Resolvi ser um pouco detalhista neste texto, explico os motivos

Prezados Marcão e demais membros do fórum,
S. Arbona X Tentativa de WR na Esteira X Cálculos Aerodinâmicos
Considerações iniciais:
Resolvi ser um pouco detalhista neste texto, explico os
motivos:
- Um é para estimular os membros do fórum a "brincarem de
fazer conta" se desejarem refazer os cálculos utilizando outros
valores ou até mesmo os dados do próprio atleta. (Você pode calcular
o seu próprio ganho na esteira);
- Outro é para as pessoas entenderem o porquê e como eu
cheguei na solução final;
- E finalmente resolvi deixar os passos detalhados caso alguém
encontrar um erro ficará mais fácil para corrigí-lo.
Qualquer dúvida, erro, crítica que surgir não hesitem em
mandar um e-mail para:
Henri Rodrigues Zurmely
[email protected]
No final do texto aparecem as fontes bibliográficas e os sítios-
web usados para pesquisa para elaboração do documento!
E vamos ao que todos querem ver, os cálculos:
Para fazer os cálculos são necessários alguns dados, quando
não for possível obter esses dados vou lançar mão de algumas
suposições:
Dados:
- Densidade do ar: ρ = 1,2 kg / m3;
- Viscosidade do ar: η = 1,8 x 10-5 kg / m s;
- Serge Arbona percorreu na esteira 152,27 milhas em 24 horas
= 245.054,811 metros em 86.400 segundos.
Suposições:
- Vou supor que o Serge Arbona é um cilindro de 1,80m de
altura por 50 cm de diâmetro e com 78,1925kg (mais pra frente
vocês vão entender porque eu supus um valor tão exato para o peso
dele);
- Vou supor que o Serge Arbona fez as 24 horas em velocidade
constante
=> v = 2,836282253472 metros / segundo; (245.054,811
metros / 86.400 segundos);
- Também vou supor que o Arbona deu 2,5 passadas por
segundo, que dá um total de 216.000 passadas ou 1,13451301389
metros por passada ou então uma passada dura 0,40 segundos.
Antes de analisaremos o efeito do ar sobre o movimento dos
objetos, deve-se saber a natureza do movimento do ar em torno do
objeto, no caso do comportamento do ar em torno do Arbona. Este
pode assumir duas formas: Laminar (o fluido se movimenta
ordenadamente sobre camadas ou lâminas superpostas) ou
turbulento (o fluido se movimenta desordenadamente formando
vórtices).
Para sabermos a natureza do deslocamento de um fluido, deve se calcular o Número de Reynolds, R. Pelo número de Reynolds
encontra-se a natureza do deslocamento do fluido.
- Se R < 2000 o deslocamento do fluido é laminar, e apenas a
viscosidade do ar em volta do objeto tem efeito aerodinâmico sobre
o mesmo;
- Se 2000 < R < 3000, estamos na região de transição e nada
pode ser dito quanto à natureza do deslocamento do fluido;
- Se R > 3000 o deslocamento do fluido é turbulento e o efeito
da viscosidade é desprezível, porém outro tipo de fenômeno é
notado: o arrasto (drag);
Para o deslocamento de um cilindro com o fluxo de ar
perpendicular ao eixo (altura) do cilindro, o Número de Reynolds
segue a fórmula abaixo:
R = (ρ D v) / η
Como ρ = densidade = 1,2 kg / m3;
D = diâmetro do cilindro = 0,50 m;
v = velocidade = 2,836282253472 m / s;
η = viscosidade = 1,8 x 10-5 kg / m s;
vem R = 94543.33333... (adimensional)
Como R = 94543.3333... > 3.000 => Deslocamento
turbulento!
=> Viscosidade do ar é desprezível;
=> Arrasto deve ser considerado;
A força de arrasto (F D) sobre um corpo é dada pela fórmula:
FD = (1/2) ρ Cx A v2
em que Cx é o coeficiente de penetração aerodinâmica, que
para um cilindro vale 0,90. A é a área da maior secção voltada para o
movimento que num cilindro é igual a: diâmetro x altura do cilindro,
o que transforma a fórmula acima na seguinte:
FD = (1/2) ρ Cx D h v2
Em que h é a altura do cilindro.
Como ρ = densidade = 1,2 kg / m3;
Cx = 0,90;
D = 0,50 m;
h = 1,80 m;
v = velocidade = 2,836282253472 m / s;
vem FD = 3.90962 N
Pela segunda lei de Newton:
FD = m a
Essa fórmula quer dizer: Força é igual a massa vezes
aceleração.
Temos m = 78,1925 kg
FD = 3.90962 N
vem a = 0.05 m / s2 (exatos!)
O valor da aceleração é redondíssimo exatamente pq eu supus
um valor tão exato para o peso do Arbona no começo do texto!
