Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Sistemas de

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Resumo com exercícios resolvidos do assunto:
Sistemas de Partículas
(I)
(II)
(III)
Conservação do Momento
Centro de Massa
Colisões
(I)
Conservação do Momento
Na mecânica clássica, momento linear ou quantidade de movimento é o produto
da massa pela velocidade de um objeto: 𝑝 = 𝑚𝑣 . Por exemplo: um caminhão de grande
massa se movendo rapidamente tem uma grande quantidade de movimento — assim
como é necessário que haja uma grande força atuando sobre o caminhão para fazê-lo
chegar a tal velocidade, é preciso que uma força igualmente elevada aja sobre ele a fim de
pará-lo. Logo, a quantidade de movimento de um corpo é diretamente proporcional à
massa do mesmo. O momento linear é uma grandeza vetorial, cuja direção e sentido são
os mesmos da velocidade.
Antes de avançarmos, mudando um pouco a ordem das explicações dos principais
livros de Física I, vamos estudar o Impulso de uma força.
Impulso de uma força
De forma simples e prática, temos que o impulso é uma grandeza física que relaciona a
força que atua sobre um corpo durante um intervalo de tempo. Temos a seguinte relação,
advinda da Segunda Lei de Newton:
𝐹𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑝
→ 𝑑𝑝 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑡 →
𝑑𝑡
𝑝𝑓
𝑡𝑓
𝑑𝑝 =
𝑝𝑖
𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑡
𝑡𝑖
Sendo 𝑝 o vetor momento linear de um sistema.
𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 𝐹𝑒𝑥𝑡 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖
∆𝒑 = 𝑰 = 𝑭𝒆𝒙𝒕 ∆𝒕
Logo, podemos afirmar que:
O Impulso gerado por uma força F durante certo tempo ∆𝑡 ocasiona e é igual
a variação no vetor momento linear do sistema.
Sendo assim, se não houver atuação de forças externas (F=0), temos:
∆𝒑 = 0 → 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 0 → 𝑝𝑖 = 𝑝𝑓
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 → 𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 𝑖 = 𝑚1 𝑣1𝑓 + 𝑚2 𝑣2𝑓 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 𝑓
Daí,chegamos a seguinte conclusão:
Sem a ação de forças externas o momento linear é conservado.
Além disso, se houver forças internas de uma partícula agindo sobre a outra, porém ambas em
um mesmo sistema, o momento linear também é conservado.
“Cara,guarde isto no seu cérebro trancado a 7 chaves pelo menos até o dia da prova, pois com
certeza cairá mais de uma questão sobre esse tema,além disso exercite bastante para chegar
esperto na prova.” #Fikdik.
Exemplo 1: (UFRJ-2013.1-Modificada) A figura mostra um carrinho de massa m, sobre um
trilho de ar, que comprime de x uma mola de constante elástica k. O carrinho está inicialmente
preso ao suporte do trilho por um fio. O fio é cortado, e a mola expande-se empurrando o
carrinho. Ao passar pela posição de equilíbrio da mola, o carrinho perde contato com a mola.
No trajeto até perder contato com a mola,de quanto foi o impulso fornecido ao carrinho?
O Impulso dado pela força no carrinho é justamente o produto da força F pelo tempo. Mas
pelo Teorema anteriormente citado, temos que 𝑰 = ∆𝒑. Logo, podemos calcular a o impulso
pela variação do momento linear.
Temos que,para achar ∆𝑝,temos:
∆𝑝 = 𝑝𝑓 − 𝑝𝑖 = 𝑚 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖
Como o movimento partiu do repouso, temos 𝑣𝑖 = 0,logo:
∆𝑝 = 𝑚𝑣𝑓
Pela conservação da Energia Mecânica, temos:
(𝐼)
1
𝑘𝑥𝑖 ²
2
1
1
1
+ 2 𝑚𝑣𝑖 ² = 2 𝑘𝑥𝑓 + 2 𝑚𝑣𝑓 ²
0
1 2 1
𝑘𝑥 = 𝑚𝑣𝑓2
2 𝑖
2
𝑣=𝑥
𝑘
𝑚
(𝐼𝐼)
Aplicando (II) em (I), temos:
∆𝑝 = 𝑚𝑣𝑓 = 𝑥 𝑘𝑚
Exemplo 2: (UFRJ-2013.2)Uma granada encontra-se em repouso sobre uma mesa horizontal
lisa (sem atrito) e explode em três fragmentos. Os fragmentos adquirem momentos lineares
𝑝1 , 𝑝2 𝑒𝑝3 de módulos diferentes de zero, cujas direções formam ângulos diferentes entre si. O
diagrama correto que representa a relação entre os momentos lineares destes fragmentos é:
Como não há atuação de força externas, temos:
Pela conservação do momento linear, temos:
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓
Como 𝑝𝑖 = 0 , 𝑝𝑓 = 0, ou seja, a soma dos vetores é igual a zero.No caso, a alternativa 5, letra
E.
