos uma condicional (pq) onde p é V e q é F. Proposição
FALSA.
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
Temos uma condicional (pq) onde p é F e q é F. Proposição
VERDADEIRA.
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
Temos uma disjunção (p ou q) onde p e q são F. Proposição FALSA.
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
Temos uma bicondicional (p se e somente se q) onde p é V e q é F.
Proposição FALSA.
Resposta: C
34. ESAF – FISCAL DO TRABALHO – 2010) Um poliedro convexo é
regular se e somente se for: um
tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um
icosaedro. Logo:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um
octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é
regular.
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d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
RESOLUÇÃO:
Vamos avaliar cada alternativa:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
FALSO. Podemos ter um poliedro convexo regular que não seja um
cubo (tetraedo, octaedro etc.).
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
FALSO. Se um poliedro convexo não for um cubo (ex.: tetraedro,
octaedro etc.) ele pode ainda assim ser regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um
octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é
regular.
FALSO. O enunciado diz que as únicas possibilidades de um poliedro
convexo ser regular são estas acima (cubo, tetraedro, etc.). Mas a frase
deste item não se restringiu aos poliedros convexos. Pode ser que outros
poliedros (côncavos) sejam regulares.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
FALSO. Novamente, a frase do enunciado tratava dos poliedros
convexos, de modo que nada podemos afirmar sobre os demais tipos de
poliedros.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
VERDADEIRO. Para que um poliedro seja um cubo, é necessário que
ele seja convexo e regular (estas são características do cubo, tetraedro,
octaedro etc.). Ora, se um poliedro nem é regular, podemos eliminar a
possibilidade de ele ser um cubo.
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Resposta: E
35. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) A negação de: Milão é a capital da Itália
ou Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
b) Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
RESOLUÇÃO:
Para desmentir o autor dessa frase, precisamos mostrar que
nenhuma das informações é verdadeira: Milão não é a capital da Itália E
Paris não é a capital da Inglaterra. Esta é a negação.
Resposta: A.
36. ESAF – ISS/RJ – 2010) Considere x um número real. A negação da
proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é:
a) –1 < x ≤ 2/3.
b) –1 ≤ x < 2/3.
c) x ≤ –1 e x > 5/3.
d) x ≤ –1 ou x > 5/3.
e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3
RESOLUÇÃO:
A negação de uma disjunção “p ou q” é a conjunção “~p e ~q”.
Temos:
p = 2/3 ≤ x ≤ 5/3
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q = –1< x < 1
Assim,
~p = x < 2/3 ou x > 5/3
~q = x  -1 ou x  1
A princípio você poderia querer escrever ~p e ~q assim:
(x < 2/3 ou x > 5/3) e (x  -1 ou x  1)
Veja que não temos essa opção de resposta, o que nos leva a
interpretar melhor a frase acima para tentar reescrevê-la de outra forma.
Note que, para esta frase acima ser verdadeira, é preciso que:
- x seja menor que 2/3 e também menor ou igual a -1: neste caso, basta
que x seja menor ou igual a -1, e essas duas condições serão atendidas;
- x seja maior que 5/3 e também maior ou igual a 1: basta que x seja
maior que 5/3 e ambas essas condições serão atendidas.
Portanto, há duas formas de atender a proposição do enunciado,
isto é, ter x menor ou igual a -1 ou então ter x maior que 5/3, o que nos
permite escrever:
x  -1 ou x > 5/3
Veja que para resolver corretamente essa questão foi preciso fugir
do “decoreba” e trabalhar a interpretação!
RESPOSTA: D
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37. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A negação da proposição “se
Paulo estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente à
proposição:
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
b) Paulo estuda e Marta não é atleta.
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
RESOLUÇÃO:
A proposição do enunciado é a condicional pq onde:
p = Paulo estuda
q = Marta é atleta
Para negar pq basta escrever a conjunção “p e ~q”, sendo que:
~q = Marta não é atleta
Assim, a negação é:
“Paulo estuda e Marta não é atleta”
RESPOSTA: B
38. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A afirmação “A menina tem
olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente
equivalente:
a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.
b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.
d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é
loiro.
e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos
azuis.
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RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado a disjunção:
A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro
Veja que algumas alternativas de resposta são condicionais.
Sabemos que há uma equivalência “manjada” entre condicionais e
disjunções, pois pq é equivalente a “~p ou q”. Assumindo que a frase
do enunciado é essa disjunção, temos que:
~p = A menina tem olhos azuis
q = o menino é loiro
Portanto,
p = A menina NÃO tem olhos azuis
Escrevendo a condicional pq, temos:
“Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro”
RESPOSTA: C
39. ESAF – ISS/RJ – 2010) A proposição “um número inteiro é par se e
somente se o seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é
ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o
quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
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RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado a bicondicional p  q , onde p = “um número
inteiro é par” e q = “o quadrado de um número inteiro é par”.
Sabemos que a bicondicional p  q é formada pela junção de duas
condicionais. Ou seja, ela equivale ( p  q)  (q  p) . Escrevendo esta frase,
temos:
se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o
quadrado de um número inteiro for par, então o número é par”
Não temos essa opção de resposta, mas temos algo parecido nas
alternativas A e D. Para chegar em uma delas, podemos lembrar que qp
é equivalente a ~p~q, e assim substituir nossa frase por:
( p  q )  (~ p ~ q )
Escrevendo esta última, temos:
se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par
Podemos marcar a alternativa A.
Resposta: A
40. ESAF – ISS/RJ – 2010) Qual das proposições abaixo tem a mesma
tabela verdade que a proposição: “Se |a| < 3, então b ≤ 4 ”, onde a e b
são números reais?
a) b ≤ 4 e |a| < 3
b) b > 4 ou |a| < 3
c) b > 4 e |a| < 3
d) b ≤ 4 ou |a| < 3
e) b ≤ 4 ou |a| ≥ 3
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RESOLUÇÃO:
Temos uma condicional pq no enunciado, onde:
p = |a| < 3
q=b≤4
Sabemos que as proposições ~q~p e “~p ou q” são equivalentes
àquela do enunciado. Note que:
~p = |a| ≥ 3
~q = b > 4
Assim,
~q~p: se b > 4, então |a| ≥ 3
e
~p ou q: |a| ≥ 3 ou b ≤ 4
Temos esta última opção na alternativa E.