A força de arrasto é contrária ao movimento do atleta, então
devemos considera-la como uma desaceleração.
Agora vamos analisar o seguinte:
- Durante uma corrida na esteira, não existe força de arraste
atuando sobre o Arbona, enquanto que correndo na rua o Arbona
estaria sujeito a uma força de arrasto capaz de desacelerá-lo a uma
taxa de 0.05 m / s2 ;
- Assim sendo, uma passada (sesteira) de 1,13451301389 metros
de amplitude do Serge Arbona dada numa esteira sofreria um
encurtamento (srua) se fosse dada na rua e se tivesse a mesma
duração de 0.40 segundo. Calculemos o encurtamento:
srua = sesteira - 1/2 a t2 = v t - 1/2 a t2 ;
Em que srua é o comprimento (ou amplitude) da passada na rua
e t é o tempo de duração da passada.
Como v = velocidade = 2,836282253472 m / s;
t = 0,40 s;
a = 0.05 m / s2;
Vem srua = 1.13051301389 m.
Sabendo que a passada na esteira, (sesteira) = 1,13451301389
Vem, diferença por passada, ∆s = (sesteira) - (srua)
∆s = 1,13451301389 - 1.13051301389 = 0,004m = 4
milímetros
∆s tabém pode ser obtido fazendo-se ∆s = 1/2 a t2, pois sesteira
= v t;
Contabilizando 4 milímetros em cada uma das 216.000
passadas encontramos um total de 864 metros. Ou seja, a esteira
deu ao Arbona uma vantagem de 864 metros!
Com um pouco de manipulação algébrica pode-se encontrar
uma fórmula mais direta:
Ganho na esteira = 19440 (ρ D h v2 tPASSADA ) / m
Em que tPASSADA é o tempo de duração de uma passada do atleta.
Conclui-se quanto mais leve, veloz, alto e largo for o atleta
maior o ganho correndo na esteira.
Pode-se também fazer outros cálculos em situações que eu
considero extremas:
vem:
- Passada muito lenta : tPASSADA = 1s (1 passada por segundo),
Ganho = 2160 metros;
- Passada muito rápida : tPASSADA = 0.1s (10 passadas por
segundo), vem:
Ganho = 216 metros;
Conclui-se também que a esteira ajuda muito corredores em
cuja corrida se caracteriza ter uma passada lenta, ou seja, os
corredores de provas de endurance.
ATENÇÃO: Essa fórmula só deve ser usada dentro dos limites
acima, pois o ganho na esteira seria infinito numa passada de
duração infinita o que é um absurdo! Assim, para fugirmos das
situações absurdas recomenda-se usar a fórmula acima em situações
próximas da realidade onde tPASSADA está próximo da realidade, pois o
modelo matemático encontrado é uma simplificação para situações
próximas da realidade.
Alguém poderia erroneamente concluir que o atleta deveria
aumentar o tempo das passadas para ter um maior ganho na esteira.
Isto é errado porque o atleta perderia muita velocidade fazendo isso.
Note que o ganho depende da velocidade ao quadrado, que tem um
maior peso se comparada as outras variáveis.
Nota para Físicos, Matemáticos, Engenheiros, Biomecânicos e
curiosos:
- Os valores limites do Número de Reynolds é uma controvérsia
entre os estudiosos do assuntos, alguns chegam a afirmar que só é
turbulento o deslocamento cujo número de Reynolds > 10.000.
Como encontrei R = 94543,333 não resta dúvida que o efeito do ar
sobre o Arbona foi turbulento!
- O efeito da viscosidade do ar só é notada para deslocamento
de corpos muito leves e pequenos e à velocidades bem pequenas
como bolhas de sabão e gotículas de chuva caindo lentamente.
- A fórmula para encontrar o encurtamento da passada só é
válida para aceleração/desaceleração constante. Estritamente falando
a desaceleração do Arbona não é constante pois a força de arrasto
depende da velocidade, porém como ela influi muito pouco na
mudança da velocidade podemos considera-la constante;
- Existe um outro método muito mais confiável e preciso para
calcular o ganho do Arbona na esteira, mas seria preciso saber a
potência que ele desenvolve na corrida;
- Se resolverem refazer as contas usem somente as unidades SI
(Sistema Internacional).
Bibliografia:
HALLIDAY, D. , RESNICK, R. , WALKER, J. - Fundamentals
of Physics Extended - Fifth Edition - John Wiley & Sons,
ISBN 0-471-10559-7.
SCHMIDT, F. W. , HENDRESON, R. E. , WOLGEMUTH C. H. -
Introduction to Thermal Sciences: thermodynamics,
fluid dynamics, heat transfer - Second Edition - John
Wiley & Sons.
Internet:
http://www.scite.pro.br/emrede/mecanica/fluidos/resistenciaar.html
http://omnis.ifi.ufrj.br/~carlos/conferencias/crise/crise_poster.pdf