Outro exemplo bastante conhecido e cobrado em provas, é o que um pai puxa seu filho
(ambos de patins de gelo sem atrito) com uma corda, sendo a massa do pai maior que a do
filho, quem chega primeiro no centro?
Neste caso, estando ambos inicialmente parados, temos, pela conservação do momento
linear,pois a única força que existe é interna(do pai no filho) :
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓
0 = 𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑣𝑝𝑎𝑖 + 𝑚𝑓𝑖𝑙 𝑕𝑜 𝑣𝑓𝑖𝑙 𝑕𝑜
Logo:
𝑣𝑓𝑖𝑙 𝑕𝑜 = −
𝑚 𝑝𝑎𝑖 𝑣𝑝𝑎𝑖
𝑚 𝑓𝑖𝑙 𝑕 𝑜
Sendo 𝑚𝑝𝑎𝑖 > 𝑚𝑓𝑖𝑙 𝑕𝑜 |𝑣𝑓𝑖𝑙 𝑕𝑜 | > |𝑣𝑝𝑎𝑖 |
Logo, o filho chegará antes no meio do percurso.
(II)
Centro de Massa
Centro de massa é o ponto de um sistema onde se pode considerar, para efeitos de
translação, que está concentrada toda sua massa. Consequentemente, é nele que está sendo
realizada a força resultante no sistema, e usa-se o movimento do centro de massa para
descrever o movimento do sistema como um todo.
Vamos começar pelo caso mais simples. Se tivermos três objetos, por exemplo, no espaço, a
sua posição pode ser calculada por:
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2 + 𝑚3 𝑥3
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
𝑦𝐶𝑀 =
𝑚1 𝑦1 + 𝑚2 𝑦2 + 𝑚3 𝑦3
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
𝑧𝐶𝑀 =
𝑚1 𝑧1 + 𝑚2 𝑧2 + 𝑚3 𝑧3
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
Sendo 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 𝑒 𝑧𝑛 as posições do Centro de Massa dos corpos, pontuais ou rígidos.
Obs: A posição do centro de massa de objetos com massa homogênea em toda sua extensão é
exatamente no meio, como por exemplo o centro de massa de uma reta de comprimento L é
em L/2,e o de um quadrado de lado a, considerando seu vértice inferior esquerdo na origem
𝑎 𝑎
de um sistema cartesiano, está localizando no ponto 𝑥, 𝑦 = (2 , 2 ).
Podemos generalizar afirmando que a posição do centro de massa rcm pode ser dada por:
𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖
𝑟𝑐𝑚 =
(1)
Exemplo: (UFRJ-2013.2-Modificada)Uma chapa homogênea quadrada de lado 2a tem um
canto quadrado de lado a retirado. A chapa restante está disposta no plano OXY como
indicado na figura. Em relação à origem O, qual o vetor posição 𝑟𝐶𝑀 do centro de massa?
Para determinar a posição do centro de massa, temos:
𝑥𝐶𝑀 =
𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2
𝑚1 + 𝑚2
Sendo 𝛽 a densidade superficial (ou areolar) da placa, temos:
𝛽=
𝑚
𝐴
, 𝑚 = 𝛽𝐴
Sendo A a área da placa.
Logo:
𝑥𝐶𝑀 =
𝛽𝐴1 𝑥1 + 𝛽𝐴2 𝑥2 𝐴1 𝑥1 + 𝐴2 𝑥2
=
𝛽𝐴1 + 𝛽𝐴2
𝐴1 + 𝐴2
Se 𝐴2 for retirada de 𝐴1 , consideramos 𝐴2 negativa. Logo, temos:
𝑥𝐶𝑀
𝑎
𝐴1 𝑥1 + 𝐴2 𝑥2 4𝑎². 𝑥1 − 𝑎²𝑥2 4𝑥1 − 𝑥2 4𝑎 − 2 7
=
=
=
=
= 𝑎𝑖
𝐴1 + 𝐴2
3
3
6
4𝑎² − 𝑎²
A mesma conta é feita para o 𝑦𝐶𝑀 (verifique). Logo, temos:
7
𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 = (𝑖 + 𝑗)
6
 Derivando a equação 1 em função do tempo, temos:
𝑣𝑐𝑚 =
𝑑𝑟𝑐𝑚
=
𝑑𝑡
𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖 𝑑𝑟𝑖 /𝑑𝑡
𝑛
𝑖=1 𝑚𝑖
Logo, podemos calcular a velocidade do Centro de Massa pela relação:
𝑣𝑐𝑚 =
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 + 𝑚3 𝑣3 + ⋯
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯
Com a ausência de forças externas podemos utilizar conservação do momento linear para o
centro de massa, temos que:
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 =
𝑚 𝑣𝑐𝑚 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 =
𝑚 𝑣𝑐𝑚 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Logo, temos que:
𝑣𝑐𝑚 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑣𝑐𝑚 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Sem a presença de forças externas a velocidade do centro de massa é
conservada.