RESPOSTA: E
41. ESAF – ISS/RJ – 2010) Sendo x um número real, a proposição: x2
≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 equivale logicamente à:
a) se x = 1, então x2 = 1.
b) se x > 1, então x2 > 1.
c) se -1 < x < 1, então x2 < 1.
d) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1.
e) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1.
RESOLUÇÃO:
Temos a bicondicional:
x2 ≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1
Sabemos que uma bicondicional do tipo A  B pode ser reescrita
com duas condicionais ligadas por uma conjunção:
(AB) e (BA)
Neste caso temos A = x2 ≥ 1 , e B = x ≥ 1 ou x ≤ -1. Assim,
podemos escrever a proposição:
P
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Se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x 2 ≥ 1
Veja que não temos essa alternativa de resposta. Agora lembre que
AB pode ser reescrito como ~B~A. Temos:
~A = x2 < 1
~B = -1 < x < 1
Portanto, podemos substituir a parte AB por ~B~A na frase que
construímos acima, ficando com:
Se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1
RESPOSTA: D
42. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2012) A proposição p
(p
q) é logicamente equivalente à proposição:
a) p
q
b) ~ p
c) p
d) ~ q
e) p
q
RESOLUÇÃO:
Para a conjunção p
(p
q) ser verdadeira, é preciso que ambos
os lados sejam V. Isto é, é preciso que p seja V, e também que pq seja
V. Para esta condicional ser verdadeira, como p é V é preciso que q
também seja V. Assim, a proposição p
(p
q) só é verdadeira quando
p e q são V, sendo falsa nos demais casos.
Veja que isso também ocorre com a conjunção p
q da alternativa
E, que só é verdadeira quando p e q são ambas V. Assim, temos uma
proposição com mesma tabela-verdade que a do enunciado, ou seja,
equivalente.
RESPOSTA: E
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43. ESAF – PECFAZ – 2013) Conforme a teoria da lógica proposicional,
a proposição ~ P
P é:
a) uma tautologia.
b) equivalente à proposição ~ P V P .
c) uma contradição.
d) uma contingência.
e) uma disjunção
RESOLUÇÃO:
Veja que a conjunção “~P e P” é uma contradição, pois esta
proposição é falsa tanto quando P é V como quando P é F.
RESPOSTA: C
44. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere
verdadeiras as afirmações a seguir.
I. Elias não é policial.
II. Se Alves é juiz, então Bruno é promotor.
III. Se Bruno não é promotor, então Carlos não é oficial de justiça.
IV. Se Carlos não é oficial de justiça, então Durval não é advogado de
defesa.
V. Durval é advogado de defesa ou Elias é policial.
A partir dessas afirmações, é correto concluir que
(A) Durval não é advogado de defesa.
(B) Carlos não é oficial de justiça.
(C) Alves não é juiz.
(D) Bruno é promotor.
(E) Alves é juiz.
RESOLUÇÃO:
Começando pela proposição I, que é uma proposição simples, temos
que Elias NÃO é policial. Para a proposição V ser verdadeira, é preciso que
Durval seja advogado de defesa. Com isso, na proposição IV vemos que
Carlos é oficial de justiça. Na proposição III vemos que Bruno é promotor.
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Na proposição II, como Bruno é promotor, Alves pode ser ou não ser juiz
e a proposição ainda assim será verdadeira.
Com isso, podemos concluir que:
elias não é policial
durval é advogado
carlos é oficial de justiça
bruno é promotor
RESPOSTA: D
45. ESAF – ANAC – 2016) Sabendo que os valores lógicos das
proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade,
assinale o item que apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a
verdade.
a) ~p V q
b) p V q
q
q
c) p
q
d) p
q
e) q ^ (p V q)
RESOLUÇÃO:
Sabendo que p é V e q é F, podemos analisar cada alternativa de
resposta:
a) ~p V q
q
Veja que ~p é F (pois p é V, e ~p deve ter valor lógico oposto).
Assim, o trecho “~p v q” é uma conjunção do tipo “F v F”, que é falsa.
Deste modo, sabendo que o trecho “q” é F também, ficamos com Falso 
Falso, que é uma condicional verdadeira. Isto é, a proposição desta
alternativa é V. Este é o nosso gabarito.
b) p v q
q
Veja que o trecho “p v q” é representado como “V v F”, que é uma
disjunção Verdadeira. Como q é F, ficamos com VF, que é uma
condicional FALSA.
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c) p
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q
Aqui ficamos com V  F, que é uma condicional falsa.
d) p
q
Temos aqui uma bicondicional que fica com os valores lógicos VF,
que é uma proposição falsa.
e) q ^ (p v q)
Nesta alternativa o trecho “p v q” é representado como “V v F”, que
é uma disjunção Verdadeira. Assim, a conjunção q^(pvq) fica F^V, que é
falsa.
Resposta: A
46. FGV – MRE – 2016) João olhou as dez bolas que havia em um saco
e afirmou: “Todas as bolas desse saco são pretas”. Sabe-se que a
afirmativa de João é falsa. É correto concluir que:
(A) nenhuma bola desse saco é preta;
(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas;
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta;
(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta;
(E) nenhuma bola desse saco é branca.
RESOLUÇÃO:
Para ser mentira que todas as bolas são pretas, o que é o mínimo
que precisamos mostrar? É preciso mostrar que nenhuma bola é preta?
Não. Basta encontrar alguma bola que NÃO seja preta. Assim, podemos
concluir que:
“alguma bola não é preta”
ou
“existe bola que não é preta”
ou
“pelo menos uma bola não é preta”
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Temos esta última opção na alternativa D.
Resposta: D
47. ESAF – ANAC – 2016) A proposição “se o voo está atrasado, então
o aeroporto está fechado para decolagens” é logicamente equivalente à
proposição:
a) o voo está atrasado e o aeroporto está fechado para decolagens.
b) o voo não está atrasado e o aeroporto não está fechado para
decolagens.
c) o voo está atrasado, se e somente se, o aeroporto está fechado para
decolagens.
d) se o voo não está atrasado, então o aeroporto não está fechado para
decolagens.
e) o voo não está atrasado ou o aeroporto está fechado para decolagens.
RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado a condicional pq onde:
p = o voo está atrasado
q = o aeroporto está fechado para decolagens
Veja que podemos escrever as negações:
~p = o voo não está atrasado
~q = o aeroporto não está fechado para decolagens
Sabemos que pq é equivalente tanto a ~q~p como a ~pvq.
Vamos escrever as duas:
~q~p:
“Se o aeroporto não está fechado para decolagens, então o voo não está
atrasado”
~pvq:
“O voo não está atrasado ou o aeroporto está fechado para decolagens”
Temos esta última na alternativa E, que é o gabarito.
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Resposta: E
48. FCC – TRF/3ª – 2016) Considere, abaixo, as afirmações e o valor
lógico atribuído a cada uma delas entre parênteses.
− Ou Júlio é pintor, ou Bruno não é cozinheiro (afirmação FALSA).
− Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor (afirmação FALSA).
− Bruno é cozinheiro ou Antônio não é pedreiro (afirmação VERDADEIRA).
A partir dessas afirmações,
(A) Júlio não é pintor e Bruno não é cozinheiro.
(B) Antônio é pedreiro ou Bruno é cozinheiro.
(C) Carlos é marceneiro e Antônio não é pedreiro.
(D) Júlio é pintor e Carlos não é marceneiro.
(E) Antônio é pedreiro ou Júlio não é pintor.
RESOLUÇÃO:
Note que para a condicional ser falsa é preciso termos VF. Assim,
analisando a proposição “Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é
pintor” (que é falsa), vemos que:
“Carlos é marceneiro” é V
“Júlio não é pintor” é F, de modo que Júlio é pintor.
Para a disjunção exclusiva da primeira proposição ser Falsa,
precisamos ter V-V ou F-F. Como “Júlio é pintor” é V, precisamos que
também seja verdade que Bruno não é cozinheiro.
Deste modo, “Bruno é cozinheiro” é F, de modo que para a terceira
proposição (que é uma disjunção simples) ser V precisamos que “Antônio
não é pedreiro” seja V.
Com
base
nas
informações
sublinhadas,
podemos marcar
alternativa C.
Resposta: C
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49. FGV – MRE – 2016) Considere a sentença: “Corro e não fico
cansado”. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença
dada é:
(A) Se corro então fico cansado.
(B) Se não corro então não fico cansado.
(C) Não corro e fico cansado.
(D) Corro e fico cansado.
(E) Não corro ou não fico cansado.
RESOLUÇÃO:
No enunciado temos uma conjunção “p e ~q” onde p = corro e ~q
= não fico cansado. Sabemos que “p e ~q” é a negação da condicional
pq. Portanto, uma forma de escrever a negação de “p e ~q” é
justamente escrever a condicional pq, onde:
q = fico cansado
Assim, pq seria:
Se corro, então fico cansado
Resposta: A
50. FGV – TJ/PI – 2015) Considere a afirmação:
“Mato a cobra e mostro o pau”
A negação lógica dessa afirmação é:
(A) não mato a cobra ou não mostro o pau;
(B) não mato a cobra e não mostro o pau;
(C) não mato a cobra e mostro o pau;
(D) mato a cobra e não mostro o pau;
(E) mato a cobra ou não mostro o pau.
RESOLUÇÃO:
Temos uma conjunção “p e q” no enunciado, onde p = mato a
cobra, e q = mostro o pau. A sua negação é dada pela disjunção ~p ou
~q, onde:
~p = não mato a cobra
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~q = não mostro o pau
Assim, ~p ou ~q é:
“Não mato a cobra ou não mostro o pau”
Resposta: A
51. FGV – TJ/PI – 2015) Considere a sentença: “Se gosto de capivara,
então gosto de javali”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença
dada é:
(A) Se não gosto de capivara, então não gosto de javali.
(B) Gosto de capivara e gosto de javali.
(C) Não gosto de capivara ou gosto de javali.
(D) Gosto de capivara ou não gosto de javali.
(E) Gosto de capivara e não gosto de javali.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional pq onde p = “gosto de capivara” e q = “gosto
de javali”. Isto equivale a ~q~p e a ~pvq, como estudamos, onde:
~p = não gosto de capivara
~q = não gosto de javali
Assim, as proposições equivalentes “manjadas” são:
~q~p : “Se não gosto de javali, então não gosto de capivara”
~pvq : “Não gosto de capivara ou gosto de javali”
Temos esta última na alternativa C.
Resposta: C
52. FGV – TJ/PI – 2015) Barbosa afirmou: “Todo cidadão brasileiro tem
direito à educação e à saúde”. A negação lógica dessa sentença é:
(A) Nenhum cidadão brasileiro tem direito à educação e à saúde.
(B) Nenhum cidadão brasileiro tem direito à educação ou à saúde.
(C) Todo cidadão brasileiro não tem direito à educação e à saúde.
P
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(D) Algum cidadão brasileiro não tem direito à educação ou à saúde.
(E) Algum cidadão brasileiro não tem direito à educação nem à saúde.
RESOLUÇÃO:
Se alguém nos diz que todo brasileiro tem direito à educação e
saúde, qual é o mínimo que precisamos demonstrar para provar que esta
frase é mentirosa? Basta encontrar algum brasileiro que não tenha direito
à educação ou não tenha direito à saúde, certo? Portanto, podemos negar
a frase dizendo:
“Algum/pelo menos um brasileiro NÃO tem direito à educação ou à saúde”
Resposta: D
53. FGV – TJSC – 2015) Considere a sentença: “Se cometi um crime,
então serei condenado”. Uma sentença logicamente equivalente à
sentença dada é:
(A) Não cometi um crime ou serei condenado.
(B) Se não cometi um crime, então não serei condenado.
(C) Se eu for condenado, então cometi um crime.
(D) Cometi um crime e serei condenado.
(E) Não cometi um crime e não serei condenado.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional pq no enunciado, onde:
p = cometi um crime
q = serei condenado
Ela é equivalente a “~q~p” e também a “~p ou q”. Para isso, note
que:
~p = NÃO cometi um crime
~q = NÃO serei condenado
Assim, temos as equivalências “~q~p” e “~p ou q” abaixo:
“Se NÃO for condenado, então NÃO cometi um crime”
e
P
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“NÃO cometi um crime OU serei condenado”
Temos esta última na alternativa A.
Resposta: A
54. FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere a afirmação: Se os
impostos sobem, então o consumo cai e a inadimplência aumenta. Uma
afirmação que corresponde à negação lógica dessa afirmação é
(A) Se os impostos não sobem, então o consumo aumenta e a
inadimplência cai.
(B) Os impostos não sobem e o consumo não cai e a inadimplência não
aumenta.
(C) Se os impostos não sobem, então o consumo não cai e a
inadimplência não aumenta.
(D) Se o consumo não cai ou a inadimplência não aumenta, então os
impostos não sobem.