(III)
Colisões
Se a velocidade inicial for nula, temos que a posição do centro de massa está parada, e
com ausência de forças externas sempre permanecerá parada. Isto é muito comum em
cair nas provas, principalmente como no exemplo abaixo:
Exemplo: (Moyses Nussenzveig)
Um remador de 75kg, sentado na popa de uma canoa de 150kg de 3m de comprimento,
conseguiu trazê-la para uma posição que está parada perpendicularmente à margem de um
lago, que nesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numa estava onde o
remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta e caminha até a proa, o que leva a canoa a
afastar-se da margem. Chegando à proa, ele consegue, esticando o braço, alcançar até uma
distância de 80cm da proa. Conseguirá agarrar a estaca?Caso contrário, quanto falta?
Considere o centro de massa da canoa como localizado em seu ponto médio e despreze a
resistência da água.
Como não há a ação de forças externas, a única força feita no sistema é pelo pé do pescador
para andar para frente, porém ela é uma força interna e não muda a velocidade nem a posição
P do centro de massa. Logo, podemos calcular a posição do centro de massa no inicio e no final
e dizer que a diferença (𝑥𝐶𝑀 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑥𝐶𝑀 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) foi justamente o que o barco andou para trás,
sendo assim, temos:
Sendo a popa a parte traseira e a proa a dianteira do barco e sendo o centro de massa do garoto na posição 0 e do
barco (corpo extenso) no seu centro, temos:
Xcm =
mx + MX
𝑚 +𝑀
Sendo m e x a massa e a posição do homem e M e X a massa e a posição do centro de massa do barco, temos:
No inicio:
Xcm= (75.0 + 150.1,5)/(150+75) =1m
No fim:
Xcm= (75.3+150.1,5)/(225)=2m
Pela conservação da posição do centro de massa, o barco se desloca (𝑥𝐶𝑀 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 − 𝑥𝐶𝑀 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 ) =
1 metro atrás para permanecer na posição do centro de massa inicial. Logo, a proa do barco
fica a 1 metro de distância da estaca. Logo, o pescador não alcança a estaca, pois seu braço
tem 80cm, faltando 20cm para alcança-la.
(III) Colisões
Dando prosseguimento ao conteúdo vamos estudar as colisões. Uma colisão é o ato de
duas ou mais partículas ou corpos macroscópicos entrarem em contato podendo trocar
momento e energia ou não.É um evento isolado onde dois ou mais corpos exercem fortes
forças de contato entre si durante um curto espaço de tempo.O resultado de uma colisão
pode ser extremamente variado, desde os corpos ficarem grudados ou entrar em
espalhamento(velocidades e direções distintas), como na figura abaixo.
Aplicando todos estes conhecimentos às colisões ,estudaremos agora dois tipos possíveis de
colisões , elásticas, e inelásticas.Mas antes de abordar os dois tipos de colisões podemos
afirmar que o momento linear é conservado em todos os tipos de colisões,basta apenas não
haver atuação de forças externas agindo sobre o sistema. Estudaremos de uma forma objetiva
em que você não tenha que ficar decorando fórmulas para cada caso.
Colisão Elástica:
É um caso ideal, em que na colisão são conservados o vetor momento linear (como em toda
colisão sem forças externas) e a energia cinética.
Na maioria das questões envolvendo colisões elásticas,devemos fazer um sistema utilizando a
conservação dos dois fatores, como abaixo:
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 → 𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 𝑖 = 𝑚1 𝑣1𝑓 + 𝑚2 𝑣2𝑓 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 𝑓
𝐾𝑖 = 𝐾𝑓 →
𝑚𝑛 𝑣𝑛 𝑓 ²
𝑚1 𝑣1𝑖 ² 𝑚2 𝑣2𝑖 ²
𝑚𝑛 𝑣𝑛 𝑖 ² 𝑚1 𝑣1𝑓 ² 𝑚2 𝑣2𝑓 ²
+
+ ⋯+
=
+
+ ⋯+
2
2
2
2
2
2
Exemplo 1: (IF-UFRJ)
Uma pequena esfera de massa m está verticalmente acima de uma bola maior de massa M.