(E) Os impostos sobem e o consumo não cai ou a inadimplência não
aumenta.
RESOLUÇÃO:
A afirmação do enunciado é a proposição condicional p-->(q e r),
onde:
p = os impostos sobem
q = o consumo cai
r = a inadimplência aumenta
Uma forma de negar essa proposição é escrevendo "p e ~(q e r)".
Repare que ~(q e r) é o mesmo que (~q ou ~r). Portanto, uma forma
de escrever a negação lógica da proposição do enunciado é "p e (~q ou
~r)", onde:
~q = o consumo não cai
~r = inadimplência não aumenta
P
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Portanto, "p e (~q ou ~r)" é simplesmente:
Os impostos sobem
e o consumo não cai ou a inadimplência não
aumenta.
RESPOSTA: E
55. FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as afirmações sobre
Alberto, Bruno, César e Dario sendo que cada um toca apenas um
instrumento.
I. Alberto é pianista ou Bruno é saxofonista.
II. Bruno é saxofonista ou César é violinista.
III. Se César é violinista, então Dario é clarinetista.
Dentre essas afirmações, sabe-se que são verdadeiras I e III e que a II é
falsa. Deste modo,
(A) Dario é clarinetista e Bruno é saxofonista.
(B) Se Dario é clarinetista, então Alberto não é pianista.
(C) César é violinista ou Alberto é pianista.
(D) Bruno não é saxofonista e Dario não é clarinetista.
(E) Se César não é violinista, então Bruno é saxofonista.
RESOLUÇÃO:
Como a segunda afirmação é falsa,
podemos dizer que
a sua
negação é verdadeira. Ou seja:
Bruno não é saxofonista e César não é violinista.
Sabendo que Bruno não é saxofonista,
para que a primeira frase
seja verdadeira é necessário que Alberto seja pianista.
Sabendo que
César não é violinista, a terceira frase já é uma condicional verdadeira
(pois o antecedente é F),
de modo que Dário pode ser ou não ser
clarinetista. Analisando as alternativas de resposta:
(A) Dario é clarinetista e Bruno é saxofonista.
Falso, pois Dário pode ser ou não ser clarinetista, e Bruno não é
saxofonista.
P
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(B) Se Dario é clarinetista, então Alberto não é pianista.
Falso, pois Alberto é pianista, mesmo que Dário seja efetivamente
um clarinetista.
(C) César é violinista ou Alberto é pianista.
Essa disjunção é verdadeira, pois sabemos que Alberto é pianista.
Este é o nosso gabarito.
(D) Bruno não é saxofonista e Dario não é clarinetista.
Não temos certeza se Dário é ou não é clarinetista, de modo que
essa conjunção pode ser falsa.
(E) Se César não é violinista, então Bruno é saxofonista.
Observando os valores lógicos das proposições que encontramos,
esta condicional pode ser representada por V-->F,
o que é uma
condicional falsa.
RESPOSTA: C
56. FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) Considerando
que P e Q sejam proposições simples e que os significados dos símbolos
“P  Q = P e Q”, “P  Q = se P, então Q” e “P  Q = P se e somente se Q”,
a partir da tabela abaixo, é possível construir a tabela-verdade da
proposição P  Q.
Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna
correspondente à proposição P  Q, na ordem que aparecem, de cima pra
baixo.
a) VFVF
b) FVFV
c) VVFF
d) VFFV
P
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A
e) FFVV
RESOLUÇÃO:
Sabemos que uma bicondicional só é verdadeira quando ambas as
proposições simples são verdadeiras ou ambas as proposições simples são
falsas, o que ocorre na primeira e na última linhas. Nas demais linhas a
bicondicional é falsa. Assim ficamos com a ordem V F F V.
RESPOSTA: D
57. VUNESP – TCE/SP – 2015) Uma equivalente para a afirmação “Se
Carlos foi aprovado no concurso, então ele estudou” está contida na
alternativa:
(A) Carlos não foi aprovado no concurso e não estudou.
(B) Se Carlos não estudou, então ele não foi aprovado no concurso.
(C) Carlos foi aprovado no concurso e não estudou.
(D) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não estudou.
(E) Carlos estudou e não foi aprovado no concurso.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional p–>q, onde:
p = Carlos foi aprovado no concurso
q = ele estudou
Esta condicional é equivalente a ~q–>~p, onde:
~p = Carlos NÃO foi aprovado no concurso
~q = ele NÃO estudou
Portanto, ~q–>~p pode ser escrita assim:
“Se Carlos NÃO estudou, então ele NÃO foi aprovado no concurso”
RESPOSTA: B
58. VUNESP – TCE/SP – 2015) Uma negação para a afirmação “Carlos
foi aprovado no concurso e Tiago não foi aprovado” está contida na
alternativa:
P
A
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A
(A) Tiago foi aprovado no concurso ou Carlos não foi aprovado.
(B) Carlos não foi aprovado no concurso e Tiago foi aprovado.
(C) Tiago não foi aprovado no concurso ou Carlos foi aprovado.
(D) Carlos e Tiago foram aprovados no concurso.
(E) Carlos e Tiago não foram aprovados no concurso.
RESOLUÇÃO:
Temos no enunciado uma conjunção do tipo “P e Q”, onde:
P = Carlos foi aprovado no concurso
Q = Tiago não foi aprovado
A negação desta conjunção é expressa pela disjunção “~P ou ~Q”,
onde:
~P = Carlos NÃO foi aprovado no concurso
~Q = Tiago FOI aprovado
Assim, escrevemos a negação “~P ou ~Q” assim:
“Carlos NÃO foi aprovado no concurso OU Tiago FOI aprovado”
A ordem dos termos não faz diferença em uma disjunção. Logo,
esta frase é equivalente a
“Tiago FOI aprovado no concurso OU Carlos NÃO foi aprovado”
RESPOSTA: A
59. ESAF – PECFAZ – 2013) A negação da proposição “Brasília é a
Capital Federal e os Territórios Federais integram a União” é:
a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a
União.
b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram
a União.
c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a
União.
P
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d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a
União.
e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a
União.
RESOLUÇÃO:
Temos a conjunção “p e q” onde:
p = Brasília é a Capital Federal
q = os Territórios Federais integram a União
A negação da conjunção “p e q” é a disjunção “~p ou ~q”, onde:
~p = Brasília não é a Capital Federal
~q = os Territórios Federais não integram a União
Portanto, a disjunção “~p ou ~q” é:
Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a
União
RESPOSTA: B
60. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2014) A negação da
proposição “se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor
público” é logicamente equivalente à proposição:
a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público.
b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público.
c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público.
d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público.
e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia.
RESOLUÇÃO:
Temos a condicional pq no enunciado, onde:
p = Paulo trabalha oito horas por dia
q = ele é servidor público
A sua negação é dada por “p e ~q”, onde:
P
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~q = ele NÃO é servidor público
Assim, podemos escrever a negação:
“Paulo trabalha oito horas por dia E ele NÃO é servidor público”
RESPOSTA: B
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 02.
Abraço,
Prof. Arthur Lima
Periscope: @ARTHURRRL
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
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1. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Considere as seguintes premissas:
p: Estudar é fundamental para crescer profissionalmente.
q: O trabalho enobrece.
A afirmação “Se o trabalho não enobrece, então estudar não é
fundamental para crescer profissionalmente” é, com certeza, FALSA
quando:
a) p é falsa e q é falsa.
b) p é verdadeira e q é verdadeira.
c) p é falsa e q é verdadeira.
d) p é verdadeira e q é falsa.
e) p é falsa ou q é falsa.
2. UFG – ISS/Goiânia – 2016) Considere verdadeira a informação “se a
empresa A dobrar seu capital então a empresa B vai triplicar o seu
capital”, e falsa a informação “a empresa A vai dobrar o seu capital e a
empresa B vai triplicar seu capital”. Nessas condições, necessariamente a
empresa
(A) A vai dobrar seu capital.
(B) A não vai dobrar seu capital.
(C) B vai triplicar seu capital.
(D) B não vai triplicar seu capital.
3. FCC - SEFAZ/SP – 2006) Seja a sentença aberta A: (~ p  p)    e a
sentença aberta B: “Se o espaço

for ocupado por uma ...(I)..., a
sentença A será uma ...(II)...”. A sentença B se tornará verdadeira se I e
II forem substituídos, respectivamente, por:
P
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A
a) contingência e contradição
b) tautologia e contradição
c) tautologia e contingência
d) contingência e contingência
e) contradição e tautologia
4. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere a
afirmação: Se Adélia vence a eleição, então Gilmar continua membro da
comissão. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente é:
(A) Gilmar continua membro da comissão e Adélia vence a eleição.
(B) Adélia não vence a eleição ou Gilmar continua membro da comissão.
(C) Se Gilmar continua membro da comissão, então Adélia vence a
eleição.
(D) Ou Gilmar continua membro da comissão ou Adélia vence a eleição.
(E) Se Adélia não vence a eleição, então Gilmar não continua membro da
comissão.
5. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x+y)/5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em
2000.
É verdade que APENAS:
a) I é uma sentença aberta
b) II é uma sentença aberta
c) I e II são sentenças abertas
d) I e III são sentenças abertas
e) II e III são sentenças abertas
6. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009)Considere a seguinte proposição:
“Se chove ou neva,
então o chão fica molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
P
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a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
7. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere a
afirmação: Estudei muito e passei no concurso, ou minha preguiça foi
maior. Uma afirmação que corresponde à negação lógica da afirmação
anterior é
(A) Não estudei muito ou não passei no concurso, e minha preguiça não
foi maior.
(B) Se não estudei muito então minha preguiça foi maior e não passei no
concurso.
(C) Minha preguiça foi maior e não passei no concurso, e não estudei
muito.
(D) Não estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi
maior.
(E) Estudei muito e não passei no concurso e minha preguiça foi maior.
8. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Observe a afirmação a seguir, feita pelo
prefeito de uma grande capital.
Se a inflação não cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço
das passagens de ônibus será reajustado.
Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmação é:
(A) Se a inflação cair e o preço do óleo diesel não aumentar, então o
preço das passagens de ônibus não será reajustado.
(B) Se a inflação cair ou o preço do óleo diesel aumentar, então o preço
das passagens de ônibus não será reajustado.
(C) Se o preço das passagens de ônibus for reajustado, então a inflação
não terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado.
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(D) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a
inflação terá caído ou o preço do óleo diesel terá aumentado.
(E) Se o preço das passagens de ônibus não for reajustado, então a
inflação terá caído e o preço do óleo diesel não terá aumentado.
9. FCC – SEFAZ/PE – 2015) Antes da rodada final do campeonato
inglês de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situação das
duas únicas equipes com chances de serem campeãs, por meio da
seguinte afirmação:
“Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele vença sua partida
e que o Chelsea perca ou empate a sua.”
Uma maneira equivalente, do ponto de vista lógico, de apresentar esta
informação é: “Para que o Arsenal seja campeão, é necessário que ele
(A) vença sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida e o Chelsea empate a sua.”
(B) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida ou o Chelsea empate a sua.”
(C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vença a sua
partida e o Chelsea não vença a sua.”
(D) vença sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua
partida e o Chelsea empate a sua.”
(E) vença sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vença a sua
partida ou o Chelsea empate a sua.”
10. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Considere a afirmação:
Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será
tomada.
Para que essa afirmação seja FALSA:
a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas
decisões tenham sido tomadas.
b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma
decisão tenha sido tomada.
P
A
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A
c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada,
independentemente da participação de ministros na reunião.
d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas
decisões tenham sido tomadas.
e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e
nenhuma decisão tenha sido tomada.
11. ESAF – ISS/RJ – 2010) Por definição, um triângulo equilátero é o
que tem os três lados iguais. Considere então a proposição: “Um triângulo
é equilátero se e somente se os três ângulos são iguais”.
Uma conclusão falsa desta proposição é:
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja
equilátero é a de que os três ângulos sejam iguais.
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais.
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais.
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então
o triângulo não é equilátero.
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes
uns dos outros.
12. FCC – ISS/SP – 2007) Considere a seguinte proposição:
“Se
um
Auditor-Fiscal
Tributário
não
participa
de
projetos
de
aperfeiçoamento, então ele não progride na carreira.”
Essa proposição é tautologicamente equivalente à proposição:
(A) Não é verdade que, ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na
carreira ou ele participa de projetos de aperfeiçoamento.
(B)
Se
um
Auditor-Fiscal
Tributário
participa
de
projetos
de
aperfeiçoamento, então ele progride na carreira.
(C) Não é verdade que, um Auditor-Fiscal Tributário não participa de
projetos de aperfeiçoamento e não progride na carreira.
(D) Ou um Auditor-Fiscal Tributário não progride na carreira ou ele
participa de projetos de aperfeiçoamento.