As duas bolas são deixadas de uma altura h (suponha que os raios das bolas) são desprezíveis
em confronto com h. Se a bola maior ricocheteia elasticamente com o chão e a menor
ricocheteia elasticamente na maior, que valor de m faz com que a bola maior pare no instante
em que colide com a menor?
Resposta:
Temos que imediatamente após a bola de massa M entrar em contato com o chão a bola volta
com a mesma velocidade só que para cima, entrando em colisão com a bola de massa m e
depois permanecendo parada.
Temos a seguinte situação:
Utilizando o sistema com o caso 2 e 3, temos:
Sendo v a velocidade dos dois antes do choque e V a velocidade de m após o choque.
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 → 𝑚𝑣 + 𝑀 −𝑣 = 0 + 𝑚𝑉
𝑉=
𝑣 𝑚−𝑀
𝑚
𝐾𝑖 = 𝐾𝑓 →
𝑉² =
(𝐼)
𝑚𝑣 2 𝑀𝑣 2 𝑚𝑉 2
+
=
2
2
2
𝑣2 𝑚 + 𝑀
,𝑉 = 𝑣
𝑚
𝑚+𝑀
𝑚
(𝐼𝐼)
Substituindo II em I, temos:
𝑣 𝑚−𝑀
=𝑣
𝑚
𝑚−𝑀 =
𝑚+𝑀
𝑚
𝑚(𝑚 + 𝑀)
Elevando ambos ao quadrado, temos:
𝑚2 − 2𝑀𝑚 + 𝑀2 = 𝑚2 + 𝑀𝑚
𝑀2 = 3𝑀𝑚 , 𝑙𝑜𝑔𝑜:
𝑴 = 𝟑𝒎
Colisão Inelástica:
São colisões em que o momento linear é conservado, todavia a energia cinética não. Podem
ser divididas em colisões parcialmente e totalmente inelásticas.
 Colisões Totalmente Inelásticas: São colisões do tipo “bate-gruda”, ou seja, depois da
colisão entre as partículas, ambas passam a se locomover com uma mesma velocidade
vetorial 𝑣𝑓 . Sendo assim conservado o momento linear, mas não a energia cinética,
sendo dissipada por energia sonora ou térmica.
Temos:
Momento Linear
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 → 𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑣𝑛 𝑖 = (𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑛 )𝑣𝑓
Energia
𝐾𝑖 = 𝐾𝑓 + 𝜏𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝 .
Sendo 𝜏𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝 . o trabalho dissipado pela energia sonora ou térmica.
 Colisões Parcialmente Inelásticas: São colisões que dissipam energia cinética e também
conservam o momento linear, todavia, as velocidades das partículas são diferentes
após a colisão, não sendo uma colisão do tipo “bate-gruda”.
Lembramos também, que o vetor momento linear que é conservado, tendo a conservação em
cada eixo. Podemos afirmar também que:
𝑝𝑖 𝑖 = 𝑝𝑓 𝑖
𝑝𝑖 𝑗 = 𝑝𝑓 𝑗
𝑝𝑖 𝑘 = 𝑝𝑓 𝑘
Encontramos muito facilmente, principalmente em questões discursivas de provas antigas
questões no caso bidimensional. Para resolver, basta resolver os mesmos sistemas utilizando,
desta vez, a igualdade dada anteriormente para cada eixo.
Exemplo: (UFRJ-2013.1)
a)
Não há forças externas agindo sobre o sistema, logo temos conservação do momento linear.
Temos:
𝑝𝑖 = 𝑝𝑓 ⟶ 𝑚 2𝑣 + 𝑚 −3𝑣 𝑖 = 𝑚 −𝑣𝑖 + 𝑣𝑗 + 𝑚𝑣2
Logo, 𝑣2 = −𝑣𝑗
b)
Pronto!Agora você pode resolver qualquer tipo de questão envolvendo este tema. Acho que
isto é mais que necessário para você fazer muitas questões e mandar muito bem nas provas.
Aconselho que tente fazer a maior quantidade de exercícios possíveis, inclusive os abaixo e
#partiusambarnacaradafisica1.
Exercícios Recomendados
1) (ITA)
2)(ITA)
3) (ITA)
4) (UFRJ-2013.1)
5)(UFRJ-2012.2)
6)(UFRJ-2014.1)
7) (UFRJ-2014.1)
Gabarito 1) 𝑕 = 𝑀 + 𝑚 𝑎. 𝑡𝑔𝜃/𝑀 |2) d |3)
8)(UFRJ-2014.1)
2𝑔𝑕
3
|4) d |5) c |6) a |7) b |8) a
Bons Estudos!!
Dúvidas?
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