P
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P
A
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A
(E) Um Auditor-Fiscal Tributário participa de projetos de aperfeiçoamento
e progride na carreira.
13. FCC – SEFAZ/SP – 2009) Uma empresa mantém a seguinte regra
em relação a seus funcionários:
Se um funcionário tem mais de 45 anos de idade, então ele deverá, todo
ano, realizar pelo menos um exame médico e tomar a vacina contra a
gripe.
Considerando que essa regra seja sempre cumprida, é correto concluir
que, necessariamente, se um funcionário dessa empresa:
a) anualmente realiza um exame médico e toma a vacina contra a gripe,
então ele tem mais de 45 anos de idade.
b) tem 40 anos de idade, então ele não realiza exames médicos
anualmente ou não toma a vacina contra a gripe.
c) não realizou nenhum exame médico nos últimos dois anos, então ele
não tem 50 ou mais anos de idade.
d) tem entre 55 e 60 anos de idade, então ele realiza um único exame
médico por ano, além de tomar a vacina contra a gripe.
e) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames médicos nos últimos
dois anos, então ele tem pelo menos 47 anos de idade.
14. FCC – SEFAZ/SP – 2006)Se p e q são proposições, então a
proposição p  (~ q ) é equivalente a:
15. FCC – SEFAZ/SP – 2006)Na tabela-verdade abaixo, p e q são
proposições.
P
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P
A
proposição
composta
que
substitui
corretamente
A
o
L
ponto
A
de
interrogação é:
16. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Das proposições abaixo, a única que é
logicamente equivalente a pq é:
17. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere as afirmações abaixo.
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10  10)  (8  3  6) ” é falsa.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “  p  q   (~ q ) ” é uma
tautologia.
É verdade o que se afirma APENAS em:
a) I e II
b) I e III
P
A
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A
L
A
c) I
d) II
e) III
18. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Dentre as alternativas abaixo, assinale a
correta.
a) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta” é logicamente
equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”.
b) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
c) As proposições ~ ( p  q ) e (~ p  ~ q ) não são logicamente equivalentes
d) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o
tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente
se, o tempo não está bom”.
e) A proposição ~ [ p  ~ ( p  q )] é logicamente falsa.
19.
FCC
–
SEFAZ/SP
–
2006)
Seja
a
sentença
~ {[( p  q )  r ]  [q  (~ p  r )]} .
Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que:
a) nas linhas da tabela-verdade em que p é F, a sentença é F.
b) faltou informar o valor lógico de q e de r
c) essa sentença é uma tautologia
d) o valor lógico dessa sentença é sempre F
e) nas linhas tabela-verdade em que p é F, a sentença é V.
20. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Dada a sentença
complete o espaço

  ~ (~ p  q  r ) ,
com uma e uma só das sentenças simples p, q, r
ou a sua negação ~p, ~q ou ~r para que a sentença dada seja uma
tautologia. Assinale a opção que responde a essa condição.
a) Somente uma das três: ~p, q ou r
b) Somente uma das três: p, ~q ou ~r
c) Somente q
P
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A
L
A
d) Somente p
e) Somente uma das duas: q ou r
21. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm
uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não
tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo
V. Escreva uma poesia
A frase que não possui essa característica comum é a:
a) IV
b) V
c) I
d) II
e) III
22. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere como conjunto universo o
conjunto dos números inteiros positivos menores ou iguais a vinte e
quatro.
Neste universo, assinale o conjunto verdade da sentença aberta:
x2 < 30 ou x - 1 é divisor de 30
a) V = {1, 2, 4, 5, 6, 11, 16}
b) V = {2, 3, 4, 6, 7, 11, 16}
c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
d) V = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 15, 30}
e) V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 16}
23. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere as proposições a e b e
assinale a expressão que é logicamente equivalente a (a^b)v(a^¬b)
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a) ¬a^¬b
b) ¬av¬b
c) ¬avb
d) av¬b
e) a
24. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Considere as proposições x e y e
assinale a expressão que corresponde a uma tautologia.
a) x^¬x
b) [¬(xy)]^y
c)
d)
e)
25. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Em relação à afirmação
Se x = 16 e y ≥ 7 então x∙y ≥ 112
pode-se concluir que:
a. ( ) Se x∙y < 112 então x ≠ 16 ou y < 7.
b. ( ) Se x∙y = 112 então x ≠ 16 e y < 7.
c. ( ) Se x∙y ≥ 112 então x = 16 e y ≥ 7.
d. ( ) x∙y ≥ 112 e x ≠ 16 e y < 7.
e. ( ) Nada se pode concluir.
26. FEPESE – SEFAZ/SC – 2010) Analise a afirmação abaixo.
"Nenhum número natural é primo e é par".
Assinale a alternativa que indica a negação dessa afirmação.
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a) Existe um número natural primo que é par.
b) Todo número natural não é primo e não é par.
c) Existe um número natural que é primo ou é par.
d) Nenhum número natural é par ou não é primo.
e) Existe um número natural ímpar que não é primo ou não é par.
27. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2011) Considere a afirmação:
“Se você trabalha, então alcança.”
A negação dessa afirmação é:
a) Você trabalha e não alcança
b) Você não alcança ou não trabalha
c) Se você não trabalha, então não alcança
d) Se você não trabalha, então alcança
e) Se você não alcança, então não trabalha
28. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2012) Considere a afirmação:
“Toda cobra preta e amarela é venenosa”.
A negação dessa afirmação é:
A) Uma cobra é preta e amarela e não é venenosa.
B) Toda cobra preta ou amarela não é venenosa.
C) Uma cobra é preta ou amarela e é venenosa.
D) Toda cobra venenosa não é preta nem amarela.
E) Uma cobra não é venenosa ou é preta e amarela.
29. CEPERJ – SEFAZ/RJ – 2010) Em uma pequena cidade, só há
ônibus verdes e amarelos. Considere a afirmação:
Qualquer ônibus verde não passa pela prefeitura
Pode-se concluir que:
a) Todo ônibus amarelo passa pela Prefeitura
b) Todo ônibus que passa pela Prefeitura é amarelo
c) Um ônibus que não passa pela Prefeitura é certamente verde
d) Alguns ônibus que passam pela Prefeitura são verdes
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e) Alguns ônibus verdes passam pela Prefeitura
30. VUNESP – ISS/SJC – 2012) Uma proposição equivalente a “Se o
peru gruguleja, então opombo arrulha” é
(A) Se o peru grugulejou foi porque o pombo arrulhou.
(B) Se o pombo não arrulha, então o peru não gruguleja.
(C) O pombo não gruguleja porque o peru não arrulha.
(D) O peru gruguleja porque o pombo arrulha.
(E) Se o peru não gruguleja, então o pombo não arrulha.
31. FCC – SEFAZ/SP – 2006) Considere a proposição “Paula estuda,
mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) condicional
b) bicondicional
c) disjunção inclusiva
d) conjunção
e) disjunção exclusiva
32. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2009) A afirmação: “João não chegou
ou Maria está atrasada” equivale logicamente a:
a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.
33. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
d) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
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34. ESAF – FISCAL DO TRABALHO – 2010) Um poliedro convexo é
regular se e somente se for: um
tetraedro ou um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um
icosaedro. Logo:
a) Se um poliedro convexo for regular, então ele é um cubo.
b) Se um poliedro convexo não for um cubo, então ele não é regular.
c) Se um poliedro não for um cubo, não for um tetraedro, não for um
octaedro, não for um dodecaedro e não for um icosaedro, então ele não é
regular.
d) Um poliedro não é regular se e somente se não for: um tetraedro ou
um cubo ou um octaedro ou um dodecaedro ou um icosaedro.
e) Se um poliedro não for regular, então ele não é um cubo.
35. ESAF – SEFAZ/SP – 2009) A negação de: Milão é a capital da Itália
ou Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
b) Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
36. ESAF – ISS/RJ – 2010) Considere x um número real. A negação da
proposição 2/3 ≤ x ≤ 5/3 ou –1< x < 1 é:
a) –1 < x ≤ 2/3.
b) –1 ≤ x < 2/3.
c) x ≤ –1 e x > 5/3.
d) x ≤ –1 ou x > 5/3.
e) –1 ≤ x < 2/3 e x > 5/3
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37. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A negação da proposição “se
Paulo estuda, então Marta é atleta” é logicamente equivalente à
proposição:
a) Paulo não estuda e Marta não é atleta.
b) Paulo estuda e Marta não é atleta.
c) Paulo estuda ou Marta não é atleta.
d) se Paulo não estuda, então Marta não é atleta.
e) Paulo não estuda ou Marta não é atleta.
38. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2012) A afirmação “A menina tem
olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente
equivalente:
a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.
b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.
d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é
loiro.
e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos
azuis.
39. ESAF – ISS/RJ – 2010) A proposição “um número inteiro é par se e
somente se o seu quadrado for par” equivale logicamente à proposição:
a) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se um
número inteiro não for par, então o seu quadrado não é par.
b) se um número inteiro for ímpar, então o seu quadrado é ímpar.
c) se o quadrado de um número inteiro for ímpar, então o número é
ímpar.
d) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par, e se o
quadrado de um número inteiro não for par, então o número não é par.
e) se um número inteiro for par, então o seu quadrado é par.
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40. ESAF – ISS/RJ – 2010) Qual das proposições abaixo tem a mesma
tabela verdade que a proposição: “Se |a| < 3, então b ≤ 4 ”, onde a e b
são números reais?
a) b ≤ 4 e |a| < 3
b) b > 4 ou |a| < 3
c) b > 4 e |a| < 3
d) b ≤ 4 ou |a| < 3
e) b ≤ 4 ou |a| ≥ 3
41. ESAF – ISS/RJ – 2010) Sendo x um número real, a proposição: x2
≥ 1 se e somente se x ≥ 1 ou x ≤ -1 equivale logicamente à:
a) se x = 1, então x2 = 1.
b) se x > 1, então x2 > 1.
c) se -1 < x < 1, então x2 < 1.
d) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x ≥ 1 ou x ≤ -1, então x2 ≥ 1.
e) se -1 < x < 1, então x2 < 1, e se x2 ≥ 1, então x ≥ 1 ou x ≤ -1.
42. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2012) A proposição p
(p
q) é logicamente equivalente à proposição:
a) p
q
b) ~ p
c) p
d) ~ q
e) p
q
43. ESAF – PECFAZ – 2013) Conforme a teoria da lógica proposicional,
a proposição ~ P
P é:
a) uma tautologia.
b) equivalente à proposição ~ P V P .
c) uma contradição.
d) uma contingência.
e) uma disjunção
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44. VUNESP – ISS/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO – 2014) Considere
verdadeiras as afirmações a seguir.
I. Elias não é policial.
II. Se Alves é juiz, então Bruno é promotor.
III. Se Bruno não é promotor, então Carlos não é oficial de justiça.
IV. Se Carlos não é oficial de justiça, então Durval não é advogado de
defesa.
V. Durval é advogado de defesa ou Elias é policial.
A partir dessas afirmações, é correto concluir que
(A) Durval não é advogado de defesa.
(B) Carlos não é oficial de justiça.
(C) Alves não é juiz.
(D) Bruno é promotor.
(E) Alves é juiz.
45. ESAF – ANAC – 2016) Sabendo que os valores lógicos das
proposições simples p e q são, respectivamente, a verdade e a falsidade,
assinale o item que apresenta a proposição composta cujo valor lógico é a
verdade.
a) ~p V q
b) p V q
q
q
c) p
q
d) p
q
e) q ^ (p V q)
46. FGV – MRE – 2016) João olhou as dez bolas que havia em um saco
e afirmou: “Todas as bolas desse saco são pretas”. Sabe-se que a
afirmativa de João é falsa. É correto concluir que:
(A) nenhuma bola desse saco é preta;
(B) pelo menos nove bolas desse saco são pretas;
(C) pelo menos uma bola desse saco é preta;
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(D) pelo menos uma bola desse saco não é preta;
(E) nenhuma bola desse saco é branca.
47. ESAF – ANAC – 2016) A proposição “se o voo está atrasado, então
o aeroporto está fechado para decolagens” é logicamente equivalente à
proposição:
a) o voo está atrasado e o aeroporto está fechado para decolagens.
b) o voo não está atrasado e o aeroporto não está fechado para
decolagens.
c) o voo está atrasado, se e somente se, o aeroporto está fechado para
decolagens.
d) se o voo não está atrasado, então o aeroporto não está fechado para
decolagens.
e) o voo não está atrasado ou o aeroporto está fechado para decolagens.
48. FCC – TRF/3ª – 2016) Considere, abaixo, as afirmações e o valor
lógico atribuído a cada uma delas entre parênteses.
− Ou Júlio é pintor, ou Bruno não é cozinheiro (afirmação FALSA).
− Se Carlos é marceneiro, então Júlio não é pintor (afirmação FALSA).
− Bruno é cozinheiro ou Antônio não é pedreiro (afirmação VERDADEIRA).
A partir dessas afirmações,
(A) Júlio não é pintor e Bruno não é cozinheiro.
(B) Antônio é pedreiro ou Bruno é cozinheiro.
(C) Carlos é marceneiro e Antônio não é pedreiro.
(D) Júlio é pintor e Carlos não é marceneiro.
(E) Antônio é pedreiro ou Júlio não é pintor.
49. FGV – MRE – 2016) Considere a sentença: “Corro e não fico
cansado”. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença
dada é:
(A) Se corro então fico cansado.
(B) Se não corro então não fico cansado.
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(C) Não corro e fico cansado.
(D) Corro e fico cansado.
(E) Não corro ou não fico cansado.
50. FGV – TJ/PI – 2015) Considere a afirmação:
“Mato a cobra e mostro o pau”
A negação lógica dessa afirmação é:
(A) não mato a cobra ou não mostro o pau;
(B) não mato a cobra e não mostro o pau;
(C) não mato a cobra e mostro o pau;
(D) mato a cobra e não mostro o pau;
(E) mato a cobra ou não mostro o pau.
51. FGV – TJ/PI – 2015) Considere a sentença: “Se gosto de capivara,
então gosto de javali”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença
dada é:
(A) Se não gosto de capivara, então não gosto de javali.
(B) Gosto de capivara e gosto de javali.
(C) Não gosto de capivara ou gosto de javali.
(D) Gosto de capivara ou não gosto de javali.
(E) Gosto de capivara e não gosto de javali.
52. FGV – TJ/PI – 2015) Barbosa afirmou: “Todo cidadão brasileiro tem
direito à educação e à saúde”. A negação lógica dessa sentença é:
(A) Nenhum cidadão brasileiro tem direito à educação e à saúde.
(B) Nenhum cidadão brasileiro tem direito à educação ou à saúde.
(C) Todo cidadão brasileiro não tem direito à educação e à saúde.
(D) Algum cidadão brasileiro não tem direito à educação ou à saúde.
(E) Algum cidadão brasileiro não tem direito à educação nem à saúde.
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53. FGV – TJSC – 2015) Considere a sentença: “Se cometi um crime,
então serei condenado”. Uma sentença logicamente equivalente à
sentença dada é:
(A) Não cometi um crime ou serei condenado.
(B) Se não cometi um crime, então não serei condenado.
(C) Se eu for condenado, então cometi um crime.
(D) Cometi um crime e serei condenado.
(E) Não cometi um crime e não serei condenado.
54. FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere a afirmação: Se os
impostos sobem, então o consumo cai e a inadimplência aumenta. Uma
afirmação que corresponde à negação lógica dessa afirmação é
(A) Se os impostos não sobem, então o consumo aumenta e a
inadimplência cai.
(B) Os impostos não sobem e o consumo não cai e a inadimplência não
aumenta.
(C) Se os impostos não sobem, então o consumo não cai e a
inadimplência não aumenta.
(D) Se o consumo não cai ou a inadimplência não aumenta, então os
impostos não sobem.
(E) Os impostos sobem e o consumo não cai ou a inadimplência não
aumenta.
55. FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as afirmações sobre
Alberto, Bruno, César e Dario sendo que cada um toca apenas um
instrumento.
I. Alberto é pianista ou Bruno é saxofonista.
II. Bruno é saxofonista ou César é violinista.
III. Se César é violinista, então Dario é clarinetista.
Dentre essas afirmações, sabe-se que são verdadeiras I e III e que a II é
falsa. Deste modo,
(A) Dario é clarinetista e Bruno é saxofonista.
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(B) Se Dario é clarinetista, então Alberto não é pianista.
(C) César é violinista ou Alberto é pianista.
(D) Bruno não é saxofonista e Dario não é clarinetista.
(E) Se César não é violinista, então Bruno é saxofonista.
56. FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) Considerando
que P e Q sejam proposições simples e que os significados dos símbolos
“P  Q = P e Q”, “P  Q = se P, então Q” e “P  Q = P se e somente se Q”,
a partir da tabela abaixo, é possível construir a tabela-verdade da
proposição P  Q.
Dessa forma, assinale a alternativa que apresenta os elementos da coluna
correspondente à proposição P  Q, na ordem que aparecem, de cima pra
baixo.
a) VFVF
b) FVFV
c) VVFF
d) VFFV
e) FFVV
57. VUNESP – TCE/SP – 2015) Uma equivalente para a afirmação “Se
Carlos foi aprovado no concurso, então ele estudou” está contida na
alternativa:
(A) Carlos não foi aprovado no concurso e não estudou.
(B) Se Carlos não estudou, então ele não foi aprovado no concurso.
(C) Carlos foi aprovado no concurso e não estudou.
(D) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não estudou.
(E) Carlos estudou e não foi aprovado no concurso.
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58. VUNESP – TCE/SP – 2015) Uma negação para a afirmação “Carlos
foi aprovado no concurso e Tiago não foi aprovado” está contida na
alternativa:
(A) Tiago foi aprovado no concurso ou Carlos não foi aprovado.
(B) Carlos não foi aprovado no concurso e Tiago foi aprovado.
(C) Tiago não foi aprovado no concurso ou Carlos foi aprovado.
(D) Carlos e Tiago foram aprovados no concurso.
(E) Carlos e Tiago não foram aprovados no concurso.
59. ESAF – PECFAZ – 2013) A negação da proposição “Brasília é a
Capital Federal e os Territórios Federais integram a União” é:
a) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais não integram a
União.
b) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram
a União.
c) Brasília não é a Capital Federal ou os Territórios Federais integram a
União.
d) Brasília é a Capital Federal ou os Territórios Federais não integram a
União.
e) Brasília não é a Capital Federal e os Territórios Federais integram a
União.
60. ESAF – MINISTÉRIO DA FAZENDA – 2014) A negação da
proposição “se Paulo trabalha oito horas por dia, então ele é servidor
público” é logicamente equivalente à proposição:
a) Paulo trabalha oito horas por dia ou é servidor público.
b) Paulo trabalha oito horas por dia e não é servidor público.
c) Paulo trabalha oito horas por dia e é servidor público.
d) Se Paulo não trabalha oito horas por dia, então não é servidor público.
e) Se Paulo é servidor público, então ele não trabalha oito horas por dia.
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